Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi môn vật lý thpt chuyên đề mô men động lượng và định luật bảo toàn mô men động lượng trong chuyển động của vật rắn

Hội thảo các trường chuyên Duyên Hải Bắc Bộ 2013 MÔ MEN ĐỘNG LƯỢNG VÀ ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN MÔ MEN ĐỘNG LƯỢNG TRONG CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN Mô men động lượng là đại lượng vật lý thường được đề cập đến sau cùng trong các kiến thức về cơ học. Các bài tập cần dùng đến mô men động lượng và định luật bảo toàn mô men động lượng cũng không nhiều và thường chỉ sử dụng trong các bài toán về chuyển động của vật rắn. Chính vì vậy, học sinh thường không chú trọng đến vấn đề này trong khi giải các bài tập, mặc dù đây là phần kiến thức cơ bản và quan trọng. Chính vì vậy, tôi viết chuyên đề này với mục đích tổng hợp, làm sâu sắc hơn nữa khái niệm về mô men động lượng và định luật bảo toàn mô men động lượng trong chuyển động của vật rắn. Kính mong được quý thầy cô đóng góp để chuyên đề được đầy đủ, phong phú hơn. I. Cơ sở lý thuyết 1. Mô men động lượng  Mô men động lượng của chất điểm m đối với một điểm O: uur r r r uuuu r L O  r  mv trong đó r  OM chỉ ra vị trí của chất điểm m.  r r r mv Mô men động lượng của vật rắn đối với một điểm O : O uur r uu r L O   ri  mi vi uur uur uuu r ur Mô men động lượng của vật rắn đối với khối tâm : L G   riG  m i vω.I iG  G uur uur uuur uur Ta chứng minh được : L O  LG  OG  mvG (định lý Kơ-nic) uur ur Với trục O cố định : Lω.I O  O 2. Định lí biến thiên và định luật bảo toàn mô men động lượng Độ biến thiên mô men động lượng của một vật rắn (hay một hệ chất điểm) bằng tổng mô men uuu r ΔL  xung lượng của các ngoại lực:  uu r MΔt ngoailuc Do đó, nếu không có ngoại lực tác dụng hoặc nếu tổng mô men xung lượng của các lực bằng 0 thì mô men động lượng của vật rắn (hay hệ chất điểm) được bảo toàn. II. Bài tập vận dụng Định lý biến thiên và định luật bảo toàn mômen động lượng thường được sử dụng hiệu quả trong các trường hợp sau đây: Hội thảo các trường chuyên Duyên Hải Bắc Bộ 2013  Bài toán va chạm của vật rắn.  Bài toán chuyển động của cơ hệ mà trong đó cơ năng bị thay đổi. Bài 1: Đặt trên một mặt phẳng nằm ngang, nhẵn một thanh mảnh đồng chất, chiều dài l , có khối lượng M. Một vật nhỏ khối lượng m được bắn đến với vận tốc ban đầu v o vuông góc với thanh, va chạm đàn hồi với đầu thanh. Tìm vận tốc của mỗi vật sau va chạm? Giải: Giả sử sau va chạm khối tâm của M có vận tốc vG, và vận tốc góc ω còn m có vận tốc v. Các lực tác dụng vào hệ vật là các trọng lực và phản lực có phương thẳng đứng nên động lượng được bảo toàn: mvo=mv+MvG (1) Các lực tác dụng có phương thẳng đứng, song song với trục quay đi qua tâm của thanh và có phương thẳng đứng nên tổng mômen lực bằng 0. Theo định luật bảo toàn mômen động lượng (MMĐL) l l Ml 2 mv o  mvω 2 2 12 đối với trục quay đi qua tâm của thanh (2) Theo định luật bảo toàn cơ năng: 1 1 1 1 Ml 2 2 mvo 2  mv 2  Mvω  G 2 2 2 2 12 2 2 Từ (1) và (2) : ωl  6v G thay vào (3): v o  v  4 2 (3) M 2 vG (4) m Bình phương biểu thức (1): v o 2  v2  2 M M2 vv G  2 v G 2 (5) m m Trừ vế với vế (4) và (5) cho nhau: v G  2m 4m  M v . Thay vào (1) : v  vo 4m  M 4m  M vG  có: 2m 12m v o vo ; ω  4m  M 4m  M l Bài 2: Một quả cầu đặc đồng chất khối lượng m, bán kính R được làm quay với vận tốc góc ω o quanh khối tâm đang đứng yên ở độ cao h. Thả cho quả cầu vừa quay vừa rơi tự do xuống sàn. Bỏ qua sức cản không khí. Ngay sau lần nảy lên đầu tiên quả cầu không quay nữa và động năng giảm n lần so với ngay trước khi va chạm. Xác định thành phần vận tốc nằm ngang và thẳng đứng của quả cầu ngay sau lần đầu tiên va chạm. Giải: Hội thảo các trường chuyên Duyên Hải Bắc Bộ 2013 Trước khi va chạm với sàn, khối tâm của quả cầu có vận tốc, ω tốc độ quay được giữ không đổi so với ban đầu. Động năng của quả cầu khi vy đó: h vx Wd  1 1 mvG 2  Iω G 2 2 2 1 mg(h R)  I ω G 2 2 1 mg(h R)  mR ω2 5 2 Khi va chạm với sàn, các lực tương tác với sàn khi va chạm và trọng lực của quả cầu đều đi qua điểm tiếp xúc nên mô men động lượng đối với điểm tiếp xúc K được bảo toàn : uuu r uur uuur uur L K  LG  KG  mv G ωIG 2ωR  mR 5 LK trước=LG=ωIG; LK sau=mRvx  vx  ' Động năng sau va chạm: Wd  W 1 1 1 2 m  v x 2  v y 2   d  mg(h  R)  mRω 2 n n 5n  vy  2 10  4n g  h  Rω  R n 25n 2 2 2 Bài 3: Một thanh đồng chất OA có chiều dài L, khối lượng M quay không ma sát quanh O đầu O cố định của nó. Lúc đầu thanh được giữ nằm ngang, sau được thả rơi không vận tốc đầu. Khi thanh tới vị trí thẳng đứng, đầu A của nó đập vuông góc vào một vật B có kích thước nhỏ, khối lượng m, đặt trên một giá đỡ. Xác định vận tốc của hai vật sau va chạm. Xét hai trường hợp: B a) Va chạm là va chạm mềm b) Va chạm là hoàn toàn đàn hồi Giải:  Xét quá trình rơi của thanh OA: Định luật bảo toàn cơ năng: MgL  Mg  ωo   L 1  Iω O 2 2 2 o 3g L Xét quá trình va chạm:  Mg L 1 ML2  ω 2 2 3 2 o A Hội thảo các trường chuyên Duyên Hải Bắc Bộ 2013 a) Va chạm là va chạm mềm: sau va chạm hệ có vận tốc góc ω Định luật bảo toàn mô men động lượng với trục quay qua O:  ML2  ML2 M 3g ωo    mL2  ω  ω  3 M  3m L  3   vB  M 3gL M  3m b) Va chạm là đàn hồi Định luật bảo toàn mô men động lượng : ML2 ML2 ωo  3 3 3g ML2  ω  mv B L L 3 MgL 1 ML2 2 1 Định luật bảo toàn cơ năng:  ω  mv B 2 2 2 3 2 vB  Giải hệ phương trình ta được: ω 2M 3gL M  3m M  3m 3g M  3m L Bài 4: Một sợi dây vắt qua ròng rọc cố định, một đầu dây buộc vào vật khối lượng M, đầu kia có một con khỉ có khối lượng cũng bằng M bám vào. Ròng rọc có bán kính R, khối lượng m=M/4 và được phân bố đều ở vành ngoài. Con khỉ bắt đầu leo lên dây với vận tốc u so với dây. Tìm vận tốc của vật M. Biết dây không trượt trên ròng rọc. Giải: Khi con khỉ chuyển động với tốc độ u so với dây, thì vật M đi lên với vận tốc v so với mặt đất. Hệ chịu tác dụng của ngoại lực đó là 3 trọng lực tác dụng vào 3 vật. Vì con khỉ v và vật có khối lượng bằng nhau nên trọng lực bằng nhau. Do đó, tổng mô men lực đối với tâm ròng rọc bằng 0. Vậy, mômen động lượng đối với điểm này bảo toàn: L bandau  0  Lsau  MvR  Iω  M(v  u)R  MvR  Mà dây không trượt trên ròng rọc nên Rω=v Giải hệ phương trình ta tìm được: v  4u 9 M 2 R ω  M(v  u)R 4 u Hội thảo các trường chuyên Duyên Hải Bắc Bộ 2013 Lưu ý: có thể có học sinh giải như sau: Wdau  1 1 1 1 Mu 2  Wsau  Mv 2  Iω2  M(v  u)2 2 2 2 2 Với Rω=v vì dây không trượt trên ròng rọc. Từ đó giải hệ phương trình ta được v  8u . 9 Tuy nhiên cách giải này là sai vì ở đây cơ năng không được bảo toàn mà luôn thay đổi do con khỉ cung cấp cho hệ thêm cơ năng bằng sức của nó! Bài 5: Một chiếc đu được coi như một thanh cứng. Người đu có thể thay đổi vị trí rất nhanh sao cho trong khoảng thời gian thay đổi vị trí đu coi như không dịch chuyển. Ban đầu đu được nâng lên một góc θo nhỏ rồi thả ra. Người đu đứng lên hoặc ngồi xuống mỗi lần đu đến vị trí biên hoặc đi qua vị trí thẳng đứng, sao cho người đu làm đu có biên độ góc tăng dần. Lúc đó người đang đứng, khối tâm của hệ ở G1, mô men quán tính của hệ so với tâm quay là I 1. Khi người ngồi xuống, khối tâm của hệ ở G2, mô men quán tính của hệ so với tâm quay là I 2. Người đu phải đứng lên ngồi xuống như thế nào? Sau khoảng bao nhiêu lần đi qua vị trí cân bằng thì đu có thể ở vị trí nằm ngang? Giải: Nhận xét, tại ví trí đu thẳng đứng, các ngoại lực tác dụng vào hệ vật có phương đi qua tâm quay nên mômen động lượng được bảo toàn, tức là tích Iω tại đây không thay đổi. Để đu có biên độ góc tăng dần, người phải thay đổi vị trí hợp lí để tại vị trí đu thẳng đứng, khi người thay đổi vị trí thì tốc độ góc của đu tăng lên, tức là mômen quán tính giảm xuống. Mà mômen quán tính của hệ so với tâm quay O: I=I thanh+m.ON2. Trong đó N là vị trí của người trên thanh. Để giảm I thì ON phải giảm, vậy người phải đứng lên mỗi lần đu qua vị trí thẳng đứng, do đó tại vị trí biên người phải ngồi xuống.  Khi đi từ biên về vị trí thẳng đứng lần đầu tiên, người ngồi (trạng thái 2), theo định luật 1 2 bảo toàn cơ năng: Mg.OG 2 .(1  cosθ o )  I 2ωo (*) 2  Tại vị trí thẳng đứng, người đứng lên, theo định luật bảo toàn mômen động lượng: Iω 2 o I ω 1 o' (1) Hội thảo các trường chuyên Duyên Hải Bắc Bộ 2013  Khi đi từ vị trí thẳng đứng ra biên lần đầu tiên, người đứng (trạng thái 1), theo định luật bảo toàn cơ năng:  1 2 Iω 1 o ' Mg.OG 1.(1 cosθ 1) (2) 2 Tại biên, người ngồi xuống chỉ để làm thay đổi mômen quán tính của hệ vì lúc này vận tốc góc bằng 0  Khi đi từ biên về vị trí thẳng đứng lần thứ hai, người ngồi (trạng thái 2), theo định luật bảo toàn cơ năng: Mg.OG 2 .(1  cosθ1 )  1 I 2 ω12 (3) 2 2 Chia vế với vế của (2) và (3) cho nhau, rồi rút ωo’ từ (1) thế vào ta có ω1  I 2 .OG 2 2 ωo  kωo 2 I1.OG1 Như vậy, cứ sau ½ chu kì (từ vị trí thẳng đứng ra biên rồi quay về vị trí thẳng đứng) bình phương tốc độ góc tăng k lần. Để đu đạt trạng thái nằm ngang thì nó phải đạt tốc độ ωn thỏa mãn: 1 2 Iω 1 n Mg.OG 1 2 2 n 2 Mà ωn  k ωo , n là số lần đu đi qua vị trí cân bằng  kn   2Mg.OG1 1 2   2 (thay (*) vào và lấy gần đúng với θo nhỏ). 2 ωo .I1 1  cosθ o θ o θ 2  ln  o  2  n  1 ln k Phần bài tập tự giải: Bài 6: Một quả bi-a có khối lượng m, đang nằm trên mặt bàn có hệ số ma sát trượt μ t. Tại thời điểm ban đầu, truyền cho quả bia vận tốc v o theo phương ngang, khi ấy b-a không quay. Ngay sau đó, bi-a quay và cuối cùng lăn không trượt trên mặt bàn. a) Tìm sự phụ thuộc vào thời gian của vận tốc dài và vận tốc góc của quả bi-a. Khi quả bi-a bắt đầu lăn không trượt thì vận tốc dài của nó bằng bao nhiêu? b) Tính mômen động lượng ban đầu và mômen động lượng khi bi-a lăn không trượt đối với trục quay nằm trên mặt bàn và vuông góc với vận tốc của quả bi-a. c) Tính công của lực ma sát trượt tác dụng lên quả bi-a. Bài 7: Hội thảo các trường chuyên Duyên Hải Bắc Bộ 2013 Một thanh mỏng thẳng, đồng chất có chiều dài l, lúc đầu được đặt nằm ngang. Tâm của thanh được giữ cố định sao cho thanh có thể quay trong mặt phẳng thẳng đứng. Một con nhện rơi thẳng đứng với vận tốc vo vào điểm chính giữa của đoạn đầu mút và tâm quay. Khối lượng của nhện bằng khối lượng của thanh. Khi vừa chạm thanh, nhện bò dọc theo thanh sao cho tốc độ góc của thanh không đổi. Hãy xác định giá trị cực đại của v o để sao cho nhện có thể đi đến đầu mút của thanh. Cho rằng nhện rời khỏi thanh khi thanh ở vị trí thẳng đứng. Bài 8: (đề thi chọn học sinh giỏi quốc gia năm 2007) Một vật hình trụ có chiều cao h, bán kính đáy R, khối lượng m đang lăn không trượt trên mặt sàn nằm ngang thì va chạm vào tường thẳng đứng (trục của trụ luôn song song với sàn và tường). Hệ số ma sát giữa trụ và tường là μ. Vận tốc dài của trụ trước va chạm là vo. Sau va chạm, thành phần nằm ngang của vận tốc giảm một nửa về mặt độ lớn. Biết mômen quán tính của trụ với trục của nó là I  vo 2 mR 2 . Bỏ qua tác dụng của trọng lực trong 5 O R lúc va chạm và bỏ qua ma sát lăn. a) Mật độ khối lượng của trụ được phụ thuộc vào khoảng cách r từ điểm đang xét tới trục  r2  m ρ  A. 1  (kg / m 3 ) . Xác định A. của nó theo biểu thức:  2  2  R R h b) Xác định động năng của trụ và góc giữa phương chuyển động của nó và phương ngang ngay sau va chạm. Áp dụng trường hợp μ  1 1 và μ  8 5 Danh mục tài liệu tham khảo 1. Chuyên đề bồi dưỡng học sinh gỏi vật lý. Tập 1_ Cơ học. Nhà xuất bản Giáo dục. 2. Bồi dưỡng học sinh giỏi vật lí trung học phổ thông. Bài tập Cơ học – Nhiệt học. Nhà xuất bản Giáo dục. 3. Các đề thi học sinh giỏi Vật lí.