ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC
ĐẶNG THỊ PHƢƠNG THẢO
DẠY HỌC VẬN DỤNG TÍNH CHẤT CỦA HÀM LỒI ĐỂ
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC LƢỢNG GIÁC TRONG
TAM GIÁC NHẰM PHÁT TRIỂN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN
CHO HỌC SINH
LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HỌC
HÀ NỘI – 2020
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC
ĐẶNG THỊ PHƢƠNG THẢO
DẠY HỌC VẬN DỤNG TÍNH CHẤT CỦA HÀM LỒI ĐỂ
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC LƢỢNG GIÁC TRONG
TAM GIÁC NHẰM PHÁT TRIỂN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN
CHO HỌC SINH
LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HỌC
CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC
BỘ MÔN TOÁN
Mã số: 8.14.01.11
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu
HÀ NỘI – 2020
LỜI CẢM ƠN
Từ thực tiễn có thể thấy, để có được sự thành công trong bất kỳ lĩnh vực
nào, ngoài sự nỗ lực, cố gắng của bản thân còn cần sự giúp đỡ, hỗ trợ của
những người xung quanh. Trước hết, tác giả xin phép được gửi lời cảm ơn
chân thành và sâu sắc nhất đến Ban Giám hiệu nhà trường cùng các thầy giáo,
cô giáo của trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội đã dành nhiều
thời gian, tâm huyết của mình để giúp tác giả mở rộng được kiến thức trong
suốt quá trình được đào tạo tại nhà trường.
Thời gian qua, GS.TSKH.Nguyễn Văn Mậu đã luôn nhiệt tình, tận tâm
hướng dẫn và chỉ bảo để tác giả có thể hoàn thành luận văn của mình. Qua
các cuộc trao đổi hay làm việc, thầy đã luôn rất chi tiết và cụ thể các nội dung
liên quan đến đề tài để giúp tác giả hoàn thiện được luận văn này. Tác giả xin
được trân trọng gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất tới thầy và mong
muốn tiếp tục được thầy giúp đỡ trong những thời gian tiếp theo.
Trong quá trình học tập và đặc biệt là trong thời gian làm luận văn này,
bản thân tác giả cũng đã luôn luôn nhận được sự quan tâm, tạo điều kiện của
đồng nghiệp, bạn bè. Đặc biệt phải kể đến sự chia sẻ của các bạn học viên của
lớp Lý luận và Phương pháp dạy học môn Toán QH-2017-S hay sự ủng hộ,
khích lệ của các thầy cô cùng công tác với tác giả tại trường THPT Giao Thủy
đã tạo nguồn cổ vũ, động viên to lớn giúp tác giả hoàn thành luận văn này.
Một lần nữa, xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 09 tháng 01 năm 2020
Tác giả
Đặng Thị Phương Thảo
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ....................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................. 3
3. Khách thể và đối tượng nghiên cứu .......................................................... 3
4. Phạm vi nghiên cứu ................................................................................... 3
5. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................ 4
6. Giả thuyết khoa học .................................................................................. 4
7. Phương pháp nghiên cứu........................................................................... 4
8. Đóng góp của đề tài................................................................................... 5
9. Cấu trúc của luận văn ................................................................................ 5
CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU ............... 6
1.1. Lịch sử của vấn đề nghiên cứu............................................................... 6
1.2. Cơ sở thực tiễn ....................................................................................... 7
1.3. Năng lực và sự phát triển năng lực cho học sinh trung học phổ thông . 8
1.3.1. Khái niệm năng lực ......................................................................... 8
1.3.2. Phân loại năng lực .......................................................................... 8
1.3.3. Các năng lực cơ bản cần phát triển cho học sinh trung học phổ
thông .......................................................................................................... 9
1.3.4. Năng lực toán học ......................................................................... 10
1.4. Kỹ năng giải toán ................................................................................. 11
1.4.1. Khái niệm kỹ năng......................................................................... 11
1.4.2. Các yếu tố cơ bản ảnh hưởng đến kỹ năng ................................... 12
1.4.3. Kỹ năng giải toán .......................................................................... 12
1.4.4. Căn cứ để hình thành các biện pháp phát triển kỹ năng giải toán
cho học sinh trung học phổ thông ........................................................... 13
1.4.5. Các biện pháp chính nhằm phát triển kỹ năng giải toán cho học
sinh trung học phổ thông......................................................................... 14
1.4.6. Một số phương pháp dạy học tích cực nhằm phát triển kỹ năng
giải toán cho học sinh ............................................................................. 15
KẾT LUẬN CHƢƠNG 1 .............................................................................. 20
CHƢƠNG 2. DẠY HỌC VẬN DỤNG TÍNH CHẤT CỦA HÀM LỒI ĐỂ
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC LƢỢNG GIÁC TRONG TAM
GIÁC NHẰM PHÁT TRIỂN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH
......................................................................................................................... 21
2.1. Hàm lồi, lõm......................................................................................... 21
2.1.1. Hàm đơn điệu ................................................................................ 21
2.1.2. Hàm lồi, lõm .................................................................................. 21
2.1.3. Lớp hàm đơn điệu liên tiếp bậc (1, 2) ........................................... 23
2.2. Tính lồi, lõm của các hàm số lượng giác ............................................. 25
2.2.1. Tính đơn điệu của các hàm số lượng giác .................................... 25
2.2.2. Tính lồi, lõm của hàm số lượng giác ............................................ 26
2.3. Bất đẳng thức lượng giác liên quan đến các góc của tam giác ............ 26
2.3.1. Một số đẳng thức và bất đẳng thức liên quan đến các góc của tam
giác .......................................................................................................... 26
2.3.2. Độ gần đều và sắp thứ tự của một dãy các tam giác .................... 29
2.4. Vận dụng tính chất của hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức lượng
giác trong tam giác nhằm phát triển kỹ năng giải toán cho học sinh.......... 31
2.4.1. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức lượng giác dạng
đối xứng trong tam giác .......................................................................... 31
2.4.2. Áp dụng bất đẳng thức Jensen ...................................................... 41
2.4.3. Áp dụng bất đẳng thức Karamata ................................................. 49
2.4.4. Áp dụng tính đơn điệu liên tiếp bậc (1,2) ..................................... 53
KẾT LUẬN CHƢƠNG 2 .............................................................................. 60
CHƢƠNG 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ................................................ 61
3.1. Đối tượng thực nghiệm ........................................................................ 61
3.2. Mục đích thực nghiệm ......................................................................... 61
3.3. Nhiệm vụ thực nghiệm ......................................................................... 61
3.4. Nội dung và kế hoạch thực nghiệm ..................................................... 62
3.4.1. Nội dung và kế hoạch thực nghiệm theo thời gian ....................... 62
3.4.2. Triển khai dạy theo chuyên đề thực nghiệm ................................. 63
3.4.3. Đề kiểm tra, đánh giá học sinh ..................................................... 63
3.5. Triển khai thực nghiệm ........................................................................ 64
3.6. Đánh giá kết quả thực nghiệm ............................................................. 64
3.6.1. Kết quả bài kiểm tra, đánh giá...................................................... 64
3.6.2. Kết quả sử dụng bảng quan sát, phiếu đánh giá........................... 68
3.6.3. Kết quả phiếu điều tra ý kiến học sinh .......................................... 70
3.6.4. Tổng hợp, phân tích số liệu và kết luận ........................................ 71
KẾT LUẬN CHƢƠNG 3 .............................................................................. 74
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ ............................................................... 75
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 75
PHỤ LỤC
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
STT
Viết tắt
Viết đầy đủ
1
BĐT
Bất đẳng thức
2
CM
Chứng minh
3
ĐC
Đối chứng
4
GV
Giáo viên
5
HS
Học sinh
6
KN
Kỹ năng
7
KNGT
Kỹ năng giải toán
8
KT
Kiểm tra
9
LG
Lượng giác
10
NL
Năng lực
11
PPDH
Phương pháp dạy học
12
PPDHTC Phương pháp dạy học tích cực
13
SGK
Sách giáo khoa
14
TN
Thực nghiệm
15
TNSP
Thực nghiệm sư phạm
16
THPT
Trung học phổ thông
DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 3.1. Mô tả nội dung và kế hoạch thực nghiệm theo thời gian ............... 62
Bảng 3.2. Mô tả kết quả kiểm tra sau tiến hành thực nghiệm lần 1................ 64
Bảng 3.3. Thống kê tỷ lệ học sinh đạt điểm xi trở xuống lần 1 ...................... 64
Bảng 3.4. Tỷ lệ phân loại học sinh lần 1 ......................................................... 65
Bảng 3.5. Mô tả kết quả kiểm tra sau tiến hành thực nghiệm lần 2................ 66
Bảng 3.6. Thống kê tỷ lệ học sinh đạt điểm xi trở xuống lần 2 ...................... 66
Bảng 3.7. Thống kê tỷ lệ phân loại học sinh đạt lần 2 .................................... 68
Bảng 3.8. Thống kê kết quả đánh giá kỹ năng giải toán của học sinh thông qua
giáo viên lần 1 ................................................................................................. 70
Bảng 3.9. Thống kê kết quả đánh giá kỹ năng giải toán của học sinh thông qua
giáo viên lần 2 ................................................................................................. 70
Bảng 3.10. Thống kê kết quả đánh giá kỹ năng giải toán của học sinh thông
qua giáo viên lần 3 .......................................................................................... 70
Bảng 3.11. Thống kê kết quả đánh giá kỹ năng giải toán của học sinh qua ... 70
điều tra ............................................................................................................. 70
DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ
Biểu đồ 3.1. Đường lũy tích ứng với bài kiểm tra số 1................................... 65
Biểu đồ 3.2. Thống kê phân loại kết quả học tập của học sinh bài kiểm tra số
1 ....................................................................................................................... 65
Biểu đồ 3.3. Đường lũy tích ứng với bài kiểm tra số 2................................... 66
Biểu đồ 3.4. Kết quả phân loại, đánh giá kết quả học tập của học sinh qua bài
kiểm tra số 2 .................................................................................................... 68
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong giáo dục, dạy học theo định hướng phát triển năng lực đang trở
thành xu hướng chung và phổ biến. Để đạt mục tiêu phát triển năng lực người
học thì việc chú ý dạy học vận dụng trong tình huống học tập sẽ góp phần tạo
ra những tiền đề cho mục tiêu đó. Do đó, ngay trong quá trình học tập ở nhà
trường phổ thông, học sinh (HS) cần được hình thành và phát triển kỹ năng
vận dụng và giải quyết vấn đề.
Toán học là một trong những môn khoa học tự nhiên gắn liền với thực
tiễn đời sống, vì vậy, cần tạo cho học sinh sự hứng thú, hăng say trong
học tập, thấy được sự thiết thực của học tập, đồng thời còn giúp kích thích
tính sáng tạo, phát triển tư duy logic cho học sinh. Qua đó, bên cạnh sự hình
thành và phát triển năng lực, cần chú trọng tới quá trình vận dụng để rèn kỹ
năng cho học sinh.
Bản thân công tác tại trường phổ thông, tác giả nhận thấy bản thân
việc phân loại các dạng bài tập Toán đôi khi còn có ranh giới không rõ ràng.
Có khi phân chia theo đơn vị kiến thức thì bị trùng lặp về phương pháp, có
khi phân chia theo thuật giải cũng rất khó khăn bởi có những bài toán đa dạng
về cách giải. Đối với những bài toán có nhiều phương pháp giải, việc chọn lựa
phương án tối ưu để trình bày là rất cần thiết. Song bên cạnh đó, có nhiều
những bài toán mà thuật giải chưa rõ ràng hoặc khó định hướng trong quá
trình lựa chọn thuật giải. Riêng với bài toán chứng minh (CM) bất đẳng thức
(BĐT) nói chung hay chứng minh bất đẳng thức lượng giác trong tam giác nói
riêng thường xuất hiện trong kì thi học sinh giỏi cấp trung học phổ thông
(THPT) và thi Olympic sinh viên, việc chắt lọc, lựa chọn phương pháp giải
phù hợp để áp dụng là rất cần thiết.
1
Như đã biết, các bài toán về hệ thức lượng trong tam giác thường được
biểu diễn dưới dạng một đẳng thức hoặc một bất đẳng thức nào đó thể hiện
mối liên hệ giữa các yếu tố trong một tam giác. Đặc biệt là các bài toán về bất
đẳng thức lượng giác dạng không đối xứng (các hệ số m, n, p trong biểu thức
mf ( A) nf (B) pf (C) không bằng nhau) trong tam giác là những bài toán
thú vị và khó trong giải toán lượng giác ở THPT. Trong các phương pháp đề
xuất, việc áp dụng tính chất hàm lồi, lõm của hàm số lượng giác nói riêng và
hàm số nói chung để khảo sát tính chất và tạo ra các mối quan hệ giữa các yếu
tố của tam giác mang hướng tiếp cận phù hợp và hiệu quả nhất để chứng minh
bất đẳng thức lượng giác trong tam giác. Đặc biệt phương pháp này thể hiện
quan hệ logic tốt trong tư duy, phù hợp với học sinh khá, giỏi; do đó, sử dụng
nó để phục vụ cho giáo viên (GV) bồi dưỡng học sinh giỏi cấp THPT hay
phục vụ cho các kỳ thi Olympic sinh viên.
Đã có nhiều đề tài nghiên cứu về các phương pháp chứng minh bất
đẳng thức nói chung bao gồm cả bất đẳng thức lượng giác trong tam giác hay
cũng có những đề tài nghiên cứu về vấn đề sử dụng tính chất hàm lồi để
chứng minh các bất đẳng thức nhưng chủ yếu tập trung vào các bất đẳng thức
đại số. Tuy nhiên, về vấn đề riêng: sử dụng tính chất hàm lồi để chứng minh
bất đẳng thức lượng giác trong tam giác thì chưa được trình bày chuyên biệt ở
một đề tài nghiên cứu cụ thể nào. Đồng thời, các đề tài này chỉ thuần túy về
kiến thức toán nói chung mà không thể hiện rõ mục tiêu hướng đến là rèn
luyện kỹ năng (KN) hay năng lực (NL) cụ thể nào cho học sinh.
Từ các lý do trên tôi đã chọn đề tài “Dạy học vận dụng tính chất của
hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức lượng giác trong tam giác nhằm phát
triển kỹ năng giải toán cho học sinh” để nghiên cứu thông qua dạy học một
lượng kiến thức, các dạng toán cụ thể có thể hình thành và phát triển kỹ năng
giải toán hay kỹ năng vận dụng tính chất cho học sinh. Đồng thời, đề tài này
2
cũng không nằm ngoài mong muốn góp phần vào việc bồi dưỡng học sinh
khá, giỏi trường THPT trong giai đoạn hiện nay cả về năng lực Toán học cũng
như hình thành năng lực xã hội tương ứng.
2. Mục đích nghiên cứu
Thông qua tổng hợp các dạng toán về bất đẳng thức trong tam giác giải
được bằng phương pháp áp dụng tính chất của hàm lồi, trình bày cách thức
vận dụng vào những bài toán cụ thể hình thành và phát triển kỹ năng giải
toán, kỹ năng vận dụng tính chất cho học sinh.
3. Khách thể và đối tƣợng nghiên cứu
3.1. Khách thể nghiên cứu
Là quá trình dạy học môn Toán chuyên đề bất đẳng thức ở trường
THPT đặc biệt là công tác bồi dưỡng học sinh giỏi bộ môn liên quan đến đơn
vị kiến thức này.
3.2. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là kỹ năng vận dụng tính chất, kỹ năng giải toán
thông qua phân tích tính chất của hàm lồi, lõm, tính đơn điệu bậc (1,2) của
các hàm số trong đó có hàm số lượng giác và áp dụng của chúng vào giải các
bài toán về bất đẳng thức lượng giác trong tam giác.
4. Phạm vi nghiên cứu
- Các bài toán bất đẳng thức lượng giác trong tam giác được chứng
minh bằng phương pháp sử dụng tính chất hàm lồi.
- Cách sử dụng hệ thống bài toán đó để vận dụng kiến thức phát triển
được kỹ năng giải toán (KNGT) cho học sinh.
- Thực nghiệm sư phạm được tiến hành với GV tham gia bồi dưỡng và
HS giỏi môn Toán khối 11 trong năm học 2018 – 2019 tại trường THPT Giao
Thủy và trường THPT Giao Thủy B, tỉnh Nam Định.
3
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu các căn cứ lý luận làm cơ sở cho đề tài.
- Điều tra thực trạng dạy học phát triển KNGT từ vận dụng tính chất
thông qua sử dụng tình huống cụ thể là: vận dụng tính chất hàm lồi để chứng
minh bất đẳng thức lượng giác trong tam giác ở trường THPT hiện nay.
- Tìm hiểu nội dung bất đẳng thức trong tam giác, nội dung liên quan
tới tính chất hàm lồi, từ đó thiết kế hệ thống bài tập thực tiễn, cách sử dụng
các bài trên trong dạy học môn Toán để phát triển KNGT cho HS THPT.
- Tiến hành thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm bước đầu tính khả
thi cũng như tính hiệu quả và những biện pháp đề xuất của đề tài.
6. Giả thuyết khoa học
Nếu GV tuyển chọn, xây dựng được hệ thống bài tập chất lượng đi kèm
với hiệu quả sử dụng phương pháp nói trên vào trong quá trình dạy học sẽ làm
HS phát triển được tư duy logic, tăng khả năng nhạy bén, say mê, tích cực,
chủ động và sáng tạo trong học tập. Qua đó phát triển KNGT hữu hiệu cho
HS, đồng thời góp phần nâng cao chất lượng dạy học bất đẳng thức cũng như
chất lượng dạy học Toán ở trường THPT.
7. Phƣơng pháp nghiên cứu
7.1. Nghiên cứu lý luận
- Nghiên cứu những cơ sở lý luận về bài tập thực tiễn, các năng lực
chung và năng lực chuyên biệt, các phương pháp dạy học Toán để phát triển
kỹ năng vận dụng cho học sinh THPT.
- Hệ thống trên cơ sở phân tích các tài liệu có liên quan từ các tạp chí,
sách chuyên đề và các nguồn tài liệu từ internet, hội thảo.
7.2. Nghiên cứu thực tiễn
- Dự giờ và điều tra bằng bảng hỏi để biết được thực trạng dạy và học
Toán cũng như thực trạng sử dụng tính chất của hàm số để chứng minh bất
đẳng thức lượng giác trong tam giác khi dạy học ở THPT.
4
- Điều tra về khả năng dạy học phát triển kỹ năng, đặc biệt là KNGT
cho học sinh của giáo viên trường THPT.
- Điều tra về hứng thú của HS với bài toán bất đẳng thức lượng giác
trong tam giác.
- Lập hệ thống bảng kiểm tra, bảng quan sát KNGT của HS THPT từ
đó đánh giá sự tiến bộ của HS qua quá trình dạy nhằm bồi dưỡng và phát triển
KNGT.
- Xin ý kiến của các chuyên gia, GV Toán về áp dụng phương pháp
phát triển và đánh giá KNGT.
- Để kiểm tra mức độ đảm bảo tính khả thi và tính hiệu quả trong áp
dụng vào thực tiễn của đề tài cần tiến hành thực nghiệm sư phạm bước đầu tại
một vài trường THPT với đối tượng HS phù hợp.
7.3. Phương pháp xử lý thông tin
Để xử lý thông tin từ kết quả thực nghiệm cần sử dụng phương pháp
thống kê trong toán học.
8. Đóng góp của đề tài
- Về mặt lý luận: Góp phần hệ thống hóa về vấn đề phát triển KNGT
cho HS THPT trong dạy học môn Toán từ vấn đề cụ thể.
- Về mặt thực tiễn: Thiết kế hệ thống bài tập bất đẳng thức lượng giác
trong tam giác và đề xuất phương pháp sử dụng tính chất của hàm lồi để giải
quyết các bài tập trên nhằm phát triển KNGT cho HS ở trường THPT.
9. Cấu trúc của luận văn
Ngoài các phần mở đầu, kết luận, phụ lục và tài liệu tham khảo, trong
ba chương sau luận văn trình bày các nội dung chính và cụ thể của đề tài:
Chương 1. Cơ sở lý luận của vấn đề nghiên cứu.
Chương 2. Dạy học vận dụng tính chất của hàm lồi để chứng minh bất đẳng
thức lượng giác trong tam giác nhằm phát triển kỹ năng giải toán cho học sinh.
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm.
5
CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
1.1. Lịch sử của vấn đề nghiên cứu
Kỹ năng giải toán hay kỹ năng vận dụng kiến thức trong toán học rất
được chú trọng quá trình dạy học toán. Bởi toán học là môn khoa học cơ sở,
gắn liền với nhiều môn khoa học khác kể cả khoa học tự nhiên hay khoa học
xã hội. Nếu HS có được KNGT tốt thì sẽ say mê hơn với toán học, đặc biệt
khi có được KNGT xuất phát từ việc giải được các bài toán bất đẳng thức
bằng vận dụng tính chất hàm lồi thì càng kích thích được khả năng học toán,
với đối tượng học sinh khá giỏi cũng vậy và học sinh có khả năng nhận thức
toán nhất định cũng thế. Sách giáo khoa hiện hành không còn đề cập nhiều
đến bất đẳng thức lượng giác trong tam giác, song đây vẫn là dạng toán quan
trọng xuất hiện trong các kỳ thi mang tính quốc gia hay các kỳ thi chọn học
sinh giỏi. Tuy nhiên, do nhiều nguyên nhân nên việc gắn liền giữa giải bài
toán nói trên qua vận dụng tính chất hàm lồi để phát triển KNGT cho học sinh
còn gặp nhiều khó khăn, hạn chế. Nhiều khi bài toán đưa ra lời giải chỉ là để
đấy còn rất xa vời với việc hình thành KNGT nói chung cho học sinh, quá chú
trọng đến các tính toán phức tạp mà quên hình thành và phát triển dần KNGT
đó. Để phần nào đáp ứng được nhu cầu đổi mới nội dung, phương pháp giảng
dạy và học tập môn toán tại trường phổ thông theo hướng phát triển KNGT
cho HS đã có một số sách tham khảo được xuất bản.
Bên cạnh đó, một số học viên cao học cũng đã nghiên cứu và bảo vệ
luận văn theo hướng đề tài này, song đi theo hướng nghiên cứu về Toán học,
chủ yếu tập trung vào tính chuyên ngành, như:
Lê Thị Bình, 2018, Áp dụng tính chất của hàm lồi giải các bài toán cực
trị trong tam giác, Luận văn thạc sĩ Toán học, Đại học Hồng Đức.
Nguyễn Đình Thọ, 2014, Về cực trị hàm lồi, Luận văn Thạc sĩ Toán
học, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội.
6
Ngoài ra, cũng có một số bài báo liên quan đến vấn đề này được đăng
trên tạp chí Toán học và ứng dụng cũng như các tạp chí khoa học quốc tế.
Cũng có những đề tài luận văn nghiên cứu của các học viên cao học về
năng lực vận dụng kiến thức, về kỹ năng giải toán nói chung, như:
Nguyễn Trung Hiếu, 2010, Nâng cao năng lực tự học và kỹ năng giải
toán cho học sinh lớp 10 Trung học phổ thông, Luận văn Thạc sĩ Sư phạm
Toán học, Đại học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội.
Vũ Thị Ninh, 2008, Kỹ năng giải toán và sáng tạo bài toán mới trong
giảng dạy môn Toán ở trường Trung học phổ thông, Luận văn Thạc sĩ Sư
phạm Toán học, Đại học Quốc gia Hà Nội.
Tuy nhiên, chưa có đề tài nghiên cứu về năng lực vận dụng và KNGT
nói trên đối với việc dạy học vận dụng tính chất hàm lồi để chứng minh bất
đẳng thức lượng giác trong tam giác.
Với mong muốn đóng góp thêm những kiến thức và bài tập toán học
nhằm phát triển kỹ năng cho học sinh nên trong luận văn này tác giả tuyển
chọn và xây dựng thêm một số kiến thức cũng như dạng toán căn cứ trên loại
bài tập vận dụng tính chất hàm lồi chứng minh bất đẳng thức lượng giác
tương đối phức tạp này, đồng thời đưa chúng vào trong dạy học với phương
pháp phù hợp nhằm góp phần nâng cao hứng thú học tập, phát triển KNGT
cho HS THPT.
1.2. Cơ sở thực tiễn
Giáo dục hiện nay đang ngày càng tiệm cận với định hướng phát triển
NL nhằm mục tiêu phát triển NL người học, theo xu thế tất cả vì người học và
cần đảm bảo chất lượng đầu ra của việc dạy học, thông qua phát triển toàn
diện các NL, phẩm chất, chú trọng NL vận dụng kiến thức trong những tình
huống thực tiễn nhằm tạo tiền đề cho các cá nhân hình thành và phát triển các
năng lực chuyên môn cũng như trong cuộc sống. Như vậy, ngay trong quá
7
trình học tập ở nhà trường phổ thông, HS cần được hình thành và phát triển
năng lực vận dụng kiến thức.
1.3. Năng lực và sự phát triển năng lực cho học sinh trung học phổ thông
1.3.1. Khái niệm năng lực
Theo [5] thì NL “là một thuộc tính tích hợp nhân cách, tổ hợp các đặc
tính tâm lí của cá nhân, phù hợp với những yêu cầu của một hoạt động xác
định, đảm bảo cho hoạt động đó có kết quả tốt đẹp” hoặc theo cách quan niệm
khác NL lại là khả năng đảm nhận công việc và thực hiện tốt công việc đó
nhờ có phẩm chất đạo đức và trình độ chuyên môn.
(Xem [9]) Khi các GV trường THPT hoàn thiện những chủ đề dạy học
thì các nhà trường đã đến gần hơn với mục tiêu giáo dục đề ra đã giúp cho
việc giải quyết những vấn đề cơ bản của dạy học theo cách tiếp cận năng lực
được sáng tỏ hơn, như: hiểu như thế nào về dạy học theo cách tiếp cận năng
lực? Những yêu cầu, nguyên tắc giáo dục theo tiếp cận năng lực? Hay điểm
khác biệt giữa khái niệm năng lực, kỹ năng… Từ những vấn đề lý luận này,
ông đã nhận định “NL của học sinh là khả năng làm chủ những hệ thống kiến
thức, kỹ năng, thái độ... ” đồng thời ông cũng chỉ ra rằng NL của HS cần “phù
hợp với lứa tuổi” hay NL cũng cần được “ vận hành chúng một cách hợp lý
vào thực hiện thành công nhiệm vụ học tập” để góp phần “giải quyết hiệu quả
những vấn đề đặt ra cho chính các em trong cuộc sống”.
Từ đó, có thể khái quát được là NL phải gắn liền với khả năng thực
hiện được, tức là “học” và “hành” phải song hành cùng nhau. Do đó cần phải
thể hiện được bằng hành động là đạt được những yêu cầu nhất định về kiến
thức, kỹ năng cũng như thái độ thì mới khẳng định được là quá trình dạy đó
đã hình thành và phát triển được năng lực cho đối tượng tương ứng.
1.3.2. Phân loại năng lực
Có nhiều cách phân chia năng lực, nhưng phổ biến nhất là cách phân
chia thành hai loại: năng lực chung và năng lực cốt lõi.
8
- Năng lực chung.
Tất cả những NL tổng hợp đi từ căn bản, cốt lõi, nền tảng đến những
NL phù hợp với đặc điểm của lao động, học tập và cuộc sống đều thuộc phạm
vi của NL chung. Có nhiều yếu tố có thể tác động đến NL này, chẳng hạn
như: di truyền, tính bản năng, quá trình giáo dục, thông qua các hoạt động
thực tiễn hay giáo dục, trải nghiệm.
Có nhiều cách tiếp cận để phân loại nhưng nhìn chung, có hai hướng
tiếp cận phù hợp với THPT là:
+ Dựa vào nội dung: Cách tiếp cận này chủ yếu căn cứ vào cấu trúc,
kiến thức, thời lượng của môn học và tập trung vào khả năng ghi nhớ kiến
thức cũng như tái tạo lại trên cơ sở đã biết của HS.
+ Dựa vào kết quả đạt được: Cách tiếp cận này lại chủ yếu quan tâm
đến những NL mà HS có thể đạt được tùy thuộc từng bộ môn và đánh giá khi
kết thúc quá trình học; cũng có thể quan niệm cách tiếp cận này chú ý đến đầu
ra và tính thực tiễn, ứng dụng hiệu quả trong học tập cũng như trong thực tiễn
- Năng lực chuyên biệt.
Đây là NL thường phù hợp với từng lĩnh vực, ngành nghề trong cuộc
sống nhất định; áp dụng trong giảng dạy là NL phù hợp với từng môn học:
môn mang khuynh hướng trí tuệ, thể thao, thẩm mĩ hay cảm xúc, nghệ
thuật,...
1.3.3. Các năng lực cơ bản cần phát triển cho học sinh trung học phổ thông
Để góp phần phát triển toàn diện học sinh, rất nhiều năng lực cần chú
trọng để hướng đến; ở đây, cần tập trung tới những năng lực cốt lõi nhất cần
phát triển cho HS phổ thông là:
+ NL tự học;
+ NL giải quyết vấn đề;
+ NL sáng tạo;
9
+ NL tự quản lý;
+ NL giao tiếp;
+ NL hợp tác;
+ NL vận hành công nghệ;
+ NL tìm kiếm và khai thác thông tin;
+ NL sử dụng ngôn ngữ;
+ NL tính toán.
1.3.4. Năng lực toán học
Năng lực toán học có thể hiểu là những đặc điểm tâm lí cá nhân (xuất
phát từ hoạt động của trí tuệ) đáp ứng những yêu cầu đặc thù của hoạt động
toán học.
Đối với môn Toán, các NL chuyên biệt có thể kể đến là:
+ NL sử dụng ngôn ngữ và ký hiệu toán học;
+ NL giải toán;
+ NL phát hiện vấn đề nảy sinh;
+ NL giải quyết vấn đề trong giải toán;
+ NL tính toán;
+ NL vận dụng kiến thức và tư duy toán học vào cuộc sống...
Có thể thấy NL toán học biểu hiện thông qua các NL cụ thể:
+ NL tư duy: từ tư duy cụ thể, đơn giản đến tư duy trừu tượng, khái
quát;
+ NL đơn giản hóa: từ quá trình lập luận toán học và sử dụng hệ thống
các phép biến đổi hay tính toán cồng kềnh đến rút gọn vấn đề, chuyển từ phức
tạp về đơn giản;
+ NL sáng tạo, nhạy bén, linh hoạt trong tư duy;
+ NL sử dụng ngôn ngữ thể hiện tính rõ ràng trong quá trình trình bày
lời giải toán;
10
+ NL chuyển đổi từ thuận sang nghịch trong tư duy và ngược lại;
+ NL lưu trữ và ghi nhớ thông tin: có trí nhớ về kiến thức, về khái quát
và hệ thống trong toán học, hình thành sơ đồ tư duy với từng nhóm vấn đề;
Với mỗi cá nhân khác nhau thì năng lực học tập toán học cũng khác
nhau. Ngay trong quá trình học, mỗi HS khác nhau đều hình thành NL; song
sự phát triển của NL thì không giống nhau. Do đó, vấn đề quan trọng trong
dạy học toán là cần lựa chọn nội dung và sử dụng PPDH thích hợp nhằm phát
triển NL cho mỗi cá nhân HS.
1.4. Kỹ năng giải toán
1.4.1. Khái niệm kỹ năng
KN dưới cách định nghĩa của Tâm lý học sư phạm “là khả năng vận
dụng kiến thức để giải quyết một nhiệm vụ mới”.
Tâm lý học đại cương lại coi KN “là năng lực sử dụng các dữ liệu, các
tri thức hay khái niệm đã có” hay quan niệm khi có KN thì cần phải có khả
năng giải quyết được tình huống từ lý thuyết đến thực tiễn thông qua NL vận
dụng để phát hiện được những tính căn bản, cốt lõi của sự vật.
Còn GS.G.Polya đã chỉ ra rằng kỹ năng đối với lĩnh vực Toán học là
“giải các bài toán” đối với quá trình tiến hành, “thực hiện các chứng minh”
theo các bước đã định hướng, cũng như “phân tích có phê phán các lời giải và
chứng minh nhận được” sau khi kết thúc quá trình.
Có thể khái quát lại, áp vào một tình huống mới thì KN là khả năng vận
dụng được những kiến thức đã biết vào để khai thác một cách có hiệu quả.
Tùy từng đối tượng HS, tùy từng cách tiếp cận vấn đề nhưng nhìn chung,
trong quá trình dạy học, việc vận dụng kiến thức bao gồm: khái niệm, tính
chất, định lý, ... vào giải quyết từng bài toán cụ thể với học sinh là khá khó
khăn. Hiện tượng này đặc biệt còn phổ biến ở những học sinh có kiến thức
không chắc chắn, ghi nhớ khái niệm không linh hoạt nên không gắn liền với
11
cơ sở của kỹ năng. Với những học sinh có nhận thức khá, giỏi, hiện tượng này
không phổ biến, song vẫn cần quan tâm đến quá trình vận dụng kiến thức vào
giải quyết các bài toán cụ thể từ đó hình thành kỹ năng cho học sinh.
1.4.2. Các yếu tố cơ bản ảnh hưởng đến kỹ năng
- Việc định hướng tư duy từ phân tích, tổng hợp dữ kiện ban đầu
không tốt, ảnh hưởng tới nhận diện bản chất vấn đề.
- Khả năng khái quát vấn đề chưa tốt.
- Tâm lý không vững vàng hay hình thành các thói quen tâm lý không tốt.
1.4.3. Kỹ năng giải toán
Đối với việc dạy học môn Toán đặc biệt là dạy Toán ở trường phổ
thông thì việc rèn luyện kỹ năng là căn cốt và là cơ sở cho các mục đích khác
liên quan từ các môn khoa học đến thực tiễn. Vấn đề rèn kỹ năng nói chung,
kỹ năng giải toán nói riêng là một yêu cầu cơ bản, nền tảng, để gắn liền được
lý thuyết với thực tiễn. Nhiều tác giả đã thể hiện quan điểm về vấn đề này
như: Với J.Piaget là “Suy nghĩ tức là hành động”, với Hồ Chí Minh lại là
“Học để hành, học và hành phải đi đôi”.
GS. Nguyễn Cảnh Toàn đã quan niệm về dạy toán là dạy về mặt kiến
thức, về kỹ năng tư duy và hình thành tính cách cho cá nhân học sinh. Mục
tiêu của dạy toán cũng bao gồm cả mục tiêu chính yếu là phát triển tư duy, trí
tuệ cho học sinh. Do đó cần giúp học sinh có cái nhìn sâu sắc và toàn diện về
kiến thức toán cũng như các hoạt động thực hành liên quan đến thực tiễn của
Toán học.
Do đó, phát triển KNGT là sử dụng các kiến thức cơ bản giải các bài toán
đặt ra để áp dụng có hiệu quả vào tình huống học tập cụ thể của môn học.
Trong môn Toán, kỹ năng thực hành gồm hai nhóm kỹ năng cơ bản là
vận dụng tri thức vào giải các bài toán và toán học hóa tình huống thực tiễn.
12
- Xem thêm -