Tài liệu Đáp án đề thi cao đẳng môn toán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2012 Môn: TOÁN; Khối A, Khối A1, Khối B và Khối D (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) Câu 1 (2,0 điểm) Đáp án Điểm a) (1,0 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = 2x + 3 x +1 (1). • Tập xác định: R \ {−1}. • Sự biến thiên: - Đạo hàm: y ' = −1 2 0,25 , y ' < 0 , ∀x ≠ −1. ( x + 1) - Hàm số nghịch biến trên các khoảng (− ∞; −1) và (−1; + ∞). - Giới hạn và tiệm cận: lim y = lim y = 2 ; tiệm cận ngang y = 2. x→ − ∞ x→ + ∞ lim y = − ∞ và x → ( − 1) − lim y = + ∞ ; tiệm cận đứng x = −1. x → ( − 1) + 0,25 - Hàm số không có cực trị. - Bảng biến thiên: x −∞ −1 − y' y +∞ − +∞ 2 0,25 2 −∞ • Đồ thị: y 3 0,25 2 3 3 − 2 -1 O x b) (1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số (1), biết rằng d vuông góc với đường thẳng y = x + 2. d vuông góc với đường thẳng y = x + 2 ⇔ d có hệ số góc bằng −1. Hoành độ tiếp điểm là x0 : y '( x0 ) = −1 ⇔ 2 (2,0 điểm) ⎡ x0 = 0 −1 = −1 ⇔ ⎢ 2 ( x0 + 1) ⎣ x0 = −2 0,25 0,25 x0 = 0 : Phương trình tiếp tuyến d là y = − x + 3. 0,25 x0 = −2 : Phương trình tiếp tuyến d là y = − x − 1. 0,25 a) (1,0 điểm) Giải phương trình: 2cos 2 x + sin x = sin 3 x. Phương trình đã cho tương đương với: 2cos 2 x + sin x − sin 3 x = 0 ⇔ 2cos 2 x − 2cos 2 x sin x = 0 1/4 0,25 ⎡ cos2 x = 0 ⇔ 2cos 2 x(sin x − 1) = 0 ⇔ ⎢ ⎣sin x = 1 cos 2 x = 0 ⇔ x = sin x = 1 ⇔ x = π 2 π 4 +k π 0,25 . 2 0,25 + k 2π . 0,25 b) (1,0 điểm) Giải bất phương trình log 2 ( 2 x ) .log 3 ( 3 x ) > 1 . 3 (1,0 điểm) Điều kiện x > 0. Bất phương trình tương đương với (1 + log 2 x )(1 + log 3 x ) > 1 0,25 ⎡log x < − log 2 6 ⇔ (1 + log 2 x)(1 + log 3 2.log 2 x) > 1 ⇔ log 2 x [ (log3 2).log 2 x + log3 6] > 0 ⇔ ⎢ 2 ⎣log 2 x > 0 0,25 1 log 2 x < − log 2 6 ⇔ 0 < x < . 6 0,25 ⎛ 1⎞ log 2 x > 0 ⇔ x > 1 . Tập nghiệm của bất phương trình đã cho: ⎜ 0; ⎟ ∪ (1; +∞ ) . ⎝ 6⎠ 0,25 3 Tính tích phân I = x ∫ x +1 0 Đặt dx. x + 1 = t ; dx = 2tdt ; x = 0 ⇒ t = 1; x = 3 ⇒ t = 2. 0,25 2 ∫ Ta có I = 2(t 2 − 1)dt. 0,25 1 2 ⎛ t3 ⎞ Suy ra I = 2 ⎜ − t ⎟ . ⎝3 ⎠1 0,25 8 I= . 3 4 (1,0 điểm) 0,25 Cho khối chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = a 2 , SA = SB = SC . Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ( ABC ) bằng 60o. Tính thể tích khối chóp S . ABC và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC theo a. Gọi H là trung điểm của BC ⇒ HA = HB = HC . Kết hợp với giả thiết SA = SB = SC suy ra SH ⊥ BC , ∆SHA = ∆SHB = ∆SHC . n = 60o. ⇒ SH ⊥ ( ABC ) và SAH S 0,25 H 2a B 60o C a 2 A ∆ABC vuông cân tại A : AC = AB = a 2 ⇒ BC = 2a ⇒ AH = a. 1 1 3a 3 ∆SHA vuông : SH = AH tan 60o = a 3 ⇒ VS . ABC = . AB. AC .SH = . 3 2 3 2/4 0,25 Gọi O, R lần lượt là tâm, bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC ⇒ O thuộc đường thẳng SH ⇒ O thuộc mặt phẳng ( SBC ) ⇒ R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆SBC . 0,25 2a 2a 3 SH . = = 2a ⇒ ∆SBC đều có độ dài cạnh bằng 2 a ⇒ R = o o 3 2sin 60 sin 60 0,25 Xét ∆SHA, ta có SA = 5 (1,0 điểm) Giải phương trình 4 x3 + x − ( x + 1) 2 x + 1 = 0 ( x ∈ \). 1 Điều kiện x ≥ − . Phương trình đã cho tương đương với: 2 (2 x)3 + 2 x = ( ) 0,25 3 2x + 1 + 2x + 1 (1) Xét hàm số f (t ) = t 3 + t trên \ . Với mọi t ∈ \, f '(t ) = 3t 2 + 1 > 0 . 0,25 ⇒ f (t ) đồng biến trên \ . Do đó (1) ⇔ 2 x = 2 x + 1. 0,25 Giải phương trình trên được nghiệm x = 1+ 5 . 4 0,25 6.a a) (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 2 x − 4 y + 1 = 0 và (2,0 điểm) đường thẳng d : 4 x − 3 y + m = 0. Tìm m để d cắt (C ) tại hai điểm A, B sao cho n AIB = 120o , với I là tâm của (C ). Đường tròn (C ) có tâm I (1;2), bán kính R = 2 . 0,25 n = 120o ⇔ IH = IA cos60o = 1. Gọi H là hình chiếu của I trên d , khi đó: AIB 0,25 |m− 2| =1 5 ⎡m = 7 ⇔⎢ ⎣ m = −3. Do đó 0,25 0,25 b) (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng: ⎧x = t ⎪ d1 : ⎨ y = 2t (t ∈ \), ⎪z = 1 − t ⎩ ⎧ x = 1 + 2s ⎪ d 2 : ⎨ y = 2 + 2 s (s ∈ \). ⎪ z = −s ⎩ Chứng minh d1 và d 2 cắt nhau. Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng d1 , d 2 . ⎧t = 1 + 2s ⎪ Xét hệ ⎨2t = 2 + 2s (*) ⎪1 − t = − s ⎩ 0,25 ⎧t = 1 ⇒ d1 , d 2 cắt nhau. Giải hệ (*) được ⎨ ⎩s = 0 JJG JJG d1 có VTCP u1 = (1; 2; −1) , d 2 có VTCP u2 = ( 2; 2; −1) . Mặt phẳng cần tìm là mặt phẳng đi qua G G điểm I (0;0;1) ∈ d1 và có một VTPT là [u1 , u 2 ] = ( 0; −1; −2 ) . Phương trình mặt phẳng cần tìm: y + 2 z − 2 = 0. 7.a (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn (1 − 2i) z − 0,25 0,25 0,25 2−i = (3 − i ) z. Tìm tọa độ điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng tọa 1+ i độ Oxy. Phương trình đã cho tương đương với (1 − 2i) z − (3 − i) z = 3/4 2−i 1+ i 0,25 ⇔ (−2 − i) z = ⇔z= 1 − 3i 2 0,25 1 7 + i 10 10 0,25 0,25 ⎛1 7⎞ Điểm biểu diễn của z là M ⎜ ; ⎟ . ⎝ 10 10 ⎠ 6.b (2,0 điểm) a) (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC. Các đường thẳng BC , BB ', B ' C ' lần lượt có phương trình là y − 2 = 0, x − y + 2 = 0, x − 3 y + 2 = 0; với B ', C ' tương ứng là chân các đường cao kẻ từ B, C của tam giác ABC . Viết phương trình các đường thẳng AB, AC. ⎧x − y + 2 = 0 Tọa độ của điểm B ' là nghiệm của hệ ⎨ , giải hệ ta được ⎩x − 3y + 2 = 0 ⎧ x = −2 ⇒ B '(−2;0) ⎨ ⎩y = 0 0,25 Đường thẳng AC đi qua B ' và vuông góc với BB ' nên AC có phương trình x + y + 2 = 0. ⎧x − y + 2 = 0 Tọa độ của điểm B là nghiệm của hệ ⎨ , giải hệ ta được ⎩y − 2 = 0 ⎧x + y + 2 = 0 Tọa độ của điểm C là nghiệm của hệ ⎨ , giải hệ ta được ⎩y − 2 = 0 ⎧x = 0 ⇒ B (0; 2). ⎨ ⎩y = 2 ⎧ x = −4 ⇒ C ( −4;2). ⎨ ⎩y = 2 4 2 C '(3t − 2; t ) ∈ B ' C ', từ BC ' ⊥ CC ' suy ra C '(− ; ) hoặc C '( −2;0). 5 5 4 2 Nếu C '(− ; ) thì đường thẳng AB có phương trình là 2 x − y + 2 = 0. 5 5 Nếu C '(−2;0) thì đường thẳng AB có phương trình là x − y + 2 = 0. 0,25 0,25 0,25 x − 2 y +1 z +1 = = và mặt −1 −1 1 phẳng ( P) : 2 x + y − 2 z = 0. Đường thẳng ∆ nằm trong ( P) vuông góc với d tại giao điểm của d và ( P ). Viết phương trình đường thẳng ∆. b) (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : Gọi I là giao điểm của d và ( P) ; I (1; −2;0) . JJG JJG ( P) có một VTPT là nP = (2;1; −2) , d có một VTCP là ud = (−1; −1;1) . JJG JJG JJG JJG JJJG [ nP , ud ] = ( −1;0; −1) . ∆ nằm trong ( P) vuông góc với d ⇒ ∆ có một VTCP là u∆ = [nP ; ud ] . ⎧x = 1− t Phương trình đường thẳng ∆ : ⎪⎨ y = − 2 ( t ∈ \). ⎪ z = −t ⎩ 7.b (1,0 điểm) 0,25 0,25 0,25 0,25 Gọi z1 , z2 là 2 nghiệm phức của phương trình z 2 − 2 z + 1 + 2i = 0 . Tính z1 + z2 . Phương trình đã cho tương đương với ( z − 1) 2 − (1 − i ) 2 = 0 ⇔ ( z − i )( z − 2 + i ) = 0 0,25 0,25 ⎡z = i ⇔ ⎢ ⎣z = 2 − i z1 + z2 =| i | + | 2 − i |= 1 + 5. 0,25 0,25 ----HẾT---- 4/4