Trêng THCS Phó ThÞnh
Tæ khoa häc tù nhiªn
Gi¶i mét bµi to¸n quü tÝch nh thÕ nµo
- Néi dung
1. §Þnh nghÜa quü tÝch.
Mét h×nh (H) ®îc gäi lµ quü tÝch cña nh÷ng ®iÓm M cã mét tÝnh chÊt
(hay tËp hîp cña nh÷ng ®iÓm M cã tÝnh chÊt ) khi nã chøa vµ chØ chøa nh÷ng
®iÓm cã tÝnh chÊt .
Muèn chøng minh quü tÝch (tËp hîp) c¸c ®iÓm M tho¶ m·n tÝnh chÊt lµ
mét h×nh H nµo ®ã, ta ph¶i chøng minh hai phÇn:
PhÇn thuËn: Mäi ®iÓm cã tÝnh chÊt ®Òu thuéc h×nh H.
PhÇn ®¶o: Mäi ®iÓm thuéc h×nh H ®Òu cã tÝnh chÊt .
KÕt luËn: Quü tÝch (hay tËp hîp) c¸c ®iÓm cã tÝnh chÊt lµ h×nh H.
2. Nh÷ng thao t¸c t duy cÇn thiÕt cho viÖc chuÈn bÞ gi¶i mét bµi to¸n quü
tÝch.
ViÖc gi¶i mét bµi to¸n quü tÝch vÒ thùc chÊt lµ chøng minh mét d·y liªn
tiÕp c¸c mÖnh ®Ò to¸n häc. Nhng kh¸c víi c¸c bµi to¸n chøng minh h×nh häc,
trong phÇn lín c¸c bµi to¸n quü tÝch, ®Çu tiªn ta ph¶i t×m ra cho ®îc c¸i ta cÇn
ph¶i chøng minh. Nh÷ng thao t¸c t duy chuÈn bÞ sÏ gióp ta ®Þnh híng ®îc suy
nghÜ, h×nh dung ra ®îc quü tÝch cÇn t×m lµ mét h×nh nh thÕ nµo vµ trong mét
chõng mùc nµo ®ã, nã gióp ta biÕt ph¶i chøng minh phÇn thuËn, phÇn ®¶o, giíi
h¹n v.v.... nh thÕ nµo? Díi ®©y t«i xin tr×nh bµy kÜ nh÷ng thao t¸c t duy chuÈn bÞ
c¬ b¶n nhÊt.
2.1 T×m hiÓu kÜ bµi to¸n
T×m hiÓu kÜ bµi to¸n tøc lµ n¾m ch¾c ®îc nh÷ng yÕu tè ®Æc trng cho bµi to¸n.
Trong mét bµi to¸n quü tÝch thêng cã 3 lo¹i yÕu tè ®Æc trng:
a) Lo¹i yÕu tè cè ®Þnh: th«ng thêng lµ c¸c ®iÓm.
b) Lo¹i yÕu tè kh«ng ®æi: nh ®é dµi ®o¹n th¼ng, ®é lín cña gãc, diÖn tÝch
h×nh v.v...
C¸c yÕu tè cè ®Þnh hoÆc kh«ng ®æi thêng ®îc cho ®i kÌm theo c¸c nhãm tõ
“cè ®Þnh”, “cho tríc”, “kh«ng ®æi”.
c) Lo¹i yÕu tè thay ®æi: th«ng thêng lµ c¸c ®iÓm mµ ta cÇn t×m quü tÝch hoÆc
c¸c ®o¹n th¼ng, c¸c h×nh mµ trªn ®ã cã ®iÓm mµ ta cÇn t×m quü tÝch. C¸c
yÕu tè thay ®æi thêng cho kÌm theo nhãm tõ: “di ®éng”, “di chuyÓn”,
“ch¹y”, “thay ®æi” v.v....
Gi¸o viªn: NguyÔn C«ng Nguyªn
-1-
Trêng THCS Phó ThÞnh
Tæ khoa häc tù nhiªn
VÝ dô 1: Cho mét gãc vu«ng xOy cè ®Þnh vµ mét ®o¹n th¼ng AB cã ®é dµi cho
tríc; ®Ønh A di chuyÓn trªn c¹nh Ox, ®Ønh B di chuyÓn trªn c¹nh Oy. T×m tËp
hîp c¸c trung ®iÓm M cña ®o¹n th¼ng AB.
Trong bµi to¸n nµy th×:
+ YÕu tè cè ®Þnh: §Ønh O cña gãc xOy.
+ YÕu tè kh«ng ®æi: ®é dµi ®o¹n th¼ng AB.
+ YÕu tè thay ®æi: ®iÓm A, ®iÓm B vµ do ®ã kÐo theo trung ®iÓm M cña
AB còng thay ®æi.
CÇn chó ý lµ trong mét bµi to¸n cã thÓ cã nhiÒu yÕu tè cè ®Þnh, nhiÒu yÕu
tè kh«ng ®æi, nhiÒu yÕu tè thay ®æi. Do vËy, ta chØ tËp trung vµo nh÷ng yÕu tè
nµo liªn quan ®Õn c¸ch gi¶i cña ta mµ th«i.
Còng cÇn biÕt r»ng c¸c yÕu tè cè ®Þnh, kh«ng ®æi, thay ®æi kh«ng ph¶i lóc
nµo còng ®îc cho mét c¸ch trùc tiÕp mµ ®«i khi ph¶i ®îc hiÓu mét c¸ch linh
ho¹t. Ch¼ng h¹n khi nãi: “Cho mét ®êng trßn cè ®Þnh...” th× ta hiÓu r»ng t©m cña
®êng trßn lµ mét ®iÓm cè ®Þnh vµ b¸n kÝnh cña ®êng trßn lµ mét ®é dµi kh«ng
®æi, hay nh trong vÝ dô 2 sau ®©y.
VÝ dô 2: Cho mét ®êng th¼ng b vµ mét ®iÓm A cè ®Þnh kh«ng thuéc ®êng th¼ng
b. Mét tam gi¸c ABC cã ®Ønh B di chuyÓn trªn ®êng th¼ng b sao cho nã lu«n
lu«n ®ång d¹ng víi chÝnh nã. T×m tËp hîp ®Ønh C.
Trong vÝ dô nµy ta dÔ dµng thÊy:
+ YÕu tè cè ®Þnh: ®Ønh A, ®êng th¼ng b.
+ YÕu tè thay ®æi: ®Ønh B, ®Ønh C.
Cßn yÕu tè kh«ng ®æi lµ g×? ®ã lµ h×nh d¹ng cña tam gi¸c ABC. NÕu dõng
l¹i ë kh¸i niÖm chung lµ h×nh d¹ng kh«ng ®æi (tù ®«ng d¹ng) th× ta kh«ng thÓ
gi¶i ®îc bµi to¸n. Do vËy, ta ph¶i cô thÓ ho¸ gi¶ thiÕt tam gi¸c ABC lu«n tù ®ång
d¹ng ra nh sau:
- C¸c gãc A, B, C cã ®é lín kh«ng ®æi; tØ sè c¸c c¹nh, ch¼ng h¹n
AC
AB
lµ mét sè
kh«ng ®æi.
Nh vËy, viÖc t×m hiÓu kÜ bµi to¸n còng ®ßi hái ph¶i suy nghÜ, chän läc ®Ó
t×m ®îc nh÷ng yÕu tè cè ®Þnh, yÕu tè kh«ng ®æi, yÕu tè thay ®æi thÝch hîp, gióp
cho viÖc t×m ra c¸ch gi¶i bµi to¸n.
2.2 §o¸n nhËn quü tÝch
Thao t¸c t duy ®o¸n nhËn quü tÝch nh»m gióp HS h×nh dung ®îc h×nh d¹ng
cña quü tÝch (®êng th¼ng, ®o¹n th¼ng, cung trßn, ®êng trßn), nhiÒu khi cßn cho
HS biÕt c¶ vÞ trÝ vµ kÝch thíc cña quü tÝch n÷a. §Ó ®o¸n nhËn quü tÝch ta thêng
t×m 3 ®iÓm cña quü tÝch. Muèn vËy nªn xÐt 3 vÞ trÝ ®Æc biÖt, tèt nhÊt lµ sö dông
Gi¸o viªn: NguyÔn C«ng Nguyªn
-2-
Trêng THCS Phó ThÞnh
Tæ khoa häc tù nhiªn
c¸c ®iÓm giíi h¹n, víi ®iÒu kiÖn vÏ h×nh chÝnh x¸c, trùc gi¸c sÏ gióp ta h×nh
dung ®îc h×nh d¹ng quü tÝch.
- NÕu 3 ®iÓm ta vÏ ®îc lµ th¼ng hµng th× cã nhiÒu kh¶ n¨ng quü tÝch lµ ®êng th¼ng.
- NÕu 3 ®iÓm ta vÏ ®îc lµ kh«ng th¼ng hµng th× quü tÝch cÇn t×m lµ ®êng
trßn.
Ta sÏ lµm s¸ng tá ®iÒu nµy trong vÝ dô sau:
VÝ dô 3: Cho nöa ®êng trßn t©m O, ®êng kÝnh AB=2R. Mét ®iÓm M di chuyÓn
trªn nöa ®êng trßn. Nèi AM vµ ®Æt trªn tia AM mét ®o¹n AN = BM. T×m tËp hîp
c¸c ®iÓm N.
§o¸n nhËn quü tÝch
- Khi M B th× BM O
do vËy AN O hay N A.
VËy A lµ mét ®iÓm cña quü tÝch.
- Khi M ®Õn vÞ trÝ ®iÓm I, ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung AB, th× do AI=BI nªn N I.
VËy I lµ mét ®iÓm cña quü tÝch.
t'
B'
I
M
N
A
O
B
- Khi M A th× d©y cung AM ®Õn vÞ trÝ cña tiÕp tuyÕn At víi ®êng trßn t¹i
®iÓm A vµ do BM=BA nªn ®iÓm N sÏ dÇn ®Õn vÞ trÝ ®iÓm B’ trªn tiÕp tuyÕn At
sao cho AB’=AB=2R; B’ lµ mét ®iÓm cña quü tÝch.
Do 3 ®iÓm A, I, B’ kh«ng th¼ng hµng nªn ta dù ®o¸n r»ng ®iÓm N sÏ n»m trªn
®êng trßn ®i qua 3 ®iÓm A, I, B’, tøc lµ ®êng trßn ®êng kÝnh
AB’.
VÝ dô 4: Cho gãc vu«ng xOy. Mét ®iÓm A ch¹y trªn Ox, mét ®iÓm B ch¹y trªn
Oy. Ngêi ta dùng h×nh ch÷ nhËt OAMB. T×m tËp hîp ®iÓm M sao cho chu vi
h×nh ch÷ nhËt OAMB b»ng mét ®é dµi 2p cho tríc.
Gi¸o viªn: NguyÔn C«ng Nguyªn
-3-
Trêng THCS Phó ThÞnh
Tæ khoa häc tù nhiªn
y
§o¸n nhËn quü tÝch
D
DÔ thÊy MA +MB = p
M
B
Khi A O th× B D trªn Oy, mµ
OD = p
Khi B O th× A C trªn Ox,
mµ OC = p.
o
A
C
x
Dù ®o¸n tËp hîp cña M lµ ®o¹n
th¼ng CD.
VÝ dô 5: Cho mét gãc vu«ng xOy vµ mét ®iÓm A cè ®Þnh n»m trong gãc ®ã. Mét
gãc vu«ng tAz, ®Ønh A, quay xung quanh ®Ønh A; c¹nh At c¾t Ox ë B vµ Az c¾t
Oy ë C.
T×m quü tÝch trung ®iÓm M cña ®o¹n th¼ng BC.
Dù ®o¸n quü tÝch
y
A
- Khi B O th× ®iÓm C sÏ
M1
dÇn ®Õn vÞ trÝ ®iÓm C1 thuéc
C
Oy vµ ®iÓm M ®Õn vÞ trÝ M1
M
z
sao cho M1O=M1C1=M1A
x
O
B
M
2
M1 n»m trªn ®êng trung
t
trùc cña OA.
- Khi C O th× ®iÓm B sÏ dÇn ®Õn vÞ trÝ B1 thuéc Ox vµ ®iÓm M ®Õn vÞ trÝ M2
sao cho M2O=M2B1=M2A
M2 n»m trªn ®êng trung trùc cña OA.
Dù ®o¸n quü tÝch lµ ®o¹n M2M1 thuéc ®êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng OA,
phÇn n»m trong gãc xOy.
3. Gi¶i bµi to¸n quü tÝch nh thÕ nµo?
CÇn lµm cho häc sinh hiÓu, gi¶i mét bµi to¸n quü tÝch lµ tiÕn hµnh chøng
minh phÇn thuËn (bao gåm c¶ phÇn giíi h¹n quü tÝch) vµ chøng minh phÇn ®¶o.
Sau ®©y t«i sÏ ®i s©u h¬n vµo c¸c phÇn nµy.
3.1 Chøng minh phÇn thuËn
Mét trong nh÷ng ph¬ng híng ®Ó chøng minh phÇn thuËn lµ ®a viÖc t×m quü
tÝch vÒ c¸c quü tÝch c¬ b¶n. Trong ch¬ng tr×nh häc ë trêng Phæ th«ng c¬ së, häc
sinh ®· ®îc giíi thiÖu c¸c quü tÝch (c¸c tËp hîp ®iÓm) c¬ b¶n sau:
1) TËp hîp c¸c ®iÓm c¸ch ®Òu hai ®iÓm cè ®Þnh lµ ®êng trung trùc cña
®o¹n th¼ng nèi hai ®iÓm Êy.
2) TËp hîp c¸c ®iÓm c¸ch ®Òu hai c¹nh cña mét gãc lµ tia ph©n gi¸c cña
gãc Êy.
Gi¸o viªn: NguyÔn C«ng Nguyªn
-4-
Trêng THCS Phó ThÞnh
Tæ khoa häc tù nhiªn
3) TËp hîp tÊt c¶ nh÷ng ®iÓm c¸ch ®êng th¼ng b mét kho¶ng l cho tríc lµ
hai ®êng th¼ng song song víi ®êng th¼ng b vµ c¸ch ®êng th¼ng b mét
kho¶ng l.
4) TËp hîp tÊt c¶ nh÷ng ®iÓm c¸ch mét ®iÓm cè ®Þnh O mét kho¶ng kh«ng
®æi r lµ ®êng trßn t©m O, b¸n kÝnh r.
5) TËp hîp c¸c ®iÓm M t¹o thµnh víi hai mót cña ®o¹n th¼ng AB cho tríc
mét gãc AMB cã sè ®o b»ng ( kh«ng ®æi) lµ hai cung trßn ®èi xøng
nhau qua AB (gäi lµ cung chøa gãc vÏ trªn ®o¹n AB).
Trêng hîp ®Æc biÖt: TËp hîp c¸c ®iÓm M lu«n nh×n hai ®iÓm cè ®Þnh A, B
díi mét gãc vu«ng lµ ®êng trßn ®êng kÝnh AB.
Muèn vËy, ta t×m c¸ch thay viÖc t×m quü tÝch nh÷ng ®iÓm M cã tÝnh chÊt
b»ng viÖc t×m quü tÝch ®iÓm M cã tÝnh chÊt ’ vµ quü tÝch cña nh÷ng ®iÓm
tho¶ tÝnh chÊt ’ lµ mét trong nh÷ng quü tÝch c¬ b¶n mµ ta ®· biÕt. (nh vËy ’
cã thÓ lµ “c¸ch ®Òu hai ®iÓm cè ®Þnh”; “c¸ch mét ®iÓm cè ®Þnh mét ®o¹n kh«ng
®æi”; “ c¸ch mét ®êng th¼ng cè ®Þnh mét ®o¹n kh«ng ®æi” v.v...). Nh vËy ta thay
viÖc xÐt mÖnh ®Ò M( ) b»ng viÖc xÐt mÖnh ®Ò M( ’) mµ M( ) M( ’)
VÝ dô 6: Cho tam gi¸c ABC vµ mét ®iÓm D di chuyÓn trªn c¹nh ®¸y BC. T×m quü
tÝch trung ®iÓm M cña ®o¹n th¼ng AD.
§o¸n nhËn quü tÝch
NÕu D B th× M P, mµ AP=BP. P lµ mét ®iÓm thuéc quü tÝch.
NÕu D C th× M Q, mµ AQ=QC. Q lµ mét ®iÓm thuéc quü tÝch.
NÕu D H (víi AH BC t¹i H) th× M I, mµ IH=AH. H lµ mét ®iÓm
thuéc quü tÝch.
Do 3 ®iÓm P, I, Q th¼ng hµng nªn ta dù ®o¸n quü tÝch ®iÓm M lµ ®o¹n th¼ng
PQ, lµ ®êng trung b×nh cña tam gi¸c ABC.
Ph©n tÝch phÇn thuËn
A
Tõ M kÎ MK BC vµ kÎ ®êng
cao AH cña ABC.
DÔ thÊy MK=
AH
2
P
.
ABC cè ®Þnh nªn AH kh«ng
B
®æi suy ra MK kh«ng ®æi.
D
Q
M
K
H
- VËy ®iÓm M lu«n lu«n c¸ch BC mét ®o¹n kh«ng ®æi b»ng
thÊy ë ®©y lµ:
M( ): M lµ trung ®iÓm cña AD.
M( ’): M c¸ch BC mét ®o¹n kh«ng ®æi.
Gi¸o viªn: NguyÔn C«ng Nguyªn
-5-
C
AH
2
. Ta cã thÓ
Trêng THCS Phó ThÞnh
Tæ khoa häc tù nhiªn
Nh vËy lµ ta thay viÖc t×m quü tÝch ®iÓm M, trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AN,
b»ng viÖc t×m quü tÝch cña ®iÓm M lu«n c¸ch c¹nh BC mét ®o¹n kh«ng ®æi b»ng
AH
2
, mµ quü tÝch nµy th× ta ®· biÕt t×m, lµ d¹ng bµi to¸n quü tÝch c¬ b¶n thø 3.
VÝ dô 7: Cho mét tam gi¸c cè ®Þnh ABC. Mét ®iÓm D di chuyÓn trªn c¹nh ®¸y
BC. Qua D ngêi ta kÎ ®êng th¼ng song song víi c¹nh AC c¾t c¹nh AB ë E vµ ®êng th¼ng song song víi c¹nh AB c¾t c¹nh AC ë F. T×m quü tÝch trung ®iÓm M
cña ®o¹n th¼ng EF.
Ph©n tÝch phÇn thuËn
V× DF//AE vµ DE//AF nªn tø gi¸c
A
AEDF lµ h×nh b×nh hµnh, hai ®êng
F
chÐo EF vµ AD giao nhau t¹i trung
P
Q
®iÓm, vËy M lµ trung ®iÓm cña EF
M
E
còng lµ trung ®iÓm cña AD. Bµi
to¸n ®îc ®a vÒ viÖc t×m quü tÝch cña
C
B
D
trung ®iÓm M cña ®o¹n th¼ng AD.
- TÝnh chÊt ë ®©y lµ: M( ) M lµ trung ®iÓm cña EF.
- TÝnh chÊt ’ ë ®©y lµ: M( ’) M lµ trung ®iÓm cña AD.
Vµ ta ®· thay viÖc t×m quü tÝch trung ®iÓm cña EF b»ng viÖc t×m quü tÝch
trung ®iÓm cña AD, mµ quü tÝch nµy th× ta ®· cã c¸ch ®a vÒ quü tÝch c¬ b¶n
trong vÝ dô 6.
CÇn lu ý lµ khi thay c¸c ®iÓm M( ) b»ng c¸c ®iÓm M( ’) mµ M( )
M( ’) th× tËp hîp c¸c ®iÓm M( ) chØ lµ mét tËp hîp con (mét bé phËn) cña tËp
hîp c¸c ®iÓm M( ’), nh trong vÝ dô 6 tËp hîp c¸c ®iÓm M( ’) lµ hai ®êng
th¼ng song song vµ c¸ch ®êng th¼ng BC mét ®o¹n
AH
2
, cßn tËp hîp c¸c ®iÓm
M( ) lµ ®êng trung b×nh PQ song song víi c¹nh BC cña tam gi¸c ABC mµ th«i.
Trong nhiÒu trêng hîp ta kh«ng thµnh c«ng trong viÖc ®a vÒ c¸c quü tÝch c¬
b¶n mµ nhê vµo thao t¸c dù ®o¸n quü tÝch ta thÊy quü tÝch cã thÓ lµ mét ®êng cè
®Þnh nµo ®ã. Trong trêng hîp nµy ta t×m c¸ch chøng minh h×nh chøa c¸c ®iÓm
cña quü tÝch lµ mét h×nh cè ®Þnh.
VÝ dô 8: Cho nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AB vµ mét ®iÓm P di ®éng trªn nöa ®êng
trßn. TiÕp tuyÕn t¹i P c¾t ®êng th¼ng song song víi AP, kÎ tõ t©m O cña nöa ®êng trßn, t¹i ®iÓm M. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M.
Gi¸o viªn: NguyÔn C«ng Nguyªn
-6-
Trêng THCS Phó ThÞnh
Tæ khoa häc tù nhiªn
t M
Ph©n tÝch phÇn thuËn
Nèi MB; do OM//AP nªn
O1 A (®ång vÞ)
O2 P1
(so le trong)
MÆt kh¸c
OA=OP)
A P1
P
1
(v×
2
1
A
VËy
O
B
O1 O2
O1 O2
OP OB OPM OBM
OM chung
OBM OPM mµ OPM 90 0 (gãc gi÷a tiÕp tuyÕn víi b¸n kÝnh ®i qua
tiÕp ®iÓm). VËy OMB 90 0 BM AB
AB cè ®Þnh, ®iÓm B cè ®Þnh mµ MB AB M lu«n ch¹y trªn tia At vu«ng
gãc víi AB t¹i B.
Qua c¸c vÝ dô trªn ®©y, ta thÊy ®Ó tiÕn hµnh viÖc chøng minh phÇn thuËn,
ta cÇn t×m ra cho ®îc mèi liªn hÖ gi÷a ®iÓm cÇn t×m tËp hîp víi c¸c ®iÓm cè
®Þnh, t×m c¸ch sö dông c¸c yÕu tè kh«ng ®æi vµ viÖc biÓu diÔn c¸c liªn hÖ ®ã.
- NÕu trong ®Çu bµi cã mét ®iÓm cè ®Þnh, ta cã thÓ nghÜ ®Õn tËp hîp ®iÓm
cÇn t×m lµ mét ®êng trßn.
- NÕu trong ®Çu bµi cã hai ®iÓm cè ®Þnh A, B th× ta nèi ®iÓm cÇn t×m tËp
hîp M víi A, B vµ thö tÝnh gãc AMB hoÆc thö chøng minh MA=MB.
- NÕu trong ®Çu bµi xuÊt hiÖn mét ®êng th¼ng cè ®Þnh th× ta thö tÝnh
kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm cÇn t×m quü tÝch ®Õn ®êng th¼ng cè ®Þnh Êy.
- NÕu trong ®Çu bµi xuÊt hiÖn hai ®êng th¼ng song song th× h·y liªn tëng
®Õn tËp hîp c¸c ®iÓm c¸ch ®Òu hai ®êng th¼ng song song
VÝ dô 9: Cho mét ®êng trßn t©m O, b¸n kÝnh R vµ mét ®iÓm P ë ngoµi ®êng trßn,
mét ®iÓm N di chuyÓn trªn ®êng trßn. T×m tËp hîp trung ®iÓm M cña ®o¹n th¼ng
PN.
Ph©n tÝch phÇn thuËn
Gi¸o viªn: NguyÔn C«ng Nguyªn
-7-
Trêng THCS Phó ThÞnh
Tæ khoa häc tù nhiªn
P cè ®Þnh, O cè ®Þnh, suy ra
trung ®iÓm I cña OP còng cè
®Þnh. Nèi IM. Trong tam gi¸c
PON th×
IM= 1 ON
2
1
R =kh«ng
2
®æi.
N
M
I
P
O
- VËy M thuéc ®êng trßn t©m
I b¸n kÝnh 1 R .
2
Trong nhiÒu bµi tËp, khi chøng minh phÇn thuËn, ta t×m ®îc h×nh (H’)
chøa c¸c ®iÓm M cã tÝnh chÊt , nhng do nh÷ng ®iÒu kiÖn h¹n chÕ kh¸c cña bµi
to¸n, tËp hîp c¸c ®iÓm M cÇn t×m lµ h×nh (H) chØ lµ mét bé phËn cña h×nh (H’).
Trong trêng hîp nµy, ta ph¶i thøc hiÖn thªm mét c«ng viÖc n÷a: giíi h¹n quü
tÝch.
Cã nhiÒu c¸ch nh×n nhËn vÞ trÝ cña phÇn giíi h¹n quü tÝch. Ta cã thÓ coi
phÇn giíi h¹n lµ mét bé phËn cña viÖc chøng minh phÇn thuËn. Ta còng cã thÓ
®Æt phÇn giíi h¹n vµo phÇn ®¶o, hoÆc t¸ch phÇn giíi h¹n thµnh mét phÇn riªng
biÖt, ngang víi phÇn thuËn vµ phÇn ®¶o.
Trong qu¸ tr×nh d¹y häc sinh, t«i ®Æt giíi h¹n vµo trong phÇn thuËn. Lµm nh
vËy sÏ tr¸nh ®îc viÖc chän nhÇm ph¶i nh÷ng ®iÓm kh«ng thuéc quü tÝch khi tiÕn
hµnh chøng minh phÇn ®¶o. Th«ng thêng, ta t×m c¸c ®iÓm giíi h¹n cña quü tÝch
b»ng c¸ch xÐt c¸c ®iÓm cña quü tÝch trong c¸c trêng hîp giíi h¹n, nh trong vÝ dô
sau:
VÝ dô 10: Cho mét gãc vu«ng xOy, ®Ønh O. Trªn c¹nh Ox cã mét ®iÓm A cè
®Þnh vµ trªn c¹nh Oy cã mét ®iÓm B cè ®Þnh. Mét ®iÓm C thay ®æi di chuyÓn
trªn ®o¹n th¼ng OB. Gäi H lµ h×nh chiÕu cña ®iÓm B trªn tia AC. T×m tËp hîp
c¸c ®iÓm H.
Gi¶i
1) PhÇn thuËn.
V× H lµ h×nh chiÕu cña B trªn
y
AC nªn BH AC BHA 90 0
Hai ®iÓm A, B cè ®Þnh. §iÓm H
lu«n lu«n nh×n hai ®iÓm A, B díi
mét gãc vu«ng nªn H n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh AB.
Chó ý: §êng trßn nµy còng ®i qua
®Ønh O cña gãc vu«ng xOy.
B
H
C
O
A
Gi¸o viªn: NguyÔn C«ng Nguyªn
-8-
x
Trêng THCS Phó ThÞnh
Tæ khoa häc tù nhiªn
Giíi h¹n: V× ®iÓm C di chuyÓn trong ®o¹n OB nªn ®iÓm H kh«ng thÓ di chuyÓn
trªn c¶ ®êng trßn ®êng kÝnh AB. Ta ph¶i t×m giíi h¹n.
Khi ®iÓm C ®Õn vÞ trÝ ®iÓm B th× ®iÓm H còng ®Õn vÞ trÝ ®iÓm B.
Khi ®iÓm C ®Õn vÞ trÝ ®iÓm O, ®Çu mót cña ®o¹n th¼ng OB, th× ®iÓm H
còng ®Õn vÞ trÝ ®iÓm O.
- VËy khi ®iÓm C di chuyÓn trªn ®o¹n OB th× ®iÓm H di chuyÓn trªn cung
OHB cña ®êng trßn ®êng kÝnh AB.
Nh vËy, ®Ó t×m giíi h¹n quü tÝch ®iÓm C, v× ®iÓm C chØ di chuyÓn trong ®o¹n
th¼ng OB nªn ta xÐt c¸c ®iÓm cña quü tÝch khi ®iÓm C dÇn ®Õn c¸c ®Çu nót cña
®o¹n th¼ng OB, tøc lµ khi C B vµ khi C O.
VÝ dô 11: Cho mét h×nh vu«ng cè ®Þnh ABCD vµ mét ®iÓm P di ®éng trªn c¹nh
AB. Trªn tia CP vµ bªn ngoµi ®o¹n th¼ng CP ta lÊy mét ®iÓm M sao cho:
MAB PCB.
T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M.
PhÇn thuËn
Ta cã: MAB PCB
D
C
P1 P2 (®èi ®Ønh)
MAB P2 PCB P1 90 0
AMP 90 0
hay AMC 90 0
A
P 1
2
B
M
§iÓm M nh×n hai ®iÓm cè ®Þnh A,C díi mét gãc vu«ng nªn M n»m trªn ®êng
trßn ®êng kÝnh AC (còng lµ ®êng trßn ngo¹i tiÕp h×nh vu«ng ABCD).
Giíi h¹n. Khi P B th× M B
Khi P A th× M A
VËy M chØ di chuyÓn trªn cung nhá AB thuéc ®êng trßn ®êng kÝnh AC.
Qua c¸c vÝ dô trªn ®©y, nh vÝ dô 10, ta thÊy h×nh (H) t×m ®îc trong khi
chøng minh phÇn thuËn (®êng trßn ®êng kÝnh AB) chøa tÊt c¶ nh÷ng ®iÓm nh×n
hai ®iÓm cè ®Þnh A, B díi mét gãc vu«ng nhng chØ cã nh÷ng ®iÓm thuéc cung
OHB míi lµ h×nh chiÕu cña ®iÓm B trªn tia AC mµ th«i. ViÖc t×m giíi h¹n gióp
chóng ta lo¹i bá ®îc nh÷ng ®iÓm kh«ng thuéc vÒ quü tÝch cÇn t×m.
3.2 Chøng minh phÇn ®¶o
Th«ng thêng ®iÓm di ®éng cÇn t×m quü tÝch M phô thuéc vµo sù di ®éng cña
mét ®iÓm kh¸c, ®iÓm P ch¼ng h¹n. Trong phÇn ®¶o ta lµm nh sau: LÊy mét vÞ trÝ
P’ kh¸c cña P vµ øng víi nã ta ®îc ®iÓm M’ trªn h×nh H mµ trong phÇn thuËn ta
®· chøng minh ®îc ®ã lµ h×nh chøa nh÷ng ®iÓm M cã tÝnh chÊt . Ta sÏ ph¶i
chøng minh M’ còng cã tÝnh chÊt .
VÝ dô 10:
Gi¸o viªn: NguyÔn C«ng Nguyªn
-9-
Trêng THCS Phó ThÞnh
Tæ khoa häc tù nhiªn
2) PhÇn ®¶o.
LÊy mét ®iÓm C’ bÊt k× trªn ®o¹n OB.
Nèi AC’ vµ tia AC’ c¾t cung OHB t¹i
mét ®iÓm H’. Nèi BH’ gãc BH’A lµ
gãc néi tiÕp trong nöa ®êng trßn nªn
0
BH ' A 90 BH ' AC ' H '
y
B
H'
H
C'
C
lµ h×nh
chiÕu cña ®iÓm B trªn tia AC’.
x
KÕt luËn: TËp hîp c¸c h×nh chiÕu H cña ®iÓm B trªn tia AC lµ cung OB
thuéc ®êng trßn ®êng kÝnh AB (phÇn thuéc nöa mÆt ph¼ng kh«ng chøa tia
Ox, bê lµ ®êng th¼ng Oy).
VÝ dô 11: Cho mét h×nh vu«ng cè ®Þnh ABCD vµ mét ®iÓm P di ®éng trªn c¹nh
AB. Trªn tia CP vµ bªn ngoµi ®o¹n th¼ng CP ta lÊy mét ®iÓm M sao cho:
O
A
MAB PCB.
T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M.
PhÇn ®¶o
LÊy mét ®iÓm P’ bÊt k× thuéc c¹nh
AB cña h×nh vu«ng. Tia CP’ c¾t
cung nhá AB cña ®êng trßn ®êng
kÝnh AC t¹i ®iÓm M’.
D
A
C
P' 1
2
B
M'
Ta cã
AM ' C 90 0 (gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn) vµ P '1 P ' 2
suy ra M ' AB P' CB
KÕt luËn: TËp hîp c¸c ®iÓm M lµ cung AB (kh«ng chøa ®Ønh C) cña ®êng
trßn ngo¹i tiÕp h×nh vu«ng ABCD.
Lu ý: Tuy vËy, trong nhiÒu bµi to¸n, ta chøng minh phÇn ®¶o b»ng c¸ch
lÊy mét ®iÓm M’ thuéc h×nh (H), øng víi nã ta cã mét vÞ trÝ kh¸c cña c¸c
yÕu tè chuyÓn ®éng mµ M’ phô thuéc, sau ®ã ta chøng minh trong nh÷ng
®iÒu kiÖn Êy M’ cã tÝnh chÊt . Chóng ta sÏ xÐt vÝ dô cô thÓ sau ®©y.
VÝ dô 12: Cho mét gãc vu«ng xOy. Mét ®iÓm A ch¹y trªn c¹nh Ox, mét ®iÓm B
ch¹y trªn c¹nh Oy sao cho ®é dµi ®o¹n th¼ng AB lu«n b»ng mét ®o¹n l cho tríc.
T×m quü tÝch trung ®iÓm I cña ®o¹n th¼ng AB.
Gi¶i
PhÇn thuËn: Nèi OI. Tam gi¸c AOB
vu«ng mµ OI lµ trung tuyÕn nªn
1
l
OI AB =
2
2
kh«ng ®æi. §iÓm O cè
®Þnh, ®iÓm I c¸ch ®iÓm O mét ®o¹n
Gi¸o viªn: NguyÔn C«ng Nguyªn
- 10 -
Trêng THCS Phó ThÞnh
kh«ng ®æi
l
2
Tæ khoa häc tù nhiªn
y B
B' 0
nªn I n»m trªn ®êng trßn
t©m O b¸n kÝnh
B
l
2
I1
I'
.
I
O
x
A'
I0
A
A0
Giíi h¹n: V× ®iÓm A chØ ch¹y trªn Ox, ®iÓm B chØ ch¹y trªn Oy vµ ®o¹n th¼ng
AB chØ di chuyÓn trong gãc xOy nªn ta ph¶i giíi h¹n quü tÝch.
- Khi ®iÓm A ®Õn trïng víi ®iÓm O th× ®iÓm B ®Õn vÞ trÝ Bo vµ ®iÓm I ®Õn vÞ
trÝ I1trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng OB0.
- Khi ®iÓm B ®Õn trïng víi ®iÓm O th× ®iÓm A ®Õn vÞ trÝ A o vµ ®iÓm I ®Õn
vÞ trÝ I0 trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng OA0.
- VËy khi ®o¹n th¼ng AB di chuyÓn trong gãc xOy th× ®iÓm I n»m trªn cung trßn
I0I1 thuéc ®êng trßn t©m O b¸n kÝnh
l
2
, tøc lµ cung phÇn t ®êng trßn n»m trong
gãc xOy.
PhÇn ®¶o: LÊy ®iÓm I’ thuéc cung phÇn t I0I1. Quay cung trßn t©m I’, B¸n kÝnh
l
2
, c¾t Ox ë A vµ Oy ë B’.
Ta cã OI ' A' c©n nªn I ' OA' I ' A' O
Do vËy OI ' A' 180 0 2I ' OA'
T¬ng tù OI ' B' 180 0 2I ' OB'
OI ' A'OI ' B ' 360 0 2.90 0 180 0
Suy ra ba ®iÓm A’, I’, B’ th¼ng hµng. Ta l¹i cã
I ' A' I ' A'
l
A' B ' l
2
vµ I’ lµ
trung ®iÓm cña A’B’.
KÕt luËn: Quü tÝch trung ®iÓm I cña ®o¹n th¼ng AB lµ cung I0I1 thuéc ®êng trßn t©m O, b¸n kÝnh
l
2
(phÇn n»m trong gãc xOy).
VÝ dô 13: Cho mét gãc vu«ng xOy, hai ®iÓm A, B cè ®Þnh trªn c¹nh Ox vµ mét
®iÓm M di ®éng trªn c¹nh Oy. §êng th¼ng vu«ng gãc víi MA kÎ tõ A c¾t ®êng
th¼ng vu«ng gãc víi MB kÎ tõ B t¹i ®iÓm N. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm N.
Gi¶i
PhÇn thuËn.
- KÎ NH Ox.
Gäi I lµ trung ®iÓm ®o¹n th¼ng MN.
Gi¸o viªn: NguyÔn C«ng Nguyªn
- 11 -
Trêng THCS Phó ThÞnh
Tæ khoa häc tù nhiªn
Do IA=IB(= 1 MN) nªn I n»m trªn
2
trung trùc cña ®o¹n th¼ng AB. NÕu
gäi K lµ trung ®iÓm cña AB th× IK
AB.
z
y
N
I
M
A
O
K
x
H
B
Ta l¹i cã IK//OM//NH mµ I lµ trung ®iÓm cña MN nªn K lµ trung ®iÓm cña
OH OH=2OK=kh«ng ®æi. VËy ®iÓm N di chuyÓn trªn tia Hz vu«ng gãc víi
c¹nh Ox t¹i ®iÓm H sao cho OH=2OK.
PhÇn ®¶o.
LÊy ®iÓm M’ trªn Oy, nèi M’A. §êng vu«ng gãc víi M’A kÎ tõ A c¾t tia Hz t¹i
N’. Nèi N’B vµ M’b.
Ta cÇn chøng minh: N’B M’B
Gäi I’ lµ trung ®iÓm cña M’N’.
Ta cã:
I' A
1
M ' N'
2
(1) (I’A lµ trung tuyÕn øng víi c¹nh huyÒn M’N’ cña tam
gi¸c vu«ng M’AN’)
MÆt kh¸c I’ lµ trung ®iÓm cña M’N’, K lµ trung ®iÓm cña OH nªn I’K//M’O
I’K AB mµ K lµ trung ®iÓm cña AB nªn I’K lµ ®êng trung trùc cña AB, cho ta
I’A=I’B
(2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra
I'B
1
M 'N'
2
=I’M’=I’N’
z
y
Hay tam gi¸c M’BN’ vu«ng gãc t¹i
B. VËy N’B M’B
N'
I'
M'
O
A
K
B
H
x
KÕt luËn: TËp hîp c¸c ®iÓm N lµ tia Hz n»m trong gãc xOy, vu«ng gãc
víi c¹nh Ox t¹i ®iÓm H, sao cho OH=2OK (K lµ trung ®iÓm cña ®o¹n
th¼ng AB).
Lu ý: Trong bµi to¸n nµy, liªn hÖ gi÷a hai ®iÓm M vµ N ph¶i th«ng qua c¸c
gi¶ thiÕt: M Oy, MAN 1v, MBN 1v vµ N lµ giao ®iÓm cña hai ®êng
vu«ng gãc kÎ tõ A víi MA, kÎ tõ B víi MB. Do vËy ta ph¶i chän mét trong
ba ph¬ng híng sau ®©y ®Ó chøng minh phÇn ®¶o:
Chøng minh M’ Oy
Chøng minh M ' AN ' 90 0
Chøng minh M ' AN ' 90 0
Gi¸o viªn: NguyÔn C«ng Nguyªn
- 12 -
Trêng THCS Phó ThÞnh
Tæ khoa häc tù nhiªn
- NÕu chó ý r»ng c¸ch dùng c¸c ®iÓm M, N lµ nh nhau th× ngay tõ ®Çu ta ®·
cã thÓ dù ®o¸n tËp hîp cña N ph¶i lµ mét tia t¬ng tù nh Oy vµ trong khi chøng
minh phÇn ®¶o, sau khi lÊy mét ®iÓm N’ Hz, vµ dùng l¹i ®iÓm M’, giao ®iÓm
cña c¸c ®êng vu«ng gãc víi N’A kÎ tõ A víi ®êng vu«ng gãc víi N’B kÎ tõ B,
th× viÖc chøng minh M’ Oy cã thÓ ®îc lÆp l¹i y hÖt nh phÇn thuËn.
Nh vËy, viÖc lùa chän gi¶ thiÕt ®Ó x©y dùng “kÕ ho¹ch” chøng minh phÇn ®¶o
lµ rÊt quan träng. NÕu khÐo chän, nhiÒu khi sÏ gi¶m bít ®îc c¸c khã kh¨n trong
viÖc chøng minh vµ cã thÓ cho ta nh÷ng lêi gi¶i hay.
Tæng qu¸t: khi chøng minh phÇn ®¶o cña bµi to¸n quü tÝch, sau khi lÊy
®iÓm M bÊt k× thuéc h×nh võa t×m ®îc, ta ph¶i chøng minh r»ng ®iÓm M
cã tÝnh chÊt T nªu trong ®Ò bµi. TÝnh chÊt T nµy thêng ®îc t¸ch lµm hai
nhãm tÝnh chÊt T1 vµ T2. Ta dùng c¸c ®iÓm chuyÓn ®éng cßn l¹i tho¶ m·n
tÝnh chÊt T1 råi chøng minh M vµ c¸c ®iÓm Êy tho¶ m·n tÝnh chÊt T 2. Nh
thÕ, tuú theo c¸ch chia nhãm T1 vµ T2 mµ cã nhiÒu c¸ch chøng minh ®¶o
®èi víi cïng mét bµi to¸n.
Gi¸o viªn: NguyÔn C«ng Nguyªn
- 13 -
- Xem thêm -