Trêng THCS §oµn Thîng
ĐỀ 1
§Ò thi häc sinh giái cÊp huyÖn líp 9
N¨m häc 2010-2011 M«n : To¸n
C©u 1:(1,5 ®iÓm)
Cho a Z , chøng minh r»ng a5- a chia hÕt cho 30.
C©u 2 : (2 ®iÓm) Cho P =
a. Rót gän P
b.T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña P.
x2
x
x
x 1
2x
x
x
2 x 1
x 1
c. T×m x ®Ó biÓu thøc Q = 2 x nhËn gi¸ trÞ lµ sè nguyªn
P
C©u 3:(2 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A cã c¸c c¹nh lµ a , b , c .KÎ ®êng cao AD . KÎ DE ,
DF t¬ng øng vu«ng gãc víi AB vµ AC .§Æt BE = m; CF = n ; AD = h. Chøng minh r»ng :
3
a) m c
b) 3h2 + m2 + n2 = a2
n b
C©u 4(3 ®iÓm): Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh :
a. x x 1 x 2 7
b. 7 x x 5 x 2 12 x 38
c. x 1 4 4 x 1 x 1 6 x 1 9 1
C©u 5(2 ®iÓm) T×m c¸c cÆp sè nguyªn (x,y) tho¶ m·n mét trong c¸c ®¼ng thøc sau :
a. xy 3 x 2 y 7 = 0
b. 2 y 2 x x y 1 x 2 2 y 2 xy
C©u 6:(1,5 ®iÓm) Cho a,b,c lµ ®é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c
a b c a c b
Chøng minh r»ng :
1
b c a c b a
C©u 7 (1,5 ®iÓm) Cho 3 ®êng th¼ng
(d1): y = m 2 1 x m 2 5 víi m 1
(d2): y = x 1
(d3): y = x 3
a. Chøng minh r»ng khi m thay ®æi th× d1 lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh .
b. Chøng minh r»ng (d1) // (d3) th× (d1) (d2)
c. X¸c ®Þnh m ®Ó 3 ®êng th¼ng (d1), (d2), (d3) ®ång quy.
C©u 8(3 ®iÓm) Cho hai ®êng trßn (O) (O,) tiÕp xóc ngoµi t¹i A . Gäi AB lµ ®êng kÝnh cña ®êng trßn
(O), AC lµ ®êng kÝnh cña ®êng trßn (O,) , DE lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai ®êng trßn D thuéc (O), E
thuéc (O,), K lµ giao ®iÓm cña BD vµ CE
a) Tø gi¸c ADKE lµ h×nh g× ? v× sao ?
b) CMR: AK lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai ®êng trßn (O) vµ (O,).
c) Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC
CMR: MK DE
C©u 9 (2 ®iÓm)
a) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc
1 4x 4x2
4 x 2 12 x 9
x2
x4 x2 4
C©u 11 (1,5 ®iÓm) Cho ®êng trßn t©m I b¸n kÝnh r néi tiÕp tam gi¸c ABC . CMR: IA+IB+IC
6r
b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc
P=
.............................................................** *.....................................................
§¸p ¸n ®Ò 1
C©u 1: (1,5 ®iÓm)
a5-a = a(a4-1) = a(a2-1)(a2+1) = a(a-1)(a+1)(a2-4+5)
= a(a-1)(a+1) a 2 a 2 5 = a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2)+5a(a-1)(a+1)
(0.5®)
H¹ng tö thø nhÊt chia hÕt cho 5 v× lµ tÝch cña n¨m sè nguyªn liªn tiÕp . H¹ng tö thø hai còng chia
hÕt cho 5 do ®ã : a5-a
5
(0.25®)
Ta thÊy: a5-a = a(a-1)(a+1)(a2+1)
Do (a-1)a(a+1) lµ tÝch cña 3 sè nguyªn liªn tiÕp nªn nã chia hÕt cho 2 vµ 3 , tøc lµ chia hÕt cho 6 v×
(2,3) = 1
(0.5®)
a5-a võa chia hÕt cho 5 , võa chia hÕt cho 6 mµ (5,6) =1 nªn a5-a
30
(0.25®)
C©u 2 (2 ®iÓm) C©u a ,c mçi c©u 0,75 ®iÓm, c©u b 0,5 ®iÓm
a) §iÒu kiÖn ®Ó P cã nghÜa lµ x > 0, x 1
(0,25®)
x
P=
x 1 x x 1
x x 1
x 2
x 1
2
x
(0,25®)
= x x 1 2 x 1 2 x 2 x
b) P = x-
x
x 1
x 1
x 1
(0,25®)
x 1
2
+1=
1 3 3
x
2 4 4
3
1
khi x=
4
4
2 x
2 x
2
2
c)Q = P x x 1
1
x
1 M
x
P ®¹t GTNN lµ
Víi x > 0 vµ x
(0,5®)
(0,25®)
1 .¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«Si cho hai sè d¬ng
M=
x
1
1 1 0 Q 2
x
(0,25®)
T×m ®îc Q nguyªn khi vµ chØ khi Q = 1 x 7 3 5
C©u 3 (2 ®iÓm) Mçi c©u 1 ®iÓm
a)
3
2
c c c BD.a c BD c
2
b b b DC .a b DC b
6
(0,25®)
2
A
F
3
2
2
m.c c 2 m c
c BD c
2
2
n.b b 2 n b
b DC b
E
B
h
n
m
C
D
c m
n
b
2 = (BD + DC)2 = BD2 + 2 BD.DC + DC2 = m.c +2h2 + n.b
b) a
= m(EA + m) + n(AF + n) +2h2 = m2 + n2 +2h2 + m.EA +n.AF
= m2 + n2 + 2h2 + ED2 + FD2 = m2 + n2 +2h2 + AF2 + FD2
= m2 + n2 + 2h2 + h2 = m2 + n2 + 3h2 (®pcm)
C©u 4 (3 ®iÓm) mçi c©u 1 ®iÓm
x x 1 x 2 7
a) §Æt
(1) XÐt 4 trêng hîp :
3
x > 0 : (1)
x=
4
3
-1 x 0:
(1) x = 4 Lo¹i
-2 x < -1: (1) x=-6 Lo¹i
x < - 2:
(1) x=
10
3
VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ : x =
(0,25®)
(0,25®)
(0,25®)
4
10
; x=
3
3
b) §iÒu kiÖn 5 x 7
¸p dông B§T C«Si cho hai sè kh«ng ©m ta cã
(0,25®)
(0,25®)
7 x 1 x 5 1
7 x 1
x 5 1
§¼ng thøc x¶y ra
7 x 1 x 5 1
2
2
2
x= 6
(0,25®)
MÆt kh¸c : x2 -12x +38 = x 6 2 2 2 .§¼ng thøc x¶y ra x= 6
VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x= 6
c)
2
x 1 2
2
x 1 3 1
+ x 1 3 = 1 (1)
NÕu 1 x < 5 th× x = 5 lo¹i
5 x 10 tõ (1) 0x=0 ph¬ng tr×nh v« sè nghiÖm
x >10 tõ (1) x = 10 lo¹i
VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm 5 x 10
C©u 5 (2 ®iÓm) mçi c©u 1 ®iÓm
a) xy+3x-2y-7= 0 (x-2)(y+3)= 1
(0,25®)
(0,25®)
x 1 2
(0,25®)
(0,25®)
(0,25®)
x 2 1
x 2 1
hoÆc
y 3 1
y 3 1
x 3
x 1
Do ®ã :
hoÆc
y 2
y 4
(0,25®)
(0.25®)
Hai cÆp sè cÇn t×m lµ : (1;-4) vµ (3;-2)
b) 2y2x +x+y+1 = x2+2y2+xy (1)
2y2(x-1) - x(x-1) - y(x-1) +1=0
V× x= 1 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm nªn chia c¶ hai vÕ cho x-1 ta cã
2y2 - x-y+
§Ó (1) nguyªn th×
1
=0
x 1
(0,25®)
(0,25®)
(2)
1
ph¶i nguyªn . Nªn x-1 = 1
x 1
(0,25®)
x 2
x 0
Thay x = 2 vµ x= 0 vµo (2) ta cã y nguyªn khi y= 1
VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm nguyªn (2;1) vµ (0;1)
C©u 6 (1,5 ®iÓm) §Æt
M
(0,25®)
(0,25®)
(0,25®)
(0,25®)
a b c a c b
a b b c c a
b c a c b a
b a c b a c
a 2 b 2 b2 c2 c 2 a 2
1
c a2 b2 a b2 c 2 b c 2 a 2
ab
bc
ac
abc
1
ac bc ba
abc
ac b
1
bc a
M
abc 1
V× a ,b,c lµ ®é dµi 3 c¹nh cña tam gi¸c nªn
abc
ba c
VËy M < 1 (®pcm)
C©u 7 (1,5 ®iÓm) Mçi c©u 0.5 ®iÓm
(0,5®)
(0,75®)
(0,25®)
a) y= (m2-1)x+(m2-5) = m2(x+1)-x-5
Víi mäi m khi x=-1 th× y = -4
VËy (d1) lu«n ®i qua ®iÓm cè ®Þnh lµ (-1;-4)
2
b) V× (d1) // (d3)
m 1 1
2
m 5 3
(0,25®)
(0,25®)
m = 0 (d1): y = -x+5
(0,25®)
Hai ®êng th¼ng (d1) vµ (d2) cã (-1).1 = -1 nªn (d1) (d2)
(0,25®)
c) Hai ®êng th¼ng (d2),(d3) cã hÖ sè gãc kh¸c nhau nªn chóng c¾t nhau t¹i M . T×m to¹ ®é M : x+1 =
-x +3 x = 1 . VËy M(1;2)
(0,25®)
§Ó (d1),(d2),(d3) ®ång quy t¹i M th× d1 ph¶i ®i qua M m = 2
(0,25®)
C©u 8(2,5 ®iÓm) mçi c©u 0.5 ®iÓm
a)Theo tÝnh chÊt gãc ngoµi cña tam gi¸c ta cã
K
01 = 2 B
O1' = 2 C
Mµ 01 +
ˆ
01 = 180o
D
B + C = 90o
1
K = 90o Trong BDA cã OD = AB
2
BDA vu«ng D = 90o
E
1
1
B
1
2
1
1
O
2
1
A M
C
O
’
T¬ng tù : E = 90
o
Tø gi¸c ADKE cã K = D = E = 90 ADKE lµ h×nh ch÷ nhËt
’
b) Cã A1 + A2 = D1+ D2 = 90o AK BC
VËy AK lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai ®êng trßn
c)
MKC c©n t¹i M K1 = C
EKD = KEA E1 = EKA
Mµ C + EKA = 90oTõ ®ã : K1 + E 1= 90o
MK DE
C©u 9(2 ®iÓm ) mçi c©u 1 ®iÓm
a) 1 4 x 4 x 2 4 x 2 12 x 9 1 2 x 2 x 3 1 2 x 3 2 x
1 2 x 3 2 x = 4 (0,25®)
(0,5®)
o
VËy GTNN lµ 4
1 2 x 0
2 x 3 0
1
3
x
2
2
(0,25®)
x2
1
1
2
4
b) P= x 4 x 2 4
2
2
x 1 2 x 5
x
x
GTLN cña P lµ
1
khi x =
5
(0,5®)
A
(0,5®)
2
C©u 11(1,5 ®iÓm)
Häc sinh kh«ng vÏ h×nh kh«ng chÊm ®iÓm
§Æt BC = a , AC = b, AB = c
KÎ BB’ ,CC’ vu«ng gãc víi AI
Ta cã : IMA : BB’A
AI IM
c.r = IA.BB’
AB BB '
T¬ng tù
b.r = IA.CC’
Nªn: (b+c)r = IA(BB’ + CC’) IA . a
M
r
I
B
B’
’
C
C
IA
b c IB
a c IC
ab
;
;
r
a
r
b
r
c
IA IB IC
a b
c a
c
b
6
r
b c
b c
a
a
IA+IB+IC 6r
- Xem thêm -