Tài liệu Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp với toán tử nhiễu không đơn điệu.

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN GIANG BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN HỖN HỢP VỚI TOÁN TỬ NHIỄU KHÔNG ĐƠN ĐIỆU Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 Mục lục 1 Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp 6 1.1. Một số khái niệm và kết quả của giải tích hàm phi tuyến . . 1.1.1. Một số tính chất hình học của không gian 6 . . . . . . 6 1.1.2. Toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.3. Phiếm hàm lồi 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.1. Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.2. Một số trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức biến phân hỗn hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.3. Ví dụ thực tế của bất đẳng thức biến phân hỗn hợp . 16 2 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân hỗn hợp với toán tử nhiễu không đơn điệu 21 2.1. Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân hỗn hợp đơn điệu . . . 21 2.1.1. Sự tồn tại nghiệm và tính chất của tập nghiệm . . . . 21 2.1.2. Phương pháp hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2. Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp với toán tử nhiễu không đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.1. Phương pháp hiệu chỉnh và sự hội tụ . . . . . . . . . 28 2.2.2. Tham số hiệu chỉnh và tốc độ hội tụ . . . . . . . . . 33 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 Mở đầu Cho X là một không gian Banach thực phản xạ, X ∗ là không gian liên hợp của X, cả hai có chuẩn đều được kí hiệu là k.k, A : X → X ∗ là toán tử đơn điệu đơn trị và ϕ : X → R ∪ {+∞} là phiếm hàm lồi chính thường nửa liên tục dưới. Bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (mixed variational inequality) được phát biểu như sau (xem [3]): với f ∈ X ∗ , tìm x0 ∈ X sao cho hAx0 − f, x − x0 i + ϕ(x) − ϕ(x0 ) ≥ 0, ∀x ∈ X, (0.1) ở đây hx∗ , xi kí hiệu giá trị phiếm hàm tuyến tính liên tục x∗ ∈ X ∗ tại x ∈ X. Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (0.1), khi toán tử A không có tính chất đơn điệu đều hoặc đơn điệu mạnh và hàm ϕ không lồi mạnh, nói chung là một bài toán đặt không chỉnh (ill-posed) theo nghĩa nghiệm của nó không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện đầu vào. Do đó việc giải số của bài toán này gặp khó khăn, lý do là một sai số nhỏ trong dữ kiện của bài toán có thể dẫn đến sai số bất kì trong lời giải. Vì thế, người ta phải sử dụng những phương pháp giải ổn định sao cho khi sai số của dữ kiện càng nhỏ thì nghiệm xấp xỉ tìm được càng gần với nghiệm đúng của bài toán ban đầu. Một trong những phương pháp được sử dụng rộng rãi và rất có hiệu quả là phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov. Bằng phương pháp này O. A. Liskovets [7] đã xây dựng nghiệm hiệu chỉnh dựa trên việc giải bất đẳng thức biến phân: tìm phần tử xτα ∈ X sao cho hAh xτα + αU s (xτα − x∗ ) − fδ , x − xτα i + ϕε (x) − ϕε (xτα ) ≥ 0, ∀x ∈ X, (0.2) ở đây (Ah , fδ , ϕε ) là các xấp xỉ của (A, f, ϕ), τ = (h, δ, ε), U s là ánh xạ đối ngẫu tổng quát của X, α là một tham số (gọi là tham số hiệu chỉnh). Năm 2008 Nguyễn Bường và Nguyễn Thị Thu Thủy [2] đã đưa ra cách chọn giá trị của tham số hiệu chỉnh α và đánh giá tốc độ hội tụ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 của nghiệm hiệu chỉnh xτα của bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh của Liskovets (0.2) với toán tử ngược đơn điệu mạnh. Kết quả tương tự trong trường hợp toán tử nhiễu đơn điệu được nghiên cứu trong [8]. Nếu toán tử nhiễu Ah không đơn điệu thì bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh (0.2) của Liskovets có thể không có nghiệm. Trong trường hợp này, mở rộng kết quả với bất đẳng thức biến phân cổ điển của Liskovets, Nguyễn Thị Thu Thủy [9] đã nghiên cứu bài toán hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (0.1): tìm phần tử xτα ∈ X sao cho hAh xτα + αU s (xτα − x∗ ) − fδ , x − xτα i + ϕε (x) − ϕε (xτα ) ≥ −µg(kxτα k)kx − xτα k, ∀x ∈ X, µ ≥ h, (0.3) ở đây µ là một số dương đủ bé. Mục đích của luận văn nhằm trình bày kết quả trong [9] của Nguyễn Thị Thu Thủy về hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân hỗn hợp với toán tử nhiễu không đơn điệu. Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1 giới thiệu về bất đẳng thức biến phân hỗn hợp trong không gian Banach phản xạ thực X. Một số trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức biến phân hỗn hợp và bài toán thực tế của bất đẳng thức biến phân hỗn hợp được trình bày ở phần cuối của chương. Trong chương 2 sẽ trình bày phương pháp hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (0.1) với toán tử nhiễu không đơn điệu. Cụ thể là trình bày định lý tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán hiệu chỉnh (0.3), sự hội tụ mạnh của nghiệm hiệu chỉnh đến nghiệm chính xác của bất đẳng thức biến phân (0.1), đồng thời đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh khi toán tử A có tính chất ngược đơn điệu mạnh. Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Thị Thu Thủy, trưởng Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, người đã hướng dẫn, chỉ dạy tận tình để tôi hoàn thành luận Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô công tác tại trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, trường Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, Viện Toán học, Viện Công nghệ Thông tin thuộc Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã truyền thụ kiến thức cho tôi trong suốt quá trình học tập vừa qua. Tôi cũng xin cảm ơn cơ quan, bạn bè, gia đình đã chia sẻ, giúp đỡ, động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành luận văn này. Người viết luận văn Nguyễn Văn Giang Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 Một số ký hiệu và chữ viết tắt H không gian Hilbert thực X không gian Banach thực X∗ không gian liên hợp của X Rn không gian Euclide n chiều ∅ tập rỗng x := y x được định nghĩa bằng y ∀x với mọi x ∃x tồn tại x inf F (x) x∈X infimum của tập {F (x) : x ∈ X} I ánh xạ đơn vị AT ma trận chuyển vị của ma trận A a∼b a tương đương với b A∗ toán tử liên hợp của toán tử A D(A) miền xác định của toán tử A R(A) miền giá trị của toán tử A xk → x dãy {xk } hội tụ mạnh tới x xk * x dãy {xk } hội tụ yếu tới x Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 Chương 1 Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp 1.1. Một số khái niệm và kết quả của giải tích hàm phi tuyến Cho X là một không gian Banach thực phản xạ, X ∗ là không gian liên hợp của X, cả hai có chuẩn đều được kí hiệu là k.k, kí hiệu hx∗ , xi là giá trị của phiếm hàm tuyến tính liên tục x∗ ∈ X ∗ tại x ∈ X. Các khái niệm và kết quả trong mục này chúng tôi tham khảo trong các tài liệu [1], [3], [6] và [10]. 1.1.1. Một số tính chất hình học của không gian Định nghĩa 1.1. Không gian Banach X được gọi là lồi chặt nếu mặt cầu đơn vị S = {x ∈ X : kxk = 1} của X là lồi chặt, tức là từ x, y ∈ S kéo theo kx + yk < 2 (nói cách khác biên của S không chứa bất kì một đoạn thẳng nào). Ví dụ 1.1. Không gian Lp [a, b], 1 < p < ∞, là một không gian lồi chặt. Định nghĩa 1.2. Không gian Banach X được gọi là lồi đều nếu với mọi ε > 0 tồn tại một số δ > 0 sao cho với mọi x, y ∈ X thỏa mãn kxk ≤ 1, kyk ≤ 1, kx − yk = ε thì bất đẳng thức kx + yk ≤ 2(1 − δ) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 đúng. Định nghĩa 1.3. Không gian Banach thực X được gọi là không gian có tính chất Ephimov-Stechkin (hay không gian có tính chất E-S) nếu
X phản xạ và trong X sự hội tụ yếu các phần tử xn * x và sự hội tụ

chuẩn kxn k → kxk luôn kéo theo sự hội tụ mạnh kxn − xk → 0 . Ví dụ 1.2. Không gian Hilbert là không gian có tính chất E-S. 1.1.2. Toán tử đơn điệu Cho toán tử đơn trị A : X → X ∗ , như thường lệ ta ký hiệu miền hữu hiệu của A là D(A), miền giá trị của A là R(A) và đồ thị của A là GraA. Theo định nghĩa ta có: D(A) = {x ∈ X : Ax 6= ∅}, R(A) := {y ∈ Y ∗ : y = Ax, x ∈ D(A)}, GraA := {(x, y) : y = Ax, x ∈ X}. Định nghĩa 1.4. Toán tử A được gọi là (i) đơn điệu nếu hAx − Ay, x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A); (ii) đơn điệu ngặt nếu x 6= y thì hAx − Ay, x − yi > 0, ∀x, y ∈ D(A); (iii) đơn điệu đều nếu tồn tại hàm không âm δ (t) không giảm với t ≥ 0, δ(0) = 0 và hAx − Ay, x − yi ≥ δ kx − yk), ∀x, y ∈ D(A); (iv) đơn điệu mạnh nếu ∃τ > 0, (τ = const) thỏa mãn hAx − Ay, x − yi ≥ τ kx − yk2 , ∀x, y ∈ D(A); Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 (v) ngược đơn điệu mạnh nếu tồn tại một hằng số mA > 0 thỏa mãn hAx − Ay, x − yi ≥ mA k Ax − Ay k2 , ∀x, y ∈ D(A). Ví dụ 1.3. Cho toán tử A xác định trên R, A(x) = x với mọi x ∈ R. Khi đó A là toán tử đơn điệu. Thật vậy, vì với mọi x, y ∈ R ta có: hAx − Ay, x − yi = hx − y, x − yi = (x − y)2 ≥ 0. Định nghĩa 1.5. Cho X là không gian Banach phản xạ thực, D ⊆ X, A : X → X ∗ . Toán tử A được gọi là: (i) hemi-liên tục tại x0 ∈ D nếu A(x0 + tn x) * Ax0 khi tn → 0 với véc tơ x tùy ý sao cho x0 + tn x ∈ D và 0 ≤ tn ≤ t(x0 ); (ii) demi-liên tục tại x0 ∈ D nếu với dãy bất kỳ {xn } ⊂ D sao cho xn → x0 thì kéo theo Axn * Ax0 đúng. Nhận xét 1.1. Một toán tử đơn điệu và hemi-liên tục trên X thì demiliên tục trên X. Định nghĩa 1.6. Cho A : X → Y là một toán tử từ không gian Banach X vào không gian Banach Y . Toán tử A được gọi là khả vi Fréchet tại điểm x ∈ X, nếu tồn tại T ∈ L(X, Y ) sao cho A(x + h) = A(x) + T h + o(khk), với mọi h thuộc một lân cận của điểm θ. Nếu tồn tại, thì T được gọi là đạo hàm Fréchet của A tại x, và ta viết A0 (x) = T . ∗ Định nghĩa 1.7. Ánh xạ U s : X → 2X được gọi là ánh xạ đối ngẫu tổng quát của X nếu U s (x) = {x∗ ∈ X ∗ : hx∗ , xi = kx∗ kkxk, kx∗ k = kxks−1 }, s ≥ 2. Khi s = 2 thì U s thường được là U được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của X. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9 Tính đơn trị của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc U được cho trong mệnh đề sau đây. Mệnh đề 1.1. (xem [1]) Giả sử X là một không gian Banach. Khi đó, 1) U (x) là tập lồi, U (λx) = λU (x) với mọi λ ∈ R; 2) U là ánh xạ đơn trị khi và chỉ khi X ∗ là không gian lồi chặt. Nhận xét 1.2. i) Trong không gian Hilbert H, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc chính là toán tử đơn vị I trong H. ii) Ánh xạ đối ngẫu là một trong những ví dụ về toán tử đơn điệu, nó tồn tại trong mọi không gian Banach. Ví dụ 1.4. Với X = Lp (Ω), 1 < p < ∞ và Ω là một tập đo được của không gian Rn thì ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc U có dạng (U x)(t) = kxk2−p |x(t)|p−2 x(t), t ∈ Ω. Định lý 1.1. (xem [1]) Nếu X ∗ là không gian Banach lồi chặt thì ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc U : X → X ∗ là toán tử đơn điệu, bức và demi-liên tục. Hơn nữa, nếu X là không gian Banach lồi chặt thì U là toán tử đơn điệu chặt. Định nghĩa 1.8. Toán tử A : X → X ∗ có tính chất Γ nếu từ sự hội tụ yếu của dãy xn (xn * x) và hAxn − Ax, xn − xi → 0 suy ra sự hội tụ mạnh (xn → x) khi n → ∞. 1.1.3. Phiếm hàm lồi Cho D ⊂ X là một tập lồi khác rỗng, ϕ : X → R ∪ {+∞}. Miền hữu hiệu của hàm ϕ được định nghĩa bởi domϕ := {x ∈ X : ϕ(x) 6= 0}. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 10 Định nghĩa 1.9. Hàm ϕ được gọi là (i) lồi trên D nếu với mọi x, y ∈ D và mọi λ ∈ [0, 1] ta có ϕ(λx + (1 − λ)y) ≤ λϕ(x) + (1 − λ)ϕ(y); (ii) lồi chặt trên D nếu với mọi x, y ∈ D, x 6= y và mọi λ ∈ (0, 1) ta có ϕ(λx + (1 − λ)y) < λϕ(x) + (1 − λ)ϕ(y); (iii) lồi mạnh trên D nếu với mọi x, y ∈ D, và mọi λ ∈ (0, 1) tồn tại τ ∈ R, τ > 0 sao cho 1 ϕ(λx + (1 − λ)y) < λϕ(x) + (1 − λ)ϕ(y) − λ(1 − λ)τ k x − y k2 ; 2 (iv) nửa liên tục dưới tại điểm x0 ∈ domϕ nếu với dãy {xn } bất kỳ xn ∈ domϕ sao cho xn → x0 thì ϕ(x) ≤ lim inf(ϕ(xn )); n→∞ (v) nửa liên tục dưới yếu tại điểm x0 ∈ domϕ nếu với dãy {xn } bất kỳ xn ∈ domϕ sao cho xn * x0 thì ϕ(x) ≤ lim inf(ϕ(xn )). n→∞ Định nghĩa 1.10. Hàm ϕ được gọi là chính thường trên X nếu domϕ 6= ∅ và ϕ(x) > −∞, ∀x ∈ X. Mối liên hệ giữa hàm nửa liên tục dưới, nửa liên tục dưới yếu được cho trong định lý sau đây: Định lý 1.2. Nếu ϕ là hàm lồi, nửa liên tục dưới trên X thì ϕ là nửa liên tục dưới yếu trên X. Định nghĩa 1.11. Cho ϕ là hàm lồi trên X. Phiếm hàm x∗ ∈ X ∗ được gọi là dưới gradient của hàm ϕ tại x ∈ X nếu ϕ(x) − ϕ(y) ≤ hx − y, x∗ i, ∀y ∈ X. Tập tất cả các dưới gradient của ϕ tại x được gọi là dưới vi phân của ϕ tại x, kí hiệu là ∂ϕ(x), tức là ∂ϕ(x) = {x∗ ∈ X : ϕ(x) − ϕ(y) ≤ hx − y, x∗ i, ∀y ∈ X}. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 11 Hàm ϕ được gọi là khả dưới vi phân tại x nếu ∂ϕ(x) 6= ∅. Định nghĩa 1.12. Phiếm hàm ϕ được gọi là khả vi Gâteaux tại điểm x ∈ X nếu tồn tại x∗ ∈ X ∗ sao cho ϕ(x + λy) − ϕ(x) = hx∗ , yi, ∀y ∈ X, λ→+0 λ lim x∗ được gọi là đạo hàm Gâteaux của ϕ tại x, kí hiệu là ϕ0 (x). Chú ý 1.1. Nếu ϕ là phiếm hàm lồi, khả vi Gâteaux tại x ∈ X thì ϕ khả dưới vi phân tại x và ∂ϕ(x) = {ϕ0 (x)}. Mệnh đề 1.2. (xem [3]) Cho ϕ : X → R ∪ {+∞} là phiếm hàm khả vi Gâteaux. ϕ là phiếm hàm lồi khi và chỉ khi đạo hàm Gâteaux ϕ0 là toán tử đơn điệu từ X → X ∗ . Chứng minh: Theo Chú ý 1.1, nếu ϕ là hàm lồi thì ϕ0 (x) và ϕ0 (y) là dưới vi phân của ϕ tại x và y. Do đó: hϕ0 (x), y − xi + ϕ(x) ≤ ϕ(y), hϕ0 (y), x − yi + ϕ(y) ≤ ϕ(x). Cộng hai vế với vế của các bất đẳng thức này ta được: hϕ0 (x) − ϕ0 (y), x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ X, tức là ϕ0 là toán tử đơn điệu từ X vào X ∗ . Ngược lại, giả sử ϕ là hàm khả vi Gâteaux và đạo hàm ϕ0 là toán tử đơn điệu từ X vào X ∗ . Ta xét hàm φ : [0, 1] → R được định nghĩa bởi: φ(λ) = ϕ(x + λ(y − x)). Đặt x + λ(y − x) = xλ , suy ra φ0 (λ) = hϕ0 (x + λ(y − x), y − xi. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 12 Với mọi 0 ≤ λ0 < λ ≤ 1 ta có φ0 (λ) − φ0 (λ0 ) = hϕ0 (xλ ) − ϕ0 (xλ0 ), y − xi 1 hϕ0 (xλ ) − ϕ0 (xλ0 ), xλ − xλ0 i. = 0 λ−λ Do ϕ0 đơn điệu nên φ0 (λ) − φ0 (λ0 ) ≥ 0, suy ra φ0 là hàm tăng. Vậy φ là hàm lồi trên đoạn [0, 1] và φ(λ) ≤ (1 − λ)φ(0) + λφ(1), ∀λ ∈ [0, 1]. Suy ra ϕ((1 − λ)x + λy) ≤ (1 − λ)ϕ(x) + λϕ(y), ∀λ ∈ [0, 1]. Vậy ϕ là hàm lồi. 2 Tính lồi của hàm khả vi Gâteaux được cho bởi mệnh đề sau. Mệnh đề 1.3. (xem [3]) Cho ϕ là một hàm khả vi Gâteaux với đạo hàm Gâtaeux là A, khi đó các phát biểu sau là tương đương: (i) ϕ là hàm lồi; (ii) ϕ(x) ≥ ϕ(x0 ) + hAx0 , x − x0 i, ∀x, x0 ∈ X. 1.2. Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian vô hạn chiều đã được nhà toán học người Italia là G. Stampacchia và các đồng sự đưa ra lần đầu tiên vào năm 1960 trong khi nghiên cứu các bài toán biên tự do. Từ đó các phương pháp bất đẳng thức biến phân vô hạn chiều đã được sử dụng rộng rãi và có hiệu quả trong các phương trình vật lý toán. Lớp bài toán này được xuất hiện trong nhiều ứng dụng của toán học, phương trình phi tuyến, mô hình cân bằng trong kinh tế và kỹ thuật ... Trong mục này, chúng tôi phát biểu bài toán, các vấn đề có liên quan và ví dụ thực tế của bất đẳng thức biến phân hỗn hợp. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 13 1.2.1. Phát biểu bài toán Cho X là không gian Banach thực phản xạ, X ∗ là không gian liên hợp của X, A : X → X ∗ là một toán tử đơn trị và ϕ : X → R ∪ {+∞} là một phiếm hàm lồi chính thường. Bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp được phát biểu như sau: với f ∈ X ∗ , hãy tìm x0 ∈ X sao cho hAx0 − f, x − x0 i + ϕ(x) − ϕ(x0 ) ≥ 0, ∀x ∈ X. (1.1) Chú ý rằng, nếu thêm giả thiết ϕ có dưới vi phân trên X thì bài toán (1.1) có thể viết lại dưới một dạng khác được cho trong mệnh đề sau đây. Mệnh đề 1.4. (xem [3]) Cho A : X → X ∗ là toán tử đơn trị và ϕ : X → R ∪ {+∞} là một phiếm hàm lồi chính thường, nửa liên tục dưới và có dưới vi phân trên X. Khi đó bài toán (1.1) tương đương với bài toán: tìm x0 ∈ X sao cho f − Ax0 ∈ ∂ϕ(x0 ). Chứng minh: Từ (1.1) ta có hAx0 − f, x − x0 i + ϕ(x) − ϕ(x0 ) ≥ 0, ∀x ∈ X ⇔ ϕ(x0 ) − ϕ(x) ≤ hAx0 − f, x − x0 i, ∀x ∈ X ⇔ ϕ(x0 ) − ϕ(x) ≤ hx0 − x, f − Ax0 i, ∀x ∈ X ⇔ f − Ax0 ∈ ∂ϕ(x0 ). 2 Trong trường hợp A là đạo hàm Gâteaux của một phiếm hàm lồi chính thường nửa liên tục dưới F , thì bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (1.1) tương đương với bài toán cực trị lồi không khả vi. Đó là nội dung của mệnh đề sau (xem [1]). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 14 Mệnh đề 1.5. Cho F và ϕ : X → R ∪ {+∞} là các hàm lồi chính thường, nửa liên tục dưới, hàm F khả vi Gâteaux với đạo hàm Gâteaux là A. Khi đó, các phát biểu sau là tương đương: (i) x0 là nghiệm của bài toán cực trị min{F (x) + ϕ(x)}; (1.2) x∈X (ii) hAx0 , x − x0 i + ϕ(x) − ϕ(x0 ) ≥ 0, ∀x ∈ X; (iii) hAx, x − x0 i + ϕ(x) − ϕ(x0 ) ≥ 0, ∀x ∈ X. Nếu giả thiết hàm ϕ cũng khả vi, thì từ Mệnh đề 1.4 ta suy ra ngay rằng bài toán (1.1) tương đương với bài toán: tìm x0 ∈ X sao cho f 0 (x0 ) = θ, với f (x) = F (x) + ϕ(x). Chứng minh: Đặt F1 = F + ϕ. (i) ⇔ (ii) Thật vậy, nếu x0 là nghiệm của bài toán cực trị (1.2) thì F1 (x0 ) ≤ F1 (x), ∀x ∈ X. Chọn x = (1 − λ)x0 + λx1 , ∀x1 ∈ X, λ ∈ (0, 1), khi đó   F1 (x0 ) ≤ F1 (1 − λ)x0 + λx1     ⇔ F (x0 ) + ϕ(x0 ) ≤ F (1 − λ)x0 + λx1 + ϕ (1 − λ)x0 + λx1 . Do tính lồi của ϕ nên   ϕ (1 − λ)x0 + λx1 ≤ (1 − λ)ϕ(x0 ) + λϕ(x1 ), từ đó suy ra   F (x0 ) + ϕ(x0 ) ≤ F (1 − λ)x0 + λx1 + (1 − λ)ϕ(x0 ) + λϕ(x1 ). Vì λ ∈ (0, 1) nên chia cả hai vế bất đẳng thức trên cho λ ta được i
1h F (1 − λ)x0 + λx1 − F (x0 ) + ϕ(x1 ) − ϕ(x0 ) ≥ 0. λ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 15 Cho λ → 0, do F khả vi Gâteaux và đạo hàm Gâteaux là A nên suy ra hAx0 , x1 − x0 i + ϕ(x1 ) − ϕ(x0 ) ≥ 0. Giả sử x0 thỏa mãn (ii). Vì F là hàm lồi, khả vi Gâteaux nên theo Mệnh đề 1.3 ta có F (x) ≥ F (x0 ) + hA(x0 ), x − x0 i, ∀x ∈ X ⇔F (x) − F (x0 ) − hA(x0 ), x − x0 i ≥ 0, ∀x ∈ X. Kết hợp với (ii) ta có:
F (x) + ϕ(x) − F (x0 ) + ϕ(x0 ) ≥ 0, ∀x ∈ X, hay F1 (x) − F1 (x0 ) ≥ 0, ∀x ∈ X. Do đó x0 ∈ minx∈X F1 (x), hay x0 ∈ minx∈X {F (x) + ϕ(x)}. (ii) ⇔ (iii) Thật vậy, từ tính đơn điệu của A ta có: hAx − Ax0 , x − x0 i ≥ 0, ∀x ∈ X. Cộng bất đẳng thức trên với (ii) ta được hAx0 , x − x0 i + ϕ(x) − ϕ(x0 ) ≥ 0, ∀x ∈ X. Ngược lại, lấy x = (1 − λ)x0 + λx1 , x1 ∈ X, λ ∈ (0, 1). Ta có hAx, x − x0 i = hA((1 − λ)x0 + λx1 ), (1 − λ)x0 + λx1 − x0 i = λhA((1 − λ)x0 + λx1 ), x1 − x0 i ≥ 0. Vì x0 thỏa mãn (iii) nên ta có
λhA (1 − λ)x0 + λx1 , x1 − x0 i + ϕ((1 − λ)x0 + λx1 ) + ϕ(x1 ) ≥ 0. Do tính lồi của ϕ nên
λhA (1 − λ)x0 + λx1 , x1 − x0 i + λϕ(x1 ) − λϕ(x0 ) ≥ 0. Chia bất đẳng thức trên cho λ và cho λ → 0 ta thu được ii) với x1 thay bởi x. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 16 Theo giả thiết ϕ là phiếm hàm lồi khả vi, x0 là nghiệm của bài toán cực trị (1.2), hàm F khả vi Gâteaux với đạo hàm Gâteaux là A suy ra F 0 (x0 ) + ϕ0 (x0 ) = Ax0 = 0. 2 1.2.2. Một số trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức biến phân hỗn hợp 1) Nếu ϕ là hàm chỉ của tập lồi đóng K trong X, nghĩa là ( 0 , nếu x ∈ K ϕ(x) = +∞ , trong các trường hợp khác thì bài toán (1.1) tương đương với bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển: tìm x0 ∈ K sao cho hAx0 − f, x − x0 i ≥ 0, ∀x ∈ K. (1.3) 2) Khi K là toàn bộ không gian X thì bài toán bất đẳng thức biến phân (1.3) có dạng phương trình toán tử Ax = f. 1.2.3. Ví dụ thực tế của bất đẳng thức biến phân hỗn hợp Ví dụ 1.5. Bài toán cân bằng mạng giao thông (xem [5]): Xét một mạng giao thông được cho bởi một mạng luồng hữu hạn. Gọi: • N : tập hợp các nút của mạng. • A : tập hợp các cạnh (mỗi cạnh được gọi là một đoạn đường). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 17 Giả sử O ⊆ N, D ⊆ N sao cho O ∩ D = . Mỗi phần tử của O được gọi là điểm nguồn, còn mỗi phần tử của D được gọi là điểm đích. Mỗi điểm nguồn và điểm đích được nối với nhau bởi một tập hợp liên tiếp cách cạnh (được gọi là một đường tuyến). Ký hiệu: • fai : là mật độ giao thông của phương tiện i trên đoạn đường a ∈ A. Đặt f là véc tơ có các thành phần là fai với i ∈ I và a ∈ A (I là tập hợp các phương tiện giao thông). • cia : là chi phí khi sử dụng phương tiện giao thông i trên đoạn đường A. Đặt c là véc tơ có các thành phần là cia với i ∈ I và a ∈ A. • diw : là nhu cầu sử dụng loại phương tiện i ∈ I trên tuyến đường w = (O, D) với 0 ∈ D, D ∈ D. Giả sử rằng chi phí giao thông phụ thuộc vào lưu lượng, tức là c = c(f ) là một hàm của f . • λiw : là mức độ chi phí trên tuyến đường w của phương tiện giao thông i. • xiw : là mật độ giao thông của phương tiện i ∈ I trên tuyến w ∈ O × D. Giả sử trong mạng trên, phương trình cân bằng sau thỏa mãn: X diw = xip ∀i ∈ I, w ∈ O × D (1.4) p∈Pw trong đó, Pw ký hiệu tập hợp các tuyến đường của w = (O, D) (nối điểm nguồn O và điểm đích D). Theo phương trình (1.4), thì nhu cầu sử dụng loại phương tiện i trên tuyến w bằng đúng tổng mật độ giao thông của phương tiện trên mọi tuyến đường nối điểm nguồn và điểm đích của tuyến đường đó. Khi đó ta có: X i fa = xip δap ∀i ∈ I, w ∈ O × D p∈Pw Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.5) 18 trong đó: ( δap = 1 , nếu a ∈ p 0 , nếu a∈ /p Với mỗi tuyến đường p nối một điểm nguồn và một điểm đích, đặt X i cp = cia δap (1.6) a∈A Như vậy, cip là một chi phí khi sử dụng phương tiện i trên tuyến đường p. Đặt d là véc tơ có các thành phần là diw (i ∈ I, w ∈ O × D) và đặt f là véc tơ có các thành phần là dia (i ∈ I, a ∈ O × D). Một cặp (d∗ , f ∗ ) thỏa mãn các điều kiện (1.4) và (1.5) được gọi là điểm cân bằng của mạng giao thông nếu: ( cpi (f ∗ ) = λiw (d∗ ) , khi xip > 0 > λiw (d∗ ) , khi xip = 0 với mỗi i ∈ I và mỗi tuyến đường p. Theo định nghĩa này, tại điểm cân bằng đối với mọi loại phương tiện giao thông và mọi tuyến đường, chi phí sẽ thấp nhất khi có lưu lượng giao thông trên tuyến đó. Trái lại, chi phí sẽ không phải thấp nhất. Đặt K = {(f, d) | ∃x ≥ 0 sao cho (1.4) và (1.5) đúng}. Khi đó ta có định lý sau. Định lý 1.3. (xem [5]) Mỗi cặp véc tơ (f ∗ , d∗ ) ∈ K là một điểm cân bằng của mạng giao thông khi và chỉ khi nó là nghiệm của bất đẳng thức biến phân sau: tìm (f ∗ , d∗ ) ∈ K sao cho h(c(f ∗ )), λ(d∗ )), (f, d) − (f ∗ , d∗ )i ≥ 0 với ∀(f, d) ∈ K. Ví dụ 1.6. Bài toán kinh tế bán độc quyền (xem [4]): Giả sử có n công ty cùng sản xuất một sản phẩm và lợi nhuận pi của mỗi công ty i phụ thuộc vào tổng số lượng sản phẩm của tất cả các công Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 19 ty σ := Pn i=1 xi . Ký hiệu hi (xi ) là chi phí của công ty i khi sản xuất ra lượng hàng hóa xi . Giả sử rằng lợi nhuận của công ty i được cho bởi n X xi ) − hi (xi ), i = 1, ..., n, fi (x1 , ..., xn ) = xi pi ( (1.7) i=‘ P trong đó p( nj=1 xj ) là giá của một đơn vị sản phẩm, phụ thuộc vào tổng sản phẩm, còn hàm chi phí của mỗi công ty i chỉ phụ thuộc vào mức độ sản xuất của công ty đó. Đặt Ui ⊂ R, (i = 1, ..., n) là tập chiến lược của công ty i. Lẽ dĩ nhiên, mỗi công ty cần xác định cho mình một mức độ sản xuất để đạt được lợi nhuận cao nhất. Tuy nhiên, trong trường hợp tổng quát, việc tất cả các công ty đều có lợi nhuận cực đại là khó có thể được. Vì vậy người ta dùng đến khái niệm cân bằng. Một điểm x∗ = (x∗1 , ..., x∗n ) ∈ U := U1 × ... × Un được gọi là điểm cân bằng Nash nếu fi (x∗1 , ..., x∗i−1 , y1 , x∗i+1 , ..., x∗n ) ≤ fi (x∗1 , ..., x∗n ), ∀yi ∈ Ui , ∀i = 1, ..., n. Trong mô hình cân bằng Cournot cổ điển, hàm chi phí và hàm lợi nhuận của công ty là hàm affine có dạng pi (σ) ≡ p(σ) = α0 − βσ, α0 ≥ 0, β > 0, với σ = Xn i=1 xi , hi (xi ) = µi xi + ξi , µi ≥ 0, ξi ≥ 0, i = 1, ..., n. Ta đặt:  β 0 0  0 β 0 A= . . . . . . . . .  0 0 0 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ... 0   0  . . . . . .  ... β ... http://www.lrc-tnu.edu.vn