Tài liệu Tổng hợp các bài toán vận dụng cao điểm 9,10 giải chi tiết

TỔNG HỢP CÁC CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO – GROUP NHÓM TOÁN A. Câu 1. Nếu đồ thị hàm số y  x4 cắt đường thẳng (d ) : 2 x  y  m tại hai đểm AB sao cho x 1 độ dài AB nhỏ nhất thì A. m=-1 B. m=1 C. m=-2 D. m=2 Đáp án chi tiết : Phương trình hoành độ giao điểm x4  2 x  m ( x  1) x 1  2 x 2  (m  3) x  m  4  0   (m  1)2  40  0, m  R Suy ra (d) luôn cắt dồ thị hàm số tại hai điểm A,B m3 ; 2 y A  2 xA  m; x A  xB  m  4 ; 2 yB  2 xB  m x A . xB  yB  y A  2( xB  xA ) AB  ( xB  x A ) 2  ( yB  y A ) 2  5( xB  x A ) 2  m  3  2 m  4  2    5  ( xB  x A )  4 x A xB   5     4 2   2   5 2  m  1  40  5 2  4 Vậy AB nhỏ nhất khi m=-1 Chọn A Câu 2. Cho n là số nguyên dương, tìm n sao cho loga 2019  22 l o g A. n=2017 a 2019  32 log 3 a 2019  ...  n2 log n a 2019  10082  20172 loga 2019 B. n=2018 C. n=2019 D. n=2016 Đáp án chi tiết : Ta có log a 2019  22 l o g a 2019  32 log 3 a 2019  ...  n 2 log n a 2019  10082  2017 2 log a 2019  log a 2019  23 l o g a 2019  33 log a 2019  ...  n3 log a 2019  10082  20172 log a 2019  (13  23  33  ...  n3 ) log a 2019  10082  2017 2 log a 2019  n(n  1)   2016.2017      2  2     n  2017 2 2 Chọn A Câu 3. Cho hình chóp tam giác S.ABC biết AB  3, BC  4, CA  5 . Tính thể tích hình chóp SABC biết các mặt bên của hình chóp đều tạo với đáy một góc 30 độ A. 2 3 B. 8 3 3 C. 200 3 9 D. 2 3 3 Đáp án chi tiết : Dễ thấy tam giác ABC vuông tại B S SABC  6 Gọi p là nữa chu vi p 3 45 6 2 S  pr  r  1 C A I 30 Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác r từ giả thiết các mặt bên tạo với đáy một M B ABC, góc 30 độ ta suy ra I là chân đường cao của khối chóp tan 300  SI 3 3  SI  MI .t an 300  1.  MI 3 3 1 2 3 VS . ABC  SABC .SI  3 3 Do đó ta chọn A 1 Câu 4. Cho  1 f ( x)dx  5 . Tính I   f (1  x)dx 0 0 A. 5 B. 10 C. 1 5 D. 5 Đáp án chi tiết : Đặt t  1  x  dt  dx x  0  t 1 x 1 t  0 0 I    f (t )dt  5 1 Chọn A Câu 5. Cho đường thẳng  x  1  t và mp (P) : x  y  2  0 . Tìm phương trình đường  (d ) :  y  1  t  z  2t  thẳng nằm trong mặt phẳng (P) cắt và vuông góc với (d).  x  1  2t  A.  y  1  2t z  0   x  1  3t  B.  y  1  3t z  5  Đáp án chi tiết :  x  1  2t  C.  y  1  2t z  0  x  1 t  D.  y  1  t z  5  Gọi I là giao điểm của (d) và (P) I (1  t;1  t; 2t ) I  ( P)  t  0  I (1;1;0) (d) có vectơ chỉ phương u  (1; 1; 2) (P) có vectơ pháp tuyến n  (1;1;0) Vecstơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm là u   u, v  =(-2 ;2 ;0)  x  1  2t  Phương trình mặt phẳng cần tìm là  y  1  2t z  0  Câu 6. Biết số phức Z thỏa điều kiện 3  z  3i  1  5 . Tập hợp các điểm biểu diễn của Z tạo thành một hình phẳng. Diện tích của hình phẳng đó bằng A. 16 B. 4 C. 9 D. 25 Đáp án chi tiết : Đặt z=x+yi 8 6 4 2 z  3i  1  x  1  ( y  3)i  ( x  1)2  ( y  3)2 Do đó O 5 2 3  z  3i  1  5  9  ( x  1)2  ( y  3)2  25 Tập hợp các điểm biểu diễn của Z là hình phẳng nằm trong đường tròn Tâm I (1 ;3) với bán kính bằng R=5 đồng thời nằm ngoài đường tròn tâm I (1 ;3) với bán kính r=3 Diện tích của hình phẳng đó là S   .52   .32  16 Câu 7. Trong số các khối trụ có thể tích bằng V, khối trụ có diện tích toàn phần bé nhất thì có bán kính đáy là V 2 A. R  3 B. R  3 . 4 V C. R  3  V D. R  3 V  Đáp án chi tiết : V   R 2 .h l h V  R2 STP  S Xq  2S d  2 Rl  2 R 2  Xét hàm số f ( R)  2V  2 R 2 R 2V  2 R 2 với R>0 R 2V  4 R3 R2 V f '( R)  0  R  3 2 f '( R)  Bảng biến thiên R 0 3 f , ( R) +  0 V 2 + - 0  f ( R) Từ bảng biến thiên ta thấy diện tích toàn phần nhỏ nhất khi R  3 Do đó chọn A V 2 B. Câu 1. Tìm tham số thực m để bất phương trình: x2 4x 5 x2 4x m 1 có nghiệm thực trong đoạn 2; 3 . A. m B. m 1 1 2 C. m 1 D. m Lời giải Tập xác định: D x2 Đặt t Khi đó: 1 g' t 2t . 4x 5 t 1. Cho g ' t x2 1 t2 5 0 Ta có: 4x m t m t2 5. t2 t 5 g t, t 1 2. Bảng biến thiên: 1 2 3 2 t g' t 0 3 g t 1 Dựa vào bảng biến thiên, m 1 thỏa yêu cầu bài toán. 1; . 1 2    ;  4 4  Câu 2: Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt thuộc đoạn   sin 4 x + cos4 x + cos2 4x = m. 47 3 ; m 64 2 47 3 m 64 2 A. m  B. 49 3 m 64 2 C. 47 3 m 64 2 D. Lời giải Phương trình đã cho tương đương 3  cos 4 x  cos 2 4 x  m 4  4cos 2 4 x  cos4x  4m  3 (1) Đặt t = cos4x. Phương trình trở thành: 4t 2  t  4m  3 , (2)   Với x    ;  thì t   1;1.  4 4   Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt x    ;  khi và chỉ khi phương trình (2) có 2  4 4 nghiệm phân biệt t[-1; 1), (3) Xét hàm số g(t) = 4t 2  t với t [1;1) , g’(t) = 8t+1. g’(t) = 0  t =  1 8 Lập bảng biến thiên t  1  g’(t) 1 8 1 0 + 5 g(t) 3  1 16 Dựa vào bảng biến thiên suy ra (3) xảy ra   Vậy giá trị của m phải tìm là: 1 47 3  4m  3  3  m 16 64 2 47 3 m . 64 2 Câu 3 : Cho phương trình 3cos4 x  5cos3x  36sin 2 x 15cos x  36  24m 12m2  0 . Tìm m để bất phương trình sau đúng với mọi x  Lời giải Đưa về bpt dạng 3cos4 x  20cos3 x  36cos 2 x  12m2  24m Đặt t =cosx ; 1  t  1 . Khi đó bài toán trở thành Tìm m để bất phương trình f (t )  3t 4  20t 3  36t 2  12m2  24m đúng với mọi 1  t  1 Lập BBT A. m 1 B. m 1 1 2 C. m D. m 1 2 Câu 4: Đặt vào một đoạn mạch hiệu điện thế xoay chiều u = U0 sin 2 t . Khi đó trong T  2  t    với  là độ lệch pha giữa dòng diện  T  mạch có dòng diện xoay chiều i = I0 sin  và hiệu điện thế.Hãy Tính công của dòng diện xoay chiều thực hiện trên đoạn mạnh đó trong thời gian một chu kì. A. U 0I0 cos 2 B. U 0I0 T sin  2 C. Lời giải Ta có: U 0 I0 Tcos(  ) 2 D. U 0I0 Tcos 2 T A= T  uidt   U I 0 0 0 0  2  2 sin  t    sin tdt T  T  1  4   U 0 I 0   cos  cos  t     dt 2  T  0 T U I 1  4   0 0   cos  cos  t     dt 2 0 2  T  T T U I  T U I  4   0 0  tcos  sin  t      0 0 Tcos 2  4  T 2  0  2  t    chạy qua một mạch điện có điện trở  T  Câu 5: Một dòng điện xoay chiều i = I0 sin  thuần R.Hãy tính nhiệt lượng Q tỏa ra trên đoạn mạch đó trong thời gian một chu kì T. RI 20 A. T 2 RI 20 B. T 3 RI 20 C. T 4 Lời giải T Ta cã: Q = T  Ri dt   RI 2 0 0 2 0  2  sin 2  t    dt  T   2  1  cos2     T dt  RI 20  2 0 T T RI 20  T RI 20  2   t sin 2  t      T 2  4 2  T  0 RI 20 D. T 5 Câu 6: Một đoàn tàu chuyển động trên một đường thẳng nằm ngang với vận tốc không đổi v0.Vào thời điểm nào đó người ta tắt máy. Lực hãm và lực cản tổng hợp cả đoàn tàu bằng 1/10 trọng lượng P của nó. Hãy các định chuyển động của đoàn tàu khi tắt máy và hãm. g.t2 A. x  v0 .t  20 g.t2 B. x  v0 .t  10 g.t2 C. x  v0 .t  30 t2 D. x  v0 .t  20 Lời giải - Khảo sát đoàn tàu như một chất điểm có khối lượng m, chịu tác dụng của P, N,Fc . - Phương trình động lực học là: ma  P  N  Fc (1) Chọn trục Ox nằm ngang, chiều (+) theo chiều chuyển động gốc thời gian lúc tắt máy.Do vậy chiếu (1) lên trục Ox ta có: ma x  Fc hay viết: mx"  F hay F  hay dv g g     dt dt 10 10 nguyên hàm hai vế (2') ta có: V   hay p g ; x"   10 10 (2) (2') g t  C1 10 dx g g   t  C1  dx  t.dt  C1dx dt 10 10 nguyên hàm tiếp 2 vế ta được x   g 2 t  C1.t  C2 20 (3) Dựa vào điều kiện ban đầu để xác định các hằng số C1 và C2 như sau: T¹i t0 = 0; v = v0; v0 = 0 Ta cã: C2 = 0 vµ C1 = v0 thay C1 vµ C2 vµo (3) g.t 2 x  v0 .t  20 Câu 7: Một thanh AB có chiều dài là 2a ban đầu người ta giữ thanh ở góc nghiêng    o , một đầu thanh tựa không ma sát với bức tường thẳng đứng. Khi buông thanh, nó sẽ trượt xuống dưới tác dụng của trọng lực. Hãy biểu diễn góc  theo thời gian t (Tính bằng công thức tính phân) d A. t o 3 (sin 2a o sin ) o  d C. t o 3g (sin a d B. t D. t    o sin o ) 3g (sin 2a o sin ) d 3g (sin  o  sin  ) 2a Lời giải Do trượt không ma sát nên cơ năng của thanh được bảo toàn mga sin  o  mga sin   K q  Ktt (1) Do khối tâm chuyển động trên đường tròn tâm O bán kính a nên: K tt  1 2 Động năng quay quanh khối tâm: K q  I 2  Thay vào (1) ta được: 1 1 1 m(2a) 2  '2  ma2 '2 2 12 6 2 a '2  g (sin  o  sin  ) 3 ma 2 2 1  ma 2 '2 2 2 3g (sin 2a '  t   o o sin ) d 3g (sin  o  sin  ) 2a Câu 8: Một thanh AB có chiều dài là 2a ban đầu người ta giữ thanh ở góc nghiêng    o , một đầu thanh tựa không ma sát với bức tường thẳng đứng. Khi buông thanh, nó sẽ trượt xuống dưới tác dụng của trọng lực. Tính góc sin 1 3 A. sin   sin o B. sin   2 sin o 3 khi thanh rời khỏi tường C. sin   2 sino D. sin 5 Lời giải Xét chuyển động khối tâm của thanh theo phương Ox: N1  mx' ' . Tại thời điểm thanh rời tường thì N1  0  x' '  0 Toạ độ khối tâm theo phương x là: x  a cos Đạo hàm cấp 1 hai vế: x'  a sin  . ' Đạo hàm cấp 2 hai vế: x' '  acos . '2  sin  . ' '  acos . '2  sin  . ' ' Khi x' '  0  cos . '2   sin  . ' ' (2) Từ (1) suy ra: 2 a '2  g sin   g sin  o 3 Lấy đạo hàm 2 vế: 4 a ' '. ' g cos . '  0 3 4 sin 3 o Hay:  ' '   3g cos 4a Thay vào (2) ta có phương trình: cos . 3g  3g  (sin  o  sin  )   sin  .  cos  2a  4a  sin   2(sin  o  sin  ) 2 sin   sin  o 3 C. Câu 1(GT Chương 1). Khi xây nhà, chủ nhà cần làm một hồ nước bằng gạch và xi măng có dạng hình hộp đứng đáy là hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộng và không nắp, có chiều cao là h và có thể tích là 18 m3 . Hãy tính chiều cao h của hồ nước sao cho chi phí xây dựng là thấp nhất? A. h  1 m B. h  2 m C. h  3 m 2 D. h  5 m 2 Hướng dẫn giải Gọi x, y, h lần lượt là chiều rộng, chiều dài và chiều cao của hình hộp Theo đề bài ta có y  3x và V  hxy  h  V V  2 xy 3x Để tiết kiệm nguyên vật liệu nhất ta cần tìm các kích thước sao cho diện tích toàn phần của hồ nước là nhỏ nhất. Khi đó ta có: Stp  2 xh  2 yh  xy  2 x V V 8V  2.3x. 2  x.3x   3x 2 2 3x 3x 3x Ta có Stp  Cauchy 8V 4V 4V 16V 2  3x 2    3x 2  3 3  36 . 3x 3x 3x 3 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 4V 4V V 3  3x 2  x  3 2h 2  . 3x 9 3x 2 Vậy chọn C Câu 2(GT Chương 2). Phương trình log  mx  6x   2log  14x 3 2 2 1 2  29 x  2   0 có 3 nghiệm thực phân biệt khi: A. m  19 B. m  39 C. 19  m  39 2 D. 19  m  39 Hướng dẫn giải 6 x3  14 x 2  29 x  2 2   x   12 x  14  2  f x x log 2  mx  6 x3   2log 1  14 x 2  29 x  2   0 2  3 2  x  1  f 1  19  log 2  mx  6 x   log 2  14 x  29 x  2   0   1  1  39  mx  6 x3  14 x 2  29 x  2 f  x  0  x   f    2 2 2 6 x3  14 x 2  29 x  2  m  1  1  121 x x    f     3 3  3  f  x  Lập bảng biến thiên suy ra đáp án C. Câu 3(GT Chương 3). Một lực 50 N cần thiết để kéo căng một chiếc lò xo có độ dài tự nhiên 5 cm đến 10 cm. Hãy tìm công sinh ra khi kéo lò xo từ độ dài từ 10 cm đến 13 cm? A. 1,95J B. 1,59 J C. 1000 J D. 10000 J Hướng dẫn giải Theo định luật Hooke, khi chiếc lò xo bị kéo căng thêm x m so với độ dài tự nhiên thì chiếc lò xo trì lại với một lực f ( x)  kx .Khi kéo căng lò xo từ 5 cm đến 10 cm, thì nó bị kéo căng thêm 5 cm = 0,05 m. Bằng cách này, ta được f (0,05)  50 bởi vậy : 0.05k  50  k  50  1000 0.05 Do đó: f ( x)  1000 x và công được sinh ra khi kéo căng lò xo từ 10 cm đến 13 cm là: x2 W   1000 xdx  1000 0,05 2 0,08 0,08 0,05  1,95 J Vậy chọn A Câu 4(GT Chương 4). Cho số phức z có mô đun bằng 2017 và w là số phức thỏa mãn biểu 1 1 1 thức   . Môđun của số phức w bằng: z w zw A. 1 B. 2 C. 2016 D. 2017 Hướng dẫn giải  z  w  zw  0 1 1 1 zw 1 Từ     0 z w zw zw zw zw  z  w  2 1 3  z 2  w2  zw  0  z 2  zw  w2  w2  0 4 4 2 1  3    z  w    w2 2  4  2 1   i 3w     z  w    2   2   2 2  1 i 3 w   i 3w  z  Từ  z       z     w  w= 2  2  2   1 i 3   2    2   2 Suy ra: w  Vậy chọn D. 2017  2017 1 3  4 4 2 Câu 5(HH Chương 1). Cho khối lập phương ABCD. ABCD cạnh a . Các điểm E và F lần lượt là trung điểm của CB và CD . Mặt phẳng  AEF  cắt khối lập phương đã cho thành hai phần, gọi V1 là thể tich khối chứa điểm A và V2 là thể tich khối chứa điểm C ' . Khi đó V1 là V2 A. 25 . 47 B. 1. C. 17 . 25 D. 8 . 17 Hướng dẫn giải Đường thẳng EF cắt AD tại N , M , AN cắt DD tại P , AM cắt cắt AB tại BB tại Q . Từ đó mặt phẳng  AEF  cắt khối lăng trụ thành hai khối đó là ABCDCQEFP và AQEFPBAD . Gọi V  VABCD. ABC D , V3  VA. AMN , V4  VPFDN , V4  VQMBE . Do tính đối xứng của hình lập phương nên ta có V4  V5 . V3  1 1 3a 3a 3a3 AA. AM . AN  a. .  , 6 6 2 2 8 1 1 a a a a3 V4  PD.DF .DN  . . .  6 6 3 2 2 72 3 25a V1  V3  2V4  , 72 47a3 V2  V  V1  . 72 Vậy V1 25 .  V2 47 Vậy chọn A. Câu 6(HH Chương 2). Cho một khối trụ có bán kính đáy r  a và chiều cao h  2a . Mặt phẳng ( P) song song với trục OO ' của khối trụ chia khối trụ thành 2 phần, gọi V1 là thể tích phần khối trụ chứa trục OO ' , V2 là thể tích phần còn lại của khối trụ. Tính tỉ số rằng ( P) cách OO ' một khoảng bằng A. 3  2 .  2 B. 3  2 .  2 C. a 2 . 2 2  3 .  2 D. 2  3 .  2 Hướng dẫn giải Thể tích khối trụ V   r 2h   a 2 .2a  2 a3 . Gọi thiết diện là hình chữ nhật ABB ' A ' . Dựng lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ như hình vẽ. Gọi H là trung điểm AB. Ta có OH  AB  OH  ( ABB ' A ')  OH   AH  BH  a 2 2 a 2  OH . 2  OAB vuông cân tại O  ABCD là hình vuông. Từ đó suy ra: V2  1 1 a3 (  2) 3 2 V  V  2  a  ( a 2) .2 a  .  ABCD. A ' B ' C ' D '  4 4 2  V1  V  V2  2 a3  Suy ra V1 3  2 .  V2   2 a3 (  2) a3 (3  2)  2 2  V1 , biết V2 Vậy chọn A Câu 7(HH Chương 3). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có điểm A trùng với gốc tọa độ, B(a;0;0), D(0; a;0), A(0;0; b) với (a  0, b  0) . Gọi M là trung điểm của cạnh CC . Giả sử a  b  4 , hãy tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện ABDM ? A. max VAMBD  64 27 C. max VAMBD   B. max VAMBD  1 64 27 D. max VAMBD  27 64 Hướng dẫn giải b  Ta có: C (a; a;0), B(a;0; b), D(0; a; b), C (a; a; b)  M  a; a;  2  b  Suy ra: AB  (a;0; b), AD  (0; a; b), AM   a; a;   2    AB, AD   (ab; ab; a 2 )   AB, AD  . AM  3a 2b a 2b  VAMBD  2 4 1 1 1 64 Do a, b  0 nên áp dụng BĐT Côsi ta được: 4  a  b  a  a  b  3 3 a 2b  a 2b  2 2 4 27 Suy ra: max VAMBD  64 . 27 Vậy chọn A D. Câu 1. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m thuộc   10;10 để phương trình 1  x 2  m 2 1  x  2 1  x  3  1  0 có nghiệm? A. 12 B. 13 C. 8 D. 9 Câu 2. Biết phương trình log5  x 2 x 1 1   2log 3    có nghiệm duy nhất x  a  b 2 x 2 2 x   trong đó a, b là các số nguyên. Tính a  b ? A. 5 B. 1 C. 1 2 2 Câu 3. Biết tích phân  2  2 A. 0 1  x2 a.  b dx  trong đó a, b  x 1 2 8 B. 1 C. 3 Câu 4. Cho số phức z thoả mãn : z  A. 21008 D. 2 B. 21008 . Tính tổng a  b ? D. -1 z 6  7i . Tìm phần thực của số phức z 2017 .  1  3i 5 C. 2504 D. 22017 Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M là trung điểm của AD. Gọi S’ là giao của SC với mặt phẳng chứa BM và song song với SA. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S’.BCDM và S.ABCD. A. 1 2 B. 2 3 C. 3 4 D. 1 4 Câu 6. Cho hình chóp S.ABC có AB  2a, AC  3a, BAC  600 , SA   ABC  , SA  a . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. A. 2 21 a 3 B. 21 a 3 Câu 7. Cho A  1;3;5 , B  2;6; 1 , C  4; 12;5 C. 29a D. 93 a 3 và điểm  P  : x  2 y  2 z  5  0 . Gọi M là điểm thuộc  P  sao cho biểu thức S  MA  4MB  MA  MB  MC đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm hoành độ điểm M. A. xM  3 B. xM  1 C. xM  1 D. xM  3 Đáp án: 1A; 2A; 3C;4B;5A;6D;7C ĐÁP ÁN CHI TIẾT (Ứng dụng đạo hàm) Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m thuộc 10;10 để Câu 1.   phương trình 1  x2  m 2 1  x  2 1  x  3  1  0 có nghiệm? A. 12 B. 13 C. 8 D. 9 Lời giải ĐK: 1  x  1 . Đặt u  1  x  1  x x 1 1 u'   ;u '  0  x  0 2 1 x 2 1 x + u' 2 t 2 Từ BBT  1 0 0 2 1  u 2 2 2 PT có dạng: t  m  2t  3  0  t 2  2m  2t  3* 2 2 t2 Do t  không là nghiệm nên *  2m   f t  3 2t  3 PT đã cho có nghiệm  Đồ thị h/s y  f  t  và đt y  2m có điểm chung có hoành độ 2t  t  3 t2 Xét hàm số f  t   trên  2; 2 : f '  t    0 t   2; 2  2 2t  3 2 t  3   BBT: t f ' t  f t  3 2 2 2   2  2 2 3     2m  2 2 2  3 Phương trình đã cho có nghiệm    2m  4 4   m    2  m  2 2 3  . Đáp án A. 2 t 2