i
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi được hoàn
thành dưới sự hướng dẫn của GS.TS. Nguyễn Quý Hỷ và PGS.TS. Tống
Đình Quỳ. Các kết quả được viết chung với các tác giả khác đã được sự
nhất trí của đồng tác giả khi đưa vào luận án. Các kết quả nêu trong luận
án là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình nào
trước thời gian công bố.
Hà Nội, ngày 15 tháng 02 năm 2014
Tác giả của luận án
Trần Thị Ngân
ii
LỜI CẢM ƠN
Trước hết, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới các thầy
hướng dẫn, GS.TS. Nguyễn Quý Hỷ và PGS.TS. Tống Đình Quỳ. Em vô
cùng biết ơn sự giúp đỡ tận tình, quí báu mà các thầy đã dành cho em
trong suốt quá trình thực hiện luận án. Em xin chân thành cảm ơn sự giúp
đỡ, góp ý của PGS.TS Bùi Khởi Đàm, TS. Trần Cảnh. Các thầy đã dành
nhiều thời gian hướng dẫn và chỉ bảo cho em những vấn đề có liên quan
đến luận án để em có thể hoàn thiện như ngày hôm nay.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô và các cán bộ nghiên cứu thuộc
Viện Toán ứng dụng và tin học. Em xin cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy
cô thuộc Viện đào tạo sau đại học trường Đại học Bách Khoa Hà Nội đã
tạo một môi trường làm việc hết sức thuận lợi giúp em thực hiện tốt công
việc nghiên cứu của mình.
Em cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường đại học Công
nghệ thông tin và Truyền thông, Ban chủ nhiệm khoa Khoa học cơ bản,
đã hết sức tạo điều kiện về thời gian và công việc để em có thể tập trung
hoàn thành quá trình học tập, nghiên cứu của mình. Đồng thời, em xin
gửi lời cảm ơn đến các thầy cô, các đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ em
trong suốt quá trình nghiên cứu.
Em xin cảm ơn gia đình và bạn bè, người thân đã luôn là nguồn động
viên để em có thể tiếp tục học tập và nghiên cứu. Các thành viên trong
gia đình luôn sẻ chia những khó khăn vất vả trong quá trình nghiên cứu
và hoàn thiện đề tài.
Em xin chân thành cảm ơn!
Mục lục
Mở đầu
1
Chương 1
Một số công cụ giải tích và ngẫu nhiên có liên quan
7
1.1 Phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1.1 Phương trình vi phân thường . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1.2 Phương trình vi phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . .
11
1.1.3 Bất đẳng thức Gronwall . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.2 Phương pháp số giải bài toán điều khiển tối ưu . . . . . . . .
20
1.2.1 Bài toán điều khiển tối ưu suy rộng . . . . . . . . . . . .
20
1.2.2 Giải số bài toán Mayer không có ràng buộc thông thường 22
1.2.3 Giải số bài toán Mayer có ràng buộc trạng thái cuối thông
thường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
1.3 Các công cụ ngẫu nhiên hỗ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
1.3.1 Mô hình hợp lý cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
1.3.2 Mô hình dò tìm ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . .
30
Chương 2
Thuật toán Monte Carlo giải 1 loại bài toán Mayer suy
rộng không lồi
33
2.1 Đặt bài toán và các chú ý mở đầu
. . . . . . . . . . . . . . .
35
2.2 Nghiệm tựa tối ưu và sự hội tụ của nó . . . . . . . . . . . . .
39
2.3 Thuật toán Monte Carlo giải bài toán . . . . . . . . . . . . .
51
2.4 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
iii
iv
Chương 3
Giải một loại bài toán Mayer không lồi mở rộng với ràng
buộc trạng thái
67
3.1 Đặt bài toán và một số chú ý mở đầu . . . . . . . . . . . . . .
69
3.2 Sự hội tụ của dãy điều khiển tựa tối ưu . . . . . . . . . . . .
75
3.3 Quy trình Monte Carlo giải bài toán . . . . . . . . . . . . . .
99
3.4 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Chương 4
Áp dụng vào mô hình hợp lý cực đại
4.1 Mô hình hợp lý cực đại liên tục hóa
108
. . . . . . . . . . . . . . 108
4.2 Mô hình hợp lý cực đại ước lượng tham hàm . . . . . . . . . . 113
4.3 Mô hình hợp lý cực đại liên tục hóa ước lượng tham số . . . . 120
4.4 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Kết luận chung
129
Danh mục các công trình đã công bố của luận án
130
Tài liệu tham khảo
131
Phụ lục: Phần code các chương trình chính
136
v
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT
PTVP
phương trình vi phân
ĐKTƯ
điều khiển tối ưu
PPMC
phương pháp Monte Carlo
QHĐĐ
quy hoạch đo được
DTNN
dò tìm ngẫu nhiên
XXTT
xấp xỉ tuyến tính
HLCĐ
hợp lý cực đại
CNĐ
chấp nhận được
TƯ
tối ưu
vtnn
vec tơ ngẫu nhiên
đlnn
đại lượng ngẫu nhiên
MPTTƯ mô phỏng tựa tối ưu
MPTT
mô phỏng tuyến tính tựa tối ưu
ĐKRR
điều khiển rời rạc
hcc
hầu chắc chắn
hkn
hầu khắp nơi
ƯL
ước lượng
ƯLKC
ước lượng không chệch
TSH
tham số hóa
BT
bậc thang (hằng từng khúc)
mes (B)
độ đo Lebesgue của tập B
CTTĐ
công trình thủy điện
RRĐĐ
rủi ro động đất
vi
DANH MỤC CÁC BẢNG VÀ HÌNH ẢNH
Bảng 2.1: Bảng nghiệm dò tìm ngẫu nhiên thứ r = 1.000.000
Bảng 2.2: Bảng so sánh các nghiệm DTNN, tựa tối ưu, MPTTƯ và MPTT
(r)
Bảng 4.1: Bảng các giá trị Uk := (ak , dk ), k = 0, ..., 4.
Bảng 4.2: Bảng tham số hàm mật độ chấn cấp từ dãy DTNN đơn giản.
Hình 4.1: Mật độ và đường đồng mức xác suất trên dải chấn cấp 4.5 - 5.0
Hình 4.2: Mật độ và đường đồng mức xác suất trên dải chấn cấp 5.0 - 5.5
Hình 4.3: Mật độ và đường đồng mức xác suất trên dải chấn cấp 5.5 - 6.0
Hình 4.4: Mật độ và đường đồng mức xác suất trên dải chấn cấp 6.0 - 6.5
Hình 4.5: Mật độ và đường đồng mức xác suất trên dải chấn cấp 6.5 - 7.0
Hình 4.6: Đồ thị hàm g(s) = g(s; u), u = u(r) = u(100.000) = 0.182
1
MỞ ĐẦU
Các bài toán điều khiển tối ưu (ĐKTƯ) dạng tất định (deterministic optimal control) xuất hiện trên quốc tế đã quá nửa thế kỷ nay, gắn với tên
tuổi của Pontriagin (1959), Bellman (1957) và với những mô hình ứng dụng
phong phú trong điều khiển học của nhiều lãnh vực kỹ thuật và quản lý
kinh tế. Trong bài toán này, vào mỗi thời điểm t ∈ [to , T ] ⊂ R1 (thời gian
điều khiển) đối tượng được điều khiển y(t) ∈ Rn (gọi là biến trạng thái)
liên hệ với yếu tố điều khiển u(t) ∈ Rm (gọi là biến điều khiển) bởi 1 hệ
phương trình vi phân (PTVP) thường (hoặc đạo hàm riêng) theo ẩn hàm
y(t) (to ≤ t ≤ T ) (gọi là hệ động lực) và biến điều khiển có thể không phụ
thuộc biến trạng thái (gọi là điều khiển theo chương trình - programme
control) hoặc phụ thuộc biến trạng thái u(t) = u t; y(s) (to ≤ s ≤ t) (gọi
là điều khiển tổng hợp - synthetic, feedback control). Ngoài ra, biến điều
khiển u(t) (to ≤ t ≤ T ) còn cần phải thỏa mãn một số điều kiện ràng buộc
nào đó, để nó trở thành điều khiển chấp nhận được (CNĐ). Việc giải bài
toán ĐKTƯ nói trên đồng nghĩa với việc lựa chọn trong số các điều khiển
CNĐ một điều khiển tối ưu, làm cho hàm mục tiêu của bài toán đạt mức
cực đại (hoặc cực tiểu).
Do tầm quan trọng của các bài toán ĐKTƯ nói trên đối với thực tiễn
ứng dụng nên từ khi ra đời cho đến nay, việc giải số các bài toán này đã
nhận được sự quan tâm của không ít tác giả trong và ngoài nước. Đã có
nhiều phương pháp được sử dụng, tuy nhiên mỗi phương pháp chỉ giải được
một lớp bài toán nhất định. Ta có thể điểm sơ lược 1 số phương pháp tiếp
cận chính với vấn đề này như dưới đây.
- Phương pháp gián tiếp [21] (tr.240): Đối với các bài toán điều khiển theo
chương trình, xét bài toán điều khiển lồi, trong đó hàm mục tiêu có dạng
Bolza, hệ động lực có dạng tuyến tính, tập hợp các điều khiển CNĐ không
phụ thuộc thời gian và là một tập hợp lồi, đóng. Cơ sở của phương pháp
gián tiếp dùng để giải bài toán này là nguyên lý cực đại Pontryagin (dưới
2
dạng điều kiện cần và đủ của ĐKTƯ [21] (240-258)), dùng để chuyển bài
toán ĐKTƯ thành các bài toán cực đại trung gian. Liên quan đến việc
giải số các bài toán cực đại này là bài toán giá trị biên 2 điểm. Các kỹ
thuật Neuton - Raphson (Quasilinearization technique [21] tr.188-189) và
bắn (Shooting method [21] tr.187-188) của giải tich số có thể thực hiện
điều trên một cách gần đúng. Nhằm hữu hạn hóa số (không đếm được)
các bài toán cực đại cần giải trong nguyên lý Pontryagin, ta có thể chọn
biến điều khiển thuộc lớp hàm bậc thang (hoặc tuyến tính từng khúc) trên
[to , T ] với lưu ý rằng: Do hàm mục tiêu trong các bài toán cực đại là hàm
lõm (theo u) trên miền lồi, nên ta có thể sử dụng công cụ của quy hoạch
lồi (xem, chẳng hạn [40]) để giải bằng số các bài toán đặt ra.
Khi vượt ra ngoài khuôn khổ của những bài toán điều khiển lồi nói trên,
nguyên lý Pontryagin (trong dạng điều kiện cần của điều khiển "tối ưu")
cũng đã được phát biểu ([21] tr.231-232) cho bài toán điều khiển không có
tính lồi và không có điều kiện ràng buộc, với hàm mục tiêu có dạng Mayer
và biến điều khiển thuộc lớp những hàm liên tục từng khúc. Tuy nhiên,
do bài toán điều khiển (theo chương trình) này không có tính lồi và do
nguyên lý cực đại nói trên chỉ là điều kiện cần, nên khái niệm "tối ưu"
trong trường hợp này chỉ được hiểu theo nghĩa địa phương (không phải là
tối ưu toàn cục). Ngoài ra, do bài toán cực đại trong nguyên lý Pontryagin
nói chung không có dạng của bài toán quy hoạch lồi nên phải dùng phương
pháp Monte Carlo [13] (tr.271-309) để giải nó.
- Phương pháp ẩn : Phương pháp này thường sử dụng cho bài toán điều
khiển tổng hợp Mayer có biến trạng thái hoặc điều khiển là bình phương
khả tích và có điều kiện ràng buộc đối với biến trạng thái. Cơ sở của phương
pháp ẩn dùng để giải bài toán này là nguyên lý quy hoạch động Bellman
[29] (Mục IV.3), mà liên quan đến việc thiết lập các bài toán cực đại trong
nguyên lý này ta cần giải phương trình quy hoạch động (trong dạng phương
trình đạo hàm riêng đối với ẩn hàm Bellman. Larson (1968) và Lamarechal
(1972) đã dùng phương pháp lưới (sai phân) [21] (tr.184-185) để giải quyết
3
vấn đề này nhưng cũng gập nhiều khó khăn, khi phải nội suy kết quả tính
toán trên lưới nhất là khi số chiều n lớn; thậm chí có khó khăn không khắc
phục được như trường hợp n ≥ 4. Michailevich và Shor đã tránh được
phần nào khó khăn nói trên bằng cách sử dụng phương pháp chổi Kiev
[1] (tr.97-104). Nhưng phương pháp này cũng có nhược điểm bởi tính địa
phương của những điều khiển "tối ưu" mà nó thu được và cũng bị hạn chế
về số chiều n của biến trạng thái, khi sử dụng các phương pháp này trên
các máy tính tuần tự (do sử dụng nhiều bộ nhớ cùng thời gian tính toán).
- Phương pháp trực tiếp : Khác với các phương pháp ẩn và gián tiếp (chuyển
bài toán điều khiển về các bài toán cực đại và giải các bài này), trong các
phương pháp trực tiếp ta có thể dùng cách tiếp cận giải tích hàm hoặc
tham số hóa (TSH) hàm điều khiển để giải trực tiếp bài toán ĐKTƯ.
+ Đối với cách tiếp cận giải tích hàm [21] (tr.193-195), người ta thường
xét bài toán Mayer với hàm mục tiêu là một phiếm hàm xác định trên
không gian hàm U nào đó của các hàm điều khiển, thông qua biến trạng
thái vào thời điểm cuối T. Trên cơ sở này, thiết lập bài toán cực tiểu phiếm
hàm. Các công cụ của phép tính biến phân [29] (Mục I.2-I.6) hoặc của
giải tích số như: phương pháp đường dốc nhất [35] (Mục XV.4), gradient
[21] (tr.192-195) đã được sử dụng để giải các bài toán cực tiểu phiếm hàm
đã thiết lập. Đương nhiên là cách tiếp cận này không có điều kiện xét tới
những ràng buộc trạng thái và ràng buộc hỗn hợp giữa biến trạng thái và
điều khiển, cũng không xét tới bài toán điều khiển tổng hợp.
+ Đối với cách tiếp cận của phương pháp TSH hàm điều khiển, tuy ta
có thể xét bài toán điều khiển theo chương trình với những điều kiện ràng
buộc hỗn hợp nói trên trong bài toán điều khiển, nhưng cần chỉ ra rằng
hàm điều khiển có thể TSH bởi các tham số để cho số không đếm được
những điều kiện ràng buộc (phụ thuộc thời gian) được thay bằng một số
hữu hạn các ràng buộc theo các tham số. Khi đó ta có thể chuyển bài toán
trên về bài toán điều khiển theo tham số. Trong những năm gần đây nhiều
tác giả trong và ngoài nước như [9], [30], [15], [17], [10], [14], [43] thường
4
quan tâm đến cách tiếp cận này.
- Phương pháp sai phân : Khi chia thời đoạn [to , T ] bởi lưới điểm cách
đều {tn := to + nh}N
n=0 với bước lưới h và thay thế đạo hàm (thường hoặc
riêng phần) trong hệ động lực của bài toán ĐKTƯ (trong mô hình liên tục)
bởi sai phân tương ứng, ta có thể rời rạc hóa hệ động lực nói trên thành
phương trình sai phân (gọi là hệ động lực rời rạc) và rời rạc hóa bài toán
ĐKTƯ thành mô hình ĐKTƯ rời rạc ứng với bài toán ĐKTƯ ban đầu.
Trong những điều kiện nhất định về hàm mục tiêu và hệ động lực của bài
toán Mayer (có hoặc không có ràng buộc trạng thái), người ta đã chỉ ra [27]
(tr.12-33) sự hội tụ (theo mục tiêu) của hàm điều khiển hằng từng khúc
(còn gọi là điều khiển bậc thang (BT)) lập từ lời giải bài toán rời rạc về lời
giải của bài toán ĐKTƯ (liên tục) tương ứng. Khi đó, nếu bài toán ĐKTƯ
có tính lồi thì bài toán rời rạc tương ứng là 1 bài toán quy hoạch lồi và ta
có thể dùng các phương pháp sai phân trực tiếp, như gradien, hướng có thể,
Errou - Gurvitz...[27] (tr.83-90) của quy hoạch phi tuyến để giải bài toán
điều khiển rời rạc này. Ta cũng cũng có thể sử dụng các phương pháp của
quy hoạch ngẫu nhiên như: phạt ngẫu nhiên [26](tr.212-214), tựa gradient
ngẫu nhiên [26](tr.101-104)... để giải nó. Ngoài ra, người ta còn dùng các
phương pháp sai phân gián tiếp để giải bài toán trên dựa vào nguyên lý cực
đại rời rạc [27] (tr.61-83).
- Phương pháp Monte Carlo (PPMC) :
+ Trong các bài toán ĐKTƯ có tính lồi, phương pháp TSH hàm điều khiển
đã được sử dụng kết hợp với việc mô phỏng nghiệm của hệ động lực (tuyến
tính) ngẫu nhiên hóa để chuyển nó về một bài toán cực tiểu phiếm hàm
[31] hoặc quy hoạch ngẫu nhiên lồi [6] (tr.33-57) và dùng phương pháp xấp
xỷ ngẫu nhiên để giải nó.
+ Trong các bài toán điều khiển rời rạc, phương pháp PPMC được xem
là một loại phương pháp sai phân trực tiếp dùng để giải các bài toán quy
hoạch đo được (không có tính lồi) [6], [5], [2] hoặc ngẫu nhiên hóa các bài
toán này [9] để sử dụng các mô hình dò tìm ngẫu nhiên. Cũng có thể xem
5
PPMC là một loại phương pháp sai phân gián tiếp, dùng để thiết lập các
nguyên lý cực đại rời rạc mô phỏng [4] và đưa về việc sử dụng các mô hình
dò tìm ngẫu nhiên.
+ Không chỉ các bài toán ĐKTƯ rời rạc nói trên, PPCM còn được sử dụng
trong các phương pháp trực tiếp để giải 1 số bài toán ĐKTƯ bằng phương
pháp gradient [31], phương pháp xấp xỷ ngẫu nhiên [16], [30], phương pháp
bắn ngẫu nhiên Markov [17], phương pháp dò tìm ngẫu nhiên hỗn hợp [6]
(tr.122-145), phương pháp chiếu gradient ngẫu nhiên [6] (tr.73-95). Trong
trường hợp bài toán ĐKTƯ (có tính lồi) được giải bằng phương pháp gián
tiếp, PPMC cũng đã được sử dụng để mô phỏng nghiệm của hệ động lực
ngẫu nhiên [7] (tr.114-119) hoặc của bài toán biên 2 điểm [8] (320-334).
Bản luận án này nhằm mục đích mở rộng phạm vi ứng dụng của PPMC
vào việc giải số 2 lớp mới trong số các bài toán ĐKTƯ (dạng Mayer) không
có tính lồi và không (hoặc có) điều kiện ràng buộc trạng thái cuối, trong đó
hệ động lực gồm cả phương trình vi phân thường lẫn đạo hàm riêng (với
đạo hàm hiểu theo nghĩa thông thường hoặc suy rộng).
Hai lớp bài toán trên đây có nguồn gốc từ việc giải quyết 1 chủ đề ƯD
toán học của Semina Các phương pháp ngẫu nhiên & giải tích số (thuộc
Hội ƯD Toán học VN) về việc mô phỏng các trận động đất trên vùng Tây
Bắc bộ, để giải bài toán Giảm thiểu độ rủi ro động đất cho Công trình
Thủy điện (CTTĐ) Sơn La [12] (tr.37-45). Cấu trúc của luận án bao gồm:
Chương 1 : Giới thiệu một số công cụ được sử dụng trong luận án, trong
đó: Phương trình vi phân với đạo hàm suy rộng và mô hình hợp lý cực đại
dùng để đặt bài toán ĐKTƯ từ 1 thực tế ứng dụng, các phương pháp số
trong ĐKTƯ và mô hình dò tìm ngẫu nhiên dùng để giải bài toán.
Chương 2 : Thiết lập mô hình rời rạc của bài toán Mayer không có tính lồi,
trong ngữ cảnh hệ động lực là PTVP (thường và đạo hàm riêng) với đạo
hàm suy rộng và các giả thiết về tính Lipschitz theo tất cả các biến (trạng
thái, điều khiển và thời gian) của hàm ở vế phải và hàm mục tiêu. Đồng
thời chỉ ra sự hội tụ (theo mục tiêu) của điều khiển BT lập từ ĐKTƯ
6
trong bài toán rời rạc về ĐKTƯ trong bài toán liên tục. Phương pháp
Monte Carlo được sử dụng để giải số bài toán rời rạc nói trên và để thiết
lập điều khiển ngẫu nhiên BT hội tụ hầu chắc chắn (hcc) theo mục tiêu về
ĐKTƯ của bài toán Mayer nói trên.
Chương 3 : Thiết lập mô hình rời rạc của bài toán Mayer không lồi có
ràng buộc trạng thái, trong đó hệ động lực là PTVP (thường và đạo hàm
riêng) với đạo hàm thông thường và các giả thiết về tính Lipschitz theo
biến trạng thái, liên tục theo biến điều khiển và Lebesgue-khả tích theo
biến thời gian của hàm ở vế phải và hàm mục tiêu. Đồng thời chỉ ra sự hội
tụ (theo mục tiêu) của điều khiển BT lập từ ĐKTƯ trong bài toán rời rạc
về ĐKTƯ trong bài toán liên tục. Phương pháp Monte Carlo cũng được
sử dụng để giải số bài toán rời rạc nói trên và để thiết lập điều khiển ngẫu
nhiên BT hội tu hcc theo mục tiêu về ĐKTƯ của bài toán Mayer có ràng
buộc trạng thái nói trên.
Chương 4 : Mở rộng mô hình hợp lý cực đại (HLCĐ) kinh điển về ước
lượng (ƯL) tham số thành Mô hình HLCĐ liên tục hóa ƯL tham hàm và
Mô hình HLCĐ liên tục hóa ƯL tham số (trong dạng bài toán ở Chương
2 và 3), để dùng kết quả 2 chương này vào việc giải số bài toán UL tham
hàm trong mật độ xác suất có điều kiện của chấn tâm động đất và bài toán
UL tham số trong mật độ xác suất của biên độ chấn cấp động đất. Các
kết quả tính toán đều gắn với các số liệu thực trên vùng Tây Bắc Bộ nước
ta và có thể dùng để mô phỏng các trận động đất trên vùng này, phục vụ
việc giải bài toán giảm thiểu độ rủi ro động đất cho CTTĐ Sơn La.
Các nội dung trên đã được công bố trong các bài báo [2], [3], [4] của
Tác giả luận án cùng người hướng dẫn và bài báo [1] của Tác giả cùng
các đồng nghiệp. Một số phần trong đó có trong các báo cáo khoa học tại
Hội nghị chuyên ngành quốc gia năm 2010, 2013 và báo cáo tại Hội nghị
chuyên ngành quốc tế năm 2013; Đồng thời được báo cáo tại seminar Các
phương pháp ngẫu nhiên & giải tích số (của Hội Ứng dụng Toán học VN)
và seminar của Viện Toán ứng dụng & Tin học (trường ĐHBK HN).
Chương 1
Một số công cụ giải tích và ngẫu
nhiên có liên quan
1.1
1.1.1
Phương trình vi phân
Phương trình vi phân thường
Xét hàm véc tơ (n-chiều) f (t) = f1 (t), · · · , fn (t) ∈ Rn của 1 biến số
t ∈ [a, b] ⊂ R1 và ký hiệu :
o
n
n
C(a, b) := f : [a, b] → R : kf kC := max kf (t)k < ∞ ,
a≤t≤b
n
C k (a, b) := f : [a, b] → Rn : kf kC k :=
o
(1)
(k)
= max kf (t)k, kf (t)k, · · · , kf (t)k < ∞ ,
a≤t≤b
1
n
n
L (a, b) := f : [a, b] → R : kf kL1 :=
Zb
a
kf (t)kdt < ∞
o
(1.1.1)
(1.1.2)
(1.1.3)
lần lượt là B-không gian (không gian Banach) của những hàm véc tơ có
các thành phần liên tục, khả vi liên tục đến cấp k [45] và Lebesgue khả
tích (L-khả tích) [24] (Định lý III. 6) trên [a, b], trong đó:
kf (t)k :=
n
X
i=1
fi2 (t)
12
, kf
(k)
(t)k :=
n
X
i=1
7
(k)
(fi )2 (t)
12
.
(1.1.4)
8
Từ giải tích cơ sở, ta biết rằng: Nếu f, F : [to , T ] → R1 là những hàm số,
với f ∈ C(to , T ), F ∈ C 1 (to , T ) và các tích phân hiểu theo nghĩa Rieman,
thì ta có công thức khôi phục hàm số từ nguyên hàm và Neuton-Leibnitz :
d
dt
Zt
to
Zt
to
f (x)dx = f (t) (∀t ∈ [to , T ]),
Ḟ (x)dx = F (t) − F (to ) (∀t ∈ [to , T ]).
(1.1.5)
(1.1.6)
Để mở rộng công thức (1.1.5) cho hàm vec tơ f (t) = f1(t), · · · , fn (t) với
tích phân hiểu theo nghĩa Lebesgue [11] (tr.168-174), ta có thể mở rộng
những kết quả trong [36] (Định lý VI.3.1) ra trường hợp n-chiều, dưới dạng:
Định lý 1.1.1 Nếu hàm véc tơ f = (f1 , · · · , fn ) ∈ L1(to , T ) thì ∀t ∈ [to , T ]
hầu khắp nơi (hkn) ta có:
d
dt
Zt
to
d
f (x)dx = f (t) ⇔
dt
Zt
to
fi(x)dx = fi(t) (∀i = 1 ÷ n).
(1.1.7)
Nhằm mở rộng công thức (1.1.6) một cách tương tự, trước hết ta mở rộng
ra trường hợp n-chiều khái niệm "hàm số tuyệt đối liên tục" trong [36]
(Định nghĩa VI.3.1), để thu được:
Định nghĩa 1.1.1 Hàm véc tơ f : [to , T ] → Rn gọi là tuyệt đối liên tục
K
trên [to , T ], nếu ∀ε > 0, ∃ δ = δ(ε) > 0, sao cho đối với mọi hệ (ak , bk ) k=1
hữu hạn khoảng:
(ak , bk ) ⊂ [to , T ] (∀k = 1 ÷ K), (ak , bk ) ∩ (ai, bi ) = ∅ (k 6= i),
(1.1.8)
ta có :
K
X
k=1
K
X
kf (bk ) − f (ak )k < ε (Khi
(bk − ak ) < δ).
(1.1.9)
k=1
Đặc biệt, nếu f : [to , T ] → R1 thì công thức (1.1.9) trở thành :
K
X
k=1
K
X
|f (bk ) − f (ak )| < ε (Khi
(bk − ak ) < δ),
k=1
(1.1.9*)
9
gắn với khái niệm hàm số f (t) tuyệt đối liên tục [36] (Định nghĩa VI.3.1).
Chú ý 1.1.1 Hàm véc tơ f (t) = f1(t), · · · , fn (t) là tuyệt đối liên tục
trên [to , T ] nếu và chỉ nếu mọi thành phần fi(t) (i = 1 ÷ n) là những hàm
số tuyệt đối liên tục trên [to , T ]. Khi đó hàm véc tơ f (t) là liên tục đều
trên [to , T ].
Trường hợp n = 1 (hàm số tuyệt đối liên tục), ta có các mệnh đề sau:
Bổ đề 1.1.1 ([36], Mục VI.4.4) Mọi hàm số f : [to , T ] → R1 liên tục tuyệt
đối đều có thể biểu diễn dưới dạng hiệu của 2 hàm đơn điệu không giảm,
liên tục tuyệt đối trên [to , T ].
Bổ đề 1.1.2 ([36], Định lý VI.1.1) Mọi hàm số f : [to , T ] → R1 đơn điệu
đều có trên [to , T ] (hkn) đạo hàm (hữu hạn):
|f˙(t)| < +∞ (∀t ∈ [to , T ] (hkn)).
Từ Chú ý 1.1.1 và các Bổ đề 1.1.1 ÷ 1.1.2 ta có thể mở rộng ra trường
hợp n-chiều các Định lý VI.4.2 - VI.4.3 trong [36] về hàm số tuyệt đối liên
tục, dưới dạng véc tơ:
Định lý 1.1.2 Giả sử hàm véc tơ f = (f1 , · · · , fn ) ∈ L1 (to , T ). Khi đó
hàm véc tơ F (t) = F1 (t), · · · , Fn (t) là tuyệt đối liên tục trên [to , T ], nếu
nó có dạng tích phân phiếm định:
F (t) =
Zt
to
f (x)dx ⇔ Fi(t) =
Zt
to
fi (x)dx (∀i = 1 ÷ n).
(1.1.10)
Định lý 1.1.3 Giả sử hàm véc tơ F (t) = F1 (t), · · · , Fn (t) là tuyệt đối
liên tục trên [to , T ]. Khi đó sẽ tồn tại đạo hàm (hữu hạn):
Ḟ (t) = Ḟ1(t), · · · , Ḟn (t) (∀t ∈ [to , T ] (hkn))
với Ḟ ∈ L1 (to , T ) và ta có "công thức Neuton-Leibnitz" sau:
Z t
t
Z
Ḟi(x)dx = Fi(t) − Fi(to )
to
Ḟ (x)dx = F (t) − F (to ) ⇔
(∀i = 1 ÷ n).
to
(1.1.11)
10
Bây giờ ta xét Bài toán Cauchy trên [to , T ] trong Rn :
ẏ(t) = g t, y(t) ∈ Rn (to < t ≤ T ),
y(to ) = yo := (yo1 , · · · , yon) ∈ Rn ,
(1.1.12)
(1.1.13)
trong đó (1.1.12) là hệ n phương trình vi phân (gọi là phương trình vi phân
(thường) trong Rn ) với ẩn hàm y(t) = y1 (t), · · · , yn (t) (t ∈ [to , T ]) có
đạo hàm ẏ(t) = ẏ1(t), · · · , ẏn(t) thông thường và hàm đã cho g(t, y) =
g1 (t, y), · · · , gn (t, y) , xác định với mọi (t, y) ∈ [to , T ] × Rn ; Còn (1.1.13)
là điều kiện đầu, xác định bởi véc tơ yo := (yo1 , · · · , yon) ∈ Rn (đã cho).
Liên quan đến sự tồn tại duy nhất lời giải của bài toán Cauchy (còn gọi
là nghiệm của phương trình vi phân) (1.1.12)-(1.1.13), người ta thường đưa
ra 1 loại điều kiện đủ (gọi là điều kiện Lipschitz) dưới đây:
kg(t, y 0) − g(t, y”)k ≤ Lky 0 − y”k (∀t ∈ [to , T ], y 0, y” ∈ Rn ),
(1.1.14)
trong đó hằng số L>0 gọi là hằng số Lipschitz toàn cục, theo nghĩa gắn với
mọi y 0, y” ∈ Rn . Khi đó, ta có:
Định lý 1.1.4
([45], Mục 13.35). Nếu hàm véc tơ g(t, y) ∈ Rn liên
tục ∀(t, y) ∈ [to , T ] × Rn và nếu hàm này thỏa mãn điều kiện Lipschitz
(1.1.14) thì phương trình vi phân (1.1.12)-(1.1.13) có nghiệm duy nhất
y(t) ∈ Rn (to ≤ t ≤ T ), khả vi trên [to , T ].
Để nghiên cứu phương trình vi phân (1.1.12)-(1.1.13) thông qua phương
trình tích phân, người ta thường dùng phương pháp chuyển nó về phương
trình tích phân Voltera tương ứng (gọi là phương pháp tích phân phương
trình vi phân), nêu trong mệnh đề sau:
Định lý 1.1.5 Nếu hàm hợp véc tơ g(t) := g t, y(t) là L-khả tích theo
t ∈ [to , T ]:
g(·) := g ·, y(·) ∈ L1 (to , T ),
(1.1.15)
thì mọi nghiệm của phương trình tích phân:
y(t) = yo +
Zt
to
g x, y(x) dx (∀t ∈ [to , T ]).
(1.1.16)
11
đều là nghiệm của phương trình vi phân (1.1.12)-(1.1.13), trong đó đẳng
thức (1.1.12) đúng với mọi t ∈ (to , T ] (hkn). Ngoài ra, nếu phương trình
này có nghiệm khả vi duy nhất trên [to , T ] thì phương trình tích phân
(1.1.16) tương ứng cũng có duy nhất nghiệm.
Chứng minh. Giả sử y(t) ∈ Rn (t ∈ [to , T ]) là nghiệm của phương trình
(1.1.16). Khi đó từ giả thiết (1.1.15) và biểu diễn dưới dạng tích phân phiếm
định của nghiệm này trong (1.1.16), ta có thể sử dụng Định lý 1.1.2 để thu
được tính liên tục tuyệt đối của hàm véc tơ y(t) trên [to , T ] và do đó, từ
Định lý 1.1.3 suy ra sự tồn tại hữu hạn đạo hàm ẏ(t) (∀t ∈ [to , T ] (hkn)).
Trên cơ sở này, khi lấy đạo hàm 2 vế của (1.1.16) ta có:
ẏ(t) =
d
dt
Zt
to
g x, y(x) dx (∀t ∈ [to , T ] (hkn)).
Khi đó, từ giả thiết (1.1.15) và Định lý 1.1.1 ta suy ra:
d
ẏ(t) =
dt
Zt
to
g x, y(x) dx = g t, y(t) (∀t ∈ [to , T ] (hkn)).
(1.1.17)
Mặt khác, từ (1.1.16) ta còn suy ra y(to ) = yo . Kết hợp điều này với (1.1.17)
ta thấy rằng: Nghiệm y(t) (t ∈ [to , T ]) nói trên của phương trình tích phân
(1.1.16) cũng là nghiệm của phương trình vi phân (1.1.12)-(1.1.13).
Ngoài ra, nếu phương trình (1.1.16) có 2 nghiệm phân biệt thì 2 nghiệm
này cũng là các nghiệm phân biệt của phương trình (1.1.12)-(1.1.13). Điều
này chỉ ra tính duy nhất nghiệm của phương trình (1.1.16), khi phương
trình (1.1.12)-(1.1.13) có nghiệm duy nhất.
1.1.2
Phương trình vi phân suy rộng
Để xét phương pháp tích phân phương trình vi phân với đạo hàm hiểu
theo nghĩa suy rộng (distribution), trước hết ta xét các khái niệm liên quan
đến "hàm suy rộng" dưới đây.
12
Cho khoảng đóng [a, b] ⊂ R1 và hàm số khả vi vô hạn ϕ ∈ C ∞ (a, b) trên
[a,b], nghĩa là ϕ ∈ C k (a, b) (∀k ≥ 1) (ϕ có đạo hàm liên tục ở mọi cấp).
Một khoảng đóng [α, β] ⊂ (a, b) được gọi là giá (support) compac trên [a,b]
của ϕ ∈ C ∞ (a, b), nếu:
ϕ(k) (t) ≡ 0 (∀k ≥ 0, t ∈ [a, b] \ [α, β]),
với : ϕ(o) (t) := ϕ(t), (1.1.18)
và ký hiệu : [α, β] := supp ϕ.
Định nghĩa 1.1.2 Lớp các hàm khả vi vô hạn có giá compac nói trên:
D(a, b) := ϕ ∈ C ∞ (a, b) : supp ϕ 6= ∅
(1.1.19)
gọi là không gian cơ sở trên (a,b). Mỗi hàm (số) ϕ ∈ D(a, b) gọi là một
hàm cơ sở.
Trong không gian cơ sở D(a, b), ta đưa vào phép cộng (2 phần tử) và phép
nhân (phần tử với 1 số), dưới dạng thông thường:
ϕ
D(a,b)
:=
ϕ1 + ϕ2 (∀ϕ1 , ϕ1 ∈ D(a, b))
⇒ ϕ(t) := ϕ1 (t) + ϕ2 (t) (∀t ∈ (a, b)),
(λϕ)
D(a,b)
:=
λ.ϕ (∀ϕ ∈ D(a, b), λ ∈ R1 )
⇒ (λϕ)(t) := λ.ϕ(t) (∀t ∈ (a, b)).
Khi đó, D(a, b) trở thành 1 không gian tuyến tính. Tuy nhiên, nó không
thể là 1 không gian tuyến tính định chuẩn 1 .
Định nghĩa 1.1.3 Dãy hàm cơ sở ϕn n≥1 ⊂ D(a, b) gọi là hội tụ về hàm
cơ sở ϕ ∈ D(a, b), nếu: Tồn tại giá compac chung cho mọi hàm của dãy,
(k)
trên đó mọi dãy ϕn (t) n≥1 đạo hàm cấp k (k ≥ 0) hội tụ đều về đạo
hàm ϕ(k) (t) (cấp k) của ϕ(t):
∃ [α, β] ≡ supϕn ⊂ (a, b) (∀n ≥ 1) : lim ϕ(k)
n
n→∞
và ký hiệu:
lim ϕn
n→∞
D(a,b)
=
[α,β]
=
ϕ , hay : ϕn
ϕ(k) (∀k ≥ 0), (1.1.20)
D(a,b)
→
ϕ (n → ∞).
Định nghĩa 1.1.4 [22], [36] (IV.4.3) Một phiếm hàm Y : D(a, b) → R1
1 Mà
chỉ là 1 không gian tuyến tính đa chuẩn [36] (Mục IV.4.2)
13
được gọi là hàm suy rộng (distribution) trên (a,b), nếu nó liên tục theo
nghĩa hội tụ trong không gian cơ sở D(a, b):
lim ϕn
n→∞
D(a,b)
=
ϕ ∈ D(a, b) ⇒ lim Y (ϕn ) = Y (ϕ).
n→∞
(1.1.21)
Một hàm suy rộng trên (a,b) được gọi là chính quy, nếu nó là 1 phiếm hàm
tuyến tính trên D(a, b) với biểu diễn tích phân gắn với hàm số y ∈ L1 (a, b):
Y (ϕ) = Yy (ϕ) =
Zb
a
y(t)ϕ(t)dt = (y, ϕ) (∀ϕ ∈ D(a, b)).
(1.1.22)
Hàm khả tích y : (a, b) → R1 trong biểu diễn tích phân nói trên gọi là hàm
sinh của hàm suy rộng chính quy Y = Yy : D(a, b) → R1 . Hàm suy rộng
Y : D(a, b) → R1 được gọi là kỳ dị (phi chính quy), nếu nó không biểu
diễn được dưới dạng tích phân (1.1.22).
Để đơn giản cách trình bày, dưới đây ta chỉ xét các hàm suy rộng chính
quy và gọi tắt nó là hàm suy rộng. Khi đó, có thể mở rộng Định nghĩa 1.1.4
thành khái niệm "hàm suy rộng véc tơ", như sau:
Định nghĩa 1.1.5 Mỗi ánh xạ tuyến tính liên tục Y = (Y1, · · · , Yn ) :
D(a.b) → Rn được gọi là một hàm suy rộng véc tơ (n-chiều) trên (a,b),
nếu mọi thành phần Yi : D(a.b) → R1 (i = 1 ÷ n) đều là những hàm suy
rộng trên (a,b) và có thể biểu diễn mỗi ánh xạ này dưới dạng tích phân,
gắn với một hàm véc tơ y = (y1, · · · , yn ) ∈ L1 (a, b):
Z b
Y (ϕ) = Yy (ϕ) =
y(t)ϕ(t)dt (∀ϕ ∈ D(a, b)) ⇔
Z ba
Yi(ϕ) = Yyi (ϕ) =
yi(t)ϕ(t)dt = (yi, ϕ) (i = 1 ÷ n),
(1.1.22*)
a
trong đó y = (y1, · · · , yn ) ∈ L1(a, b) gọi là hàm sinh của hàm suy rộng véc
tơ Y = Yy .
Chú ý 1.1.2 Từ định nghĩa trên ta thấy rằng: Mỗi hàm suy rộng véc tơ
Y = Yy được đặc trưng bởi hàm sinh y tương ứng. Bởi vậy, việc xác định
hàm suy rộng này (theo (1.1.22*)) đưa về việc xác định hàm sinh (véc tơ)
y = (y1, · · · , yn ) ∈ L1 (a, b).
14
Định nghĩa 1.1.5* Tập hợp D∗ (a, b) được gọi là không gian các hàm suy
rộng véc tơ trên (a,b), nếu nó là lớp các ánh xạ tuyến tính liên tục (dạng
(1.1.22*)) Y = Yy : D(a.b) → Rn (∀y ∈ L1 (a, b)), nghĩa là:
Z b
D∗ (a, b) := Yy : Yy (ϕ) =
y(t)ϕ(t)dt
a
(∀ϕ ∈ D(a, b)), y ∈ L1 (a, b) , trong đó :
D∗ (a,b)
:=
Yy 1
Yy 2 ⇔ y 1
y 2 (∀ Yy1 , Yy2 ∈ D∗ (a, b)).
L1 (a,b)
:=
(1.1.23)
(1.1.23*)
Trong không gian D∗(a.b) ta đưa vào phép cộng (2 hàm suy rộng) và phép
nhân (hàm suy rộng với 1 số), dưới dạng thông thường:
Y 1 2 D∗ (a,b) Y 1 + Y 2 (∀Y 1 , Y 2 ∈ D∗ (a, b))
y +y
y
y
y
y
:=
⇒ Y 1 2 (ϕ) = Y 1 (ϕ) + Y 2 (ϕ) (∀ϕ ∈ D(a, b)),
y +y
y
y
Yλy D∗ (a,b) λ.Yy (∀ϕ ∈ D∗ (a, b), λ ∈ R1 )
:=
⇒ Y (ϕ) = λ.Y (ϕ) (∀ϕ ∈ D(a, b)).
λy
(1.1.24)
(1.1.24*)
y
Chú ý 1.1.3 Từ (1.1.23) ta dễ dàng nhận thấy rằng: Các phép toán đưa
ra trong (1.1.24)-(1.1.24*) có tính đóng trong không gian D∗(a, b) và nó
trở thành 1 không gian tuyến tính.
Không gian tuyến tính nói trên tuy không định chuẩn, nhưng ta có thể đưa
ra khái niệm "hội tụ" (phép tính giới hạn trong D∗(a, b)) theo nghĩa sau:
Định nghĩa 1.1.6 Dãy các hàm suy rộng véc tơ Yn n≥1 ⊂ D∗(a, b) gọi
là hội tụ về hàm suy rộng véc tơ Y ∈ D∗ (a, b), nếu:
lim Yyn (ϕ) = Yy (ϕ) (∀ϕ ∈ D(a, b)), với : Yyn := Yn , Yy := Y
n→∞
và ký hiệu :
lim Yn
n→∞
D∗ (a,b)
=
(1.1.25)
Y.
Chú ý 1.1.4 Với các khái niệm "hội tụ" (trong định nghĩa trên) và "liên
tục" (trong Định nghĩa 1.1.4), D∗ (a, b) trở thành không gian tuyến tính
của những ánh xạ Y : D(a, b) → Rn tuyến tính liên tục (trong dạng tích
phân (1.1.23)).
Với chú ý rằng: Nếu ϕ ∈ D(a, b) thì đạo hàm cấp 1 của nó ϕ(1) ∈ D(a, b).
- Xem thêm -