Mö
lö
Mð u
1 Ki¸n thù
ì sð
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
Nhâm gi£i ÷ñ
. . . . . . . . .
֒ng
ong li¶n tö
. . . . . . .
Bi¸n thi¶n
õa argument . . . .
Nhúng nguy¶n lþ
hung
õa th¡
H m gi£i t½
h . . . . . . . . . .
iºm r³ nh¡nh . . . . . . . . . .
Di»n Riemann
õa h m gi£i t½
h
. . .
. . .
. . .
triºn
. . .
. . .
. . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
gi£i t½
h
. . . . .
. . . . .
. . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
7
7
9
12
18
24
30
31
2 Di»n Riemann
õa h m biºu di¹n bði
«n thù
43
3 ành lþ Abel
69
2.1. H m biºu di¹n bði
«n thù
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2. Nhâm ìn ¤o
õa h m a trà . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.3. Nhâm ìn ¤o
õa h m biºu di¹n bði
«n thù
. . . . . . . 64
3.1. H m ¤i sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.2. ành lþ Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
K¸t luªn
77
T i li»u tham kh£o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
1
Líi
£m ìn
Tr֔
h¸t, tæi xin gûi líi bi¸t ìn
h¥n th nh v s¥u s
tîi GS.TSKH.
Phòng Hç H£i. Thy ¢ d nh nhi·u thíi gian v t¥m huy¸t h÷îng d¨n tæi
tø
¡
b֔
hu©n bà ki¸n thù
ì sð, lüa
hån · t i, lüa
hån t i li»u v
ph÷ìng ph¡p nghi¶n
ùu. Sau qu¡ tr¼nh nhªn · t i v nghi¶n
ùu d÷îi sü
h÷îng d¨n khoa hå
õa Thy, luªn v«n " Di»n Riemann v ành lþ Abel
v· ph÷ìng tr¼nh a thù
"
õa tæi ¢ ÷ñ
ho n th nh. Câ ÷ñ
k¸t qu£
n y, â l nhí sü nh
nhð, æn è
, d¤y b£o h¸t sù
tªn t¼nh v nghi¶m
kh
õa Thy.
Tæi xin gûi líi
£m ìn
h¥n th nh tîi
¡
Thy Cæ trong Vi»n To¡n
hå
, v °
bi»t l TS. o n Trung C÷íng ¢ luæn t¤o i·u ki»n tèt nh§t
v gióp ï tæi nhi·u trong qu¡ tr¼nh hå
tªp
ng nh÷ l m · t i.
Tæi xin
h¥n th nh
¡m ìn Sð Gi¡o dö
- o t¤o t¿nh B
Ninh, Ban
Gi¡m hi»u,
¡
çng nghi»p tr÷íng THPT Nguy¹n «ng ¤o - huy»n Ti¶n
Du - t¿nh B
Ninh ¢ t¤o i·u ki»n
ho tæi hå
tªp v ho n th nh k¸ ho¤
h
hå
tªp.
Tæi xin gûi líi
£m ìn ¸n gia ¼nh, b¤n b± v
¡
th nh vi¶n trong lîp
Cao hå
To¡n K21 (Khâa 2013 - 2015)
õa Vi»n To¡n ¢ luæn
hia s´ v
gióp ï º tæi ho n th nh nhi»m vö.
H Nëi, ng y 31 th¡ng 08 n«m 2015.
T¡
gi£
Nguy¹n Thà Hi·n
2
Mð u
Chóng ta bi¸t
√
n
1, n ∈ Z, n > 1 nhªn
¡
gi¡ trà
ε0n = 1, εkn = cos
2kπ
2kπ
+ i sin
, k ∈ {0, 1, ..., n − 1}.
n
n
Tªp
¡
gi¡ trà n y
òng vîi ph²p to¡n nh¥n l mët nhâm xy
li
,
¡
phn
tû sinh
õa
nhâm n y ÷ñ
gåi l
«n nguy¶n thõy
õa 1, biºu di¹n h¼nh
√
n
hå
õa 1 l
¡
¿nh
õa mët a gi¡
·u n
¤nh tr¶n m°t ph¯ng phù
,
t¥m t¤i 0 v
â mët ¿nh l 1.
p
Cho f (z) l mët h m bi¸n phù
, tªp
¡
gi¡ trà
õa h m n f (z) l
Tn =p{f0(z), εnf0 (z), ε2nf0 (z), ..., εn−1
n f0 (z)}, vîi f0 (z) l mët gi¡ trà b§t k¼
õa n f (z).
ành lþ
ì b£n
õa ¤i sè ÷ñ
ph¡t biºu nh÷ sau:
Ph÷ìng tr¼nh
a0 wn + a1 wn−1 + ... + an−1w + an = 0
(1)
trong â, n ≥ 1, ai l sè phù
tòy þ, v a0 6= 0,
â ½t nh§t mët nghi»m
phù
. Tø â ta
ng suy ra ֖
r¬ng ph÷ìng tr¼nh (1) luæn
â óng n
nghi»m phù
(kº
£ bëi).
C¡
nh to¡n hå
ê ¢ gi£i ÷ñ
ph÷ìng tr¼nh têng qu¡t bª
mët, bª
hai. ¸n th¸ k XVI
¡
nh to¡n hå
Þ Tartaglia v Ferrari ¢ gi£i ÷ñ
ph÷ìng tr¼nh bª
3 v bª
4. Sau mët sè ph²p °t v bi¸n êi ìn gi£n ta
luæn ÷a ÷ñ
ph÷ìng tr¼nh bª
ba têng qu¡t v· ph÷ìng tr¼nh d¤ng
u3 + pu + q = 0
(2)
trong â u, p, q ∈ C. Cæng thù
nghi»m
õa ph÷ìng tr¼nh (2) l
s
s
r
r
3
2
3
3
p
p3
q
q
q
q2
−i
i
+
+ ε3 − −
+
, i = 0, 1, 2.
u i = ε3 − +
2
4
27
2
4
27
(3)
Cæng thù
(3) ֖
gåi l
æng thù
Cardano. Vªn döng
¡
h gi£i ph÷ìng
tr¼nh bª
ba ta luæn ÷a ÷ñ
ph÷ìng tr¼nh bª
bèn têng qu¡t v· t½
h
õa
3
hai ph÷ìng tr¼nh bª
hai. Do â, ph÷ìng tr¼nh bª
bèn luæn gi£i ÷ñ
v
ng
â
æng thù
nghi»m biºu di¹n ÷ñ
d÷îi d¤ng
«n thù
,
æng thù
n y gåi l
æng thù
Ferrari.
Trong suèt mët thíi gian d i
¡
nh to¡n hå
è gng º t¼m mët
æng
thù
gi£i ÷ñ
b¬ng
«n thù
õa ph÷ìng tr¼nh ¤i sè bª
n«m. Nh÷ng
n«m 1824 nh to¡n hå
Norwegian Niels Henrik Abel (1802- 1829)
hùng
minh ành lþ sau.
ành lþ Abel. Ph÷ìng tr¼nh ¤i sè têng qu¡t bª
lîn hìn bèn khæng gi£i
֖
b¬ng
«n thù
, tù
l khæng tçn t¤i
æng thù
º biºu di¹n
¡
nghi»m
õa mët ph÷ìng tr¼nh têng qu¡t bª
lîn hìn bèn theo h» sè
õa nâ b¬ng
¡
h thü
hi»n
¡
ph²p t½nh
ëng, trø, nh¥n,
hia n¥ng l¶n ly thøa bª
nguy¶n d÷ìng, v ph²p khai
«n.
Mö
½
h
õa luªn v«n: Trong t i li»u [4℄ ¢ tr¡nh ki¸n thù
v· lþ thuy¸t
h m gi£i t½
h º
hùng minh ành lþ Abel
ho hå
sinh THPT
huy¶n To¡n
õa Nga. Chóng tæi sû döng t i li»u tham kh£o [4℄ v k¸t hñp vîi t i li»u
[1℄, [2℄, [3℄, [5℄ º dòng ki¸n thù
v· lþ thuy¸t h m gi£i t½
h nh¬m mö
½
h x¥y düng di»n Riemann
õa mët h m gi£i t½
h v
hùng minh ành
lþ Abel v· ph÷ìng tr¼nh a thù
.
Vîi mö
½
h tr¶n luªn v«n ÷ñ
hia l m ba
h֓ng.
Ch÷ìng 1. Ki¸n thù
ì sð
Trong
h÷ìng 1 gçm
¡
mö
sau:
Mö
1.1. Nhâm gi£i ÷ñ
: Trong mö
n y
hóng tæi nh
l¤i mët sè
kh¡i ni»m, v½ dö, ành lþ
õa nhâm gi£i ÷ñ
. Nhúng ki¸n thù
n y dòng
º
hùng minh hai ành lþ lîn
õa luªn v«n â l ành lþ 2.3.70 v ành
lþ 3.2.77 (ành lþ Abel). Nëi dung
õa mö
n y ֖
tham kh£o tø t i
li»u ([3, tr.31-34℄).
Mö
1.2. ֒ng
ong li¶n tö
: Trong mö
n y
hóng tæi nh
l¤i mët
sè kh¡i ni»m v v½ dö v· ÷íng
ong li¶n tö
. Phn ki¸n thù
n y ֖
dòng hu h¸t trong
¡
mö
ti¸p theo
õa luªn v«n. Nëi dung
õa mö
n y ֖
tham kh£o tø t i li»u [1℄ v [2℄.
Mö
1.3. Bi¸n thi¶n
õa argument: Nëi dung
õa mö
n y ֖
tham
kh£o tø t i li»u ([4, tr.67-70℄). u ti¶n
hóng tæi nh
l¤i ành lþ 1.3.15
(H m argument l h m li¶n tö
) v ÷a ra mët
hùng minh
hi ti¸t. Tø
â nh
l¤i mët sè kh¡i ni»m v v½ dö. Ti¸p theo
hóng tæi ph¡t biºu v
hùng minh
hi ti¸t T½nh
h§t 1.3.22, 1.3.23, x¥y düng V½ dö 1.3.24. Nëi
dung
õa mö
n y ֖
dòng nhi·u trong
¡
mö
ti¸p theo v
h֓ng
sau, °
bi»t l
h֓ng 2.
Mö
1.4. Nhúng nguy¶n lþ
hung
õa th¡
triºn gi£i t½
h : Trong mö
n y
hóng tæi nh
l¤i mët sè ành lþ, nguy¶n lþ, kh¡i ni»m
õa th¡
triºn
gi£i t½
h nh¬m mö
½
h
h½nh
hu©n bà ki¸n thù
ho mö
1.5. Nëi dung
4
õa mö
n y ֖
tham kh£o tø t i li»u ([1, tr.127-133℄).
Mö
1.5. H m gi£i t½
h : Trong mö
n y
hóng tæi nh
l¤i mët sè kh¡i
ni»m, ành lþ
ng nh÷ v½ dö
õa h m gi£i t½
h nh¬m mö
½
h
h½nh
hu©n
bà ki¸n thù
ho mö
1.6. Nëi dung
õa mö
n y ֖
tham kh£o tø t i
li»u ([1, tr.137-141℄). Chóng tæi x¥y düng V½ dö 1.5.38, V½ dö 1.5.39 nh¬m
õng
è ki¸n thù
ho mö
1.4 v mö
n y.
Mö
1.6. iºm r³ nh¡nh : Trong mö
n y
hóng tæi nh
l¤i mët sè kh¡i
ni»m
ng nh÷ v½ dö nh¬m
hu©n bà ki¸n thù
ho mö
1.7 v
¡
h֓ng
sau. Nëi dung
õa mö
n y ֖
tham kh£o tø t i li»u ([1, tr.141-144℄).
Mö
1.7. Di»n Riemann
õa h m gi£i t½
h : Trong mö
n y
hóng tæi
nh
l¤i mët sè kh¡i ni»m, ành lþ
ng nh÷ v½ dö
õa di»n Riemann nh¬m
hu©n bà ki¸n thù
ho
¡
h÷ìng sau. Nëi dung
õa mö
n y ֖
tham
kh£o tø t i li»u ([1, tr.145-150℄). C¡
v½ dö trong mö
n y ·u ÷ñ
ph¥n
t½
h
hi ti¸t.
Ch÷ìng 2. Di»n Riemann
õa h m biºu di¹n bði
«n thù
Trong
h÷ìng 2 gçm
¡
mö
sau:
Mö
2.1. H m biºu di¹n bði
«n thù
: Trong mö
n y
hóng tæi nh
l¤i kh¡i ni»m v· h m biºu di¹n bði
«n thù
, nh
l¤i
¡
ành lþ v v½ dö
nh¬m mö
½
h mæ t£ l÷ñ
ç
õa mët h m biºu di¹n bði
«n thù
. Nëi
dung
õa mö
n y ֖
tham kh£o tø t i li»u ([4, tr.90-96℄). Hu nh÷
¡
v½ dö trong mö
n y
hóng tæi ·u t½nh to¡n
hi ti¸t. Ki¸n thù
trong mö
n y
hu©n bà
ho mö
2.2 v 2.3.
Mö
2.2. Nhâm ìn ¤o
õa h m a trà : Trong mö
n y
hóng tæi ành
ngh¾a nhâm ho¡n và
õa mët l÷ñ
ç, nh
l¤i mët sè v½ dö, trong â
â
hai v½ dö
hóng tæi ph¥n t½
h
hi ti¸t,
¡
v½ dö
án l¤i t÷ìng tü nh÷ hai v½
dö
hóng tæi ¢ ph¥n t½
h. Nëi dung
õa mö
n y ֖
tham kh£o tø ([4,
tr.96-98℄). Ki¸n thù
õa mö
n y nh¬m
hu©n bà
ho mö
2.3 v
h֓ng
sau.
Mö
2.3. Nhâm ìn ¤o
õa h m biºu di¹n bði
«n thù
: Düa v o t i
li»u ([4, tr.99-100℄)
hóng tæi ph¡t biºu v
hùng minh ành lþ 2.3.70, ¥y
l ành lþ
h½nh
õa luªn v«n n y. Ki¸n thù
trong mö
n y nh¬m mö
½
h º
hùng minh ành 3.2.77 (ành lþ Abel).
Ch÷ìng 3. ành lþ Abel
Trong
h÷ìng 3 gçm
¡
mö
sau:
Mö
3.1. H m ¤i sè : Trong mö
n y
hóng tæi nh
l¤i kh¡i ni»m h m
¤i sè. Nh¬m mö
½
h º
hùng minh ành lþ Abel theo ngæn ngú
õa
to¡n
ao
§p
hóng tæi ¢ ph¡t biºu T½nh
h§t 3.1.75 (T§t
£
¡
h m ¤i
sè ·u l h m gi£i t½
h ). º
hùng minh ÷ñ
t½nh
h§t n y
hóng tæi i
hùng minh Bê · 3.1.76, ¥y l Bê · 8.7 trong t i li»u tham kh£o ([5,
tr.52-53℄). Chóng tæi
hùng minh bê · n y
hi ti¸t.
Mö
3.2 ành lþ Abel : Mö
n y
hóng tæi vªn döng ki¸n thù
¢
hu©n
5
bà trong
¡
h֓ng tr֔
v mö
3.1 º
hùng minh ành lþ Abel.
6
Ch֓ng 1
Ki¸n thù
ì sð
1.1. Nhâm gi£i ÷ñ
M»nh · 1.1.1. Gi£ sû H l mët nhâm
on
hu©n t
õa nhâm G.
Khi â
(i)
N¸u
G
|G| : |H|.
l mët nhâm húu h¤n th¼
§p
õa nhâm th÷ìng G/H l
N¸u G l mët nhâm Abel th¼ nhâm th÷ìng G/H
ng l mët nhâm
Abel.
(iii)
Nhâm th÷ìng G/H l mët nhâm Abel n¸u v
h¿ n¸u aba−1b−1 ∈
H vîi måi a, b ∈ G.
(ii)
ành ngh¾a 1.1.2. Cho G l mët nhâm v mët d¢y lçng nhau nhúng
nhâm
on
õa G:
G = G0 ⊃ G1 ⊃ G2 ⊃ ... ⊃ Gn = {e}.
(1.1)
D¢y (1.1) ÷ñ
gåi l mët th¡p
hu©n t
n¸u Gi l nhâm
on
hu©n t
õa Gi−1 vîi måi i = 1, 2, ..., n. D¢y (1.1) ÷ñ
gåi l mët th¡p Abel (t÷ìng
ùng
y
li
) n¸u nâ l mët th¡p
hu©n t
v
¡
nhâm th÷ìng Gi−1/Gi
l nhâm Abel (t÷ìng ùng
y
li
) vîi måi i. Th¡p (1.1) ÷ñ
gåi l th¡p
y
li
§p nguy¶n tè n¸u nâ l mët th¡p
y
li
, çng thíi
¡
nhâm th÷ìng
Gi−1/Gi
â
§p nguy¶n tè vîi måi i. Nhâm G ÷ñ
gåi l mët nhâm gi£i
֖
n¸u tçn t¤i mët th¡p Abel(1.1)
õa G.
V½ dö 1.1.3.
(i)
Måi nhâm Abel ·u l nhâm gi£i ÷ñ
.
7
Nhâm S3 l mët nhâm gi£i ÷ñ
v¼ tçn t¤i mët th¡p Abel
(ii)
ành lþ 1.1.4.
(i)
S3 ⊃ < (123) > ⊃ {(1)}.
Måi nhâm
on
õa mët nhâm gi£i ÷ñ
l mët nhâm gi£i ÷ñ
.
nh çng
§u
õa mët nhâm gi£i ÷ñ
l mët nhâm gi£i ÷ñ
.
(iii)
Nhâm th÷ìng
õa mët nhâm gi£i ÷ñ
ng l mët nhâm gi£i
֖
.
(iv)
Cho H l mët nhâm
on
hu©n t
õa nhâm G. G l mët nhâm
gi£i ÷ñ
n¸u v
h¿ n¸u H v G/H l nhâm gi£i ÷ñ
.
(v) T½
h trü
ti¸p
õa húu h¤n nhâm gi£i ÷ñ
l mæt nhâm gi£i ÷ñ
.
ành lþ 1.1.5. Nhâm
¡
ph²p th¸ Sn khæng gi£i ÷ñ
n¸u n > 5.
Chùng minh. Gi£ sû Sn l nhâm gi£i ÷ñ
. Khi â tçn t¤i mët th¡p Abel
(ii)
õa Sn :
Sn = G0 ⊃ G1 ⊃ G2 ⊃ ... ⊃ Gm = {(1)},
trong â Gi l nhâm
on
hu©n t
õa Gi−1 v nhâm th÷ìng Gi−1/Gi l
¡
nhâm Abel vîi måi i = 1, 2, ..., m. Gi£ sû (rst) l mët váng x½
h
§p 3
b§t k¼ trong Sn v u, v l hai phn tû
õa tªp T = {1, 2, ..., n} kh¡
r, s, t (u
v v luæn tçn t¤i v¼ n > 5). Nhâm Sn /G1 l Abel v theo M»nh · 1.1.1(iii),
ta
â (tus)(srv)(tus)−1(srv)−1 = (tus)(srv)(tsu)(svr) = (rst) ∈ G1 . Do
â G1
hùa t§t
£
¡
váng x½
h
§p 3. Lªp luªn t÷ìng tü nh÷ tr¶n ta
ng
â G2
hùa t§t
£
¡
váng x½
h
§p 3... v
uèi
òng Gm = {(1)}
hùa t§t
£
¡
váng x½
h
§p 3. i·u n y khæng thº x£y ra. Vªy nhâm Sn khæng
gi£i ÷ñ
.
ành lþ 1.1.6. N¸u mët nhâm
on
õa nhâm Sn
hùa t§t
£
¡
huyºn
và
õa Sn, th¼ nâ tròng vîi to n bë nhâm Sn
Chùng minh. Gåi G l nhâm
on
õa nhâm Sn
hùa t§t
£
¡
huyºn và
õa nhâm Sn . Ta
â G ⊂ Sn . Gåi δ l mët phn tû b§t k¼ thuë
Sn . Ta
bi¸t r¬ng δ luæn ph¥n t½
h ֖
th nh t½
h
¡
huyºn và n¶n δ ∈ G, d¨n
¸n Sn ⊂ G. Do â ta
â nhâm G tròng vîi nhâm Sn .
8
1.2. ֒ng
ong li¶n tö
ành ngh¾a 1.2.7. (Xem([1, tr.17-18℄)
Gi£ sû ϕ(t), ψ(t) l
¡
h m li¶n tö
õa tham sè t tr¶n o¤n a ≤ t ≤ b.
Tªp hñp
¡
iºm z = x + iy
õa m°t ph¯ng phù
C ֖
mæ t£ bði
ph÷ìng tr¼nh
x = ϕ(t), y = ψ(t)
khi tham sè t
h¤y tø a ¸n b (
¡
iºm
õa tªp hñp ÷ñ
l§y theo bi¸n
thi¶n
õa tham sè) gåi l ÷íng
ong li¶n tö
.
Ph÷ìng tr¼nh
z = ϕ(t) + iψ(t), a ≤ t ≤ b
֖
gåi l ph÷ìng tr¼nh tham
Hai ph÷ìng tr¼nh tham sè
sè
õa ÷íng
ong.
z = γ1 (t), a1 ≤ t ≤ b1
z = γ2 (t), a2 ≤ t ≤ b2
t÷ìng ùng vîi
òng mët ÷íng
ong, n¸u
¡
tªp hñp iºm mæ t£ bði
¡
ph÷ìng tr¼nh n y tròng nhau (
òng vîi thù tü
õa
hóng). i·u â
â
ngh¾a, tçn t¤i h m ìn i»u t«ng s(t) x¡
ành tr¶n a1 ≤ t ≤ b1 sao
ho
s(a1 ) = a2 , s(b1) = b2 , γ2(s(t)) = γ1 (t).
V½ dö 1.2.8. Hai ph÷ìng tr¼nh tham sè γ1(t) = γ2(a+ t(b − a)), 0 ≤ t ≤ 1
v γ2 (t), a ≤ t ≤ b t÷ìng ùng vîi mët ÷íng
ong v¼ tçn t¤i h m s(t) =
a + t(b − a) ìn i»u t«ng x¡
ành tr¶n 0 ≤ t ≤ 1 thäa m¢n
s(0) = a, s(1) = b, γ2(s(t)) = γ1(t).
Do â v· sau ta s³
oi måi ÷íng
ong ·u ÷ñ
tham sè hâa bði o¤n
[0, 1].
N¸u
¡
ph÷ìng tr¼nh tham sè
õa mët ÷íng
ong tçn t¤i ph÷ìng tr¼nh
tham sè z = γ(t) = ϕ(t) + iψ(t), vîi
¡
h m ϕ(t), ψ(t) kh£ vi li¶n tö
tr¶n o¤n [0, 1], th¼ ÷íng
ong ֖
gåi l ÷íng
ong trìn. ÷íng
ong
li¶n tö
lªp l¶n tø húu h¤n ÷íng
ong trìn ÷ñ
gåi l "÷íng
ong trìn
tøng khó
". V½ dö ìn gi£n nh§t v· ÷íng
ong trìn tøng khó
l ֒ng
g§p khó
.
Nâi
hung mët ÷íng
ong li¶n tö
â thº
â
§u tró
h¸t sù
phù
t¤p,
Tuy vªy, tø nay v· sau, khi dòng
hú "÷íng
ong", "֒ng" hay "
hu
9
tuy¸n", ta luæn hiºu â l ÷íng
ong trìn tøng khó
.
Mët ÷íng
ong ֖
gåi l âng n¸u iºm u v iºm
uèi tròng nhau,
tù
l n¸u nâ
â ph÷ìng tr¼nh tham sè z = γ(t), t ∈ [0, 1] th¼ γ(0) = γ(1).
Nâi
hung, ֒ng
ong
â thº tü
t (tù
l ∃(t1, t2 ) 6= (0, 1), t1 6= t2 sao
ho γ(t1) = γ(t2)). ÷íng
ong khæng tü
t ֖
gåi l ÷íng
ong ìn.
Nh÷ vªy, ÷íng
ong l ìn n¸u vîi t1 6= t2 ta
â γ(t1) − γ(t2) 6= 0 (trø
tr÷íng hñp ÷íng
ong âng v t1 = a, t2 = b.
ành ngh¾a 1.2.9. (Xem [4, tr.80℄)
Cho C l mët ÷íng
ong li¶n tö
vîi mët ph÷ìng tr¼nh tham sè hâa
z = γ(t). Chóng ta k½ hi»u ÷íng
ong C −1
â tªp hñp
¡
iºm tròng vîi
tªp hñp
¡
iºm
õa ÷íng
ong C nh÷ng ành h÷îng theo
hi·u ng÷ñ
l¤i, ph÷ìng tr¼nh
õa nâ l γ1(t) = γ(1 − t).
ành ngh¾a 1.2.10. (Xem [4, tr.81℄)
Cho C1 v C2 l hai ֒ng
ong trong C vîi ph÷ìng tr¼nh tham sè t÷ìng
ùng l z = γ1(t) v z = γ2 (t) m γ1 (1) = γ2(0).
nh x¤ li¶n tö
γ1 ∗ γ2 : [0, 1] → C
ho bði
γ1(2t) , 0 ≤ t ≤ 12
γ1 ∗ γ2 =
γ2(2t − 1), 12 ≤ t ≤ 1
֖
gåi l hñp hai ÷íng
ong C1 v C2
ành ngh¾a 1.2.11. (Xem [2, tr.41-42℄)
y
γ1 (t)
1
b
b
δ(t, u)
b
I ×I
b
b
b
b
b
0
1
x
H¼nh 1.1: T½nh çng lu¥n
õa hai ÷íng
ong
10
γ0 (t)
(i)
Gi£ sû hai ÷íng
ong C0 v C1
â ph÷ìng tr¼nh tham sè ln l÷ñt
l
o
γ0 : I → D , I = [0, 1]
γ : I→ D
1
â
hung iºm u v iºm
uèi, ngh¾a l
γ0 (0) = γ1 (0); γ0(1) = γ1(1)
(ii)
hai ֒ng
ong C0 v C1 ֖
gåi l çng lu¥n vîi nhau trong mi·n
D nh÷ l nhúng ÷íng
ong
â u mót b§t ëng n¸u tçn t¤i ¡nh xa
li¶n tö
δ : I ×I → D
(t, u) 7→ δ(t, u)
sao
ho
δ(t, 0) = γ0 (t)
δ(t, 1) = γ1 (t)
δ(0, u) = γ0 (0) = γ1 (0)
δ(1, u) = γ0(1) = γ1(1)
Hai ֒ng
ong âng C0 v C1
â ph÷ìng tr¼nh tham sè ln l÷ñt
l
o
γ0 : I → D , I = [0, 1]
γ : I→ D
1
֖
gåi l çng lu¥n vîi nhau trong mi·n D, n¸u tçn t¤i ¡nh x¤ li¶n
tö
δ : I ×I → D
(t, u) 7→ δ(t, u)
sao
ho
(
δ(t, 0) = γ0(t)
δ(t, 1) = γ1(t)
,
∀u ∈ I
δ(0, u) = δ(1, u)
Trong tr÷íng hñp khi ÷íng
ong C1
â ph÷ìng tr¼nh tham sè z = γ1 l
mët h¬ng ¡nh γ1(t) =
ons t (tù
l γ1 ¡nh x¤ o¤n T = [0, 1] th nh mët
iºm) v ÷íng
ong C0 çng lu¥n vîi ÷íng
ong C1 th¼ ta nâi r¬ng C0
o v· mët iºm, hay l : C0 çng lu¥n vîi 0.
V½ dö 1.2.12.
Gi£ sû
ho v nh kh«n
V = {z ∈ C : 1 < |z| < 3 }
v gi£ sû r¬ng C0 l ÷íng
ong li¶n tö
thuë
V n¬m trån trong nûa
v nh kh«n Imz > 0 v nèi hai iºm z = 2 v z = −2. N¸u C1 l ÷íng
11
y
C1
C0
b
−3
b
−2
b
b
b
0
−1
1
b
b
2
3
x
C2
H¼nh 1.2: H¼nh v nh kh«n v
¡
֒ng
ong
ong
ng
â t½nh
h§t â th¼ C0 çng lu¥n vîi C1. X²t C2 n¬m trong nûa
v nh kh«n d÷îi Imz < 0 v nèi hai iºm z = 2 v z = −2 th¼ C0 khæng
çng lu¥n vîi C2 trong V v¼ C0 khæng thº bi¸n d¤ng v o C2 m khæng
t
÷íng trán ìn và.
1.3. Bi¸n thi¶n
õa argument
Ta ành ngh¾a bi¸n thi¶n
õa argument då
theo ֒ng
ong C mët
¡
h trü
quan nh÷ sau:
ành ngh¾a 1.3.13. Gi£ sû ÷íng
ong C khæng i qua gè
tåa ë z = 0.
Khi â gâ
quay
õa ve
tì z khi iºm z
huyºn ëng theo ÷íng
ong C
tø iºm u ¸n iºm
uèi ÷ñ
gåi l bi¸n thi¶n
õa argument z då
theo
֒ng
ong C .
V½ dö 1.3.14. Bi¸n thi¶n
õa argument då
theo ֒ng
ong C trong
H¼nh 1.3
l
3π
2
12
y
z
3π
2
b
b
0
A
x
b
B
H¼nh 1.3: Bi¸n thi¶n argument då
theo ֒ng
ong C
ành lþ 1.3.15. (Xem ành lþ 6 [4, tr.67℄) Gi£ sû r¬ng mët ÷íng
ong
li¶n tö
C vîi mët ph÷ìng tr¼nh tham sè z = z(t), khæng i qua gè
tåa ë
v gi£ sû r¬ng t¤i iºm u
õa ÷íng
ong C argument l ϕ0. Ta
â thº
hån mët gi¡ trà
õa argument èi vîi t§t
£
¡
iºm
õa ÷íng
ong C
sao
ho tr¶n to n bë ÷íng
ong argument
õa z(t) bi¸n êi li¶n tö
, bt
u tø ϕ0.
Nâi
¡
h kh¡
, ta
â thº
hån èi vîi méi t mët gi¡ trà ϕ(t)
õa arg z(t)
º sao
ho h m ϕ(t) l li¶n tö
èi vîi 0 ≤ t ≤ 1 v ϕ(0) = ϕ0.
Chùng minh. . º
hùng minh ÷ñ
ành lþ n y ta l m theo hai b÷î
sau:
B֔
1: (Xem H¼nh 1.4(a))
Trong l¥n
ªn
â b¡n k½nh õ nhä t¤i iºm t = 0 ta luæn t¡
h ֖
mët
nh¡nh ìn trà arg0 z(t)
õa arg z(t) thäa m¢n arg0 (0) = ϕ0 . Ta
hùng
minh h m n y li¶n tö
trong l¥n
ªn Uδ0 (0). V¼ ÷íng
ong C li¶n tö
tr¶n
o¤n [0, 1] n¶n li¶n tö
trong l¥n
ªn Uδ0 (0), k¸t hñp vîi H¼nh 1.3(a) ta
â:
∀t ∈ Uδ0 , |t − 0| < ρ, |z(t) − z(0)| < δ0,
δ0
).
| arg0 z(t) − arg0 z(0)| < arcsin(
|z(0)|
δ0
δ0
2δ0
Do
> 0 ⇒ arcsin(
)<
|z(0)|
|z(0)|
|z(0)|
2δ0
= ε.
⇒ | arg0 z(t) − arg0 z(0)| <
|z(0)|
Vªy h m arg0 (z(t)) hay
h½nh l h m ϕ(z(t)) li¶n tö
trong l¥n
ªn Uδ0 (0).
13
y
y
b
b
z(t)
C
b
z(0)
C
b
z(0)
b
b
0
ϕ0
φ0
b
x
x
0
b
b
z(1)
z(1)
a)
b)
H¼nh 1.4: Bi¸n thi¶n li¶n tö
õa argument
B֔
2:(Xem H¼nh 1.4(b))
Do t½nh
omp
õa ÷íng
ong C n¶n ta
â thº phõ ÷íng
ong C
b¬ng mët phõ húu h¤n
U0(0), U1(t1 ), ..., Un(tn ), Ui−1(ti−1) ∩ Ui(ti ) 6= φ, ti ∈ [0, 1], i = 1, 2, ..., n.
Trong méi mi·n Ui−1(ti−1) ∩ Ui(ti ) ta luæn t¡
h ֖
mët nh¡nh ìn
trà li¶n tö
argi z(t)
õa arg z(t). X²t trong mi·n Ui−1(ti−1) ∩ Ui(ti ) ta
â
ϕi(z(t)) − ϕi−1(z(t)) = 2ki π . V¼ vªy, trong l¥n
ªn Ui (ti) ta luæn
hån
֖
ϕ(z(t)) = argi (z(t)) − 2ki π − · · · − 2k1π l h m ìn trà.
Chùng minh t÷ìng tü nh÷ B÷î
1 ta ֖
h m argi (z(t)) li¶n tö
vîi måi
t ∈ Ui (ti), i = 1, 2, ..., n. Vªy h m ϕ(z(t)) l h m li¶n tö
. Ta ành ngh¾a
h m ϕ(z(t)) hay h m ϕ(t) l h m mæ t£ bi¸n êi li¶n tö
õa arg z(t) då
theo ֒ng
ong C .
ành ngh¾a 1.3.16. Cho ÷íng
ong C
â ph÷ìng tr¼nh tham sè l z =
z(t), t ∈ [0, 1]. Gåi ϕ(t) l h m mæ t£ bi¸n êi li¶n tö
õa arg z(t) då
theo ֒ng
ong C . Hi»u ϕ(1) − ϕ(0) ÷ñ
gåi l bi¸n thi¶n
õa argument
då
theo ֒ng
ong C .
V½ dö 1.3.17. X²t ÷íng
ong C
â ph÷ìng tr¼nh tham sè l
z(t) = cos πt + i sin πt.
Ta
hån h m mæ t£ bi¸n êi li¶n tö
õa arg z(t) då
theo ֒ng
ong C
14
l ϕ(t) = πt. Theo ành ngh¾a tr¶n ta
â bi¸n thi¶n
õa argument då
theo
÷íng C l ϕ(1) − ϕ(0) = π · 1 − π · 0 = π
ành ngh¾a 1.3.18. Cho mët ÷íng
ong âng C khæng qua gè
tåa ë
z = 0. N¸u bi¸n thi¶n
õa argument b¬ng 2πk , th¼
hóng ta nâi r¬ng ÷íng
ong C quay k váng quanh iºm z = 0.
V½ dö 1.3.19. X²t ÷íng
ong C
â ph÷ìng tr¼nh tham sè l
z(t) =
1
1
cos 4πt − i sin 4πt, t ∈ [0, 1] (Xem
2
2
H¼nh 1.5 ).
Ta
â thº
hån h m mæ t£ biºn êi li¶n tö
õa arg z(t) l ϕ(t) = −4πt.
Bi¸n thi¶n
õa argument z då
theo ֒ng
ong C l ϕ(1) − ϕ(0) =
(−4π) · 1 − (−4π) · 0 = −4π = 2π · (−2). Vªy ÷íng
ong C quay hai
váng quanh iºm z = 0 theo
hi·u ¥m (tù
l
òng
hi·u kim çng hç).
y
b
b
b
0
1
2
1
x
H¼nh 1.5: ÷íng
ong C
ành ngh¾a 1.3.20. Gi£ sû mët ÷íng
ong C vîi ph÷ìng tr¼nh tham
sè z = z1 (t) khæng i qua iºm z = z0 . Chóng ta
â thº nâi r¬ng ÷íng
ong C quay k váng quanh iºm z = z0 n¸u ÷íng
ong vîi ph÷ìng tr¼nh
z2 (t) = z1 (t) − z0 quay k váng quanh iºm z = 0 (Xem H¼nh 1.6 ).
Do â º x¡
ành sè váng quay
õa mët ÷íng
ong quanh iºm z = z0
hóng ta ph£i nh¼n v o sü quay
õa ve
tì z1 (t) − z0 (ve
tì nèi iºm z0 v
z1 (t)).
15
y
z1 (t)
b
b
z0
b
b
0
z2 (t) = z1 (t) − z0x
H¼nh 1.6: ÷íng
ong quay quanh mët iºm z0
V½ dö 1.3.21. ÷íng
ong C trong H¼nh 1.7
y
b
b
0
1
x
H¼nh 1.7: ÷íng
ong C
quay mët váng quanh iºm z = 1.
T½nh
h§t 1.3.22. (Xem B i tªp 260 [4, tr.70℄) Cho z = z1(t) v z =
l
¡
ph÷ìng tr¼nh tham sè
õa hai ÷íng
ong C1 v C2 khæng qua
iºm z = 0. Cho bi¸n thi¶n
õa argument då
theo
¡
֒ng
ong t֓ng
ùng b¬ng ϕ1 v ϕ2.
(i)
N¸u ÷íng
ong C vîi ph÷ìng tr¼nh tham sè l z(t) = z1(t) · z2(t)
th¼ bi¸n thi¶n
õa argument då
theo ֒ng
ong C b¬ng ϕ1 + ϕ2.
z2 (t)
(ii)
N¸u ÷íng
ong C vîi ph÷ìng tr¼nh tham sè l z(t) =
16
z1 (t)
z2 (t)
th¼
bi¸n thi¶n
õa argument då
theo ֒ng
ong C b¬ng ϕ1 − ϕ2.
Chùng minh. Gåi ϕ1(t) v ϕ2(t) ln l÷ñt l hai h m mæ t£ bi¸n êi li¶n
tö
õa arg z1 (t) v arg z2 (t) då
theo ֒ng
ong C1 v C2, ϕ(t) l h m
mæ t£ bi¸n êi li¶n tö
õa arg z(t) då
theo ֒ng
ong C . Trong tr֒ng
hñp (i) ϕ(t) = ϕ1(t) + ϕ2(t), trong tr÷íng hñp (ii) ϕ(t) = ϕ1(t) − ϕ2(t).
Bi¸n thi¶n
õa argument z då
theo ֒ng
ong C b¬ng:
ϕ(1) − ϕ(0) = (ϕ1(1) ± ϕ2 (1)) − (ϕ1(0) ± ϕ2(0))
= (ϕ1(1) − ϕ1(0)) ± (ϕ2(1) − ϕ2(0))
= ϕ1 ± ϕ2
T½nh
h§t 1.3.23. (Xem B i tªp 280 [4, tr.80℄) Cho bi¸n thi¶n
õa ar-
gument då
theo ֒ng
ong C
â ph÷ìng tr¼nh tham sè z = z(t)
√ l ϕ, v
ho w0(t) l £nh li¶n tö
õa ÷íng
ong C qua ¡nh x¤ w = z (vîi n l
sè nguy¶n d÷ìng n ≥ 2) th¼ bi¸n thi¶n
õa argument då
theo ֒ng
ong
ϕ
C1
â ph÷ìng tr¼nh tham sè w0(t) l .
n
n
Chùng minh. Gåi bi¸n thi¶n
õa argument då
theo ֒ng
ong C1 l b¬ng
ϕ1. Do ÷íng
ong C l £nh
õa ÷íng
ong C1 qua ¡nh x¤ z = wn , ta
â
ϕ
ϕ = nϕ1. Do â ϕ1 =
n
s
z(z − 1)3
X²t h m sè w(z) =
z+1
V½ dö 1.3.24.
Khi quay quanh iºm z = 0 mët váng th¼ bi¸n thi¶n
õa argument
2π + 0 · 3 − 0
= π.
õa w(z) l
2
(ii)
Khi quay quanh iºm z = 1 hai váng th¼ bi¸n thi¶n
õa argument
0 + 4π · 3 − 0
= 6π .
õa w(z) l
2
(iii)
Khi quay quanh iºm z = 0 v z = −1 mët váng th¼ bi¸n thi¶n
2π + 0 · 3 − 2π
= 0.
õa argument
õa w(z) l
2
(i)
17
1.4. Nhúng nguy¶n lþ
hung
õa th¡
triºn gi£i t½
h
ành lþ 1.4.25. ành lþ duy nh§t
Gi£ sû f(z) l h m
h¿nh h¼nh trong mët mi·n G v b¬ng 0 tr¶n mët tªp
hñp E
â iºm giîi h¤n n¬m trong G. Khi â f(z) çng nh§t b¬ng 0 trong
G.
Nguy¶n lþ 1.4.26. N¸u h m bi¸n thü
n o â
â thº th¡
triºn th nh
h m
h¿nh h¼nh
õa bi¸n phù
th¼ th¡
triºn â l duy nh§t.
Thªt vªy, tø ành lþ duy nh§t suy ra r¬ng, hai h m
h¿nh h¼nh phù
b¬ng nhau tr¶n trö
thü
s³ çng nh§t b¬ng nhau. Nh÷ vªy, h m ez l
h m
h¿nh h¼nh duy nh§t th¡
triºn h m thü
ex . T÷ìng tü nh÷ vªy vîi
¡
h m, sin z, log(1 + z), ...
Gi£ sû
ho h m f0 (z) x¡
ành v
h¿nh h¼nh trong mi·n G0 n o â.
V§n · °t ra l : tçn t¤i hay khæng mët mi·n rëng hìn, trong â f0 (z)
v¨n x¡
ành v
h¿nh h¼nh?
ành ngh¾a 1.4.27.
H m f1(z) x¡
ành v
h¿nh h¼nh trong mi·n G1 ⊃ G0 ÷ñ
gåi l th¡
triºn gi£i t½
h
õa f0(z) n¸u f1(z) = f0 (z) vîi måi z ∈ G0 .
G0
f0 ≡ f1
G1
H¼nh 1.8: G1 ⊃ G0
ành lþ sau ¥y ÷ñ
gåi l nguy¶n l½ th¡
triºn gi£i t½
h.
ành lþ 1.4.28. N¸u h m
h¿nh h¼nh trong mët mi·n n o â th¡
triºn
gi£i t½
h ֖
sang mët mi·n rëng hìn th¼ th¡
triºn â l duy nh§t.
18
Chùng minh. Gi£
sû f0 (z) l h m
h¿nh h¼nh trong mi·n G0 v f1(z),
f2(z), l
¡
th¡
triºn gi£i t½
h
õa f0(z) l¶n mi·n G1 ⊃ G0 . Khi â, h m
f (z) = f2(z) − f1(z)
h¿nh h¼nh trong G1 v b¬ng 0 trong mi·n G0 . Theo
ành l½ duy nh§t, h m f (z) ≡ 0 trong mi·n G1 tù
l f1 (z) ≡ f2(z) trong
G1 .
Sau ¥y, ta s³ mð rëng kh¡i ni¶m th¡
triºn gi£i t½
h. Gi£ sû h m f0 (z)
h¿nh h¼nh trong mi·n G0 ,
án h m f1(z)
h¿nh h¼nh trong mi·n G1 , çng
thíi phn giao G0 ∩ G1
ng l mët mi·n (mët tªp hñp mð v li¶n thæng).
N¸u trong G0 ∩ G1 ,
¡
h m f0(z) v f1 (z) tròng nhau th¼ ta nâi r¬ng,
h m f1(z) l th¡
triºn
õa f0(z) l¶n mi·n G1 .
G1
f0 ≡ f1
G0
H¼nh 1.9: G0 ∩ G1
D¹ th§y r¬ng, n¸u th¡
triºn nh÷ vªy tçn t¤i th¼ nâ l duy nh§t.
19
T÷ìng tü nh÷ vªy, ta
â kh¡i ni»m th¡
triºn gi£i t½
h h m f0(z) theo
mët d¥y
huy·n
¡
mi·n.
G1
G0
f0 ≡ f1
G2
Gj
f1 ≡ f2
Gj+1
fj ≡ fj+1
Gn−1
fn−1 ≡ fn
Gn
H¼nh 1.10: Th¡
triºn theo d¥y truy·n
¡
mi·n
ành ngh¾a 1.4.29.
Gi£ sû
¡
mi·n G0 , G1 , ..., Gn
â t½nh
h§t sau ¥y: vîi måi j = 0, 1, 2, ..., n−
1, Gj ∩ Gj+1 6= φ l mët mi·n. Gi£ sû tçn t¤i
¡
h m fj (z) x¡
ành v
h¿nh h¼nh tr¶n Gj , çng thíi fj (z) = fj+1(z) tr¶n Gj ∩ Gj+1 , (j =
0, 1, 2, ..., n − 1). Khi â ta nâi h m fn (z) l th¡
triºn gi£i t½
h
õa h m
f0(z) theo d¥y
huy·n
¡
mi·n G0 , G1 , ..., Gn . ( Xem H¼nh 1.10 )
D¹ th§y r¬ng, th¡
triºn gi£i t½
h theo mët d¥y
huy·n
¡
mi·n, n¸u
tçn t¤i , l duy nh§t.
Trong nhi·u tr÷íng hñp, mi·n G0 v Gn
â giao kh¡
réng. Khi â,
trong G0 ∩ Gn , ta
â hai h m f0 (z) v fn (z)
â tròng nhau khæng? C¥u tr£
líi nâi
hung l khæng, ngh¾a l sau khi th¡
triºn ta th÷íng nhªn ÷ñ
h m kh¡
vîi h m ban u. ( Xem H¼nh 1.11 )
Nâi
¡
h kh¡
, th¡
triºn gi£i t½
h th÷íng d¨n ¸n h m a trà.
20
- Xem thêm -