UBND HUYỆN YÊN LẠC
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HGS LỚP 9 CẤP HUYỆN
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
( Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề )
NĂM HỌC 2014 -2015
MÔN: TOÁN
Bài 1: ( 2,5 điểm)
Cho biểu thức P
x 1
x2
x 1
x 1 x x 1 x x 1
a, Rút gọn biểu thức P.
b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q
2
x .
P
Bài 2: ( 2,5 điểm)
a, Cho biểu thức A 3 20 14 2 3 20 14 2 . Chứng minh rằng A là số chính
phương.
b, Giải phương trình
x 2 y 2014 z 2015
1
x y z
2
Bài 3: ( 2,5 điểm)
a, Chứng minh rằng tích của 8 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 128.
b, Với số tự nhiên n tùy ý cho trước, chứng minh rằng số
m n n 1 ... n 7 7! không thể biểu diễn được dưới dạng tổng của hai số chính
phương ( với k nguyên dương, kí hiệu k! là tích 1.2.3…k).
Bài 4: ( 1,5 điểm)
Cho đường tròn (O) và một điểm P nằm bên trong đường tròn P O Gọi Q là
một điểm tùy ý trên đường tròn (O). Chứng minh rằng khi điểm Q chuyển động trên
đường tròn (O) thì giao điểm M các đường thẳng kẻ qua O vuông góc với PQ và tiếp
tuyến kẻ từ Q của đường tròn (O) chạy trên một đường thẳng cố định.
Bài 5: ( 1,0 điểm)
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c 3 .
a3
b3
c3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P b 2c a c 2a b a 2b c
-------------------------------------Hết--------------------------------(Giám thị không giải thích gì thêm)
UBND HUYỆN YÊN LẠC
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HD CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2014- 2015
MÔN: TOÁN
Bài
Nội dung
1
a, ĐKXĐ x 0; x 1
2,5 đ
x x 1 x 2 x 1 x 1
x
Ta có P
Điểm
0,25
1,25
x x 1
x 1 x x 1
b, Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
Q
2 x x 1
x
0,75
2
x 2 x
2 2 2
x
Vậy GTLN của Q= 2 2 2 khi x=2
Bài a, Biến đổi A3 40 3. 3 202 14 2 2 . A A3 6 A 40 0
2
2,5 đ A 4 A2 4 A 10 0
Vì A2 4 A 10 A 2 6 6 0 , suy ra A 4 0 A 4 22
Vậy A là một số chính phương.
b, ĐKXĐ x 2; y 2014; z 2015
Phương trình đã cho tương đương với
2
Do x 2 1
2
2
x 2 1
y 2014 1
2
0;
x 2 1 0
y 2014 1 0
z 2015 1 0
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
2
z 2015 1 0
2
y 2014 1 0;
2
z 2015 1 0
x 3
y 2013
z 2016
Vậy nghiệm của phương trình là (x;y;z)=(3;-2013;2016)
Bài a, -Ta có 128 23.22.2.2 , trong 8 số nguyên liên tiếp tồn tại 1 số chia hết cho
3
8, một số chia hết cho 6, một số chia hết cho 4 và một số chia hết cho 2
2,5 đ -Do đó 8 số nguyên liên tiếp chia hết cho 23.22.2.2 128
b, Giả sử m a 2 b 2 . Theo ý a, thì n n 1 ... n 7 7! 128 k, k Z
Do đó a 2 b 2 128k 7! (1)
Từ (1) suy ra a,b đều chẵn. Đặt a=2c, b=2d và rút gọn ta được
c 2 d 2 32k 1260 (2)
Từ (2) suy ra c, d đều chẵn. Đặt c=2p, d=2q và rút gọn ta được
p 2 q 2 8k 315
(3)
Vì số chính phương khi chia 4 chỉ có số dư là 0 hoặc 1, nên p 2 q 2 chia
cho 4 dư 0;1 hoặc 2. Mà 8k+315 chia 4 dư 3. Nên (3) không xảy ra.
Vậy không thể biểu diễn số m n n 1 ... n 7 7! dưới dạng tổng của hai
số chính phương.
0,25
0,25
0,25
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài
4
1,5 đ
d
Q
S
P
O
M
N
Qua M kẻ đường thẳng d vuông góc với đường thẳng OP ở S.
Gọi N là chân đường vuông góc kẻ từ O đến PQ
0,25
2
Ta có VONQ :VOQM g g OQ OM OQ OM .ON (1)
ON
0,25
OP ON
OP.OS OM .ON (2)
OM OS
OQ 2
Từ (1) và (2) suy ra OP.OS OQ 2 OS
không đổi, nên điểm S cố
OP
0,5
OQ
Ta có VOPN :VOMS g g
Bài
5
1,0 đ
0,25
định.
Vậy điểm M chuyển động trên đường thẳng d vuông góc với OP tại điểm S 0,25
cố định.
a, Áp dụng BĐT AM-GM ta có
0,25
a3
a3
b 2c a b 2c a
b 2c a 8a 2c a
(
) a
b 2c a
b 2c a 3
9
3 9 9
3 9 9 9
9 9
a3
b3
c3
8a b 2c 8b c 2a 8c a 2b 0,25
b 2c a c 2a b a 2b c 9 3 9 9 3 9 9 3 9
a bc
1
3
P 1
0,25
P
Vậy GTNN của P=1 khi a=b=c=1.
0,25
- Xem thêm -