Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi môn vật lý thpt chuyên đề định lý koenig trong các bài toán cơ học vật rắn

ĐỊNH LÝ KOENIG TRONG CÁC BÀI TOÁN CƠ HỌC VẬT RẮN LỜI NÓI ĐẦU: Trong chương trình vật lý THPT dành cho học sinh chuyên Lý cũng như chương trình vật lý đại cương, tôi thấy phần các bài tập cơ học vật rắn là phần kiến thức khó và đặc biệt là phần Định lý Koenig để xác định mô men động lượng và mô men lực đối với một trục quay hay một điểm thì càng khó hơn vì đây là phần kiến thức đòi hỏi học sinh phải có kỹ năng toán học tốt về phần giải tích vec tơ. Đây là phần kiến thức khó nhưng cũng rất cơ bản giúp chúng ta có thể giải quyết các bài toán cơ học vật rắn tốt hơn, nhanh gọn hơn. Chính vì vậy tôi biên soạn chuyên đề “ĐỊNH LÝ KOENIG TRONG CÁC BÀI TOÁN CƠ HỌC VẬT RẮN” nhằm góp phần cung cấp kiến thức cơ bản, rèn luyện kĩ năng vận dụng các định lý này trong việc giải các bài toán cơ học vật rắn cho học sinh chuẩn bị thi học sinh giỏi các cấp và đặc biệt là học sinh đội tuyển dự thi học sinh giỏi quốc gia và thi chọn đội tuyển dự thi Olympic Châu Á Thái Bình Dương cũng như Olympic quốc tế. Sau đây là nội dung của chuyên đề: - Cơ sở lý thuyết. - Các ví dụ đơn giản áp dụng công thức. - Các bài tập tổng hợp có lời giải chi tiết. - Các bài tập tự luyện tập với đáp số. I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1. Khối tâm a) Đối với hệ chất điểm S là trọng tâm của các điểm M i có khối lượng mi, gọi O là một điểm tùy ý, ta có uuur r OG  rG  r r i i i i  mr   mr M m r uuuur (1) với r i  OM i i uu r r Nếu ta chọn O ở G thì rG  0 b) Đối với vật rắn: r r r rdm rdm rG   M dm  (2) 2. Động lượng a) Định nghĩa: r Các điểm MI cấu tạo nên hệ S chuyển động với vận tốc vi trong hệ quy chiếu R. ur Tổng động lượng p của S trong R bằng tổng cộng động lượng của các chất điểm cấu tạo nên hệ S: u r uuur d ri d d r r r r p   mi vi   mi    mi vi   m.OG  mvG dt dt dt   (3) Ta có nhận xét quan trọng: Tổng động lượng của một hệ chất điểm trong hệ quy chiếu (HQC) R bằng động lượng trong R của một chất điểm giả định ở tại khối tâm G có khối lượng bằng khối lượng tổng cộng của hệ S. ur r p  mvG b) Tổng động lượng trong HQC trọng tâm R* r* ur* Theo định nghĩa, điểm G là điểm cố định trong R *, vG và tổng động lượng p của hệ S trong R* ur* r bằng không: p  0 (4) 3. Mối liên hệ giữa động lượng và lực. Định luật II Newton + Lực:    dp  Fext  dt  MaG  (5) Trong đó  Fext là tổng các ngoại lực tác dụng lên hệ. uu r  uuu r uuuu r uuu r X  F dt  F  t   P + Xung của lực: extb  ex 0 4. Động năng của hệ, định lý Koenig đối với động năng Chọn điểm cố định O làm gốc tọa độ, G là khối tâm của hệ, ta có: K (0)  Vì 1 2 mi viG  2 1 1 1 2 mi vi2   mi viG  mvG2 (6)  2 2 2 là động năng toàn phần của hệ hạt đối với khối tâm G, nên ta có: 1 2 Định lý Koenig đối với động năng: K  mv 2 (G )  K * (G ) (7) 5. Mô men động lượng. Định lý Koenig đối với mô men động lượng a) Mô men động lượng của hệ đối với điểm cố định O chọn làm gốc (của hệ S trong HQC R) bằng tổng mô men động lượng của tất cả các điểm tạo nên hệ S.    L0   ri  mi vi (8) b) Mô men động lượng của hệ đối với khối tâm G của S trong R *, theo định nghĩa là: uuuur r r r r L*G   GM i  mi vi*   riG  mi vi* (9) c) Định lý Koenig đối với mô men động lượng Mô men động lượng đối với O của hệ chất điểm S trong HQC R bằng tổng của: + Mô men động lượng đối với O của một chất điểm giả định đặt ở G có khối lượng bằng khối lượng tổng cộng của hệ trong R + Mô men động lượng đối với G của hệ S trong HQC trọng tâm của nó (nghĩa là trong chuyển động của nó quanh G) r r uuur r L0  L*G  OG  mvG (10) d) Mô men động lượng trọng tâm Nếu A là một điểm bất kỳ nào đó, ta có thể viết trong R*: uu r ur* uuuu r ur uuur uuuu r L A   AM i  mi vi   AG  GM i  mi vi* uu r uu r uuur uuuu r  AG   mi vi*   GM i  mi vi* uu r r ur* Biết rằng p   mi vi*  0 , chúng ta nhận thấy mô men động lượng của hệ trong   HQC trọng tâm là độc lập với điểm mà tại đó ta tính. Chúng ta có thể viết mô men ur ur* ur* này mà không cần nói rõ chỉ số của điểm đó: L A  LG  L ur ur* ur* Dùng định lý Koenig ta có: LG  LG  L e) Mô men động lượng tại một điểm của trục Giả sử vật rắn S là một cánh cửa như hình vẽ. HQC R S (O,xS, yS, zS) gắn với vật ur ur ur rắn, quay với vận tốc góc   ez   ' ez trong HQC R. ur Ta viết biểu thức của mô men động lượng L A của vật rắn này tại một điểm A cố định của trục Oz (A cũng là một điểm cố định trong HQC gắn với vật rắn) trong R: ur uuuu r r L A   AM  v( M ) dm S r r ur uuuu r ur uuuu r Với v( M )  v(a)    AM  ez  AM Từ đó rút ra: u r uuuu r r uuuu r ur uuuu r L A   AM  v( M )dm    AM  (ez  AM )dm S S ur uuuu r 2 ur uuuu r ur uuuu r Vậy L A   S ( AM ez  ( AM .ez ) AM )dm Ta đưa vào điểm H là hình chiếu của M trên trục quay: uuuu r uuur uuuur uuuu r ur ur uuuur AM  AH  HM  AM .ez ez  HM   Vậy ta được: ur ur uuuu r ur uuuur L A    HM 2 dm    ( AM .ez ) HM ) dm (Vì HM 2  AM 2  AH 2 ) S S ur Như vậy ta phân biệt trong biểu thức của L A hai thành phần: ur ur 2 + Một thành phần cùng phương với vec tơ quay, đó là: L AP   S HM dm ur uuuu r ur uuuur + Một thành phần vuông góc với vec tơ quay, đó là: L A    ( AM .ez ) HM )dm S f) Mô men động lượng đối với trục  - Mô men quán tính: ur Thành phần L trên trục quay L A của mô men động lượng được gọi là mô men động lượng của vật rắn đối với trục . ur ur ur ur urur L  L A .ez  L AP.ez  ez   HM 2 dm    HM 2 dm S S Theo định nghĩa, L không phụ thuộc vào vị trí của điểm A trên trục . + Khoảng cách HM = r của điểm M đến trục quay là không đổi khi vật rắn quay và ta cũng định nghĩa mô men quán tính J  của vật 2 rắn đối với trục quay  như sau: J   S r dm Mô men quán tính của vật rắn đối với một trục quay đặc trưng cho mức quán tính của chuyển động quay của vật rắn quanh trục đó (bất biến theo thời gian), chỉ phụ thuộc vào cách phân bố khối lượng trong vật rắn. 6. Mô men lực, định lý Koenig đối với mô men lực uur uur uuuur ur + Mô men lực M O tại điểm O của hệ S trong R có biểu thức là: M O   OM i  mi ai + Mô men lực tại G trong R* (R* là tịnh tiến đối với R) uur* uuuur r* r* r M G   GM i  mi a i   riG  mi ai uu r uur uu r ur uu r uur Từ công thức cộng gia tốc ta có: ai  ae ( M i )  aC ( M )  ai*  aG  ai* Gia tốc Coriolis bằng không còn gia tốc kéo theo không phụ thuộc vào chỉ số i và uur bằng gia tốc aG của điểm G. uur uuur uuuu r  r uur uu uuur  uur uuuu r uur * * Ta rút ra: M O    OG  GM i   mi aG  ai  OG  maG   GM i  mi ai Vì  uuuur r mi GM i  0 và  uu r uur r mi ai*  F *  0 nên ta suy ra định lý Koenig đối với mô men lực: uuuur  uuur uuur + Xung của mô men lực: M Ox  M g dt  L0 0 Định lý Koenig đối với mô men lực: Mô men lực đối với O của hệ chất điểm S trong HQC R bằng tổng của: + Mô men lực đối với O của một chất điểm giả định đặt ở G có khối lượng bằng khối lượng tổng cộng của hệ trong R + Mô men lực đối với G của hệ S trong HQC trọng tâm của nó (nghĩa là trong chuyển động của nó quanh G) uur uur* uuur uur M 0  M G  OG  maG (10) 7. Mô men lực trọng tâm: Cũng như đối với mô men động lượng, mô men lực của S trong HQC trọng tâm R * không phụ thuộc vào điểm mà ta tính. Chúng ta có thể viết mô men này mà không uur uur* uur* cần nói rõ chỉ số của điểm đó: M A  M G  M uur uur* uur* Dùng định lý Koenig ta có: M G  M G  M 8. Mối liên hệ giữa mô men động lượng và mô men lực Ta xét trường hợp tổng quát, điểm được chọn để tính mô men là điểm bất ký P, điểm này có thể đứng yên hoặc chuyển động đối với điểm cố định O chọn làm gốc tọa độ (hình vẽ) y O 1 rr r1  rP r rr r1r r rP P 2 2rP r r2 x Theo định nghĩa mô men động lượng toàn phần của hệ đối với điểm P là:      LP    ri  rP   mi  vi  vP  Lấy đạo hàm theo thời gian, ta được          dLP   (vi  vP )  mi  vi  vP    ri  rP   mi  ai  aP  dt Thay      0    ri  rP    mi .ai  mi aP     mi ai  Fi ex  Fi in là tổng hợp các ngoại lực và nội lực tác dụng lên hạt I, ta được: r r dLP r r r r r    ri  rP   Fi ext   mi  ri  rP   aP dt r r Thay tiếp  mi .ri  mrG , ta được r r dLP r r r r r    ri  rP   Fi ex  m  rG  rP  aP dt r r r Vì   ri  rP   Fi ex theo định nghía là mô men của ngoại lực đối với P, nên cuối cùng ta được công thức tổng quát: r r dLP r r r   M Pex   rG  rP   maP dt (6) Công thức (6) cho thấy mối liên hệ giữa mô men lực và mô men động lượng không đơn giản như mối liên hệ giữa lực và động lượng. Có dự khác biệt này là do mô men động lượng và mô men lực còn tùy thuộc vào điểm để tính mô men. Bây giờ ta bàn tiếp số hạng thứ hai trong công thức (6). Số hạng này chỉ triệt tiêu nếu một trong ba điều kiên sau đây được thỏa mãn: r r a) aP  0 . Điểm P đứng yên (hay chuyển động thẳng đều) r r dLP   M P (P cố định) (7) dt r r b) rG  rP hay P  G . Khi ấy ta có: r r dLG   M Gex dt uuur r r r r c) Gia tốc aP / /  rG  rP  hay aG / / PG . Khi ấy ta có: r r r uuur dLP   M Pex aP / / PG (9) dt  9. Các chú ý về toán học: ur  ur Cho hai vec tơ: A  (ax , a y , az ) , B  (bx , by , bz ) ur ur + Tích vô hướng của hai vec tơ: A.B  (axbx  a y by  azbz ) ur ur r r r + Tích có hướng của hai vec tơ: A  B  i (a y bz  az by )  j (az bx  axbz )  k (axby  a ybx ) rr r Với i, j, k là các vec tơ đơn vị của các trục Ox, Oy, Oz II. BÀI TẬP VÍ DỤ Ví dụ 1. Hai chất điểm A và B giống hệt nhau, có khối lượng m liên kết với nhau bằng một thanh chiều dài là b, khối lượng không đáng kể. A dịch chuyển trên vòng tròn tâm O bán kính b và thanh AB có thể dao động quanh một trục đi qua A và vuông góc mặt phẳng như hình vẽ. Tính tổng động lượng và mô men O  A  B động lượng đối với O của hệ AB theo các góc ,  và đạo hàm của chúng theo thời gian. Giải Cách 1: ur r r Ta có: p  mv( A)  mv( B) uur uuu r r uuu r r LO  OA  mv ( A)  OB  mv( B) uuu r Với OA  (b cos  , b sin  , 0) r uuu r suy ra v( A)  OA '  (b 'sin  , b ' cos , 0) uuu r và OB  (b(cos   cos ), b(sin   sin  ), 0) r uuu r v( B )  OB '  (b( 'sin    'sin ), b( ' cos   ' cos ), 0) ur r r Suy ra p  mv( A)  mv( B )  m(b(2 'sin    'sin ), b(2 ' cos   ' cos ), 0) uur uuu r r uuu r r ur Và LO  OA  mv( A)  OB  mv( B)  mb 2 (2 '  ' 2 ' cos(   ))ez ur Với ez là vec tơ đơn vị của trục Oz vuông góc, đi ra ngoài mặt phẳng hình vẽ Cách 2: Chúng ta có thể dùng định lý Koenig bằng cách đưa vào khối tâm G (trung điểm của AB) của hệ. uuur 1 2 1 2 Ta có OG  (b(cos   cos ), b(sin   sin  ), 0) uu r uuur 1 2 1 2 Và vận tốc khối tâm G là: vG  OG '  (b( 'sin    'sin ), b( 'cos    ' cos ), 0) Mô men động lượng của hệ đối với khối tâm G: r uuu r uuu r r uuu uuu r uuu r r r r r r L*G  GA  mv ( A)*  GB  mv ( B)*  2GB  mv ( B)* vì GA  GB và v ( A)*  v ( B)* uuur 1 1 GB  ( bcos , b sin  , 0) 2 2 1 1 r v ( B )*  (  'sin , b ' cos , 0) 2 2 Rõ ràng là ta tìm được ur r p  2mv (G )  m(b(2 'sin    'sin ), b(2 ' cos   ' cos ), 0) Và tổng mô men động lượng của hệ: uur r* uuur ur r LO  LG  OG  2mv (G )  mb 2 (2 '  ' 2  ' cos(   ))ez Ví dụ 2 Một thanh AB đồng nhất, có tâm G, khối lượng m được treo trên hai dây nhẹ giống nhau AA’ và BB’ có chiều dài b. Thanh dao động trong mặt phẳng thẳng đứng, hai dây AA’ và BB’ luôn song song với nhau. a) Tính động năng của thanh theo đạo hàm  ' của góc nghiêng  của các dây ở một thời điểm cho trước. b) Tìm chu kỳ dao động nhỏ của thanh. Giải a) Định lý Koenig đối với động năng cho ta: K A’ B’   A G 1 2 mv (G )  K * (G ) 2 Trong HQC R* (G,x,y,z) thanh đứng yên và K * (G)  0 nên: K 1 2 1 mv (G )  mb 2 '2 (1) 2 2 b) Chọn mốc thế năng tại vị trí thấp nhất của thanh trong quá trình dao động + Thế năng của thanh là: U  mgb(1  cos ) (2) 1 2 + Cơ năng của hệ là: E  K  U  mb2 '2  mgb(1  cos )  mgb(1  cos 0 )  const (3) Đạo hàm theo thời gian hai vế của (3) ta được:  " b  g sin   0 (4) Với   10o  sin    (rad ) thì phương trình (4) trở thành:  "  2  0 với  2  g b B Vậy chu kỳ dao động nhỏ của thanh là: T  2 b  2  g Ví dụ 3  Một vòng tròn đồng nhất có tâm O, khối lượng m, bán kính a quay với tốc độ  không đổi quanh trục cố định của nó. Tính mô men động lượng của vòng tròn ở O và động năng của vòng tròn đó. Giải uuuu r ur Điểm M của vòng tròn được xác định bởi các tọa độ cực: OM  aer r uu r Vận tốc của M là: v( M )  a e Từ đây suy ra: + Mô men động lượng đối với O: uur LO  uuuu r r ur 2 OM  v ( M ) dm  ma  e z  vòng + Mô men lực đối với O: uuur d uur d uuuu r r ur r d M O  LO  OM  v( M )dm  (ma 2 )ez  0  dt dt vòng dt 1 2 1 2 + Động năng K  J  2  ma 2 2 Ví dụ 4 Chứng minh định lý Huygens bằng cách: a) Dùng định lý Koenig đối với mô men động lượng. b) Dùng chứng minh hình học. Giải a) Gọi A là điểm cố định của trục . + Trong R: L  J G  uur uur ur uuur r r ur ur uuu + Theo định lý Koenig: L  LA .ez   AG  mv(G )  ez  L*G .ez r ur uuur Với v(G )  ez  AG uuur r ur 2 2 2 AG  mv ( G ) e Từ đó: z  m  AG  AH G    ma    ur ez uur uur ur Trong R*: L*  L*G .ez  J G  Từ đó: J   ma 2  J G b) H và HG là hình chiếu của một điểm M của vật rắn tương ứng trên  và G, ta có: J    HM 2 dm và J G   H G M 2 dm S S uuuur 2 uuuuur uuuuuu r 2 uuuuur uuuuuu r Nhưng HM  HH G  H G M  HH G2  H G M 2  2 HH G .H G M   Với HH G  a là khoảng cách giữa hai trục  và G và uuuuur uuuuuu r uuuuur uuuu r uuuuur uuuuu r r HH G .H G M  HH G .GM vì HH G .H G G  0 uuuuur Để ý rằng vec tơ HH G là độc lập với điểm M, từ đó lấy tổng cho cả vật rắn S ta suy uuuuur uuuu r 2 ra: J   ma  J G  2 HH G  GMdm S Số hạng cuối cùng của biểu thức này bằng không theo định nghĩa của khối tâm G nên: J   ma 2  J G Ví dụ 5 Xét một con lắc treo ở điểm O cố định gồm thanh OA khối lượng không đáng kể và chiều dài là R, người ta hàn vào thanh một dây thuần nhất khối lượng m có dạng là một nửa vòng tròn mà thanh OA là bán kính. Vị trí của con lắc được xác định theo góc  giữa thanh OA và đường thẳng đứng hướng xuống. Xác định tổng động lượng, mô men động lượng đối với O, mô men lực đối với O và động năng của con lắc phụ thuộc vào  và các đạo hàm của chúng. Giải Một điểm M của nửa vòng tròn được xác định bởi góc      với  = const (hình vẽ) uuuu r ur r uu r Từ đó: OM  Rer và v( M )  R ' e Từ đây ta suy ra: ur C r ur 2 + Động lượng: p  v( M )dm  mR ' ez  B uur C uuuu r uu r ur + Mô men động lượng: LO  OM  v(M )dm  mR ' ez B uur C uuur d L r uu r ur d uuuu O M   ( OM  v (M )dm)  mR '' ez + Mô men lực: O  dt dt B 1 2 Và động năng: K  mR 2 '2 Ví dụ 6. Một thanh AB đồng nhất chiều dài 2b và khối tâm G là trung điểm của AB. Thanh tựa lên mặt đất nằm ngang và gối lên một bức tường thẳng đứng. Vị trí của thanh được xác định theo góc uuu r uuur   Ox, OG , góc này thay đổi khi thanh trượt ở   A và B. y + B G r 1) Xác định các thành phần của vận tốc v(G ) của điểm G theo  và đạo hàm của . O ur 2) Tìm vec tơ quay  của thanh. Chú ý: cần chú ý đến dấu của các biểu thức khi tính toán. Giải. 1. Trong tam giác vuông OAB, trung tuyến OG có chiều dài b, từ đó: uuur OG   b cos  , b sin  , 0  r d uuur OG   b 'sin  , b ' cos , 0  (1) dt ur ur ur 2. Véc tơ quay của thanh hướng theo trục ez , ta đặt   ez r Ta cũng có thể viết biểu thức của v(G ) như sau: r r ur uuur v(G )  v( A)    AG Vận tốc khối tâm: v(G )  uuu r r uu r Biết rằng OA  2b cos  .ex suy ra v( A)  r r ur uuur r uu r d uuu OA  2b 'sin  .ex dt Từ đây suy ra: v(G )  v( A)    AG  (b(  2 ') sin  ; bcos ;0) (2) ur ur Cho (1) bằng (2) ta được    ' ez Ví dụ 7. x A Một con lắc kép gồm hai thanh OA và AB giống nhau, đồng chất, có khối lượng m, chiều dài 2b và nối khớp ở A. Hai thanh chuyển động trong mặt phẳng thẳng đứng Oxy và góc nghiêng của chúng O  G2 y A  được xác định bởi các góc ,  so với đường thẳng đứng Ox hướng xuống. Tính mô men động lượng đối x với O và động năng của con lắc kép này. Giải Thanh OA quay quanh trục Oz cố định, định lý Huygens cho: J OZ (OA)  mb 2  + G1 y’ B x’ 1 4 m(2b) 2  mb 2 12 3 Từ đó ta có mô men động lượng của thanh OA đối với điểm O: uur ur 4 ur LO (OA)  J Oz (OA). ' ez  mb 2 ' ez 3 Động năng của thanh OA: K (OA)  1 2 J Oz (OA). '2  mb 2 '2 2 3 Áp dụng định lý Koenig cho phép tính các phần tử động học của thanh AB: uur uuuur r ur LO ( AB )  OG2  mv(G2 )  J G2 z ( AB). ' ez K ( AB)  1 2 1 mv (G2 )  J G2 z ( AB). '2 2 2 2b cos   b cos  uuuur Biết rằng: OG2 2b sin   b sin  0 2b 'sin   b 'sin  r d uuuur Và vận tốc của G2 là v(G2 )  OG2  2b ' cos  b ' cos dt 0 Và J Gz ( AB )  1 1 m(2b) 2  mb 2  J 12 3 uur ur  2  2 Ta có: LO ( AB)   mb (4 '  ' 2( '  ')cos(   )  mb  '  ez 1 3    2 2 2 2 2 Và động năng: K ( AB)   mb (4 '   '  4 '. ' cos(   )  mb  '  1 2 Đối với cả hệ con lắc kép: 1 6  uur uur uur 4  16  ur LO  LO (OA)  LO ( AB)  mb 2   '  ' 2( '  ')cos(   )  ez 3 3  2 8  K  K (OA)  K ( AB )  mb 2   '2   '2  2 '. ' cos(   )  3 3  Ví dụ 8. Hai vật khác nhau có cùng khối lượng m trượt không ma sát trên mặt bàn nằm ngang. Thời gian đầu các vật này thực hiện trượt tịnh tiến( không quay) và các tâm của chúng có cùng vận tốc v dọc theo hai đường thẳng song song. Khoảng cách giữa các đường thẳng bằng d. Tại một thời điểm nhất định xảy ra va chạm đàn hồi lý tưởng giữa các vật. Sau va chạm, các vật thực hiện chuyển động tịnh tiến, quay và tiếp tục trượt trên mặt bàn, vận tốc góc của vật thứ nhất bằng 1 , của vật thứ hai bằng 2 . Mô men quán tính của chúng tính theo các trụ thẳng đứng đi qua khối tâm lần lượt là I1 và I2. a) Hãy chỉ ra rằng mô men xung lượng của vật tính theo điểm xác định bất kì của mặt bàn bằng tổng mô men xung lượng của vật tính theo khối tâm của nó. b) Tính khoảng cách d’ giữa các đường thẳng dọc theo khối tâm của hai vật chuyển động sau va chạm. c) Thừa nhận rằng, sau va chạm giá trị vận tốc của vật thứ nhất là v còn vật 2 thứ hai không quay. Hãy xét sự phụ thuộc của d’ vào d. Giải: a) Ta cần chứng minh: uur uur uu r uu r uur uu r uu r LO  LG  ( mi )rG  vG  LG  M rG  vG mi + u u r Xét phần tử mi trên vật rắn. Ta có: rG uur uu r u r uu r ur G O LO   mi (rG  ri )  (vG  vi ) uu r uu r u r uu r uu r ur u r ur  ( mi )rG  vG  ( mi ri )  vG  rG  ( mi vi )   mi ri  vi u r ri G u r r   mi ri  0 ur r Nhận xét:  m v   i i  0 uur uu r uu r u r ur LO  ( mi ) rG  vG   mi ri  vi Do đó uu r uu r uu r uu r  ( mi )rG  vG  M rG  vG u r ur uur Mặt khác,    mi ri  vi  LG uur uur uu r uu r nên LO  LG  M rG  vG (ĐPCM) b) Gọi v1' là vận tốc của vật 1 (của G1) sau va chạm. m G1 r v r v G2 Do hệ kín nên động lượng của hệ được bảo toàn dó đó: ur uu r uu r r r r ur' ur ' ' ' mv1  mv2  mv  mv  0  v1  v2  v ' Ta xét mô men động lượng của hệ đối với G2. Do không có ngoại lực nên mô men động lượng trước và sau va chạm là bằng nhau. Ta có, ban đầu thì LG2  mvd sau đó thì L 'G2  mv ' d ' I11  I 22 Mà 1 ; 2 có chiều như hình vẽ gọi là chiều dương nên mvd  mv ' d ' I11  I 22  d' mvd  I11  I 22 mv ' c) Với v '  d' v I , 2  0  d '  2 d  1 1 mv 2 2 <0 I1 m >0 >0 d Theo định luật bảo toàn năng lượng, ta có: 1 2 1 v 1 mv .2  m( ) 2 .2  I112 2 2 2 2  2mv 2  mv 2  I112  I112  mv 2  Vậy: uur uur 1 m   d' 2 d  v I1 I1 m uu r uu r a) LO  LG  M rG  vG b) d '  mvd  I11  I 22 mv ' c) d '  2 d  I1 m Ví dụ 9. Xét một hình bán trụ D đồng nhất, tâm C, khối tam G, bán kính R và khối lượng m. Hệ quy chiếu Trái Đất (Oxyz) được xem là quán tính. Tất cả đều nằm trong mặt phẳng thẳng đứng (Oxy). Ta kí hiệu I là điểm tiếp xúc giữa mặt đất và D. Ta xác định vị trí của D theo uur uuur tọa độ x của tâm C của nó theo góc   (CI , CG ) . I1 m Cho CG  b  4R . Hãy xác định phương trình chuyển động của D bằng cách: 3 a) Tính mô men lực của đĩa D đối với I. b) Vận dụng định lý mô men lực đối với I để tìm phương trình vi phân bậc hai của . c) Giả sử  rất nhỏ. Tuyến tính hóa phương trình vi phân có được ở câu b) để từ đó suy ra chu kỳ T0 của các dao động nhỏ của D quanh vị trí cân bằng. Giải a) Tính mô men lực của D ở I + Cách 1. Dùng định lý Koenig đối với mô men lực. uuur uur r ur M I  IG  ma (G )  J G " ez uuur ur 2 2 Ta tìm được: M I   ( J  m( R  2bR cos  )) " mRb ' sin   ez + Cách 2. Dùng định lý Koenig đối với mô men động lượng của D đối với I uu r uur r ur ur LI  IG  mv(G )  J G ' ez   J  m( R 2  2bR cos  )   ' ez uu r ur ur 2 L  J  ' e  J  m ( R  2 bR cos  )  ' e   z Hay là I I z uu r uuur d L ur Và dùng hệ thức M I  I   ( J  m( R 2  2bR cos  )) " mRb '2 sin   ez dt b) Vận dụng định lý về mô men lực đối với điểm I, phép chiếu lên trục Oz cho ngay kết quả (chỉ có mô men của trọng lực đối với I là khác không)  ( J  m( R 2  2bR cos  )) " mRb '2 sin     mgb sin  c) Nếu  rất nhỏ, phương trình trên được đơn giản thành: ( J  mR 2  2mbR ) "  mgb Như vậy vật hình bán trụ D thực hiện dao động nhỏ điều hòa quanh vị trí cân bằng  = 0 với chu kỳ: T0  2 J  mR 2  2mRb mgb Ta có mô men quán tính của D đối với trục qua C và vuông góc với D là J  Nên T0  2 (9  16 R ) 8g mR 2 2 Ví dụ 10. Xét một khối lăng trụ đáy là lục giác đều, dài và cứng,  giống như một cái bút chì thông thường. Khối lượng của nó là M và được phân bố đều. Tiết diện thẳng của nó là một hình lục giác đêu cạnh a. Mômen quán tính của khối lăng trụ lục giác đối với 5 trục xuyên tâm là I  12 Ma 2 . a) Ban đầu khối lăng trụ nằm yên trên một mặt phẳng nghiêng làm với mặt ngang một góc nhỏ . Trục của lăng trụ nằm ngang. Cho rằng các mặt của khối lăng trụ hơi lõm một chút sao cho khối trụ chỉ tiếp xúc với mặt phẳng nghiêng ở cạnh của nó. Bỏ qua ảnh hưởng của sự lõm ấy đối với mômen quán tính. Khối trụ ấy bị đẩy cho dịch chuyển và bắt đầu lăn xuống trên mặt nghiêng. Cho rằng do ma sát mà khối trụ không trượt và luôn chạm vào mặt nghiêng. Vận tốc góc của nó ngay trước khi một cạnh của nó đập vào mặt nghiêng là i và ngay sau khi cạnh ấy đập vào mặt nghiêng là f . Chứng minh rằng ta có thể viết : f = si , tìm s. b) Động năng của khối trụ ngay trước và ngay sau khi một cạnh đập vào mặt nghiêng là Ki và Kf. Chứng minh rằng : Kf = r. Ki. Tìm r. c) Để có lần va đập tiếp theo thì K i phải vượt qua giá trị Ki min , mà ta có thể viết dưới dạng: Ki min = Mga, trong đó g = 9,81 m/s 2. Tính giá trị của  theo góc nghiêng  và hệ số r. d) Giả sử điều kiện trong phần c) được thỏa mãn, động năng K i sẽ dần tới một giá trị không đổi Kio khi khối trụ lăn xuống trên mặt phẳng nghiêng. Biết rằng giá trị ấy tồn tại, chứng minh rằng K io có thể viết dưới dạng : Kio = kMga, tìm biểu thức của k theo  và r. e) Tính chính xác đến 0,1o góc nghiêng thối thiểu o để cho quá trình lăn một khi đã được khởi động, sẽ tiếp diễn mãi mãi. Giải. a) Cách 1. - Trước va đập, khối trụ quay quanh trục I, sau va đập nó quay quanh trục F. Xung lực xuất hiện khi va chạm đi qua F, vậy : Mômen động lượng L của khối trụ đối với trục F được bảo toàn trong quá trình va chạm. Ta có : Trước va đập : Li = Mômen động lượng quanh khối tâm C + Mômen động lượng của khối tâm quanh trục quay F bằng (theo định lý Koenig) uur uur uuur uu r LF  LG  ( FC  M vci ). uuu r ur uuur uu r LFi  I C i ez  ( FC  M vci ) ur với ez là vec tơ đơn vị của trục hình trụ C  Li = ICi + vci.cos60o.a.M (1) Vì vci = i.a và 5 IC  Ma 2 12  nên vci 2  5   11Ma i Li  Ma 2  i  i   (2) 2  12  12 Sau va đập : L f  I f  f  17 Ma 2 f 12  F  (3)  f 11 11Ma 2i 17 Ma  f  s  12 12 i 17 2 Suy ra : Li = Lf  lưu ý s không phụ thuộc , a i Cách 2. Khi cạnh khối trụ va đập vào mặt nghiêng (trong thời gian dt) thì có phản lực N tác dụng lên khối trụ, do có ma sát nên N không vuông góc với mặt nghiêng. + Thành phần song song với mặt nghiêng là N//. + Thành phần vuông góc với mật nghiêng là N. Lấy trục song song với mặt nghiêng hướng từ thấp đến cao, trục vuông góc với mặt nghiêng hướng từ dưới lên trên. Ta có: N // dt  M ( f  i ) a.sin 30 0  m( f  i ) a 3 2 N  dt  M ( f  i )a. cos 30 0  m( f  i ) a Mặt khác: N  dt.a (4) 1 (5) 2 1 3  N // dt.a  I C ( f   i )(6) 2 2 (định lí biến thiên mômen động lượng đối với C) Từ (4), (5), (6) loại N// và N ta cũng được : s  f 11  i 17 b) Tốc độ dài của khối tâm ngay trước lúc va đập là ai và ngay sau lúc va đập là af.