Tài liệu Đề thi thử môn toán kì thi vào lớp 10 chuyên toán trường thpt chuyên sư phạm hn có đáp án

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐỀ THI THỬ MÔN TOÁN KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN (ÁP DỤNG CHO HS THI VÀO LỚP CHUYÊN TOÁN) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) TRƯỜNG THPT CHUYÊN SƯ PHẠM NĂM HỌC: 2014 - 2015 Câu 1(2 điểm).Cho biểu thức = 6 +4 3√3 −8 − √3 1 + 3√3 3 + 2√3 + 4 1 + √3 a) Rút gọn . b) Xác định nguyên sao cho − √3 . nguyên. Câu 2 (2 điểm). Giải hệ phương trình sau + +1= 2 +1 + +1= 2 +1 Câu 3(2điểm).Tìm số tự nhiên chính phương. sao cho = − +2 +2 là một số Câu 4 (3 điểm).Cho đường tròn ( ) và dây cung không là đường kính. Gọi là điểm chính giữa của cung lớn . Các tiếp tuyến tại , của ( ) cắt nhau tại . Gọi là hình chiếu vuông góc của trên và là trung điểm của . Tia cắt đường tròn ( ) tại điểm thứ hai . a) Gọi là giao điểm của với . Chứng minh tứ giác nội tiếp. b) Tia cắt đường tròn ( ) tại điểm thứ hai . Chứng minh rằng song song với . c) Chứng minh đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng . Câu 5 (1 điểm). Xét tập = {1; 2; 3; … ; 2012}. Tô màu các phần tử của bởi một trong 5 màu: xanh, đỏ, tím, vàng, nâu. Chứng minh rằng tồn tại ba phần tử phân biệt , , của cùng màu sao cho: là bội của và là bội của . ------------------------------------Hết------------------------------------ ViettelStudy.vn ĐÁP ÁN Câu 1. a) Điều kiện: 4 ≥ 0, ≠ . 3 Đặt √3 = . Ta có: 2 1+ +4 − −8 +2 +4 1+ 2 + 4 − ( − 2) . (1 − + = ( − 2)( + 2 + 4) −2 +1 = −2 = Thay − − ) = √3 , ta có = 3 − 2√3 + 1 √3 − 2 b) Ta có = Với = 1, ta có 3 −3 √3 − 2 −2 = −2 (thoả mãn) Xét ≠ 1: Do 3 − 3 ∈ ℤ, 3 − 3 ≠ 0 và Ta có ∈ ℤ nên √3 − 2 ∈ ℤ. = √3 + 1 √3 − 2 Do đó ∈ ℤ ⟺ √3 − 2 | 1 ⟺ √3 − 2 = ±1 ⟺ Kết luận: = 3 hoặc = (loại) ∈ {1; 3}. Câu 2.Trừ theo từng vế hai phương trình của hệ ta được +1− Nhân liên hợp ta được ( − ) + 1 + 3( − ) = 0 + √ +1+ +1 + 3 = 0. Xét = + √ +1+ +1 +3 = 3√ +1+ √ +3 +1+ +1+ +1 Ta có: 3 + 1 + > 3| | + ≥ 0, 3 + 1 + > 3| | + Suy ra > 0. Từ đó ta có = . Thay vào hệ ta có: ViettelStudy.vn ≥ 0. +1= +1⇔ Vậy hệ có nghiệm duy nhất = = 0. = 0. Câu 3Ta có = ( − + 2 + 2) Với = 0, ta có = 0 là số chính phương. Với = 1, ta có = 4 là số chính phương. Với = 2, ta có = 72 không là số chính phương. Xét ≥ 3: Vì − là số chính phương nên − + 2 + 2 là số chính phương. Đặt +2 +2= ( ∈ ℕ, ≥ 2). Ta có − 2 − 2 = ( − 2) − 2 ≥ 3(3 − 2) − 2 > 0 Suy ra < hay < . Mặt khác Suy ra >( − 1) hay Do đó, −1 < < còn số tự nhiên nào. Kết luận: −( − 1) = > − 1. +2 +1>0 . Điều này không xảy ra vì giữa hai số tự nhiên liên tiếp không ∈ {0; 1} A Câu 4 a) Ta có là đường trung bình của tam giác . Suy ra: = = Vậy tứ giác nội tiếp. b) Do tứ giác nội tiếp nên = = Suy ra = 90 − = 90 − = Do là tiếp tuyến của ( ) nên = . Suy ra: = Do đó, tứ giác nội tiếp. Suy ra E H O M B D K P N F ViettelStudy.vn S C = Vậy song song với c) Gọi là giao điểm của = . với .Ta có: ( )= = . Suy ra : Δ ~Δ ⇒ = . . Xét tam giác vuông có là đường cao, ta có : Suy ra : = hay là trung điểm của . = . . Câu 5. Xét các phần tử: 2 , 2 , … , 2 của . Vì có 5 màu nên trong 11 phần tử trên có ba phần tử cùng màu. Ba phần tử đó thỏa mãn yêu cầu bài toán. ViettelStudy.vn ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRƯỜNG THPT CHUYÊN SƯ PHẠM NĂM HỌC: 2014 - 2015 Câu 1 (2 điểm).Cho > ĐỀ THI THỬ MÔN TOÁN KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) > 0. Xét biểu thức √ −√ = − − . − √ −√ √ +√ a) Rút gọn . b) Biết ( − 1)( − 1) + 2√ = 1, hãy tính giá trị của biểu thức . Câu 2 (2 điểm). Cho parabol ( ): = và đường thẳng : = ( + 5) − với là tham số. a) Chứng minh rằng luôn cắt ( ) tại hai điểm phân biệt. b) Gọi ( ; ), ( ; ) là các giao điểm của và ( ). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức = | − |. Câu 3 (2 điểm). Một ô tô và một xe máy khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh , cách nhau 150km, đi ngược chiều và gặp nhau sau 1,5 giờ. Hỏi sau khi gặp nhau bao lâu thì ô tô đến và xe máy đến ,biết rằng vận tốc của xe máy bằng hai phần ba vận tốc của ô tô. Câu 4 (3 điểm). Cho tam giác vuông tại và < . Gọi là hình chiếu của trên và là điểm đối xứng của qua . Tia cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại điểm ( ≠ ). Tia cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại điểm ( ≠ ). a) Chứng minh rằng = . b) Gọi là giao điểm thứ hai của với đường tròn ngoại tiếp tam giác . Chứng minh rằng song song với . c) Gọi là giao điểm thứ hai của với đường tròn ngoại tiếp tam giác . Chứng minh rằng là trung điểm của . Câu 5 (1 điểm). Cho , + là các số thực khác 0 và thoả mãn 1 1 2 + 2( + ) − 3 + +3 + − = 4. Tính giá trị của biểu thức = + . ------------------------------------Hết------------------------------------ ViettelStudy.vn ĐÁP ÁN Câu 1 a) Ta có = √ − √ − √ −√ − + √ +√ = √ + √ √ = . − √ −√ b) Ta có ( − 1)( − 1) + 2√ Vì Vậy < nên √ =1⇒ = + − 2√ = √ −√ = √ −√ . = −1. Câu 2. a) Phương trình hoành độ giao điểm của và ( ) là = ( + 5) − ⇔ − ( + 5) + = 0 (1). Ta có Δ = (m + 5) − 4m = (m + 3) + 16 > 0, ∀ Suy ra phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi . Vậy luôn cắt ( ) tại hai điểm phân biệt. b) Ta có , là hai nghiệm của (1). Theo định lý Viet: + = +5 = . Ta có: =( − ) =( + ) −4 = ( + 5) − 4 = ( + 3) + 16 ≥ 16 Do > 0 nên ≥ 4. Dấu bằng xảy ra khi = −3. = 4. Vậy Câu 3. Gọivận tốc của xe máy là km/h ( > 0). Khi đó vận tốc của ô tô là km/h. Theo đề bài ta có phương trình 3 = 150 ⇔ = 40. 2 Do đó, vận tốc của xe máy là 40 km/h và vận tốc của ô tô là 60 km/h. Sau khi gặp nhau, thời gian ô tô đi đến là: 150 − 1,5 = 1 ( ). 60 Sau khi gặp nhau, thời gian xe máy đi đến là: 1,5. + 1,5. Vietteltudy.vn Đề thi thử môn toán kì thi vào lớp 10 chuyên toán trường THPT chuyên Sư phạm HN có đáp án 150 − 1,5 = 2,25 ( ) 40 Câu 4 (3 điểm). E N K C A M P B a) H Do đường tròn ( và có = Suy ra Δ =Δ ) có đường kính là AB nên và = = = = = = = . Vậy ∈( , . b) Do = 90 nên CE là đường kính của đường tròn ( Ta chứng minh ⊥ . Ta có: = = = = Do đó c) ∥ hay Xét đường tròn ( ⊥ = Suy ra ). Suy ra ⊥ . . ), ta có: = Xét đường tròn ( ). Xét hai tam giác = 1 đ 2 . ), ta có: = = = . hay tam giác cân tại . Do đó, = . Câu 5 (1 điểm). Từ giả thiết ta có + +2 ( + ) − 3( + ) + 3( + ) − 4 −2=0 Vietteltudy.vn Đề thi thử môn toán kì thi vào lớp 10 chuyên toán trường THPT chuyên Sư phạm HN có đáp án ⇔ ( − 1) + ( − 1) + 2 Đặt = − 1, = − 1, ta có + + 2( + 1)( + 1)( + ) = 0 ⇔( + ) ⇔ ( + )( Xét Suy ra = + + ( + − 2) = 0 + = 0. Vậy − + 2( + 1)( + 1) = 0 + + + + 2 + 2 + 2) = 0 + 2 + 2 + 2. Ta có = + ( + 2) + = + +2 2 + +2 +2 +2 2 + 2 >0 = 2. Vietteltudy.vn Đề thi thử môn toán kì thi vào lớp 10 chuyên toán trường THPT chuyên Sư phạm HN có đáp án