BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
BẠCH THU TRANG
ĐỐI ĐẠO HÀM VÀ ÁNH XẠ TẬP NGHIỆM
CỦA HỆ RÀNG BUỘC TUYẾN TÍNH
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
HÀ NỘI, NĂM 2017
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
BẠCH THU TRANG
ĐỐI ĐẠO HÀM VÀ ÁNH XẠ TẬP NGHIỆM
CỦA HỆ RÀNG BUỘC TUYẾN TÍNH
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 62.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. Lê Anh Dũng
HÀ NỘI, NĂM 2017
Mục lục
Lời nói đầu
1
1 Đối đạo hàm và ánh xạ Lipschitz đa trị
3
1.1
Nón pháp tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Đối đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3
Ánh xạ đa trị Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Ánh xạ tập nghiệm của hệ ràng buộc tuyến tính
3
28
2.1
Tính chính qui mêtric
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2
Hệ ràng buộc tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3
Công thức đối đạo hàm của ánh xạ G và ánh xạ hằng M . . 33
2.4
Tính tựa Lipschitz và tính chính qui mêtric đối với ánh xạ
tập nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3 Bài toán bù tuyến tính
41
3.1
Bài toán bù tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2
Một số bài toán tối ưu liên quan đến bài toán bù tuyến tính 42
3.2.1
Bài toán qui hoạch tuyến tính . . . . . . . . . . . . 42
3.2.2
Bài toán tối ưu bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.3
Trò chơi song ma trận (Bimatrix Games) . . . . . . 43
i
3.3
Mối liên hệ bài toán bù tuyến tính với hệ ràng buộc tuyến
tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4
Tính tựa Lipschitz của tập nghiệm trong bài toán bù tuyến
tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Kết luận
51
Tài liệu tham khảo
52
ii
Lời nói đầu
Ánh xạ Lipschitz là khái niệm rất quen thuộc trong giải tích. Khi nghiên
cứu đối với ánh xạ đa trị, một cách tự nhiên ánh xạ đa trị Lipschitz
được định nghĩa thông qua khoảng cách giữa hai tập ảnh là khoảng cách
Hausdorff giữa hai tập hợp. Tuy nhiên, để đảm bảo khoảng cách Hausdorff
là mêtric đòi hỏi ảnh là tập đóng, bị chặn. Để mở rộng một cách tự nhiên
hơn người ta đề cập đến khái niệm tựa Lipschitz. Để có "tính Lipschitz"
đối với ánh xạ nghịch ảnh người ta đề cập tính chính qui mêtric. Đồng
thời người ta chỉ ra điều kiện đủ để tính chính qui mêtric của ánh xạ đa
trị F tương đương với tính tựa Lipschitz của ánh xạ ngược F −1 .
Đối với ánh xạ tuyến tính liên tục, nghiên cứu ánh xạ liên hợp đóng
một vai trò quan trọng trong giải tích hàm. Đối với ánh xạ đa trị, tính
"liên hợp" được thay thế bởi đối đạo hàm thông qua nón pháp tuyến. Điều
đặc biệt là ta vẫn có mối liên hệ giữa đối đạo hàm và tính tựa Lipschitz.
Mục tiêu chính của luận văn thông qua công cụ đối đạo hàm ta nghiên
cứu tính biến đổi liên tục của tập nghiệm: tính tựa Lipschitz của ánh xạ
tập nghiệm, tính chính qui mêtric theo nghĩa Robinson. Luận văn sử dụng
các tài liệu tham khảo [1] → [6] đặc biệt là các tài liệu [1], [2]. Luận văn
tiêu đề "Đối đạo hàm và ánh xạ tập nghiệm của hệ ràng buộc tuyến tính"
gồm 3 chương nội dung chính.
Chương 1 đề cập đến khái niệm và tính chất của nón pháp tuyến, đối đạo
1
hàm và ánh xạ đa trị Lipschitz.
Chương 2 đề cập đến tính chính qui mêtric, hệ ràng buộc tuyến tính, tính
tựa Lipschitz và tính chính qui mêtric đối với ánh xạ tập nghiệm.
Chương 3 đề cập đến bài toán bù tuyến tính và các mối liên hệ với một số
bài toán tối ưu, hệ ràng buộc tuyến tính.
Luận văn được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của
T.S Lê Anh Dũng. Tác giả xin được tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy.
Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa
Toán-Tin ĐHSP Hà Nội đã tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình
tác giả học tập và nghiên cứu.
Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian, trình độ và điều kiện
nghiên cứu còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót
nhất định. Kính mong quý thầy cô và các bạn đóng góp ý kiến để luận
văn được hoàn thiện và phát triển hơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2017
Tác giả
Bạch Thu Trang
2
Chương 1
Đối đạo hàm và ánh xạ Lipschitz đa
trị
Trước khi đề cập đến đối đạo hàm, chúng tôi đề cập đến khái niệm và
các tính chất của nón pháp tuyến.
1.1
Nón pháp tuyến
Định nghĩa 1.1.1. Cho Ω là tập con khác rỗng trong không gian Banach
X.
(i) Với x ∈ Ω và ε ≥ 0, tập các ε-pháp tuyến của Ω tại x được xác định
bởi:
(
bε (x; Ω) :=
N
x∗ ∈ X ∗ | lim sup
Ω
u→x
∗
)
hx , u − xi
≤ε .
ku − xk
(1.1)
Khi ε = 0, phần tử x∗ trong (1.1) gọi là pháp tuyến Fréchet và tập
b0 (x; Ω) gọi là nón pháp tuyến Fréchet của Ω tại x, ta kí hiệu gọn là
N
b (x; Ω).
N
bε (x; Ω) := ∅ với mọi ε ≥ 0.
Nếu x ∈
/ Ω, ta qui ước N
(ii) Cho x̄ ∈ Ω, x∗ ∈ X ∗ là một pháp tuyến giới hạn của Ω tại x̄ nếu
∗
Ω
w
bε (xk ; Ω) với mọi
tồn tại dãy εk ↓ 0, xk → x̄, và x∗k → x∗ sao cho x∗k ∈ N
k
3
k ∈ N. Tập các pháp tuyến giới hạn
bε (x; Ω),
N (x̄; Ω) := lim sup N
(1.2)
x→ x̄
ε↓0
gọi là nón pháp tuyến (hay nón pháp tuyến giới hạn) của Ω tại x̄.
Ta qui ước N (x̄; Ω) := ∅, với x̄ ∈
/ Ω.
Mệnh đề 1.1. Cho Ω1 , Ω2 lần lượt là tập con khác rỗng trong không gian
Banach X1 và X2 . Lấy tùy ý điểm x̄ = (x̄1 , x̄2 ) ∈ Ω1 × Ω2 ⊂ X1 × X2 .
Khi đó:
b (x̄; Ω1 × Ω2 ) = N
b (x̄1 ; Ω1 ) × N
b (x̄2 ; Ω2 )
N
(1.3)
N (x̄; Ω1 × Ω2 ) = N (x̄1 ; Ω1 ) × N (x̄2 ; Ω2 )
(1.4)
b (x̄; Ω) và N (x̄; Ω) không phụ thuộc vào việc chọn chuẩn
Chứng minh. Do N
trên X1 và X2 , nên ta có thể cố định một chuẩn trong các chuẩn tương
đương của không gian đó. Trong không gian tích X1 × X2 ta chọn chuẩn
tổng như sau:
k(x1 , x2 )k := kx1 k + kx2 k
Lấy tùy ý ε ≥ 0 và x̄ = (x̄1 , x̄2 ) ∈ Ω := Ω1 × Ω2 , ta khẳng định rằng
bε (x̄1 ; Ω1 ) × N
bε (x̄2 ; Ω2 ) ⊂ N
b2ε (x̄; Ω) ⊂ N
b2ε (x̄1 ; Ω1 ) × N
b2ε (x̄2 ; Ω2 ). (1.5)
N
bε (x̄1 ; Ω1 ) × N̄ε (x̄2 ; Ω2 ), ta cần chứng
Thật vậy, lấy tuỳ ý x∗ = (x∗1 , x∗2 ) ∈ N
b2ε (x̄, Ω).
minh rằng x∗ ∈ N
bε (x̄1 ; Ω1 ) suy ra với mỗi γ > 0, tồn tại một lân cận U1 của x̄1
Do x∗1 ∈ N
sao cho
hx∗1 , x1 − x̄1 i
≤ ε + γ,
kx1 − x̄1 k
∀x1 ∈ U1 ∩ Ω1 .
Do đó
hx∗1 , x1 − x̄1 i ≤ (ε + γ)kx1 − x̄1 k + kx2 − x̄2 k,
4
∀x2 ∈ Ω2 .
Suy ra
hx∗1 , x1 − x̄1 i
≤ ε + γ, ∀x1 ∈ U1 ∩ Ω1 , x2 ∈ Ω2 .
kx1 − x̄1 k + kx2 − x̄2 k
bε (x̄2 ; Ω2 ) nên với γ > 0 đã chọn ở trên tồn tại một
Tương tự, do x∗2 ∈ N
lân cận U2 của x̄2 sao cho
hx∗2 , x2 − x̄2 i
≤ ε + γ,
kx1 − x̄1 k + kx2 − x̄2 k
∀x2 ∈ U2 ∩ Ω2 , x1 ∈ Ω1 .
Suy ra với mọi γ > 0
hx∗1 , x1 − x̄1 i + hx∗2 , x2 − x̄2 i
≤ 2ε + 2γ, ∀(x1 , x2 ) ∈ (U1 , U2 ) × (Ω1 , Ω2 ).
kx1 − x̄1 k + kx2 − x̄2 k
b2ε (x̄, Ω) thì bao hàm thức thứ nhất trong (1.5) được
Do đó với x∗ ∈ N
chứng minh. Ta đi chứng minh bao hàm thức còn lại.
b2ε (x̄; Ω), ta có:
Lấy tuỳ ý x∗ = (x∗1 , x∗2 ) ∈ N
hx∗ , x − x̄i
lim sup
kx − x̄k
Ω
→
x
=
lim sup
(x1 ,x2 )
(Ω1 ×Ω2 )
→
(x̄1 ,x̄2 )
x̄
hx∗1 , x1
− x̄1 i + hx∗2 , x2 − x̄2 i
≤ 2ε.
kx1 − x̄1 k + kx2 − x̄2 k
b2ε (x̄1 ; Ω1 )
Bởi chọn x1 = x̄1 hoặc x2 = x̄2 ta dễ dàng suy ra rằng x∗1 ∈ N
b2ε (x̄2 ; Ω2 ). Do đó bao hàm thức thứ hai trong (1.5) được chứng
và x∗2 ∈ N
minh.
Dễ dàng thấy được (1.3) và (1.4) được suy ra trực tiếp từ (1.5).
Mệnh đề 1.2. (Tập các ε-pháp tuyến đối với tập lồi) Cho Ω là tập lồi
trong không gian Banach X. Khi đó
bε (x̄; Ω) = {x∗ ∈ X ∗ | hx∗ , x − x̄i ≤ εkx − x̄k , ∀x ∈ Ω}
N
với ε ≥ 0 và x̄ ∈ Ω. Trường hợp đặc biệt với ε = 0, ta có
b (x̄; Ω) = {x∗ ∈ X ∗ | hx∗ , x − x̄i ≤ 0, ∀x ∈ Ω}
N
là nón pháp tuyến được định nghĩa trong giải tích lồi.
5
Chứng minh. Chú ý rằng bao hàm thức “ ⊃ ” rõ ràng luôn đúng với mỗi
tập Ω tùy ý. Ta sẽ chỉ ra bao hàm thức “ ⊂ ” khi Ω là tập lồi.
bε (x̄; Ω) và cố định x ∈ Ω. Do Ω là tập lồi nên ta có
Lấy tùy ý x∗ ∈ N
xα := x̄ + α(x − x̄) ∈ Ω, ∀α ∈ [0; 1].
Rõ ràng xα → x̄ khi α ↓ 0. Lấy tùy ý γ > 0, từ (1.1) ta có:
hx∗ , xα − x̄i ≤ (ε + γ)kxα − x̄k,
với α > 0 đủ bé.
Suy ra
αhx∗ , x − x̄i ≤ (ε + γ)αkx − x̄k.
Tương đương với
hx∗ , x − x̄i ≤ (ε + γ)kx − x̄k.
Do bất đẳng thức trên đúng với mọi γ > 0 nên ta có
hx∗ , x − x̄i ≤ εkx − x̄k.
Mệnh đề được chứng minh.
Định nghĩa 1.1.2. (Tập chính quy theo nghĩa pháp tuyến)Cho X là không
gian Banach. Một tập Ω ⊂ X được gọi là chính quy (pháp tuyến) tại x̄ ∈ Ω
b (x̄; Ω).
nếu N (x̄; Ω) = N
Mệnh đề 1.3. (Tính chính quy của tập lồi địa phương) Cho U là một lân
cận của x̄ ∈ Ω ⊂ X sao cho tập Ω ∩ U là lồi. Khi đó Ω chính quy tại x̄ và
N (x̄; Ω) = {x∗ ∈ X ∗ | hx∗ , x − x̄i ≤ 0; ∀x ∈ Ω ∩ U }.
Chứng minh. Trong định nghĩa N (x̄; Ω), nếu ta lấy dãy {xk } là dãy hằng,
b (x̄; Ω) ⊂ N (x̄; Ω). Ta chứng minh
xk = x̄, với mọi k ∈ N∗ thì ta suy ra N
6
bao hàm thức ngược lại. Lấy x∗ ∈ N (x̄; Ω), tồn tại một dãy tương ứng
(εk , xk , x∗k )trong định nghĩa 1.1(ii). Vì lim xk = x̄ nên tồn tại k0 ∈ N∗ sao
cho xk ∈ U với mọi k ≥ k0 . Với k ≥ k0 , theo mệnh đề 1.2 ta có
hx∗k , x − xk i ≤ εk kx − xk k, ∀x ∈ Ω ∩ U.
Cho qua giới hạn khi k → ∞ trong bất đẳng thức trên ta được
hx∗ , x − x̄ ≤ 0i, ∀x ∈ Ω ∩ U.
Suy ra
hx∗ , x − x̄i
lim sup
≤ 0.
kx
−
x̄k
Ω
→
x
x̄
b (x̄; Ω). Hơn nữa
Do đó x∗ ∈ N
b (x̄; Ω) = {x∗ ∈ X ∗ | hx∗ , x − x̄i ≤ 0; ∀x ∈ Ω ∩ U }.
N (x̄; Ω) = N
Mệnh đề được chứng minh.
Tiếp theo ta trình bày hai dạng biểu diễn đặc biệt của nón pháp tuyến
giới hạn đối với tập đóng trong không gian hữu hạn chiều X = Rn . Do
tất cả các chuẩn trong không gian hữu hạn chiều là tương đương nên ta
có thể chọn chuẩn Euclid
kxk =
q
x21 + . . . + x2n .
trong Rn , trong trường hợp này X ∗ = X = Rn .
Trước hết, ta nhắc lại khái niệm hàm khoảng cách và phép chiếu điểm gần
nhất. Cho một tập không rỗng Ω ⊂ Rn , hàm khoảng cách từ một điểm
đến tập Ω được xác định bởi
dist(x; Ω) := inf kx − uk, x ∈ Rn
u∈Ω
7
(1.6)
và hình chiếu của x trên Ω:
Π(x; Ω) := {w ∈ Ω | kx − wk = dist(x; Ω)}.
Nếu Ω là tập đóng, thì tập Π(x; Ω) là khác rỗng với mọi x ∈ R. Đặc biệt
nếu Ω là tập lồi đóng thì Π(x; Ω) là tập một điểm.
Ta kí hiệu coneΩ là nón sinh bởi Ω, nghĩa là
coneΩ := {ax ∈ X|a ≥ 0, x ∈ Ω}.
Định lý tiếp theo mô tả nón pháp tuyến đối với tập đóng địa phương quanh
x̄.
Định lí 1.1.1. (Nón pháp tuyến trong không gian hữu hạn chiều) Cho
Ω ⊂ Rn là tập đóng địa phương quanh x̄ ∈ Ω, nghĩa là tồn tại lân cận U
của x̄ sao cho U ∩ Ω là tập đóng. Khi đó ta có các khẳng định sau:
b (x; Ω),
N (x̄; Ω) = lim sup N
(1.7)
N (x̄; Ω) = lim sup[cone(x − Π(x; Ω))].
(1.8)
x→x̄
x→x̄
Chứng minh. Trong định nghĩa N (x̄; Ω), nếu ta lấy dãy {εk } là dãy hằng
bằng 0, ta có
b (x; Ω) ⊂ N (x̄; Ω).
lim sup N
x→x̄
Ta chứng minh bao hàm thức “ ⊂ ” trong (1.7). Lấy x∗ ∈ N (x̄; Ω), từ
định nghĩa 1.1(ii), tồn tại dãy εk ↓ 0, xk → x̄, x∗k → x∗ sao cho xk ∈ Ω
bε (xk ; Ω) với mọi k ∈ N. Do X = X ∗ = Rn , Ω là tập đóng
và x∗k ∈ N
k
địa phương quanh x̄ nên với mỗi k ∈ N∗ , ta lấy số α đủ nhỏ sao cho
xk + αx∗k ∈ Ω và chọn wk ∈ Π(xk + αx∗k ; Ω). Theo cách định nghĩa wk ta
có bất đẳng thức
kxk + αx∗k − wk k2 ≤ α2 kx∗k k2 .
8
Suy ra
kxk + αx∗k − wk k2 = kxk − wk k2 + 2αhx∗k , xk − wk i + α2 kx∗k k2 .
Kết hợp bất đẳng thức này với bất đẳng thức trên ta nhận được
kxk − wk k2 ≤ 2αhx∗k , wk − xk i
(1.9)
Sử dụng sự hội tụ của wk → xk khi α ↓ 0 và định nghĩa của εk -pháp tuyến
bε (xk ; Ω), ta tìm một dãy số dương α = αk thỏa mãn
x∗k ∈ N
k
hx∗k , wk − xk i ≤ 2εk kwk − xk k, ∀k ∈ N∗ .
Điều này và (1.9) suy ra kxk − wk k ≤ 4αk εk . Do đó lim αk = x̄.
k→∞
Đặt
wk∗ := x∗k +
1
(xk − wk ).
αk
Ta có kwk∗ − x∗k k ≤ 4εk và wk∗ → x∗ khi k → ∞. Bây giờ ta chứng minh
b (wk ; Ω), ∀k . Thật vậy, với mỗi x cố định thuộc Ω ta có
wk∗ ∈ N
0 ≤ kxk + αk x∗k − xk2 − kxk + αk x∗k − wk k2
= hαk x∗k + xk − x, αk x∗k + xk − wk i + hαk x∗k + xk − x, wk − xi
− hαk x∗k + xk − wk , x − wk i − hαk x∗k + xk − wk , αk x∗k + xk − xi
= −2αk hwk∗ , x − wk i + kx − wk k2 ,
Do đó
1
kx − wk k2 , ∀x ∈ Ω.
2αk
b (wk , Ω), ta có w∗ ∈ N
b (wk ; Ω). Vì vậy ta có biểu diễn thứ
Bởi định nghĩa N
k
hwk∗ , x − wk i ≤
nhất (1.7) của nón pháp tuyến giới hạn.
Để chứng minh (1.8), ta chỉ cần chứng minh:
b (x; Ω) = lim sup[cone(x − Π(x; Ω))].
lim sup N
x→x̄
x→x̄
9
Trước hết ta chứng minh rằng
b (x; Ω) ⊂ lim sup[cone(u − Π(u; Ω))], ∀x ∈ Ω.
N
(1.10)
u→x
b (x; Ω), đặt xk := x + 1 x∗ và chọn wk ∈ Π(xk ; Ω) với
Lấy x ∈ Ω, x∗ ∈ N
k
mỗi k ∈ N∗ . Theo định nghĩa wk , ta có
0 ≤ kxk − vk2 − kxk − wk k2 = hxk − v, xk − wk i
+ hxk − v, wk − vi − hxk − wk , v − wk i − hxk − wk , xk − vi
= −2hxk − wk , v − wk i + kv − wk k2 , ∀v ∈ Ω.
Do đó wk ∈ Π(xk ; Ω) khi và chỉ khi
1
hxk − wk , v − wk i ≤ kv − wk k2 , ∀v ∈ Ω.
2
Lấy v = x và sử dụng định nghĩa của xk ta có
1
1
kx − wk k2 + hx∗ , x − wk i ≤ kx − wk k2 .
k
2
b (x; Ω) nên từ bất đẳng thức trên ta suy ra
Do x∗ ∈ N
2hx∗ , wk − xi
kkx − wk k ≤
→ 0 khi k → ∞.
kx − wk k
Kéo theo
k(xk − wk ) = x∗ + k(x − wk ) → x∗ khi k → ∞.
Suy ra x∗ ∈ cone(xk − Π(xk ; Ω)).
Vậy (1.10) được chứng minh. Kết hợp với (1.7) ta có
b (x; Ω) ⊂ lim sup[cone(x − Π(x; Ω)].
N (x̄; Ω) = lim sup N
x→x̄
x→x̄
Để kết thúc định lý ta chứng minh bao hàm thức “ ⊃ ” trong (1.8). Với
x ∈ Ω, ta kí hiệu hình chiếu ngược (nghịch ảnh)
Π−1 (x; Ω) := {z ∈ X : x ∈ Π(z; Ω)}.
10
b (x; Ω) suy ra
Từ tính chất của phép chiếu và định nghĩa của N
b (x; Ω), ∀x ∈ Ω.
cone[Π−1 (x; Ω) − x] ⊂ N
Với x ∈ X, z = Π−1 (x; Ω), ta có
b (x; Ω).
cone[z − Π(z; Ω)] ⊂ N
Suy ra
b (x; Ω) = N (x̄; Ω).
lim sup[cone(x − Π(x; Ω)] ⊂ lim sup N
x→x̄
x→x̄
Định lý được chứng minh.
1.2
Đối đạo hàm
Cho X, Y là các không gian Banach, xét ánh xạ đa trị
F : X ⇒ Y.
Miền xác định thực sự và đồ thị của F được kí hiệu lần lượt bởi:
domF := {x ∈ X | F (x) 6= ∅}.
gph F := {(x, y) ∈ X × Y | y ∈ F (x)}.
Định nghĩa 1.2.1. Cho ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y với domF 6= ∅.
(i) Với (x, y) ∈ X × Y và ε ≥ 0, ta định nghĩa ε-đối đạo hàm của F tại
b ∗ F (x, y)(y ∗ ) : Y ∗ ⇒ X ∗ được xác định bởi
(x, y) là ánh xạ đa trị D
ε
b ∗ F (x, y)(y ∗ ) := {x∗ ∈ X ∗ | (x∗ , −y ∗ ) ∈ N
bε ((x, y); gph F )}.
D
ε
(1.11)
Khi ε = 0 ta gọi là đối đạo hàm Fréchet của F tại (x, y) và kí hiệu gọn là
b ∗ F (x, y)(y ∗ ) := {x∗ ∈ X ∗ | (x∗ , −y ∗ ) ∈ N
b ((x, y); gph F )}.
D
11
b ∗ F (x, y)(y ∗ ) =
Theo quy ước của nón pháp tuyến, nếu (x, y) ∈
/ gph F , ta có D
ε
∅.
(ii) Đối đạo hàm giới hạn của F tại (x̄, ȳ) ∈ gph F là ánh xạ đa trị
∗
DN
F (x̄, ȳ) : Y ∗ ⇒ X ∗ được định nghĩa bởi
∗
DN
F (x̄, ȳ)(ȳ ∗ ) :=
lim sup
→
(x,y)
∗
y∗
b ∗ F (x, y)(y ∗ ).
D
ε
(1.12)
(x̄,ȳ)
w
−−
→ȳ∗
ε↓0
∗
Nghĩa là, DN
F (x̄, ȳ) là tập hợp các x̄∗ ∈ X ∗ sao cho tồn tại các dãy
w∗
εk ↓ 0, (xk , yk ) → (x̄, ȳ) , dãy (x∗k , yk∗ ) → (x̄∗ , ȳ ∗ ) với (xk , yk ) ∈ gph F và
b ∗ F (xk , yk )(y ∗ ).
x∗k ∈ D
εk
k
∗
F (x̄, ȳ)(y ∗ ) := ∅, ∀y ∗ ∈ Y ∗ nếu (x̄, ȳ) ∈
/ gph F .
Ta quy ước DN
Chú ý rằng, theo định nghĩa nón pháp tuyến giới hạn ta có
∗
DN
F (x̄, ȳ)(y ∗ ) = {x∗ ∈ X ∗ | (x∗ , −y ∗ ) ∈ N ((x̄, ȳ); gph F )}.
(1.13)
(iii) Đối đạo hàm hỗn hợp của F tại (x̄, ȳ) ∈ gph F là ánh xạ đa trị
∗
F (x̄, ȳ) : Y ∗ ⇒ X ∗ được định nghĩa bởi
DM
∗
c∗ F (x, y)(y ∗ ).
DM
F (x̄, ȳ)(ȳ ∗ ) := lim sup D
ε
(1.14)
(x,y)→(x̄,ȳ)
y ∗ →y¯∗
ε↓0
Nghĩa là, tập hợp các x̄∗ ∈ X ∗ sao cho tồn tại dãy εk ↓ 0, (xk , yk , yk∗ ) →
∗
w
b ∗ F (xk , yk )(y ∗ ).
(x̄, ȳ, ȳ ∗ ) , x∗k → x̄∗ với (xk , yk ) ∈ gph F và x∗k ∈ D
εk
k
∗
Ta quy ước DM
F (x̄, ȳ)(y ∗ ) := ∅, ∀y ∗ ∈ Y ∗ nếu (x̄, ȳ) ∈
/ gph F .
b ∗ F (x̄, ȳ)(y ∗ ) ⊂
Nhận xét: Vì dãy hội tụ mạnh kéo theo hội tụ yếu nên D
∗
∗
DM
F (x̄, ȳ)(y ∗ ) ⊂ DN
F (x̄, ȳ)(y ∗ ). Khi Y là không gian hữu hạn chiều thì
sự hội tụ mạnh, yếu trên là tương đương nên
∗
∗
DN
F (x̄, ȳ) = DM
F (x̄, ȳ).
12
Trong trường hợp này ta kí hiệu gọn là D∗ F (x̄, ȳ).
Ví dụ 1 : ϕ(x) = |x|
D∗ ϕ(0, 0)(λ) =
[−λ, λ] nếu λ ≥ 0
{−λ, λ} nếu λ < 0
Ví dụ 2: Cho 2 không gian X và Y , xét tập con khác rỗng Ω ⊂ X , ánh
xạ hàm chỉ ∆ : X → Y của Ω đối với Y được xác định bởi
0 ∈ Y nếu x ∈ Ω
∆(x; Ω) :=
∅ nếu x ∈
/Ω
Với bất kỳ x̄ ∈ Ω và y ∗ ∈ Y ∗ ta có
b ∗ ∆(x̄; Ω)(y ∗ ) = N
bε (x̄; Ω), ε ≥ 0;
D
ε
∗
∗
DN
∆(x̄; Ω)(y ∗ ) = DM
∆(x̄; Ω)(y ∗ ) = N (x̄; Ω).
Chứng minh. Gph ∆ = Ω × {0}.
Với x̄ ∈ Ω, y ∗ ∈ Y ∗ , ε ≥ 0, ta có
b ∗ ∆(x̄; Ω)(y ∗ ) = {x∗ ∈ X ∗ : (x∗ , −y ∗ ) ∈ N
bε ((x̄, 0), Ω × {0})}.
D
ε
∗
∗
(x̄, Ω)(y ∗ ) = N (x̄, Ω).
∆(x̄, Ω)(y ∗ ) = DM
Do đó DN
Sau đây chúng tôi nhắc lại khái niệm giảm nhẹ của tính liên tục đối
với ánh xạ đa trị.
Định nghĩa 1.2.2. Ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y gọi là nửa liên tục trong
tại x̄ ∈ domF nếu với mỗi y ∈ F (x̄) và mọi dãy xk → x̄, xk ∈ domF thì
tồn tại yk ∈ F (xk ) sao cho yk → y, khi k → ∞.
Định lí 1.2.1. Cho F : X ⇒ Y là nửa liên tục trong tại x̄ ∈ domF và có
∗
giá trị lồi xung quanh điểm đó. Giả thiết rằng y ∗ ∈ domDN
F (x̄, ȳ), ȳ ∈
F (x̄).Khi đó
hy ∗ , ȳi = min hy ∗ , yi.
y∈F (x̄)
13
∗
Chứng minh. Do DN
F (x̄, ȳ)(y ∗ ) 6= ∅ và (1.13), tồn tại x∗ ∈ X ∗ sao cho
(x∗ , −y ∗ ) ∈ N ((x̄, ȳ); gphF ).
Theo định nghĩa 1.1.1, tồn tại dãy εk ↓ 0, (xk , yk ) → (x̄, ȳ) với yk ∈ F (xk )
w∗
và (x∗k , yk∗ ) → (x∗ , y ∗ ) sao cho
hx∗k , x − xk i − hyk∗ , y − yk i
≤ εk , với mỗi k ∈ N.
lim sup
k(x, y) − (xk , yk )k
(x,y)→(xk ,yk ),y∈F (x)
bε (yk ; F (xk )). Theo giả thiết tập F (xk ) là tập lồi,
Lấy x = xk , thì −yk∗ ∈ N
k
từ mệnh đề (1.2) ta có:
hyk∗ , y − yk i ≥ −εk ky − yk k, ∀y ∈ F (xk ), k ∈ N∗ .
Lấy ỹ ∈ F (x̄). Sử dụng tính nửa liên tục trong của F tại x̄, tồn tại dãy
ỹk → ỹ với ỹk ∈ F (xk ), ∀k ∈ N. Sử dụng bất đẳng thức trên với y = ỹk ,
ta có
hyk∗ , ỹk − yk i ≥ −εk kỹk − yk k, với k ∈ N đủ lớn.
w∗
Do yk∗ → y ∗ , ỹk − yk → ỹ − ȳ, theo nguyên lý bị chặn đều ta có
lim hyk∗ , ỹ − ȳi = hy ∗ , ỹ − ȳi,
k→∞
lim [hyk∗ , ỹk − yk i − hyk∗ , ỹ − ȳi] = 0.
k→∞
Do đó lim [hyk∗ , ỹk − yk i = hyk∗ , ỹ − ȳi].
k→∞
Kết hợp điều này với (1.15), cho k → ∞, ta nhận được
hy ∗ , ỹ − ȳi ≥ 0.
Hay
hy ∗ , ỹi ≥ hy ∗ , ȳi.
14
(1.15)
Vậy
hy ∗ , ȳi = min hy ∗ , yi.
y∈F (x̄)
Định lý được chứng minh.
Ta luôn có quan hệ giữa các đối đạo hàm
b ∗ F (x̄, ȳ)(y ∗ ) ⊂ D∗ F (x̄; ȳ)(y ∗ ) ⊂ D∗ F (x̄, ȳ)(y ∗ ).
D
M
N
b ∗ F (x̄, ȳ), D∗ F (x̄, ȳ), D∗ F (x̄, ȳ) là các đồng cấu
Cả ba đối đạo hàm D
M
N
dương từ Y ∗ ⇒ X ∗ . Các bao hàm trên trong một số trường hợp xảy ra
thực sự và đặc biệt là bao hàm thứ nhất.
Định nghĩa 1.2.3. Cho F : X ⇒ Y và (x̄, ȳ) ∈ gphF . Khi đó:
∗
b ∗ F (x̄, ȳ).
F (x̄, ȳ) = D
(i)F là N-chính quy tại (x̄, ȳ) nếu DN
∗
b ∗ F (x̄, ȳ).
F (x̄, ȳ) = D
(ii)F là M-chính quy tại (x̄, ȳ) nếu DM
Sau đây chúng ta giới thiệu một vài điều kiện đủ đảm bảo cho tính
chính quy trong định nghĩa 1.2.3.
Định lí 1.2.2. Cho F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị có gph F là tập lồi. Khi
đó F là N-chính quy tại mọi điểm (x̄, ȳ) ∈ gph F và ta có công thức biểu
diễn đối đạo hàm như sau
∗
∗
b ∗ F (x̄, ȳ)(y ∗ )
DN
F (x̄, ȳ)(y ∗ ) = DM
F (x̄, ȳ)(y ∗ ) = D
= {x∗ ∈ X ∗ | hx∗ , x̄i − hy ∗ , ȳi =
max [hx∗ , xi − hy ∗ , yi]}.
(x̄,ȳ)∈gph F
Chứng minh. Theo định nghĩa
b ∗ F (x̄, ȳ)(y ∗ ) = {x∗ ∈ X ∗ | (x∗ , −y ∗ ) ∈ N
b ((x̄, ȳ); gph F )},
D
∗
DN
F (x̄, ȳ)(y ∗ ) = {x∗ ∈ X ∗ | (x∗ , −y ∗ ) ∈ N ((x̄, ȳ); gph F )}.
15
Theo giả thiết gph F lồi, theo mệnh đề 1.3 ta có
b ((x̄, ȳ), gph F ) = N ((x̄, ȳ), gph F ).
N
Suy ra
∗
∗
b ∗ F (x̄, ȳ)(y ∗ ).
DN
F (x̄, ȳ)(y ∗ ) = DM
F (x̄, ȳ)(y ∗ ) = D
Theo định lý 1.2.1 ta có công thức biểu diễn đối đạo hàm
∗
∗
b ∗ F (x̄, ȳ)(y ∗ )
DN
F (x̄, ȳ)(y ∗ ) = DM
F (x̄, ȳ)(y ∗ ) = D
= {x∗ ∈ X ∗ | hx∗ , x̄i − hy ∗ , ȳi =
max [hx∗ , xi − hy ∗ , yi]}.
(x̄,ȳ)∈gph F
Định lí được chứng minh.
Tiếp theo chúng ta thiết lập quan hệ giữa đối đạo hàm và đạo hàm
của ánh xạ đơn trị khả vi. Trước hết ta nhắc lại khái niệm ánh xạ đơn trị
khả vi Fréchet.
Định nghĩa 1.2.4. (i) Ánh xạ f : X → Y được gọi là khả vi (Fréchet)
tại x̄ nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục A : X → Y sao cho
kf (x) − f (x̄) − A(x − x̄)k
= 0.
x → x̄
kx − x̄k
lim
Ta kí hiệu A = ∇f (x̄) gọi là đạo hàm (Fréchet) của f tại x̄.
(ii) Ánh xạ f : X → Y được gọi là khả vi chặt tại x̄ nếu f khả vi tại x̄ và
kf (x) − f (u) − ∇f (x) (x − u)k
= 0.
x→x̄
kx − uk
u→ū
lim
Chú ý khi f là ánh xạ đơn trị để cho tiện ta kí hiệu gọn đối đạo hàm
b ∗ f (x̄, f (x̄)) = D
b ∗ f (x̄).
D
Định lí 1.2.3. (đối đạo hàm của ánh xạ khả vi). Cho f : X → Y khả vi
Fréchet tại x̄. Khi đó
b ∗ f (x̄)(y ∗ ) = {∇f (x̄)∗ y ∗ }, ∀y ∗ ∈ Y ∗ .
D
16
- Xem thêm -