Tài liệu Vận dụng kiến thức liên môn giải quyết vấn đề (toán lớp 10), tình huống ứng dụng của dãy số fibonacci trong đời sống.

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ Địa chỉ trường : 560B Quang Trung – Hà Đông – Hà Nội BÀI DỰ THI CUỘC THI VẬN DỤNG KIẾN THỨC LIÊN MÔN ĐỂ GIẢI QUYẾT CÁC TÌNH HUỐNG THỰC TIỄN DÀNG CHO HỌC SINH TRUNG HỌC Chi đoàn thực hiện: 10 Toán1 (Tổ 1) Hà Nội – 2014 Cuộc thi vận dụng kiến thức liên môn để giải quyết các tình huống thực tiễn dành cho học sinh trung học -Sở giáo dục và đào tạo thành phố Hà Nội -Phòng Giáo dục và Đào tạo Hà Nội -Trường Trung học Phổ thông chuyên Nguyễn Huệ -Địa chỉ: 560B Quang Trung – Hà Đông – Hà Nội -Thông tin về học sinh: lớp 10 Toán 1 trường THPT chuyên Nguyễn Huệ -Nhóm học sinh : Tổ 1. 1.TÊN TÌNH HUỐNG: Ứng dụng của dãy số Fibonacci trong đời sống. 2.MỤC TIÊU: Nêu lên được ứng dụng của dãy số Fibonacci được vân dụng trong đời sống hàng ngày,trong tự nhiên, dãy số Fibonacci với một số môn học trong nhà trường ,giúp học sinh hiểu được vai trò của dãy số Fibonacci và nâng cao khả năng ứng dụng lý thuyết với cuộc sống hàng ngày qua đó có thể giúp những bài học trở nên gần gũi, thú vị hơn. 3.TỔNG QUAN VỀ CÁC NGHIÊN CỨU LIÊN QUAN ĐẾN VIỆC GIẢI QUYẾT TÌNH HUỐNG: Có rất nhiều những nghiên cứu, phát hiện cho ta thấy dãy số Fibonacci tôn tại xung quanh chúng ta một cách rất tự nhiên mà đôi khi chúng ta không để ý tới.Ta phải tìm hiểu trong đời sống nơi nào xuất hiện dãy số Fibonacci,tìm hiểu về sự ra đời, cấu tạo, tác dụng của nó để qua đó liên hệ với các môn học khác như: Sinh học ,Hóa học, Địa lý… 4.GIẢI PHÁP GIẢI QUYẾT TÌNH HUỐNG: 4.1)Tìm hiểu dãy số Fibonacci là gì? Dãy số Fibonacci rất đặc biệt này được một người Ý tên là Leonardo Fibonacci công bố năm 1202 và được biến hóa hầu như vô tận. Chính điều đó, đã thu hút được rất nhiều sự quan tâm cũng như làm chúng ta say mê nghiên cứu, khám phá các tính chất của nó. Vậy dãy số Fibonacci là dãy số như thế nào? Ban đầu, ông Fibonacci xét bài toán sau: Giả sử có một cặp thỏ mắn đẻ cứ cuối mỗi tháng lại sinh ra một cặp mới. Nếu mỗi cặp mới đó cũng lại đẻ sau một tháng và nếu không có con nào bị chết cả thì sau một năm có bao nhiêu cặp thỏ? Và đó là tiền thân của dãy số được xác định bằng cách liệt kê các phần tử như sau: 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 … Trong đó: các phần tử nằm trong dãy số này luôn luôn bằng tổng của 2 số liền trước nó. Nếu lấy tổng hay hiệu của các số liên tiếp bạn sẽ được một dãy số tương tự. Hình ảnh dãy số Fibonacci 4.2)Tìm hiểu một số hình ảnh minh họa cho dãy số Fibonacci: Hoa một cánh Hoa ba cánh Hoa hai cánh Hoa năm cánh Hoa tám cánh Hoa mười ba cánh 4.3)Những ứng dụng lí thú liên heeij dãy số Fibonacci với hình ảnh trong cuộc sống và những môn học : a. Điều đặc biệt đầu tiên: Gọi An là số hạng thứ n trong dãy số, ta có: An x An+1 = An-1 x An+2 ± 1 An x An+1 = An-2 x An+3 ± 2 An x An+1 = An-3 x An+4 ± 6 An x An+1 = An-4 x An+5 ± 15 Chúng ta hãy thử lại đẳng thức đầu tiên bằng cách chọn một số An bất kỳ (An là số ở vị trí thứ n của chuỗi), chẳng hạn 34. Ở đây, An = 34 (n = 9), An+1 = 55 , An-1 = 21 , An+2 = 89 . Ta có: 34 x 55 = 21 x 89 + 1. Các đẳng thức này được áp dụng trong toàn dãy số. Lấy một cặp số bất kỳ khác, chẳng hạn 3 x 5 = (2 x 8 ) – 1. Nếu lấy thêm các ví dụ khác nữa, bạn sẽ nhận ra rằng nếu n là số chẵn ta cộng 1. Nếu n là số lẻ ta trừ đi 1. Bây giờ, ta xem xét đẳng thức thứ hai: An x An+1 = An-2 x An+3 ± 2 Chọn An = 8, do đó 8 x 13 = 3 x 34 + 2. Tiếp theo chọn An = 34, ta có 34 x 55 = 13 x 144 – 2. Cũng tương tự như trên ta trong trường hợp An= 8 thì n =6 (chẵn) nên cộng 2, còn An = 34 thì n = 9 (lẻ), do đó trừ đi 2. Những đẳng thức còn lại có thể kiểm chứng dễ dàng theo cách tương tự. Chú ý rằng, trong những số trên, những con số mà chúng ta thêm hay bớt theo thứ tự là: ±1 ±2 ±6 ±15 ±40 ±104 … Hiệu số giữa những số này sẽ là: 1 4 9 25 64 … Hay: 12 22 32 52 82 Đây lại là một điều thú vị nữa, bởi từ kết quả trên ta thấy hiệu của những con số được thêm vào (hay bớt đi) ở các đẳng thức trên không gì khác hơn là bình phương của các số hạng của dãy Fibonacci. b. Điều bất ngờ kế tiếp: Chúng ta tiếp tục xét và thử lại các đẵng thức sau: c. Sự ngạc nhiên đến từ cách nhìn khác: Bây giờ, nếu bạn đem nhân đôi một số hạng bất kỳ rồi trừ đi số hạng kế tiếp nó thì kết quả sẽ bằng số hạng đứng trước nó 2 vị trí: Này nhé: với A5 = 5: 2 x 5 – 8 = 2 = A3 d. Điều thú vị có tên bình phương: Bây giờ từ dãy Fibonacci ta tạo một dãy mới bằng cách đem bình phương các số hạng có trong dãy đó. Với dãy Fibonacci: 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 … Ta có dãy số mới là: 1 1 4 9 25 64 169 441 1156 3025 7921 20736 54289 … Bây giờ, cộng mỗi cặp số liên tiếp trong dãy số mới. Ta có: 2 5 13 34 89 233 610 1597 … dãy số sau cùng này chính là các số có mặt trong dãy Fibonacci ở các vị trí lẻ. Tiếp theo, cũng từ dãy số bình phương , ta lấy hiệu của hai số cách nhau 1 số ở giữa, ta tiếp tục có: 3 8 21 55 144 377 987 … đây cũng chính là những số có mặt trong dãy Fibonacci ở vị trí chẵn. e. Ma thuật đến từ trò chơi tính nhẩm: Nếu bạn biết được điều thú vị sau đây của dãy Fibonacci thì bạn sẽ luôn luôn thắng trong mọi cuộc đố vui tính nhẩm liên quan đến dãy số này. Và, vì thế, trò chơi này thường được gọi tên là tính nhẩm Fibonacci. Viết dãy Fibonacci (F) theo dạng cột, và gạch dưới 1 số bất kỳ trong cột này. Tổng của các số nằm ở phía trên đường kẻ luôn luôn bằng số hạng thứ 2 sau đường kẻ trừ đi 1. Giả sử bạn gạch dưới số 21. thì tổng các số phía trên đường kẻ là : 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 = 54 . Còn số hạng đứng dưới đường kẻ 2 vị trí là 55. Hay bạn gạch dưới số 233 thì chắc chắn tồng các chữ số từ số ở vị trí đầu tiên đến số 233 sẽ phải bằng 610 – 1 = 609. Do vậy, trò chơi này chắc chắn sẽ làm ngơ ngẩn những ai không quen thuộc với dãy số Fibonacci. Các con số ở đây dường như được chọn ngẫu nhiên, nhưng bí mật của trò ảo thuật nằm ở chỗ đáp số luôn luôn bằng số thứ hai sau nó trừ đi 1. f. Định lý Pitagore trong dãy Fibonacci (F): Bây giờ, nếu ta ký hiệu 4 số liên tiếp trong dãy F là a, b, c, d và gọi n là vị trí của a trong dãy số thì ta luôn có công thức tuyệt đẹp liên quan đến định lý Pitagore nổi tiếng. Đó là: Hay ta luôn có: Đây là một phương trình rất đặc biệt, được khám phá bởi Tiến sĩ Jekuthiel Ginsburg. Chúng ta thử kiểm chứng lại kết quả này nhé. Ví dụ ta chọn dãy 4 số liên tiếp là 5 8 13 21. Ở đây n = 5. Ta có: . Rõ ràng, số 233 chính là số ở vị trí 2.5 + 3 = 13 trong dãy (F). Bạn có thể kiểm chứng lại kết quả này bằng 1 dãy 4 số liên tiếp bất kỳ trong dãy (F). Vậy là luôn luôn có những tam giác vuông với độ dài các cạnh được tạo nên từ các số có mặt trong dãy (F). g. điều thú vị được khám phá bởi TS Jekuthiel Ginsburg: TS Jekuthiel Ginsburg khi nghiên cứu về dãy (F) ông đã tìm ra một điều hết sức đặc biệt. Số 89 ở vị trí thứ 11 của dãy (F) là 1 con số vô cùng quan trọng. Bởi lẽ, Số nghịch đảo của nó bằng tổng tất cả các số trong dãy (F). Điều này không thể giải thích nổi và nó được viết ra như sau: h. Lại một điều kỳ thú của dãy (F) được khám phá bởi TS Jekuthiel Ginsburg: Ông cho biết: Trong 3 số liên tiếp của dãy (F) thì tổng lập phương của 2 số lớn trừ đi lập phương của số nhỏ nhất luôn luôn là 1 số trong dãy (F). Ta thử kiểm chứng với 3 số liên tiếp bất kỳ. Giả sử: 5 8 13 2584 chính là số ở vị trí thứ 18 trong dãy Fibonacci. i. Dãy Fibonacci chứa đựng tỷ số vàng: Bạn đã bao giờ nghe đến “tỷ số vàng” chưa? Đó là con số tỷ lệ . Tỷ lệ này có được từ một hình chữ nhật có tính chất đặc biệt với độ thẩm mỹ rất thú vị. “Hình chữ nhật với chiều rộng là 1, chiều dài là x. Khi lấy đi một hình vuông có cạnh bằng 1 thì hình chữ nhật còn lại sẽ có các tỷ lệ như nhau so với hình chữ nhật ban đầu”. Vì hình chữ nhật mới có chiều rộng là x – 1 và chiều dài là 1 nên sự tương đương các tỷ lệ có nghĩa là: Từ đó, ta có được “tỷ số vàng” . Hiện nay, Tỷ lệ nàyđược sử dụng rộng rãi trong lĩnh vực xây dựng và mỹ thuật. Trở lại với dãy số Fibonacci. Thật kỳ lạ khi thấy rằng tỷ số này có mặt suốt trong dãy. Thật vậy, khi nhân lần lượt các số trong dãy với tỷ số vàng , bạn sẽ tiến càng lúc càng chính xác đến giá trị của số kế tiếp. Này nhé: 1 x 1.618033989… = 1.618033989 = 2 – 0.381966011 2 x 1.618033989… = 3.236067977 = 3 + 0.236067977 3 x 1.618033989… = 4.854101966 = 5 – 0.145898033 5 x 1.618033989… = 8.090169944 = 8 + 0.090169944 8 x 1.618033989… = 12.94427191 = 13 – 0.05572809 13 x 1.618033989… = 21.03444185 = 21 + 0.03444185 21 x 1.618033989… = 33.97871376 = 34 – 0.021286236 34 x 1.618033989… = 55.01315562 = 55 + 0.01315562 55 x 1.618033989… = 88.99186938 = 89 – 0.008130619 89 x 1.618033989… = 144.005025 = 144 + 0.005025 144 x 1.618033989… = 232.9968944 = 233 – 0.003105622 233 x 1.618033989… = 377.0019194 = 377 + 0.0019194 377 x 1.618033989… = 609.9988138 = 610 – 0.001186246 610 x 1.618033989… = 987.0007331 = 987 + 0.0007331 987 x 1.618033989… = 1596.999547 = 1597 – 0.00045312 987 x 1.618033989… = 1596.999547 = 1597 – 0.00045312 1597 x 1.618033989… = 2584.00028 = 2584 + 0.00028 ………………………………… __________________ j.Dãy số Fibonacci - Quy luật tự nhiên .Sự sắp xếp các cánh hoa trên một bông hoa Bạn đã bao giờ thực sự dành thời gian ngồi đếm số cánh của các loài hoa? Có lẽ là chưa. Nhưng nếu có thời gian, bạn sẽ nhận thấy một điều khá thú vị rằng: “ số lượng cánh hoa trên một bông hoa luôn là một trong các số thuộc dãy số Fibonacci”. Một số loài hoa có số lượng cánh hoa luôn là một số cố định, chẳng hạn Hoa mao Lương. Tuy nhiên, cũng có những loài hoa có số lượng cánh hoa thay đổi. Tuy nhiên, theo những nhà khoa học, những con số này luôn giao động quanh một mốc trung bình là một số thuốc dãy Fibonacci. Số lượng các đường xoắn ốc (hoặc đường chéo) Không chỉ ở số cánh hoa, dãy số Fibonacci còn hiện hữu một cách đáng ngạc nhiên hơn bạn nghĩ. Khi bạn quan sát nhị của bông hoa Hướng Dương, nhìn từ tâm ra, theo hai hướng cùng chiều và ngược chiều kim đồng hồ, bạn sẽ thấy các đường xoắn ốc. Và có một điều lạ là, số đường xoắn ốc đó luôn là một số thuộc dãy Fibonacci theo từng cặp: 21 và 34, hoặc 34, 55, hoặc 55, 89, hoặc 89 và 144. Tương tự, khi bạn quan sát một hạt thông (nón thông): số đường xoắn ốc theo các hướng khác nhau luôn là các cặp số thuộc dãy số bí ẩn: 8 và 13; 5 và 8….. Và cũng như vậy đối với quả dứa: số đường chéo tạo bởi các mắt dứa theo các hướng chéo nhau cũng lần lượt là 8 và 13 hoặc 13 và 21….tùy kích thước. Sự mọc chồi của cây Nhiều loài cây biểu hiện dãy số Fibonacci trong số lượng các “điểm phát triển” (nút) mà nó có. Khi một cây mọc cành non, thì cành đó phải lớn lên một thời gian, trước khi đủ khỏe để bản thân nó có thể sinh cành non mới. Nếu mỗi tháng cây mọc cành mới tại các nút ấy, thì chúng ta có hình vẽ minh họa như trên. Số lượng các nút mỗi thời điểm luôn là một con số Fibonacci. Một ví dụ: Cây Romanesque Brocolli / Súp lơ trắng (hoặc Romanesco) trông và có vị giống như lại giữa brocolli và súp lơ. Mỗi Hoa con đều giống hệt nhau nhưng nhỏ hơn. Điều này làm cho các xoắn ốc dễ nhìn thấy. Vậy taị sao? Phải chăng những điều này đều là sự trùng hợp ngẫu nhiên? Không! Tất cả đều nằm trong dãy số Fibonacci: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…Rõ ràng là mọi thứ tuân theo một quy luật chung. Dù chúng ta có thể giải thích một cách rõ ràng hay chưa. Trong một thời gian dài, người ta vẫn không thể hiểu tại sao những con số này lại xuất hiện như một quy luật tự nhiên như vậy? Chỉ đến thời gian gần đây, người ta mới hiểu, thực vật, trong quá trình tiến hóa của mình luôn có xu hướng hoàn thiện hình thái để thích nghi tốt nhất với môi trường sống, để đạt được mức tăng trưởng cao nhất. Và có mối liên hệ gì đó giữa các con số này với sự tăng trưởng của chúng. Số Fibonacci và sự mọc của lá xanh từ thân cây Nhiều loài cây cũng có cách mọc lá tuân theo các số Fibonacci. Nếu chúng ta quan sát kỹ sẽ thấy lá cây mọc trên cao thường xếp sao cho không che khuất lá mọc dưới. Điều đó có nghĩa là mỗi lá đều được hưởng ánh sáng và nước mưa, cũng như nước mưa sẽ được hứng và chảy xuống rễ đầy đủ nhất dọc theo lá, cành và thân cây. Nếu từ một lá ngọn làm khởi đầu, xoay quanh thân cây từ trên xuống dưới, lá sang lá, đếm số vòng xoay đồng thời đếm số chiếc lá, cho đến khi gặp chiếc lá mọc đúng phía dưới lá khởi đầu, thì các số Fibonacci xuất hiện. Nếu chúng ta đếm xoay theo hướng ngược lại, thì sẽ được một con số vòng xoay khác (ứng với cùng chừng ấy lá). Kỳ lạ là: Con số vòng xoay theo 2 hướng, cùng với số lá cây mà chúng ta gặp khi xoay, tất cả sẽ tạo thành 3 con số Fibonacci liên tiếp nhau! Có nhà nghiên cứu ước đoán rằng: 90% các loài cây có sự xếp lá tuân theo dãy số Fibonacci, theo cách này hay cách khác. 5. THUYẾT MINH TIẾN TRÌNH GIẢI QUYÊT TÌNH HUỐNG: Em đã vân dụng những kiến thức về môn Toán trong dãy số Fibonacci sau đó liên hệ đến những hình ảnh trong cuộc sống ,tìm hiểu trong sách vở hình ảnh dãy sô Fibonacci trong các môn học như Sinh và Hóa thêm vào đó êm tim hiểu thông tin trên mạng Internet để lấy thêm thông tin. Sau khi tìm kiếm những thông tin cần thiết em tập hợp lại sắp xếp nó theo trình tự thích hợp để bài viết hợp lí và thuyết phục. 6.Ý NGHĨA CỦA VIỆC GIẢI QUYẾT TÌNH HUỐNG: -Giải quyết được điều này ta trước hết sẽ khắc sâu trong đầu những kiến thức về dãy số Fibonacci trong Toán học và những môn học khác cũng như các vấn đề trong cuộc sồng. -Nó khuyến khích học sinh vân dụng kiến thức khác nhau để giải quyết các tình huống thực tiễn ,tăng cường khả năng tự học và tự nghiên cứu. -Biết cách áp dụng những đặc điểm của dãy số Fibonacci để vân dụng vào đời sống một cách khoa học và hợp lí.