Tài liệu Skkn “chứng minh một vật, hệ vật dao động điều hòa dành cho lớp chuyên”.

“ Chứng minh một vật, hệ vật dao động điều hòa - dành cho lớp chuyên” BM 01-Bia SKKN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Đơn vị: trường THPT chuyên Lương Thế Vinh Mã số: ................................ (Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi) SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “CHỨNG MINH MỘT VẬT, HỆ VẬT DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA - DÀNH CHO LỚP CHUYÊN” Người thực hiện: Nguyễn Văn Cư Lĩnh vực nghiên cứu: - Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học bộ môn: Vật Lý - Lĩnh vực khác: .......................................................  (Ghi rõ tên lĩnh vực) Có đính kèm: Các sản phẩm không thể hiện trong bản in SKKN  Mô hình  Đĩa CD (DVD)  Phim ảnh  Hiện vật khác (các phim, ảnh, sản phẩm phần mềm) Năm học: 2014-2015 -0- “ Chứng minh một vật, hệ vật dao động điều hòa - dành cho lớp chuyên” SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN 1. Họ và tên: Nguyễn Văn Cư 2. Ngày tháng năm sinh: 22 - 04 - 1982. 3. Nam, nữ: Nam 4. Địa chỉ: SN 7B – tổ 3 – Kp.3 – P. Tân Hiệp – TP. Biên Hòa – Tỉnh Đồng Nai 5. Điện thoại: (CQ)/ (NR); ĐTDĐ: 0984678187 6. Fax: E-mail:[email protected]. 7. Chức vụ: Giáo viên. 8. Nhiệm vụ được giao: - Giảng dạy môn Vật lý lớp: 12Lý, 12 Hóa1,12Văn. Quản lý PTN Vật lý. - Dạy bồi dưỡng đội tuyển HSG Quốc gia, đội tuyển MTCT quốc gia. 9. Đơn vị công tác: trường THPT chuyên Lương Thế Vinh. II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO - Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Cử nhân. - Năm nhận bằng: 2004 - Chuyên ngành đào tạo: Sư phạm Vật Lý. III.KINH NGHIỆM KHOA HỌC - Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy Vật Lý. - Số năm có kinh nghiệm: 10 - Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: 1. “Ứng dụng CNTT trong dạy học Vật Lý ở trường THPT”. 2. “Website cá nhân: công cụ dạy học đắc lực cho giáo viên trong thời đại số” 3. “Phân loại và phương pháp giải bài tập phần mắt và các dụng cụ quang học theo định hướng thi TNKQ” 4. Phương pháp giải nhanh các bài toán về thời gian trong dao động điều hòa bằng cách sử dụng “sơ đồ phân bố thời gian”. 5. “Giáo trình tĩnh điện dành cho lớp chuyên” đồng tác giả: Nguyễn Thị Mỹ Hương; Trần Nguyễn Nam Bình; Nguyễn Thị Thúy Hằng. -1- “ Chứng minh một vật, hệ vật dao động điều hòa - dành cho lớp chuyên” Tên SKKN “CHỨNG MINH MỘT VẬT, HỆ VẬT DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA - DÀNH CHO LỚP CHUYÊN” Tài liệu viết ở dạng giáo trình cho giáo viên và học sinh các lớp chuyên sử dụng khi dạy, học chuyên đề dao động điều hòa. I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Dao động điều hòa là chương mở đầu của chương trình Vật lý lớp 12. Ở lớp chuyên nội dung này được dạy vào học kì 2 của lớp 11. Các bài tập về dao động điều hòa cũng thường xuyên xuất hiện trong phần cơ học của đề thi học sinh giỏi quốc gia. Các dạng bài tập nghiên cứu về các tính chất của một dao dộng điều hòa nói chung đã được viết khá chi tiết và đầy đủ trong nhiều giáo trình. Tuy nhiên vấn đề chứng minh một vật hoặc hệ vật dao động điều hòa tuy có số lượng không ít nhưng lại nằm rải rác trong rất nhiều tài liệu khác nhau gây khó khăn cho giáo viên khi giảng dạy, còn với học sinh do làm các bài tập rời rạc nên không thấy được hệ thống và tính logic của vấn đề. Việc chứng minh một vật hoặc hệ vật có dao động điều hòa là một vấn đề không đơn giản cho học sinh, kể cả học sinh các lớp chuyên. Vì để giải được các bài toán này đòi hỏi học sinh phải nắm chắc các kiến thức tổng hợp về: động lực học chất điểm, động lực học vật rắn, các định luật bảo toàn, các kiến thức về nhiệt học, điện học, từ học... Hiện giáo viên dạy chuyên cũng chưa có giáo trình nào giảng dạy chuyên về các bài tập dạng này. Xuất phát từ thực trạng trên chúng tôi đã chọn đề tài “Chứng minh một vật, hệ vật dao động điều hòa dành cho lớp chuyên” để làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm của mình. Đề tài đưa ra hai phương pháp chung để chứng minh một vật hoặc hệ vật dao động điều hòa là: phương pháp động lực học và phương pháp năng lượng sau đó chia các bài tập theo dạng từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp có tính hệ thống và tính logic giúp học sinh dễ theo dõi và tiếp thu hơn. Việc thực hiện đề tài này cũng giúp bản thân và đồng nghiệp có một tài liệu tham khảo hữu ích khi dạy chuyên đề về dao động điều hòa. Vì sau mỗi bài tập tối thiểu trên lớp hoặc bài tập tự giải đều có nhận xét kết quả và mục đích của bài tập nhằm phục vụ yêu cầu sư phạm nào. II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Phương pháp chung chứng minh một vật hoặc hệ vật dao động điều hòa. 1. Phương pháp động lực học. + Chọn hệ quy chiếu sao cho việc giải bài toán là đơn giản nhất. -2- “ Chứng minh một vật, hệ vật dao động điều hòa - dành cho lớp chuyên” ur r uu r uu r uu r r F hl  0  F1  F2  ...  Fn  0 + Xét vật ở VTCB : chiếu lên hệ trục tọa độ để thu được phương trình vô hướng: F1  F2  F3  ...  Fn  0 (1) + Xét vật ở thời điểm t, có li độ là x : áp dụng định luật 2 Newton, ta có: uur r uu r uur uur r Fhl  m.a  F1  F2  ...  Fn  m.a chiếu lên hệ trục tọa độ để thu được phương trinh vô hướng: .. (2) " 2 Thay (1) vào (2) phương trình có dạng: x   .x  0 . Phương trình này có nghiệm dạng: x  A.cos (.t   ) hoặc x  A.sin(.t   )  vật dao động điều hoà, với tần số góc là  . 2. Phương pháp năng lượng. + Chọn mốc tính thế năng, sao cho việc giải bài toán là đơn giản nhất. + Cơ năng của vật dao động là : E = Eđ + Et  1 1 1 .k . A2  .m.v 2  .k .x 2 2 2 2 (3) + Lấy đạo hàm hai vế theo thời gian t , ta được : 1 1 0  .m.2.v.v '  .k .2.x.x '  0  m.v.v '  k .x.x ' 2 2 . Mặt khác ta có : x’ = v ; v’ = a = x”, thay lên ta được : 0 = m.v.a + k.x.v  0  m.x"  k .x  x"  k k .x  0 2  m m . Vậy ta có : x"   2 .x  0 . Đặt Phương trình này có nghiệm dạng: x  A.cos (.t   ) hoặc x  A.sin(.t   )  Vật dao động điều hoà, với tần số góc là  . -3- “ Chứng minh một vật, hệ vật dao động điều hòa - dành cho lớp chuyên” III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP DẠNG 1: HỆ DAO ĐỘNG CHỈ GỒM VẬT VÀ LÒ XO. A. Bài tập tối thiểu Bài 1.1 Xét hệ gồm một lò xo nằm ngang có độ cứng k. Một đầu gắn cố định, đầu còn lại gắn vào một vật có khối lượng m có thể trượt không ma sát. Chứng tỏ vật do động điều hòa khi được kích thích theo phương ngang. m Giải C1: Phương pháp động lực học. Chọn hệ quy chiếu gắn với mặt đất. Hệ trục tọa độ như hình vẽ. O ur - Các lực tác dụng lên vật: Lực đàn hồi F dh , uu r ur N trọng lực P và phản lực của mặt sàn được biểu diễn như hình vẽ. - Phương trình định luật II Niutơn cho vật: uuu r ur uu r r Fdh  P  N  ma - Chiếu các lực lên trục Ox ta được: kx = mx " x" +  x" kx k 0 2  m m ta có: x" +  2 x  0 . . Đặt Phương trình này có nghiệm dạng: x  A.cos (.t   ) Vậy vật dao động dao động điều hoà với chu kì: T  2 m k . C2: Phương pháp năng lượng. + Chọn mốc tính thế năng đàn hồi tại vị trí vật khi lò xo không biến dạng -4- x x “ Chứng minh một vật, hệ vật dao động điều hòa - dành cho lớp chuyên” 1 1  E  kx 2  mv 2 2 2 + Cơ năng của hệ dao động khi vật có li độ x là : E = Eđ + Et + Lấy đạo hàm hai vế theo thời gian t , ta được : 1 1 0  .m.2.v.v '  .k .2.x.x '  0  m.v.v '  k .x.x ' 2 2 . Mặt khác ta có : x’ = v ; v’ = a = x”, thay lên ta được : 0 = m.v.a + k.x.v  0  m.x"  k .x  x"  k k .x  0 2  m m . Vậy ta có : x"   2 .x  0 . Đặt Phương trình này có nghiệm dạng: x  A.cos (.t   )  Vật dao động điều hoà, với tần số góc là  . NHẬN XÉT Đây là bài tập đơn giản nhất trong các bài toán chứng minh vật dao động điều hòa. Do vậy giáo viên chỉ cần gợi ý phương pháp động lực học nói chung là học sinh có thể làm được. Tập trung vào giải thích cho học sinh hiểu khái niệm phương trình vi phân và nghiệm của phương trình vi phân. MỤC ĐÍCH 1. Bước đầu làm quen với phương pháp chứng minh một vật dao động điều hòa. 2. Bước đầu làm quen với khái niệm phương trình vi phân và nghiệm của nó. 3. Phân biệt hai phương pháp giải: Phương pháp động lực học và phương pháp năng lượng. 4. Với những bài tập đơn giản như thế này phương pháp động lực học hay phương pháp năng lượng đều ngắn gọn như nhau. Nhưng việc trình bày cả hai phương pháp là rất quan trọng vì nó là bài đơn giản về hiện tượng vật lí nên có thể tập trung vào phương pháp -5- “ Chứng minh một vật, hệ vật dao động điều hòa - dành cho lớp chuyên” Bài 1.2 Xét hệ gồm một lò xo có độ cứng k. Một đầu gắn cố định lên giá đỡ, đầu còn lại treo vào một vật có khối lượng m. Khi cân bằng thì trục của lò xo có phương thẳng đứng. Bỏ qua mọi ma sát. Chứng tỏ vật do động điều hòa khi được kích thích theo phương thẳng đứng. Giải C1: Phương pháp động lực học. Chọn hệ quy chiếu gắn với mặt đất. Hệ trục tọa độ như hình vẽ. ur ur F dh - Các lực tác dụng lên vật: Lực đàn hồi và trọng lực P . l0 O được biểu diễn như hình vẽ. - Phương trình định luật II Niutơn cho vật: uuu r ur r Fdh  P  ma x uuu r ur r F - Tại vị trí cân bằng: dh  P  0 - Chiếu các lực lên trục Ox ta được: k l0  mg  0 (1) Khi vật có li độ x: k (l0  x)  mg  ma (2). Thay (1) vào (2) ta có: kx = mx "  x" kx k 0 2  m m ta có: x" +  2 x  0 . . Đặt Phương trình này có nghiệm dạng: x  A.cos (.t   ) Vậy vật dao động dao động điều hoà với chu kì: T  2 m k . C2: Phương pháp năng lượng. + Chọn mốc tính thế năng đàn hồi tại tại vị trí vật khi lò xo không biến dạng và mốc tính thế năng hấp dẫn tại vị trí cân bằng của vật. + Cơ năng của hệ dao động khi vật có li độ x là : -6- “ Chứng minh một vật, hệ vật dao động điều hòa - dành cho lớp chuyên” 1 1  E  k (l0+x)2  mv 2  mgx=const 2 2 E = Eđ + Et + Lấy đạo hàm hai vế theo thời gian t , ta được: 0  k ( l0 +x).x'  mv.v ' mg.x '  0  k (l0 +x)  mx " mg  ( k l0  mg )  kx  mx "  0  kx  mx "  0 Đặt 2  . k m . Vậy ta có : x"   2 .x  0 Vậy vật dao động dao động điều hoà với chu kì: T  2 m k . NHẬN XÉT Đây là bài tập đơn giản. Do vậy giáo viên chỉ cần gợi ý phương pháp động lực học nói chung là học sinh có thể làm được. Tập trung vào phân tích cho học sinh sự khác biệt giữa thế năng đàn hồi và thế năng hấp dẫn và liệu rằng mốc thế năng khác nhau có được không. MỤC ĐÍCH 1. Củng cố phương pháp chứng minh một vật dao động điều hòa. 2. Biết cách xử lí khi tính năng lượng mà gặp hai loại thế năng khác nhau. Bài 1.3 Xét hệ gồm một lò xo có độ cứng k. Một đầu gắn cố định lên giá đỡ, đầu còn lại gắn vào một vật có khối lượng m. Hệ thống được trên mặt phẳng nghiêng như hình vẽ. Bỏ qua mọi ma sát. Chứng tỏ vật do động điều hòa khi được kích thích theo phương trục lò xo. Giải m α O C1: Phương pháp động lực học. m Chọn hệ quy chiếu gắn với mặt đất. Hệ trục tọa độ như hình vẽ. -7- x α “ Chứng minh một vật, hệ vật dao động điều hòa - dành cho lớp chuyên” ur uu r ur F N dh P - Các lực tác dụng lên vật: Lực đàn hồi trọng lực và phản lực được biểu diễn như hình vẽ. - Phương trình định luật II Niutơn cho vật: uuu r ur uu r r Fdh  P  N  ma uuu r ur r F - Tại vị trí cân bằng: dh  P  0 - Chiếu các lực lên trục Ox ta được: -k l0  mg sin   0 (1) Khi vật có li độ x: k (l0  x)  mg sin   ma (2). Thay (1) vào (2) ta có: kx = mx " x" +  x" kx k 0 2  m m ta có: x" +  2 x  0 . . Đặt Phương trình này có nghiệm dạng: x  A.cos (.t   ) Vậy vật dao động dao động điều hoà với chu kì: T  2 m k . C2: Phương pháp năng lượng. + Chọn mốc tính thế năng đàn hồi tại tại vị trí vật khi lò xo không biến dạng và mốc tính thế năng hấp dẫn tại vị trí cân bằng của vật. + Cơ năng của hệ dao động khi vật có li độ x là : 1 1  E  k (l0+x)2  mv 2  mg .x.sin=const 2 2 E = Eđ + Et + Lấy đạo hàm hai vế theo thời gian t , ta được: -8- “ Chứng minh một vật, hệ vật dao động điều hòa - dành cho lớp chuyên” 0  k (l0+x).x'  mv.v ' mg.x 'sin   0  k (l0 +x)  mx " mg sin   ( k l0  mg sin  )  kx  mx "  0  kx  mx "  0 Đặt 2  . k m . Vậy ta có : x"   2 .x  0 Phương trình này có nghiệm dạng: x  A.cos (.t   ) Vậy vật dao động dao động điều hoà với chu kì: T  2 m k . NHẬN XÉT - Nếu góc   0 , vật nằm trên mặt phẳng ngang, bài toán trở về bài 1.1. - Nếu góc   2 , vật bị treo thẳng đứng, bài toán trở về bài 1.2. - Chu kì không phụ thuộc vào góc ngiêng  . MỤC ĐÍCH 1. Củng cố phương pháp chứng minh một vật dao động điều hòa. 2. Củng cố phương pháp tính năng lượng mà gặp hai loại thế năng khác nhau. Bài 1.4 Cho hệ gồm hai lò xo mắc song song rồi gắn vào vật đặt trên mặt phẳng ngang không ma sát như hình vẽ. Tại vị trí cân bằng k2 cả hai lò xo đều bị biến dạng. Kích thích vật theo phương ngang, dọc theo hai trục của lò xo. Chứng k1 minh vật dao động điều hòa. Tìm biểu thức tính chu kì. -9- “ Chứng minh một vật, hệ vật dao động điều hòa - dành cho lớp chuyên” Chọn hệ quy chiếu gắn với mặt đất. Hệ trục tọa độ như hình vẽ. ur ur ur F dh1 ; F dh 2 - Các lực tác dụng lên vật: Lực đàn hồi của hai lò xo , trọng lực P và uu r N phản lực được biểu diễn như hình vẽ. - Phương trình định luật II Niutơn cho vật: uuur uuur ur uu r r Fdh1  Fdh 2  P  N  ma uuur uuur ur uu r r - Tại vị trí cân bằng: Fdh1  Fdh 2  P  N  0 uuur uuur ur uu r k  l k  l  P  N 0 Tại VTCB: 1 01 2 02 r N O Khi vật có li độ x bất kì: ur uu r uuur r uuur r r P  N  k1 l01  x  k 2 l02  x  ma ur uu r uuur r r  P  N  k1 l01   k1  k 2  x  ma    k2  k1 k k  x ''  a   1 2 x  2 x m Với  r Fdh1 x r Fdh 2 r P k1  k2 m T Vậy vật dao động điều hòa với chu kì : 2 m  2  k1  k2 NHẬN XÉT 1. Dao động của hệ có hai lò xo trên sẽ tương đương với một lò xo có độ cứng k  k1  k2 . - 10 - x “ Chứng minh một vật, hệ vật dao động điều hòa - dành cho lớp chuyên” 2. Nếu k1 = 0 hoặc k2 = 0 thì bài toán trở về hệ chỉ có một lò xo như 1.1. MỤC ĐÍCH 1. Củng cố, nâng cao dần độ khó của bài toán chứng minh một vật dao động điều hòa. 2. Quét hết các dạng toán chỉ có lò xo và vật. Bài 1.5 Cho hệ gồm hai lò xo mắc nối tiếp rồi gắn vào vật đặt trên mặt phẳng ngang không ma sát như hình vẽ. Kích thích vật theo m k2 phương ngang, dọc theo hai trục của lò xo. k1 Chứng minh vật dao động điều hòa. Tìm biểu thức tính chu kì. Giải Chọn hệ quy chiếu gắn với mặt đất. Hệ trục tọa độ như hình vẽ. - Các lực tác dụng hồi của ur lên vật: Lực đàn ur hai lò xo k2 F dh 2 , trọng lực P và phản uu r lực N được biểu diễn như hình vẽ. O k1 r r N Fdh 2 - Phương trình định luật II Niutơn cho vật: uuur ur uu r r Fdh 2  P  N  ma (1) uuur uuur r Tại điểm nối hai lò xo: Fdh1  Fdh 2  0 (2) Gọi x1 và x2 là độ biến dạng của mỗi lò xo khi vật có li độ x thì: x = x1 + x2 (3) Chiếu (1) và (2) lên trục Ox ta có: - 11 - x x r P “ Chứng minh một vật, hệ vật dao động điều hòa - dành cho lớp chuyên”  k2 x2  mx "(4)   k1 x1  k2 x2  0(5) Thay (3) vào (5) ta được  x2  k1 x k1  k2 thay tiếp vào (4) ta có: k1k2 x  mx " k1  k2  Đặt k1k2  k1  k2  m 2 ta được x ''  x  0 T Vậy vật dao động điều hòa với chu kì : 2  2  k 1  k2  m k1k2 NHẬN XÉT 1. Dao động của hệ có hai lò xo trên sẽ tương đương với một lò xo có độ cứng k k1k2 k1  k2 . 2. Nếu k1 = 0 hoặc k2 = 0 thì vật không dao động. 3. Nếu k1    k  k1 hoặc k2    k  k2 thì hệ giống như chỉ có 1 lò xo, lò xo còn lại chỉ là một thanh cứng không có khối lượng. MỤC ĐÍCH 1. Củng cố, nâng cao dần độ khó của bài toán chứng minh một vật dao động điều hòa. - 12 - “ Chứng minh một vật, hệ vật dao động điều hòa - dành cho lớp chuyên” 2. Quét hết các dạng toán chỉ có lò xo và vật. B. Bài tập có hướng dẫn Bài 1.6 Xét hệ gồm một lò xo có độ cứng k đặt thẳng đứng. Đầu dưới gắn cố định lên giá đỡ, đầu trên gắn vào một vật có khối lượng m. Khi cân bằng thì trục của lò xo có phương thẳng đứng. Bỏ qua mọi ma sát. Chứng tỏ vật do động điều hòa khi được kích thích theo phương thẳng đứng. Hướng dẫn C1: Phương pháp động lực học. O - Phương trình định luật II Niutơn cho vật: uuu r ur r Fdh  P  ma x uuu r ur r F - Tại vị trí cân bằng: dh  P  0 - Chiếu các lực lên trục Ox ta được: k l0  mg  0 (1) Khi vật có li độ x: k (l0  x)  mg  ma (2). Thay (1) vào (2) ta có: kx = mx "  x" kx k 0 2  m m ta có: x" +  2 x  0 . . Đặt Vậy vật dao động dao động điều hoà với chu kì: C2: Phương pháp năng lượng. - 13 - T  2 m k . l0 Chọn hệ quy chiếu gắn với mặt đất. Hệ trục tọa độ như hình vẽ. ur ur F dh - Các lực tác dụng lên vật: Lực đàn hồi và trọng lực P được biểu diễn như hình vẽ. “ Chứng minh một vật, hệ vật dao động điều hòa - dành cho lớp chuyên” + Chọn mốc tính thế năng đàn hồi tại tại vị trí vật khi lò xo không biến dạng và mốc tính thế năng hấp dẫn tại vị trí cân bằng của vật. + Cơ năng của hệ dao động khi vật có li độ x là : 1 1  E  k (l0 + x)2  mv 2  mgx=const 2 2 E = Eđ + Et + Lấy đạo hàm hai vế theo thời gian t , ta được: 0  k ( l0+ x).x'  mv.v ' mg.x '  0  k (l0+ x)  mx " mg  (k l0  mg )  kx  mx "  0  kx  mx "  0 Đặt 2  . k m . Vậy ta có : x"   2 .x  0 Vậy vật dao động dao động điều hoà với chu kì: T  2 m k . NHẬN XÉT Đây là bài tập đơn giản. Do vậy giáo viên chỉ cần gợi ý phương pháp động lực học nói chung là học sinh có thể làm được. Tập trung vào phân tích cho học sinh sự khác biệt giữa thế năng đàn hồi và thế năng hấp dẫn và liệu rằng mốc thế năng khác nhau có được không. MỤC ĐÍCH 1. Củng cố phương pháp chứng minh một vật dao động điều hòa. 2. Biết cách xử lí khi tính năng lượng mà gặp hai loại thế năng khác nhau. Bài 1.7 Xét hệ gồm một lò xo có độ cứng k. Một đầu gắn cố định lên giá đỡ, đầu còn lại treo vào một vật có khối lượng m. Hệ được đặt trên mặt phẳng nghiêng như hình vẽ. Bỏ qua mọi ma sát. Chứng tỏ vật do động điều hòa khi được kích thích theo phương của trục lò xo. Giải x C1: Phương pháp động lực học. m O - 14 α “ Chứng minh một vật, hệ vật dao động điều hòa - dành cho lớp chuyên” Chọn hệ quy chiếu gắn với mặt đất. Hệ trục tọa độ như hình vẽ. ur uu r ur - Các lực tác dụng lên vật: Lực đàn hồi F dh trọng lực P và phản lực N được biểu diễn như hình vẽ. - Phương trình định luật II Niutơn cho vật: uuu r ur uu r r Fdh  P  N  ma uuu r ur r F - Tại vị trí cân bằng: dh  P  0 - Chiếu các lực lên trục Ox ta được: k l0  mg sin   0 (1) Khi vật có li độ x: k ( l0  x)  mg sin   ma (2). Thay (1) vào (2) ta có: kx = mx " x" +  x" kx k 0 2  m m ta có: x" +  2 x  0 . . Đặt Vậy vật dao động dao động điều hoà với chu kì: T  2 m k . C2: Phương pháp năng lượng. + Chọn mốc tính thế năng đàn hồi tại tại vị trí vật khi lò xo không biến dạng và mốc tính thế năng hấp dẫn tại vị trí cân bằng của vật. + Cơ năng của hệ dao động khi vật có li độ x là : 1 1  E  k (l0+x)2  mv 2  mg .x.sin=const 2 2 E = Eđ + Et + Lấy đạo hàm hai vế theo thời gian t , ta được: - 15 - “ Chứng minh một vật, hệ vật dao động điều hòa - dành cho lớp chuyên” 0  k (l0+x).x'  mv.v ' mg.x 'sin   0  k (l0 +x)  mx " mg sin   ( k l0  mg sin  )  kx  mx "  0  kx  mx "  0 Đặt 2  . k m . Vậy ta có : x"   2 .x  0 Vậy vật dao động dao động điều hoà với chu kì: T  2 m k . NHẬN XÉT - Nếu góc   0 , vật nằm trên mặt phẳng ngang, bài toán trở về bài 1.1. - Nếu góc   2 , lò xo bị dựng thẳng đứng, bài toán trở về bài 1.6. - Chu kì không phụ thuộc vào góc ngiêng  . MỤC ĐÍCH 1. Rèn luyện phương pháp chứng minh một vật dao động điều hòa. 2. Rèn luyện phương pháp tính năng lượng mà gặp hai loại thế năng khác nhau. Bài 1.8 Hai lò xo có chiều dài tự nhiên L 01 và L02. Hai đầu của lò xo gắn vào 2 điểm cố định A và B. Hai đầu còn lại gắn vào 1 vật có khối lượng m. Chứng minh m dao động điều hoà khi được kích thích dọc theo trục lò xo. A k1 m * Trường hợp 1. AB = L01 + L02 ( Tại VTCB hai lò xo không biến dạng ) Xét vật m ở thời điểm t có li độ là x: - 16 - k2 B “ Chứng minh một vật, hệ vật dao động điều hòa - dành cho lớp chuyên” r uuur uuuu r ma xF dhk22..xChiếu   x(lên k1 trục k2 ) Ox, ta có: m.a Fkdh11. k1 m A k k  ma  x (k1  k2 )  0  x " 1 2 .x  0 m O . Đặt 2  k2 B x k1  k2 m . Vậy ta có: x "  2 .x  0  . Vậy vật m dao động điều hoà với tần số góc là  k1  k2 m * Trường hợp 2. AB > L01 + L02(Trong quá trình dao động hai lò xo luôn luôn bị dãn). Gọi l1 và l2 lần lượt là độ dãn của hai lò xo tại VTCB uuuur uuuuu r 0  F  F 0 dh1 0 dh 2 . + Xét vật m ở VTCB: Chiếu lên trục Ox, ta được k2 .l2  k1.l1  0 (1) r uuur uuuu r m . a  F  F dh 1 dh 2 + Xét vật m ở thời điểm t, có li độ x: Chiếu lên trục Ox: ma  Fdh 2  Fdh1  mx "  k2 (l2  x)  k1 (l1  x ) (2) Thay (1) vào (2) ta được: ma  k1.x  k2 .x   x(k1  k2 )  ma  x (k1  k2 )  0  x " k1  k2 k k .x  0 2  1 2 m m . Vậy ta có: x "  2 .x  0 .Đặt Vậy vật m dao động điều hoà với tần số góc là  k1  k2 m * Trường hợp 3.AB < L01 + L02 ( trong quá trình dao động hai lò xo luôn luôn bị nén). - 17 - “ Chứng minh một vật, hệ vật dao động điều hòa - dành cho lớp chuyên” Gọi l1 và l2 lần lượt là độ nén của hai lò xo tại VTCB uuuur uuuuu r 0  F  F 0 dh1 0 dh 2 . + Xét vật m ở VTCB: Chiếu lên trục Ox, ta được  k2 .l2  k1.l1  0 (1) r uuur uuuu r m . a  F  F dh1 dh 2 + Xét vật m ở thời điểm t, có li độ x: Chiếu lên trục Ox: ma   Fdh 2  Fdh1  mx "  k2 (l2  x)  k1 (l1  x) (2) Thay (1) vào (2) ta được: ma  k1.x  k2 .x   x (k1  k2 )  ma  x (k1  k2 )  0  x " k1  k2 k k .x  0 2  1 2 m m . Vậy ta có: x "  2 .x  0 . Vậy . Đặt vật m dao động điều hoà với tần số góc là  k1  k2 m Bài 1.9 Cho hệ gồm hai lò xo mắc nối tiếp rồi gắn vào vật đặt trên mặt phẳng nghiêng không ma sát như hình vẽ. Kích thích vật theo phương dọc theo trục của hai lò xo. Chứng minh vật dao động điều hòa. Tìm biểu thức tính chu kì. k 1 k m 2 O  Giải Chọn hệ quy chiếu gắn với mặt đất. Hệ trục tọa độ như hình vẽ. ur ur F dh 2 - Các lực tác dụng lên vật: Lực đàn hồi của hai lò xo k 2 , trọng lực P và phản uu r lực N được biểu diễn như hình vẽ. - Phương trình định luật II Niutơn cho vật: - 18 - “ Chứng minh một vật, hệ vật dao động điều hòa - dành cho lớp chuyên” uuur ur uu r r Fdh 2  P  N  ma (1) k 1 uuur uuur r Tại điểm nối hai lò xo: Fdh1  Fdh 2  0 (2) O k 2 Tại vị trí cân bằng chiếu (1) và (2) lên trục Ox có: x O  k2 l02  mg sin   0   k1l01  k2 l02  0  Gọi x1 và x2 là độ biến dạng của mỗi lò xo khi vật có li độ x thì: x = x1 + x2 (3) Chiếu (1) và (2) lên trục Ox ta có:  k2 (l02  x2 )  mg sin   mx "  k2 x2  mx "(4)     k1 x1  k2 x2 (5)  k1 (l01  x1 )  k2 (l02  x2 ) Thay (3) vào (5) ta được  x2  k1 x k1  k2 thay tiếp vào (4) ta có: k1k2 x  mx " k1  k2  Đặt k1k2  k1  k2  m 2 ta được x ''  x  0 T Vậy vật dao động điều hòa với chu kì : 2  2  NHẬN XÉT - 19 - k 1  k2  m k1k2 ta