ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
BIẾN ĐỔI IĐÊAN VÀ ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA
PHƯƠNG SUY RỘNG THEO MỘT CẶP IĐÊAN
Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số chuyên ngành: 62 46 01 04
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
TP. HỒ CHÍ MINH - 2017
Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
- Đại học Quốc gia thành phố Hồ Chí Minh
Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Trần Tuấn Nam
TS. Nguyễn Viết Đông
Phản biện 1: GS. TSKH. Nguyễn Tự Cường
Phản biện 2: GS. TS. Lê Thị Thanh Nhàn
Phản biện 3: PGS.TS. Mỵ Vinh Quang
Phản biện độc lập 1: GS.TS. Lê Văn Thuyết
Phản biện độc lập 2: TS. Hà Minh Lam
Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án họp tại: Trường
Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia thành phố Hồ Chí Minh
vào lúc
giờ
ngày
tháng
năm 2017.
Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:
- Thư viện Khoa học Tổng hợp Tp. HCM
- Thư viện Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
TÓM TẮT LUẬN ÁN
Lý thuyết “Đối đồng điều địa phương” của Grothendieck đóng một
vai trò quan trọng trong Đại số giao hoán và Hình học đại số. Đối đồng
điều địa phương liên quan đến một iđêan a của một vành Noether giao
hoán R và một R-môđun M , khi đó môđun đối đồng điều địa phương
thứ i của M theo a được cho như sau
Hai (M ) ∼
ExtiR (R/an , M ).
= lim
−→
n
Trong những năm gần đây, lý thuyết “Đối đồng điều địa phương” đã
và đang được mở rộng theo nhiều hướng khác nhau. Đầu tiên là sự ra
đời của môđun đối đồng điều địa phương suy rộng vào những năm 1970.
Các môđun này được nhà toán học Herzog giới thiệu trong [57] và hiện
nay nó đang được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước nghiên cứu.
Cho M, N là các R-môđun, khi đó môđun đối đồng điều địa phương suy
rộng thứ i của M, N theo iđêan a được xác định như sau
Hai (M, N ) ∼
ExtiR (M/an M, N ).
= lim
−→
n
Một sự mở rộng khác được đưa ra vào năm 2009 trong [50] bởi Takahashi,
Yoshino và Yoshizawa. Họ giới thiệu khái niệm môđun đối đồng điều địa
phương theo một cặp iđêan và nghiên cứu các tính chất của chúng. Đầu
tiên, các tác giả định nghĩa môđun con (I, J)-xoắn của R-môđun M, kí
hiệu ΓI,J (M ), như sau
ΓI,J (M ) = {m ∈ M | I n m ⊆ Jm với n 1}.
Khi đó hàm tử ΓI,J (−) là một hàm tử hiệp biến, cộng tính và khớp trái
từ phạm trù các R-môđun vào chính nó. Hàm tử dẫn xuất phải thứ i
i (−) và được gọi là hàm tử đối đồng điều
của ΓI,J (−) được kí hiệu là HI,J
địa phương thứ i theo cặp iđêan (I, J). Môđun đối đồng điều địa phương
1
theo một cặp iđêan nhanh chóng thu hút được sự chú ý của nhiều nhà
toán học trên thế giới. Một số tính chất cơ bản của chúng trình bày
trong [50, 1.13, 2.4, 2.6, 3.2]; các tính chất triệt tiêu và không triệt tiêu
được trình bày trong phần 4 của [50], phần 3 của [15] và [41, Định lí 2,
Mệnh đề 1]; các tính chất Artin được nêu trong Phần 2 của [15] và [40];
các tính chất liên quan đến tính hữu hạn sinh được trình bày trong [42,
2.4 - 2.7].
Năm 2011, trong [55], Zamani đưa ra khái niệm môđun đối đồng
điều địa phương suy rộng theo một cặp iđêan như sau: Cho M, N là các
R-môđun và I, J là các iđêan của vành Noether giao hoán R. Khi đó
môđun đối đồng điều địa phương suy rộng thứ i của M, N theo cặp iđêan
(I, J) được kí hiệu và xác định như sau
i
HI,J
(M, N ) = H i (HomR (M, ΓI,J (E • )))
với E • là một phép giải nội xạ của N. Trong [55, 2.2], khi M là một
R-môđun hữu hạn sinh và kí hiệu IM = 0 :R M/IM, tác giả nêu ra các
đẳng cấu
i
HI,J
(M, −) ∼
=
Hai (M, −) ∼
=
lim
−→
a∈W̃ (IM ,J)
lim
−→
Hai (M, −)
a∈W̃ (I,J)
với W̃ (I, J) = {a R | I n ⊆ a +J với n đủ lớn}. Tiếp theo, tác giả cũng
trình bày tính triệt tiêu của chúng như sau: Khi M, N là các môđun hữu
i (M, N ) = 0 với
hạn sinh trên vành địa phương (R, m) và J 6= R thì HI,J
i (M, N ) = 0 với
mọi i > pd(M ) + dim(N/JN ) (xem [55, 2.4]) hoặc HI,J
mọi i > dim(R) (xem [55, 2.7]). Các tính Artin, tính hữu hạn sinh, tính
(I, J)-cofinite,. . . của môđun đối đồng điều địa phương suy rộng theo
một cặp iđêan vẫn chưa được nghiên cứu.
Trong quá trình nghiên cứu về đối đồng điều địa phương có một hàm
tử mà các hàm tử dẫn xuất phải của nó có các tính chất rất gần với
các hàm tử đối đồng điều địa phương đó là hàm tử biến đổi iđêan (xem
2
[12])
Da (−) = lim
HomR (an , −).
−→
n
Đây là một hàm tử hiệp biến, cộng tính và khớp trái từ phạm trù các
R-môđun vào chính nó. Đối với mỗi R-môđun M, ta gọi Da (M ) =
lim
HomR (an , M ) là biến đổi iđêan của M theo iđêan a hay là a-biến
−→
n
đổi của M. Các hàm tử dẫn xuất phải thứ i của Da (−) được kí hiệu là
Ri Da (−). Một số tính chất của chúng đã được trình bày trong [6], [10]
và [12]. Trong [20], các tác giả đã đưa ra định nghĩa biến đổi iđêan suy
rộng như sau: Cho M là một R-môđun, hàm tử biến đổi iđêan suy rộng
theo iđêan a được xác định như sau
Da (M, −) = lim
HomR (an M, −).
−→
n
Khi đó, ta kí hiệu Ri Da (M, −) là hàm tử dẫn xuất phải thứ i của
Da (M, −) và
Ri Da (M, −) ∼
ExtiR (an M, −).
= lim
−→
n
Các tác giả đã sử dụng khái niệm này để nghiên cứu tính a-cofinite của
môđun đối đồng điều địa phương suy rộng theo một iđêan.
i (M ) và
Luận án tiếp tục nghiên cứu các tính chất của môđun HI,J
i (M, N ) một cách có hệ thống. Bên cạnh đó, các kết quả liên quan
HI,J
đến biến đổi iđêan suy rộng theo một iđêan cũng là một phần nội dung
của luận án. Để có một sự kết nối hoàn chỉnh giữa các chương, chúng tôi
đưa ra khái niệm biến đổi iđêan theo một cặp iđêan và nghiên cứu các
tính chất của chúng để thấy được mối liên hệ với các môđun đối đồng
điều địa phương theo một cặp iđêan.
Nội dung của luận án được tóm tắt như sau:
3
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
1.1. Dãy phổ
Trình bày những khái niệm và tính chất liên quan đến dãy phổ.
1.2. Môđun đối đồng điều địa phương
Nhắc lại định nghĩa và một số kết quả quan trọng liên quan đến tính
triệt tiêu, tính Artin.
1.3. Môđun đối đồng điều địa phương suy rộng theo một iđêan
Nhắc lại định nghĩa và một số kết quả quan trọng liên quan đến tính
triệt tiêu, tính Artin.
4
Chương 2. Đối đồng điều địa phương theo một
cặp iđêan
2.1 Môđun Lasker yếu và môđun cofinite
Hartshorne đã định nghĩa môđun I -cofinite như sau: Một R-môđun
L được gọi là I -cofinite nếu SuppR (L) ⊆ V (I) và ExtiR (R/I, L) là hữu
hạn sinh với mọi i. Ông đặt ra câu hỏi: Khi nào HIi (M ) là I -cofinite với
mọi i ? Trong thực tế, có nhiều lớp môđun rộng hơn lớp môđun hữu hạn
sinh ví dụ như lớp môđun Lasker yếu, môđun minimax,... Chúng tôi sẽ
sử dụng môđun Lasker yếu để mở rộng khái niệm môđun I -cofinite của
Hartshorne và đưa ra định nghĩa môđun (I, J)-weakly cofinite như sau:
Định nghĩa 2.1.11. Một R-môđun M được gọi là (I, J)-weakly cofinite
nếu SuppR (M ) ⊆ W (I, J) và ExtiR (R/I, M ) là Lasker yếu với mọi i ≥ 0.
Vì tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun Lasker yếu là hữu
hạn nên ta sẽ dùng môđun (I, J)-weakly cofinite để nghiên cứu các kết
quả liên quan đến tính hữu hạn của tập iđêan nguyên tố liên kết của
i (M ).
các môđun HI,J
Định lí 2.1.14. Cho M là một R-môđun Lasker yếu và t là một số
i (M ) là (I, J)-weakly cofinite với mọi i < t.
nguyên không âm thỏa HI,J
t (M )) cũng là Lasker yếu. Đặc biệt, tập
Khi đó HomR (R/I, HI,J
t (M ))) là hữu hạn.
AssR (HomR (R/I, HI,J
Một câu hỏi được đặt ra tương tự như của Hartshorne nhưng đối
với môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan là: Khi nào
i (M ) là (I, J)-weakly cofinite với mọi i ?
HI,J
Định lí 2.1.18. Cho M là một R-môđun sao cho ExtiR (R/I, M ) là
i (M ) là
Lasker yếu với mọi i và t là một số nguyên không âm. Nếu HI,J
t (M ) cũng là (I, J)-weakly
(I, J)-weakly cofinite với mọi i 6= t thì HI,J
cofinite.
Từ đây, chúng ta có hệ quả.
Hệ quả 2.1.20. Cho I là một iđêan chính của R và M là một R-module
5
i (M ) là (I, J)-weakly cofinite với mọi i ≥ 0.
Lasker yếu. Khi đó HI,J
2.2 Các phạm trù con Serre
i (M ) sẽ được nghiên cứu trong trong các phạm trù con
Môđun HI,J
Serre của phạm trù các R-môđun. Từ trường hợp tổng quát này, chúng
ta sẽ có những hệ quả đối với từng phạm trù con Serre cụ thể. Ta kí
hiệu S là một phạm trù con Serre.
Định lí 2.2.2. Cho M là một R-môđun và d một số nguyên không âm.
i (M ) ∈ S với mọi i < d thì Exti (R/I, M ) ∈ S với mọi i < d.
Nếu HI,J
R
Định lí 2.2.3. Cho (R, m) là một vành địa phương, M là một R-môđun
hữu hạn sinh và d là một số nguyên không âm. Giả sử S là một phạm
i (M ) ∈ S với
trù con Serre khác phạm trù các môđun không. Nếu HI,J
d (M )) ∈ S.
mọi i < d thì HomR (R/m, HI,J
2.3 Môđun coatomic
Trong tiết này, chúng ta sẽ phát triển một số kết quả đã có trong
trường hợp M là môđun coatomic. Môđun coatomic được giới thiệu và
nghiên cứu bởi H. Zöschinger trong [58].
Định nghĩa 2.3.1([58]) Một R-môđun M được gọi là coatomic nếu mọi
môđun con thực sự của M đều chứa trong một môđun con tối đại của
M.
Trong [15, 2.1], nếu M là R-môđun hữu hạn sinh trên vành địa
d (M ) là Artin với d = dim M. Kết quả này sẽ vẫn
phương (R, m) thì HI,J
đúng trong lớp các môđun coatomic và minimax.
Định lí 2.3.6. Cho (R, m) là một vành địa phương và M là một Rmôđun coatomic với d = dim M > 0 hoặc M là một R-môđun minimax
d (M ) là Artin và
với d = dim M > 1. Khi đó HI,J
d
Att(HI,J
(M )) = {p ∈ SuppR (M ) ∩ V (J) | cd(I, J, R/p) = d}
n (M ) 6= 0}.
trong đó cd(I, J, M ) = sup{n | HI,J
6
Một sự tổng quát hóa của [1, 3.9], nó cho thấy mối quan hệ giữa tính
i (M ).
triệt tiêu, tính hữu hạn và tính coatomic của HI,J
Định lí 2.3.9. Cho (R, m) là một vành địa phương, M là một R-môđun
hữu hạn sinh và t là một số nguyên dương. Các phát biểu sau là tương
đương:
i (M ) = 0 với mọi i ≥ t;
(i) HI,J
i (M ) là hữu hạn sinh với mọi i ≥ t;
(ii) HI,J
i (M ) là coatomic với mọi i ≥ t.
(iii) HI,J
2.4 Tính hữu hạn của tập giá
Trong [1, 3.3] hay [46, 2.3], khi nghiên cứu các môđun đối đồng điều
địa phương theo một iđêan, các tác giả đã chỉ ra dim HIi (M ) ≤ d − i và
SuppR (HId−1 (M )) là một tập hữu hạn.
Định lí 2.4.1. Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh với d = dim M <
∞. Khi đó các điều sau đây là đúng:
i (M ) ≤ d − i.
(i) dim HI,J
d−1
d−1
(ii) Nếu R là vành nửa địa phương thì SuppR (HI,J
(M )/JHI,J
(M ))
là hữu hạn.
7
Chương 3: Đối đồng điều địa phương suy rộng
theo một cặp iđêan
3.1 Một số tính chất cơ bản
Chúng tôi giới thiệu một định nghĩa khác của môđun đối đồng điều
địa phương suy rộng theo một cặp iđêan.
Định nghĩa 3.1.1. Cho các R-môđun M và N, ta kí hiệu ΓI,J (M, N )
là môđun được xác định như sau
ΓI,J (M, N ) = ΓI,J (HomR (M, N )).
Khi đó ΓI,J (M, −) là một hàm tử hiệp biến, R-tuyến tính và khớp
trái từ phạm trù các R-môđun vào chính nó. Các hàm tử dẫn xuất phải
i (M, −) và được gọi là hàm tử đối
thứ i của ΓI,J (M, −) kí hiệu là HI,J
đồng điều địa phương suy rộng thứ i theo cặp iđêan (I, J). Với mỗi
i (M, N ) được gọi là môđun đối đồng điều địa
R-môđun N, môđun HI,J
phương suy rộng thứ i của M, N theo cặp iđêan (I, J). Ta thấy rằng,
khi M hữu hạn sinh thì định nghĩa của Zamani và định nghĩa của chúng
tôi là tương đương. Do đó, trong toàn bộ chương này, M luôn được xét
là một môđun hữu hạn sinh. Tiếp theo, khi N là các môđun đặc biệt
như (I, J)-xoắn hay J -xoắn thì ta có được các đẳng cấu liên quan đến
môđun ExtiR (M, N ) và HIi (M, N ).
i (M, N ) ∼
Mệnh đề 3.1.7. Nếu N là một R-môđun (I, J)-xoắn thì HI,J
=
ExtiR (M, N ) với mọi i ≥ 0.
i (M, N ) ∼
Mệnh đề 3.1.8. Nếu N là một R-môđun J -xoắn thì HI,J
=
HIi (M, N ) với mọi i ≥ 0.
i (M, N ) thông phép giải nội xạ của
Ngoài cách tính các môđun HI,J
N, chúng tôi trình bày một cách tính khác thông qua phức Čech và phức
toàn phần (Định lí 3.1.9.).
3.2 Các kết quả về tính Artin
8
Tính Artin là một trong những vấn đề quan trọng khi nghiên cứu
i (M, N ).
môđun HI,J
Định lí 3.2.1. Giả sử (R, m) là một vành địa phương. Cho M, N là các
R-môđun hữu hạn sinh với r = pd(M ) và d = dim(N ). Khi đó
r+d
d
(M, N ) ∼
HI,J
(N )).
= ExtrR (M, HI,J
r+d
(M, N ) là một R-môđun Artin.
Hơn nữa, HI,J
Định lí 3.2.7. Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh và N là một
i (M, N ) là Artin với mọi i ≥ 0.
R-môđun Artin. Khi đó HI,J
Trong [16, 5.4], nếu dim R = d và M, N là các R-môđun hữu hạn
sinh với pdM < ∞ thì HId (M, N ) là Artin và SuppR (HId−1 (M, N )) là
một tập hữu hạn. Tính chất này đặt ra cho chúng ta một câu hỏi: Các
d (M, N ) và H d−1 (M, N ) với d = dim R có tính chất giống
môđun HI,J
I,J
như trên không? Câu trả lời được cho trong định lí dưới đây.
Định lí 3.2.8 Cho (R, m) là một vành địa phương và M, N là các Rmôđun hữu hạn sinh với pdM < ∞, d = dim R. Khi đó, các điều sau
đây là đúng:
d (M, N )/JH d (M, N ) là Artin.
(i) HI,J
I,J
d−1
d−1
(ii) SuppR (HI,J
(M, N )/JHI,J
(M, N )) là một tập hữu hạn.
i (N ) và H i (M, N ) trong các phạm trù
3.3 Mối liên hệ giữa HI,J
I,J
con Serre
Bằng cách sử dụng dãy phổ Grothendieck, chúng tôi đã chứng minh
được kết quả dưới đây:
Định lí 3.3.2. Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh, N là một Ri
môđun bất kì và t là một số nguyên không âm. Nếu Extt−i
R (M, HI,J (N )) ∈
t (M, N ) ∈ S.
S với mọi 0 ≤ i ≤ t thì HI,J
Những hệ quả của Định lí 3.3.2. cho ta các kết quả về tính hữu
i (M, N ). Trong vành địa
hạn của giá hay tính minimax của môđun HI,J
9
d (M, N )) ∈ S ngay cả
phương (R, m), ta sẽ thấy rằng HomR (R/m, HI,J
d (N ) 6∈ S.
khi HI,J
Định lí 3.3.6. Cho M, N là các môđun hữu hạn sinh trên vành địa
phương (R, m) và d là một số nguyên không âm. Giả sử rằng S là một
i (N ) ∈ S
phạm trù con Serre khác phạm trù các môđun không. Nếu HI,J
d (M, N )) ∈ S.
với mọi i < d thì HomR (R/m, HI,J
3.4 Môđun (S, I, J)-cofinite
Chúng tôi đưa ra một khái niệm môđun (S, I, J)-cofinite. Đây chính
là một sự tổng quát hóa của môđun I -cofinite do Hartshorne giới thiệu
và môđun (I, J)-weakly cofinite.
Định nghĩa 3.4.1. Một R-môđun M được gọi là (S, I, J)-cofinite nếu
SuppR (M ) ⊆ W (I, J) và ExtiR (R/I, M ) ∈ S với mọi i ≥ 0.
Cho S là một phạm trù con Serre của phạm trù các R-môđun. Vấn
i (M, N ) ∈ S.
đề được đặt ra là khi nào môđun HI,J
Mệnh đề 3.4.9. Cho M là một R-môđun xạ ảnh hữu hạn sinh và N
i (N ) là (S, I, J)-cofinite với mọi i ≥ 0
là một R-môđun bất kì. Nếu HI,J
i (M, N ) là (S, I, J)-cofinite với mọi i ≥ 0.
thì HI,J
Mệnh đề 3.4.10. Cho M là một R-môđun xạ ảnh hữu hạn sinh, N là
một R-môđun bất kì thỏa ExtiR (M/IM, N ) ∈ S với mọi i ≥ 0 và d là
i (M, N ) là (S, I, J)-cofinite với mọi
một số nguyên không âm. Nếu HI,J
d (M, N ) cũng là (S, I, J)-cofinite.
i 6= d thì HI,J
Ngoài ra, chúng tôi có đưa ra một kết quả liên quan đến tính I cofinite artin của môđun đối đồng điều địa phương suy rộng theo một
iđêan.
Định lí 3.4.13. Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên vành địa
i (N )) ⊆ {m} với mọi i ≥ 0 thì H i (M, N )
phương (R, m). Nếu SuppR (HI,J
I,J
là artin và I -cofinite với mọi i ≥ 0.
10
Chương 4: Biến đổi iđêan suy rộng
4.1 Biến đổi iđêan suy rộng theo một iđêan
Năm 2004, Divaani-Aazar và Sazeedeh đã định nghĩa biến đổi iđêan
suy rộng theo một iđêan DI (M, N ) và dùng nó để nghiên cứu tính I cofinite của môđun HIi (M, N ). Trong tiết này, chúng tôi sẽ tiếp tục
nghiên cứu các tính chất của hàm tử DI (M, −) và các hàm tử dẫn xuất
phải Ri DI (M, −) của nó. Brodmann đã chứng minh rằng khi N là một
R-môđun I -xoắn thì DI (N ) = 0 (xem [12]). Kết quả này sẽ được tổng
quát trong trường hợp của biến đổi iđêan suy rộng.
Định lí 4.1.2. Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh và N là một
R-môđun I -xoắn. Khi đó Ri DI (M, N ) = 0 với mọi i ≥ 0.
Trong [12], nếu I = Ra là một iđêan chính thì DI (N ) ∼
= Na với Na
là địa phương hóa của N tương ứng với tập con đóng nhân S = {ai |
i ∈ N}. Định lí tiếp theo sẽ cho thấy một tính chất khá đẹp của biến đổi
iđêan suy rộng trong trường hợp I là một iđêan chính.
Định lí 4.1.8. Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh và N là một
R-môđun. Khi đó
(i) DI (HomR (M, N )) ∼
= DI (M, N ).
(ii) Nếu I = aR là một iđêan chính của R thì
DaR (M, N ) ∼
= DaR (M, N )a ∼
= HomRa (Ma , Na ).
Một số kết quả liên quan đến tính hữu hạn sinh, tính Artin và tập
iđêan nguyên tố liên kết của Ri DI (M, N ) cũng được trình bày trong
tiết này. Bên cạnh đó, ta cũng thấy được mối liên hệ khá gần giữa
Ri DI (M, N ) và HIi (M, N ).
Định lí 4.1.11. Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh và N là một
R-môđun bất kì. Nếu t là một số nguyên không âm sao cho Ri DI (M, N )
11
là hữu hạn sinh với mọi i < t thì HomR (R/I, Rt DI (M, N )) là một Rmôđun hữu hạn sinh.
Định lí 4.1.13. Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó, ta có
các điều sau đây:
(i) Nếu N là một R-môđun Artin thì Ri DI (M, N ) là Artin với mọi
i ≥ 0.
(ii) Nếu N là một R-môđun hữu hạn sinh và p = pd(M ), d = dim(N )
là hữu hạn thì Rp+d DI (M, N ) là một R-môđun Artin.
4.2 Tập iđêan nguyên tố liên kết của Ri DI (M, N )
Nếu N là một R-môđun hữu hạn sinh thì biến đổi iđêan suy rộng
bậc cao nhất là Artin. Tuy nhiên, khi cho N là một môđun Lasker yếu
thì ta không có được tính Artin mà chỉ thấy được tính hữu hạn của tập
giá của biến đổi iđêan suy rộng và môđun đối đồng điều địa phương suy
rộng theo một iđêan bậc cao nhất.
Định lí 4.2.2. Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh và N là một
R-môđun Lasker yếu với p = pd(M ) < ∞ và d = dim(N ). Khi đó
SuppR (Rp+d DI (M, N )) và SuppR (HIp+d (M, N )) là các tập hữu hạn.
Bằng cách sử dụng các dãy phổ Grothendieck, chúng tôi đã đưa ra
được một số kết quả liên quan đến tập iđêan nguyên tố liên kết của
Ri DI (M, N ).
Định lí 4.2.4.
Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh và N là một
R-môđun bất kì. Các điều sau đây là đúng:
(i) Ta có một dãy phổ Grothendieck
E2p,q = ExtpR (M, Rq DI (N )) =⇒ Rp+q DI (M, N ).
p
(ii) AssR (Rt DI (M, N )) ⊆ (
t
S
i=1
12
i,t−i
AssR (Et+2
))
S
AssR (HomR (M, Rt DI (N ))).
t
S
(iii) SuppR (Rt DI (M, N )) ⊆
i=0
SuppR (ExtiR (M, Rt−i DI (N ))).
4.3 Biến đổi iđêan theo một cặp iđêan
i (M ), chúng tôi
Một cách rất tự nhiên, khi nghiên cứu môđun HI,J
cũng cố gắng đưa ra định nghĩa biến đổi iđêan theo cặp iđêan (I, J).
Định nghĩa 4.3.2. Cho M là một R-môđun và I, J là hai iđêan của
vành R. Biến đổi iđêan của M theo cặp iđêan (I, J) hay còn gọi là
(I, J)-biến đổi của M được xác định như sau
DI,J (M ) =
lim
−→
a∈W̃ (I,J)
Da (M ).
Ta sẽ thấy được mối liên hệ giữa biến đổi iđêan theo một cặp iđêan
là giới hạn thuận của một hệ các môđun biến đổi iđêan theo một iđêan.
Mệnh đề 4.3.4. Cho M là một R-môđun. Khi đó
Ri DI,J (M ) ∼
=
lim
−→
Ri Da (M )
a∈W̃ (I,J)
với mọi i ≥ 0.
Một trong những vấn đề quan trọng khi nghiên cứu biến đổi iđêan
là khi nào hàm tử DI (−) là một hàm tử khớp. Các điều kiện để hàm tử
DI,J (−) là hàm tử khớp là kết quả chính của tiết 4.3.
Định lí 4.3.5. Cho M là một R-môđun. Khi đó các điều sau đây là
tương đương:
(i) DI,J (−) là một hàm tử khớp;
n (R) = 0 với mọi n ≥ 2;
(ii) HI,J
n (M ) = 0 với mọi n ≥ 2 và mọi R-môđun hữu hạn sinh M ;
(iii) HI,J
n (M ) = 0 với mọi R-môđun M và mọi n ≥ 2;
(iv) HI,J
n (D
(v) HI,J
I,J (M )) = 0 với mọi n ≥ 0;
13
(vi) ExtnR (R/a, DI,J (M )) = 0 với mọi n ≥ 0 và mọi a ∈ W̃ (I, J);
(vii) TorR
n (R/a, DI,J (M )) = 0 với mọi n ≥ 0 và mọi a ∈ W̃ (I, J).
4.4 Biến đổi iđêan suy rộng theo một cặp iđêan
Một mở rộng khác của biến đổi iđêan là biến đổi iđêan suy rộng theo
cặp iđêan (I, J).
Định nghĩa 4.4.1. Cho M, N là các R-môđun. Biến đổi iđêan suy rộng
của M, N theo cặp iđêan (I, J) (hay (I, J)-biến đổi iđêan suy rộng của
M, N ) được xác định bởi
DI,J (M, N ) =
lim
−→
a∈W̃ (I,J)
Da (M, N ).
Với mỗi R-môđun M, ta có hàm tử hiệp biến, R-tuyến tính và khớp
trái DI,J (M, −). Các hàm tử dẫn xuất phải thứ i của DI,J (M, −) được
kí hiệu là Ri DI,J (M, −). Ta có được một kết quả quan trọng liên quan
đến tính triệt tiêu của môđun Ri DI,J (M, N ).
Định lí 4.4.5. Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh và N là một
R-môđun (I, J)-xoắn. Khi đó Ri DI,J (M, N ) = 0 với mọi i ≥ 0.
Lại tiếp tục sử dụng dãy phổ Grothendieck, chúng tôi đưa ra được
các kết quả liên quan đến tính hữu hạn tập các iđêan nguyên tố liên kết
và tập giá của Ri DI,J (M, N ).
Định lí 4.4.10. Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh và N là một
R-môđun bất kì. Giả sử t là một số nguyên không âm. Khi đó
(i) Ta có một dãy phổ Grothendieck
E2p,q = Rp DI,J (ExtqR (M, N )) ⇒ Rp+q DI,J (M, N ).
p
(ii) Nếu SuppR (ExtiR (M, N )) hữu hạn với mọi i < t thì
i (M, N )) đều hữu hạn với
SuppR (Ri DI,J (M, N )) và SuppR (HI,J
mọi i < t.
14
(iii) Nếu M, N đều là các R-môđun hữu hạn sinh và SuppR (ExtiR (M, N ))
là hữu hạn với mọi i < t thì tập AssR (Rt DI,J (M, N )) là hữu hạn.
15
Danh mục các công trình của tác giả
1. Tran Tuan Nam, Nguyen Minh Tri (2014), Generalized ideal transforms, Stud. Sci. Math. Hung., 5(1), 67-82.
2. Tran Tuan Nam, Nguyen Minh Tri, Nguyen Viet Dong (2014), Some
properties of generalized local cohomology modules with respect to a
pair of ideals, Internat. J. Algebra Comput., 24(7), 1043-1054.
3. Tran Tuan Nam, Nguyen Minh Tri (2016), Some results on local cohomology modules with respect to a pair of ideals, Taiwanese J. Math.,
20(4), 743-753.
4. Tran Tuan Nam, Nguyen Minh Tri (2016), Serre subcategories and
the cofiniteness of generalized local cohomology modules, Internat. J.
Algebra Comput. 26(6), 1267-1282.
5. Nguyen Minh Tri, Tran Tuan Nam (2017), Ideal transforms with respect to a pair of ideals, Acta Math. Vietnam., DOI 10.1007/s40306-0170213-4.
6. Tran Tuan Nam, Nguyen Minh Tri, On coatomic modules and local
cohomology modules with respect to a pair of ideals, J. Korean Math.
Soc., (Accepted).
7. Tran Tuan Nam, Nguyen Minh Tri, On the finiteness results of generalized local cohomology modules with respect to a pair of ideals, Taiwanese J. Math. (Accepted)
16
Tài liệu tham khảo
Tiếng Anh
[1] Aghapournahr M., Melkersson L. (2010), Finiteness properties of
minimax and coatomic local cohomology modules, Arch. Math. 94(6),
519-528.
[2] Aghapournahr, Taherizadeh, Vahidi (2011), Extension functors of
local cohomology modules, Bull. Iran. Math. Soc., 37(3),117-134.
[3] Amjadi J., Naghipour R. (2008), Cohomological dimension of generalized local cohomology modules, Algebra Colloq., 15(2), 303-308.
[4] Asgharzadeh M., Tousi M. (2010), A unified approach to local cohomology modules using Serre classes, Canad. Math. Bull., 53(4),
577-586.
[5] Bahmanpour K. (2014), On the category of weakly Laskerian cofinite modules, Math. Scand., 115, 62-68.
[6] Bahmanpour K. (2015), Exactness of ideal transforms and annihilators of top local cohomology modules, J. Korean Math. Soc., 52(6),
1253-1270.
[7] Bahmanpour K., Naghipour R. (2008), On the cofiniteness of local
cohomology modules, Proc. Amer. Math. Soc., 136(7), 2359-2363.
17
[8] Bahmanpour K., Naghipour R. (2009), Cofiniteness of local cohomology modules for ideals of small dimension, J. Algebra, 321,
1997-2011.
[9] Bijan-Zadeh M. H. (1980), A common generalization of local cohomology theories, Glasgow Math. J., 21, 174-181.
[10] Brodmann M. P. (1980), Finiteness of ideal transforms, J. Algebra,
63(1), 162-185.
[11] Brodmann M. P., Faghani A. L. (2000), A finiteness result for associated primes of local cohomology modules, Proc. Amer. Math.
Soc., 128(10), 2851-2853.
[12] Brodmann M. P., Sharp R. Y. (2013), Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications, 2nd edition, Cambridge University Press.
[13] Chu L. (2011), Top local cohomology modules with respect to a
pair of ideals, Proc. Amer. Math. Soc. 139(3), 777-782.
[14] Chu L., Tang Z. (2007), On the Artinianness of generalized local
cohomology, Comm. Algebra, 35, 3821-3827.
[15] Chu L., Wang Q. (2009), Some results on local cohomology modules
defined by a pair of ideals, J. Math. Kyoto Univ., 49(1), 193-200.
[16] Nguyen Tu Cuong, Nguyen Van Hoang (2008), On the vanishing
and the finiteness of supports of generalized local cohomology modules, Manuscripta Math., 126, 59-72.
[17] Divaani-Aazar K. (2001), On associated and attached prime ideals
of certain modules, Colloq. Math., 89(1), 147-157.
[18] Divaani-Aazar K., Mafi A. (2005), Associated primes of local cohomology modules, Proc. Amer. Math. Soc., 133(3), 655-660.
18
- Xem thêm -