Tài liệu Giải tích hình học 12

GIẢI TÍCH 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 LÝ THUYẾT VÀ PHÂN DẠNG BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG I. ĐỒ THỊ HÀM SỐ CHƯƠNG II. HÀM SỐ MŨ – LÔGA CHƯƠNG III. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN CHƯƠNG IV. SỐ PHỨC NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ GIẢI TÍCH 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: 1. Daáu nhò thöùc baäc nhaát:  Daïng f(x) = ax+b (a0). Nghieäm cuûa nhò thöùc laø nghieäm phöông trình ax+b=0.  Baûng xeùt daáu cuûa nhò thöùc baäc nhaát f(x) = ax + b (a  0): x ax + b b a - - traùi daáu vôùi a 0 + cuøng daáu vôùi a 2. Daáu tam thöùc baäc hai:  Daïng f(x) = ax2+bx + c (a  0). Nghieäm cuûa tam thöùc laø nghieäm phöông trình ax2 +bx+c = 0.  Tính  = b2 - 4ac  Neáu  < 0 thì: phöông trình f(x) = 0 voâ nghieäm vaø x f(x) - + cuøng daáu vôùi a  Neáu  = 0 thì: phöông trình f(x) = 0 coù nghieäm keùp x = x f(x) - cuøng daáu vôùi a - b vaø 2a b 2a 0 + cuøng daáu vôùi a  Neáu  > 0 thì: phöông trình f(x) = 0 coù 2 nghieäm x1, x2 (x1 < x2) vaø x - x1 x2 + f(x) cuøng daáu vôùi a 0 traùi daáu vôùi a 0 cuøng daáu vôùi a * Chuù yù: Coù theå xeùt daáu tam thöùc baäc hai theo ' neáu heä soá b chaün. 3. Xeùt daáu bieåu thöùc vaø giaûi baát phöông trình chöùa aån ôû maãu, baát phöông trình baäc hai vaø heä baát phöông trình moät aån: Yeâu caàu söû duïng thaønh thaïo baûng xeùt daáu nhò thöùc baäc nhaát vaø tam thöùc baäc hai. Giaûi ñöôïc baát phöông trình chöùa aån ôû maãu, baát phöông trình baäc hai vaø heä baát phöông trình moät aån. NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ GIẢI TÍCH 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 4. Daáu caùc nghieäm phöông trình baäc hai: Cho phöông trình: ax2 + bx + c = 0 (*) ( = b2 - 4ac) Phöông trình (*) coù hai Phöông trình (*) coù hai Phöông trình (*) coù hai nghieäm traùi daáu (x1<0< x2) nghieäm aâm phaân bieät nghieäm döông phaân bieät c (x1 < x2 < 0) khi vaø chæ (0 < x1 < x2 ) khi vaø chæ khi vaø chæ khi: P= < 0. a khi:  a0  0  c  P 0 a  S   b  0  a khi:  a0  0  c  P 0 a  S   b  0  a 5. Ñieàu kieän khoâng ñoåi daáu cuûa tam thöùc baäc hai: Cho tam thöùc baäc hai f(x) = ax2 + bx + c (a  0). a  0 a  0 a) f(x)  0 x  R   ;   0 b) f(x)  0 x  R   .   0 6. Chia ña thöùc: Yeâu caàu bieãu dieãn f ( x) r ( x)  k ( x)  (vôùi g ( x) g ( x) f(x) laø ña thöùc coù baäc lôùn hoaëc baèng baäc cuûa g(x)), trong ñoù k(x) laø thöông vaø r(x) laø dö trong pheùp chia f ( x) . g ( x) 7. Caùc khaùi nieäm lieân quan ñeán haøm soá: Haøm soá cho bôûi bieåu thöùc ñöôïc kí hieäu y = f(x) vôùi f(x) laø moät bieåu thöùc chöùa bieán x.  Taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá: D = {x  R  f(x) coù nghóa}.  Giaù trò cuûa haøm soá y = f(x) taïi x0 laø y0 = f(x0). y y = f (x ) = x 2 + 1 5 x O 2 8. Tính giôùi haïn: f ( x) . Yeâu caàu tính ñöôïc caùc giôùi haïn daïng: lim f ( x) , lim f ( x) , xlim   x  x 0 x  x 0 9. Ñaïo haøm: a) Caùc pheùp toaùn: Giaû söû u=u(x), v=v(x), w=w(x) laø caùc haøm soá coù ñaïo haøm, khi ñoù: (u+ u - w)' = u' + v' - w'; (uv)' = u'v + v'u; (k.u)' = k.u' ;  u  u ' v  v ' u    v2 v NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309  1  v'    2. v v SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ GIẢI TÍCH 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 b) Baûng ñaïo haøm caùc haøm soá sô caáp cô baûn: Ñaïo haøm soá sô caáp cô baûn (C)' = 0 (x)' = x-1(  R, x > 0) 1 ( x )'  (x > 0) 2 x 1 1 ( )'   2 x x (x  0) (sinx)' = cosx (cosx)' = -sinx (tanx)' = (cotx)' = 1 cos 2 x 1 - 2 sin x (x   2 Ñaïo haøm haøm soá hôïp (u = u(x)) (u)' = u-1.u'(  R, u > 0) ( u )'  u' (u > 0) 2 u 1 u' ( )'   2 (u u u  0) (sinu)' = cosu.u' (cosu)' = -sinu.u'  k , k  Z) (x  k, k  Z). (tanu)' = (cotu)' = u'  (u   k , k  Z) 2 2 cos u u' - 2 (u  k, k  Z). sin u c) Moät soá coâng thöùc tính ñaïo haøm ñaëc bieät: ad  bc (cx  d ) 2  ( ax  b )' cx  d  ( ax 2  bx  c adx 2  2aex  be  dc )'  dx  e (dx  e) 2  ( ax 2  bx  c (ae  bd ) x 2  2(af  dc) x  bf  ec )'  dx 2  ex  f (dx 2  ex  f ) 2 = d) YÙ nghóa hình hoïc cuûa ñaïo haøm: Heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán taïi ñieåm M(x0; y0) thuoäc ñoà thò haøm soá y = f(x) laø f'(x0) vaø phöông trình tieáp tuyeán taïi M(x0; y0) coù daïng: y - y0 = f'(x0)(x-x0). 10. Laäp baûng bieán thieân, veõ ñoà thò haøm soá y = ax + b & y = ax2 + bx + c (a ≠ 0):  Yeâu caàu laäp ñöôïc baûng bieán thieân vaø veõ ñöôïc ñoà thò caùc haøm soá baäc nhaát vaø haøm soá baäc hai. 11. Tìm toïa ñoä giao ñieåm cuûa hai ñöôøng:  Yeâu caàu tìm ñöôïc toïa ñoä giao ñieåm cuûa hai ñöôøng coù phöông trình cho tröôùc. NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ GIẢI TÍCH 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ I - TÍNH ÑÔN ÑIEÄU CUÛA HAØM SOÁ: 1) Ñònh nghóa: Cho haøm soá y = f(x) xaùc ñònh treân K (K = (a; b) hoaëc K = [a; b) hoaëc K = (a; b] hoaëc K = [a; b]) Haøm soá y = f(x) ñoàng bieán (taêng) treân K Haøm soá y = f(x) nghòch bieán (giaûm) treân K neáu vôùi moïi caëp x1, x2 thuoäc K sao cho: neáu vôùi moïi caëp x1, x2 thuoäc K sao cho: x1 < x2  f(x1) < f(x2) x1 < x2  f(x1) > f(x2) y y Baûng bieán thieân: x Baûng bieán thieân: a b x lim a b lim xb xa y y lim lim x a  x b  x O a x b Ñoà thò haøm soá ñoàng bieán laø ñöôøng ñi leân töø traùi sang phaûi O a b Ñoà thò haøm soá nghòch bieán laø ñöôøng ñi xuoáng töø traùi sang phaûi 2) Tính ñôn ñieäu vaø daáu cuûa ñaïo haøm: Ñònh lí: Cho haøm soá y = f(x) coù ñaïo haøm treân K. a) Neáu f'(x) > 0 x  K thì haøm soá f(x) ñoàng bieán treân K. b) Neáu f'(x) < 0 x  K thì haøm soá f(x) nghòch bieán treân K. * Haøm soá y = f(x) ñoàng bieán (nghòch bieán) treân K goïi chung laø ñôn ñieäu treân K, K goïi chung laø khoaûng ñôn ñieäu cuûa haøm soá y = f(x). Ñònh lí môû roäng: Giaû söû haøm soá y = f(x) coù ñaïo haøm treân K. Neáu f'(x)  0 (f'(x)  0), x  K vaø f'(x) = 0 chæ taïi moät soá höõu haïn ñieåm x0 thì haøm soá ñoàng bieán (nghòch bieán) treân K.  Neáu f'(x) = 0 x  K thì f(x) khoâng ñoåi treân K (hay haøm soá y = f(x) laø haøm haèng y = c treân K) NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ GIẢI TÍCH 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 II. QUY TAÉC XEÙT TÍNH ÑÔN ÑIEÄU CUÛA HAØM SOÁ: 1. Tìm caùc khoaûng ñôn ñieäu cuûa haøm soá y = f(x)  Trình baøy baøi  Tìm taäp xaùc ñònh D cuûa haøm soá. (D = {x  R  f(x) coù nghóa})  Tính ñaïo haøm f'(x). Cho f'(x) = 0, tìm caùc ñieåm xi (i = 1, 2, ..., n) maø taïi ñoù ñaïo haøm baèng 0 hoaëc khoâng xaùc ñònh.  Laäp baûng bieán thieân (löu yù saép xeáp caùc ñieåm xi theo thöù töï taêng daàn treân baûng bieán thieân).  Keát luaän caùc khoaûng ñoàng bieán, nghòch bieán cuûa haøm soá. 2. ÖÙng duïng tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá ñeå chöùng minh baát ñaúng thöùc LÝ THUYẾT & BÀI TẬP 1. Ñinh nghóa: Haøm soá f ñoàng bieán treân K  (x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) < f(x2) Haøm soá f nghòch bieán treân K  (x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) > f(x2) 2. Ñieàu kieän caàn: Giaû söû f coù ñaïo haøm treân khoaûng I. a) Neáu f ñoàng bieán treân khoaûng I thì f(x)  0, x  I b) Neáu f nghòch bieán treân khoaûng I thì f(x)  0, x  I 3. Điều kiện đủ: Giaû söû f coù ñaïo haøm treân khoaûng I. a) Neáu f(x) 0, xI (f(x)=0 taïi moät soá höõu haïn ñieåm) thì f ñoàng bieán treân I. b) Neáu f(x)0, xI (f(x)=0 taïi moät soá höõu haïn ñieåm) thì f nghòch bieán treân I. c) Neáu f(x)=0, xI thì f khoâng ñoåi treân I. Chuù yù: Neáu khoaûng I ñöôïc thay bôûi ñoaïn hoaëc nöûa khoaûng thì f phaûi lieân tuïc treân ñoù. VAÁN ÑEÀ 1: Xeùt chieàu bieán thieân cuûa haøm soá Ñeå xeùt chieàu bieán thieân cuûa haøm soá y = f(x), ta thöïc hieän caùc böôùc nhö sau: – Tìm taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá. – Tính y. Tìm caùc ñieåm maø taïi ñoù y = 0 hoaëc y khoâng toàn taïi (goïi laø caùc ñieåm tôùi haïn) – Laäp baûng xeùt daáu y (baûng bieán thieân). Töø ñoù keát luaän caùc khoaûng ñoàng bieán, nghòch bieán cuûa haøm soá. NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ GIẢI TÍCH 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 VAÁN ÑEÀ 2: Tìm ñieàu kieän ñeå haøm soá luoân ñoàng bieán hoaëc nghòch bieán treân taäp xaùc ñònh (hoaëc treân töøng khoaûng xaùc ñònh) Cho haøm soá y  f ( x , m) , m laø tham soá, coù taäp xaùc ñònh D.  Haøm soá f ñoàng bieán treân D  y  0, x  D.  Haøm soá f nghòch bieán treân D  y  0, x  D. Töø ñoù suy ra ñieàu kieän cuûa m. Chuù yù: 1) y = 0 chæ xaûy ra taïi moät soá höõu haïn ñieåm. 2) Neáu y '  ax 2  bx  c thì:   a  b  0  c  0 y '  0, x  R     a  0    0   a  b  0  c  0 y '  0, x  R     a  0    0 3) Ñònh lí veà daáu cuûa tam thöùc baäc hai g( x)  ax 2  bx  c :  Neáu  < 0 thì g(x) luoân cuøng daáu vôùi a.  Neáu  = 0 thì g(x) luoân cuøng daáu vôùi a (tröø x =  b ) 2a  Neáu  > 0 thì g(x) coù hai nghieäm x1, x2 vaø trong khoaûng hai nghieäm thì g(x) khaùc daáu vôùi a, ngoaøi khoaûng hai nghieäm thì g(x) cuøng daáu vôùi a. 4) So saùnh caùc nghieäm x1, x2 cuûa tam thöùc baäc hai g( x)  ax 2  bx  c vôùi soá 0:    0  x1  x2  0   P  0 S  0    0  0  x1  x2   P  0 S  0  x1  0  x2  P  0 5) Ñeå haøm soá y  ax3  bx 2  cx  d coù ñoä daøi khoaûng ñoàng bieán (nghòch bieán) (x1; x2) baèng d thì ta thöïc hieän caùc böôùc sau:  Tính y.  Tìm ñieàu kieän ñeå haøm soá coù khoaûng ñoàng bieán vaø nghòch bieán:  Bieán ñoåi x1  x2  d thaønh ( x1  x2 )2  4 x1x2  d 2 a  0    0 (1) (2)  Söû duïng ñònh lí Viet ñöa (2) thaønh phöông trình theo m.  Giaûi phöông trình, so vôùi ñieàu kieän (1) ñeå choïn nghieäm. NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ GIẢI TÍCH 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 VAÁN ÑEÀ 3: ÖÙng duïng tính ñôn ñieäu ñeå chöùng minh baát ñaúng thöùc Ñeå chöùng minh baát ñaúng thöùc ta thöïc hieän caùc böôùc sau:  Chuyeån baát ñaúng thöùc veà daïng f(x) > 0 (hoaëc <, ,  ). Xeùt haøm soá y = f(x) treân taäp xaùc ñònh do ñeà baøi chæ ñònh.  Xeùt daáu f (x). Suy ra haøm soá ñoàng bieán hay nghòch bieán.  Döïa vaøo ñònh nghóa söï ñoàng bieán, nghòch bieán ñeå keát luaän. Chuù yù: 1) Trong tröôøng hôïp ta chöa xeùt ñöôïc daáu cuûa f (x) thì ta ñaët h(x) = f (x) vaø quay laïi tieáp tuïc xeùt daáu h (x) … cho ñeán khi naøo xeùt daáu ñöôïc thì thoâi. 2) Neáu baát ñaúng thöùc coù hai bieán thì ta ñöa baát ñaúng thöùc veà daïng: f(a) < f(b). Xeùt tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá f(x) trong khoaûng (a; b). VAÁN ÑEÀ 4: Chöùng minh phöông trình coù nghieäm duy nhaát Ñeå chöùng minh phöông trình f(x) = g(x) (*) coù nghieäm duy nhaát, ta thöïc hieän caùc böôùc sau:  Choïn ñöôïc nghieäm x0 cuûa phöông trình.  Xeùt caùc haøm soá y = f(x) (C1) vaø y = g(x) (C2). Ta caàn chöùng minh moät haøm soá ñoàng bieán vaø moät haøm soá nghòch bieán. Khi ñoù (C1) vaø (C2) giao nhau taïi moät ñieåm duy nhaát coù hoaønh ñoä x0. Ñoù chính laø nghieäm duy nhaát cuûa phöông trình (*). Chuù yù: Neáu moät trong hai haøm soá laø haøm haèng y = C thì keát luaän treân vaãn ñuùng. NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ GIẢI TÍCH 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I. KHAÙI NIEÄM CÖÏC ÑAÏI, CÖÏC TIEÅU: Ñònh nghóa: Cho haøm soá y = f(x) xaùc ñònh vaø lieân tuïc treân khoaûng (a; b) (coù theå a laø -; b laø +) vaø ñieåm x0  (a; b). a) Neáu toàn taïi soá h > 0 sao cho f(x) < f(x0) vôùi moïi x  (x0 - h; x0 + h) vaø x  x0 thì ta noùi haøm soá f(x) ñaït cöïc ñaïi taïi x0. b) Neáu toàn taïi soá h > 0 sao cho f(x) > f(x0) vôùi moïi x  (x0 - h; x0 + h) vaø x  x0 thì ta noùi haøm soá f(x) ñaït cöïc tieåu taïi x0. * Chuù yù: a) Neáu haøm soá f(x) ñaït cöïc ñaïi (cöïc tieåu) taïi x0 thì x0 goïi laø ñieåm cöïc ñaïi (ñieåm cöïc tieåu) cuûa haøm soá; f(x0) ñöôïc goïi laø giaù trò cöïc ñaïi (giaù trò cöïc tieåu) cuûa haøm soá, kí hieäu laø fCÑ (fCT) hay yCÑ (yCT), coøn ñieåm M(x0; f(x0)) goïi laø ñieåm cöïc ñaïi (ñieåm cöïc tieåu) cuûa ñoà thò haøm soá. b) Caùc ñieåm cöïc ñaïi, ñieåm cöïc tieåu goïi chung laø ñieåm cöïc trò. Giaù trò cöïc ñaïi (giaù trò cöïc tieåu) coøn goïi laø cöïc ñaïi (cöïc tieåu) vaø ñöôïc goïi chung laø cöïc trò cuûa haøm soá. c) Neáu haøm soá y= f(x) coù ñaïo haøm treân khoaûng (a;b) vaø ñaït cöïc trò taïi x0 thì f'(x0)=0. II. ÑIEÀU KIEÄN ÑUÛ ÑEÅ HAØM SOÁ COÙ CÖÏC TRÒ: Ñònh lí: Giaû söû haøm soá y = f(x) lieân tuïc treân khoaûng K = (x0 - h; x0 + h) vaø coù ñaïo haøm treân K hoaëc treân K \{x0}, h > 0. a) Neáu f'(x) > 0 treân khoaûng (x0 - h; x0) vaø f'(x) < 0 treân khoaûng (x0; x0 + h) thì x0 laø moät ñieåm cöïc ñaïi cuûa haøm soá f(x). b) Neáu f'(x) < 0 treân khoaûng (x0 - h; x0) vaø f'(x) > 0 treân khoaûng (x0; x0 + h) thì x0 laø moät ñieåm cöïc tieåu cuûa haøm soá f(x). III. QUY TAÉC TÌM CÖÏC TRÒ: 1. Quy taéc 1: Tìm caùc ñieåm cöïc trò cuûa haøm soá y = f(x)  Tìm taäp xaùc ñònh.  Tính f'(x). Tìm caùc ñieåm x sao cho taïi ñoù f'(x) baèng 0 hoaëc f'(x) khoâng xaùc ñònh.  Laäp baûng bieán thieân. NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ GIẢI TÍCH 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168  Töø baûng bieán thieân suy ra caùc ñieåm cöïc trò. x f'(x ) x0 - h x0 0 + x0 + h - yCÑ f(x) "Ñaïo haøm ñoåi daáu töø döông sang aâm" x f'(x) x0 - h - x0 0 x0 + h + f(x) yCT "Ñaïo haøm ñoåi daáu töø aâm sang döông" 2. Quy taéc 2: Ñònh lí 2: Giaû söû haøm soá y = f(x) coù ñaïo haøm caáp 2 trong khoaûng (x0 - h; x0 + h), vôùi h > 0. Khi ñoù:  f '(x )  0 0 a) Neáu  thì x0 laø ñieåm cöïc tieåu.  f ' ' ( x0 )  0  f '(x )  0 0 b) Neáu  thì x0 laø ñieåm cöïc ñaïi.  f ' ' ( x0 )  0 Quy taéc 2:  Tìm taäp xaùc ñònh.  Tính f'(x). Giaûi phöông trình f'(x) = 0 vaø kí hieäu x i (i = 1, 2, ...) laø caùc nghieäm cuûa noù.  Tính f''(x) vaø tính f''(xi).  Döïa vaøo daáu cuûa f''(xi) ñeå suy ra tính chaát cöïc trò cuûa ñieåm xi. LÝ THUYẾT & BÀI TẬP I. Khaùi nieäm cöïc trò cuûa haøm soá Giaû söû haøm soá f xaùc ñònh treân taäp D (D  R) vaø x0  D. a) x0 – ñieåm cöïc ñaïi cuûa f neáu toàn taïi khoaûng (a; b)  D vaø x0  (a; b) sao cho f(x) < f(x0), vôùi x  (a; b) \ {x0}. Khi ñoù f(x0) ñgl giaù trò cöïc ñaïi (cöïc ñaïi) cuûa f. b) x0 – ñieåm cöïc tieåu cuûa f neáu toàn taïi khoaûng (a; b)  D vaø x0  (a; b) sao cho f(x) > f(x0), vôùi x  (a; b) \ {x0}. Khi ñoù f(x0) ñgl giaù trò cöïc tieåu (cöïc tieåu) cuûa f. c) Neáu x0 laø ñieåm cöïc trò cuûa f thì ñieåm (x0; f(x0)) ñgl ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò haøm soá f. NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ GIẢI TÍCH 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 II. Ñieàu kieän caàn ñeå haøm soá coù cöïc trò Neáu haøm soá f coù ñaïo haøm taïi x0 vaø ñaït cöïc trò taïi ñieåm ñoù thì f (x0) = 0. Chuù yù: Haøm soá f chæ coù theå ñaït cöïc trò taïi nhöõng ñieåm maø taïi ñoù ñaïo haøm baèng 0 hoaëc khoâng coù ñaïo haøm. III. Ñieàu kieän ñuû ñeå haøm soá coù cöïc trò 1. Ñònh lí 1: Giaû söû haøm soá f lieân tuïc treân khoaûng (a; b) chöùa ñieåm x0 vaø coù ñaïo haøm treân (a; b)\{x0} a) Neáu f (x) ñoåi daáu töø aâm sang döông khi x ñi qua x0 thì f ñaït cöïc tieåu taïi x0. b) Neáu f (x) ñoåi daáu töø döông sang aâm khi x ñi qua x0 thì f ñaït cöïc ñaïi taïi x0. 2. Ñònh lí 2: Giaû söû haøm soá f coù ñaïo haøm treân khoaûng (a; b) chöùa ñieåm x 0, f (x0) = 0 vaø coù ñaïo haøm caáp hai khaùc 0 taïi ñieåm x0. a) Neáu f (x0) < 0 thì f ñaït cöïc ñaïi taïi x0. b) Neáu f (x0) > 0 thì f ñaït cöïc tieåu taïi x0. VAÁN ÑEÀ 1: Tìm cöïc trò cuûa haøm soá Qui taéc 1: Duøng ñònh lí 1.  Tìm f (x).  Tìm caùc ñieåm xi (i =1,2 ,…) maø taïi ñoù ñaïo haøm baèng 0 hoaëc khoâng coù ñaïo haøm.  Xeùt daáu f (x). Neáu f (x) ñoåi daáu khi x ñi qua xi thì haøm soá ñaït cöïc trò taïi xi. Qui taéc 2: Duøng ñònh lí 2.  Tính f (x).  Giaûi phöông trình f (x) = 0 tìm caùc nghieäm xi (i = 1, 2, …).  Tính f (x) vaø f (xi) (i = 1, 2, …). Neáu f (xi) < 0 thì haøm soá ñaït cöïc ñaïi taïi xi. Neáu f (xi) > 0 thì haøm soá ñaït cöïc tieåu taïi xi. VAÁN ÑEÀ 2: Tìm ñieàu kieän ñeå haøm soá coù cöïc trò 1. Neáu haøm soá y = f(x) ñaït cöïc trò taïi ñieåm x0 thì f (x0) = 0 hoaëc taïi x0 khoâng coù ñaïo haøm. 2. Ñeå haøm soá y = f(x) ñaït cöïc trò taïi ñieåm x0 thì f (x) ñoåi daáu khi x ñi qua x0. Chuù yù:  Haøm soá baäc ba y  ax3  bx2  cx  d coù cöïc trò  Phöông trình y = 0 coù hai nghieäm phaân bieät. NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ GIẢI TÍCH 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Khi ñoù neáu x0 laø ñieåm cöïc trò thì ta coù theå tính giaù trò cöïc trò y(x0) baèng hai caùch: + y( x0 )  ax03  bx02  cx0  d + y( x0 )  Ax0  B , trong ñoù Ax + B laø phaàn dö trong pheùp chia y cho y.  Haøm soá y ax 2  bx  c P( x ) = a' x  b' Q( x ) nghieäm phaân bieät khaùc  (aa 0) coù cöïc trò  Phöông trình y = 0 coù hai b' . a' Khi ñoù neáu x0 laø ñieåm cöïc trò thì ta coù theå tính giaù trò cöïc trò y(x0) baèng hai caùch: y( x0 )  P ( x0 ) hoaëc Q( x0 ) y( x0 )  P '( x0 ) Q '( x0 )  Khi söû duïng ñieàu kieän caàn ñeå xeùt haøm soá coù cöïc trò caàn phaûi kieåm tra laïi ñeå loaïi boû nghieäm ngoaïi lai.  Khi giaûi caùc baøi taäp loaïi naøy thöôøng ta coøn söû duïng caùc kieán thöùc khaùc nöõa, nhaát laø ñònh lí Vi–et. VAÁN ÑEÀ 3: Ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc trò 1) Haøm soá baäc ba y  f ( x)  ax3  bx 2  cx  d .  Chia f(x) cho f (x) ta ñöôïc: f(x) = Q(x).f (x) + Ax + B.  Khi ñoù, giaû söû (x1; y1), (x2; y2) laø caùc ñieåm cöïc trò thì:  y1  f ( x1 )  Ax1  B   y2  f ( x2 )  Ax2  B  Caùc ñieåm (x1; y1), (x2; y2) naèm treân ñöôøng thaúng y = Ax + B. 2) Haøm soá phaân thöùc y  f ( x )  P( x ) ax 2  bx  c  . Q( x ) dx  e  Giaû söû (x0; y0) laø ñieåm cöïc trò thì y0  P '( x0 ) Q '( x0 ) .  Giaû söû haøm soá coù cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu thì phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc trò aáy laø: y P '( x ) 2ax  b  . Q '( x ) d NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ GIẢI TÍCH 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ I. ÑÒNH NGHÓA: Cho haøm soá y = f(x) xaùc ñònh treân taäp D. a) Soá M ñöôïc goïi laø giaù trò lôùn nhaát cuûa haøm soá y = f(x) treân taäp D neáu f(x)  M vôùi moïi x thuoäc D vaø toàn taïi x0  D sao cho f(x0) = M. Kí hieäu M = max f(x). D b) Soá m ñöôïc goïi laø giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá y = f(x) treân taäp D neáu f(x)  m vôùi moïi x thuoäc D vaø toàn taïi x0  D sao cho f(x0) = m. Kí hieäu m = min f(x). D II. GIAÙ TRÒ LÔÙN NHAÁT VAØ GIAÙ TRÒ NHOÛ NHAÁT CUÛA HAØM SOÁ TREÂN MOÄT KHOAÛNG:  Baøi toaùn: Tìm giaù trò lôùn nhaát (GTLN) vaø giaù trò nhoû nhaát (GTNN) cuûa haøm soá y = f(x) xaùc ñònh treân khoaûng (a; b).  Ta laäp baûng bieán thieân cuûa haøm soá y = f(x) treân khoaûng (a; b), töø ñoù suy ra keát luaän. (Neáu baøi toaùn khoâng chæ ra khoaûng K thì ta tìm GTLN, GTNN treân taäp xaùc ñònh) x f'(x) a b x0 + - x f'(x) a b x0 - + GTLN f(x) f(x) GTNN Trong ñoù: f'(x) = 0 hoaëc khoâng xaùc ñònh taïi x0. III. GIAÙ TRÒ LÔÙN NHAÁT VAØ GIAÙ TRÒ NHOÛ NHAÁT CUÛA HAØM SOÁ TREÂN MOÄT ÑOAÏN: 1/ Ñònh lí: Moïi haøm soá lieân tuïc treân moät ñoaïn ñeàu coù giaù trò lôùn nhaát vaø giaù trò nhoû nhaát treân ñoaïn ñoù. 2/ Quy taéc tìm giaù trò lôùn nhaát, nhoû nhaát cuûa haøm soá lieân tuïc treân moät ñoaïn:  Tìm caùc ñieåm x1, x2, ...., xn treân khoaûng (a; b), taïi ñoù f'(xi) = 0 hoaëc khoâng xaùc ñònh (i = 1, 2,...n).  Tính f(a), f(x1), f(x2), ..., f(xn), f(b).  Tìm soá lôùn nhaát M vaø soá nhoû nhaát m trong {f(a), f(x 1), f(x2), ..., f(xn), f(b)}. Ta coù: max f(x) = M, min f(x) = m. a;b  a;b  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ GIẢI TÍCH 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 * Chuù yù:  Neáu haøm soá y = f(x) ñoàng bieán treân [a; b] thì: max y = f(b), min y = f(a) [ a ;b ] y y f(b) f(a) maxy [a;b] maxy [a;b] [ a ;b ]  Neáu haøm soá y = f(x) nghòch bieán treân [a; b] thì: max y = f(a), min y = f(b) [ a ;b ] miny miny [a;b] [a;b] f(a) f(b) x O a a b b x O [ a ;b ] IV. ÖÙNG DUÏNG: Ví duï: Cho moät taám nhoâm hình vuoâng caïnh a. Ngöôøi ta caét ôû boán goùc boán hình vuoâng baèng nhau, roài gaäp taám nhoâm laïi nhö hình veõ ñeå ñöôïc moät caùi hoäp khoâng naép. Tính caïnh cuûa caùc hình vuoâng bò caét sao cho theå tích cuûa khoái hoäp laø lôùn nhaát. a x LÝ THUYẾT & BÀI TẬP 1. Ñònh nghóa: Giaû söû haøm soá f xaùc ñònh treân mieàn D (D  R). a) M  max f ( x )   f ( x )  M , x  D D  x0  D : f ( x0 )  M b) m  min f ( x )   f ( x )  m, x  D  D x0  D : f ( x0 )  m 2. Tính chaát: a) Neáu haøm soá f ñoàng bieán treân [a; b] thì max f ( x )  f (b), min f ( x )  f (a) . [a;b ] [a;b ] b) Neáu haøm soá f nghòch bieán treân [a; b] thì max f ( x )  f (a), min f ( x )  f (b) . [a;b ] NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 [a;b ] SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ GIẢI TÍCH 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 VAÁN ÑEÀ 1: Tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá baèng caùch laäp baûng bieán thieân Caùch 1: Thöôøng duøng khi tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá treân moät khoaûng.  Tính f (x).  Xeùt daáu f (x) vaø laäp baûng bieán thieân.  Döïa vaøo baûng bieán thieân ñeå keát luaän. Caùch 2: Thöôøng duøng khi tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá lieân tuïc treân moät ñoaïn [a; b].  Tính f (x).  Giaûi phöông trình f (x) 0 tìm ñöôïc caùc nghieäm x1, x2, …, xn treân [a; b] (neáu coù).  Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn).  So saùnh caùc giaù trò vöøa tính vaø keát luaän. M  max f ( x )  max  f (a), f (b), f ( x1), f ( x2 ),..., f ( xn ) [a;b] m  min f ( x)  min  f (a), f (b), f ( x1), f ( x2 ),..., f ( xn ) [a;b] VAÁN ÑEÀ 2: Tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá baèng caùch duøng baát ñaúng thöùc Caùch naøy döïa tröïc tieáp vaøo ñònh nghóa GTLN, GTNN cuûa haøm soá.  Chöùng minh moät baát ñaúng thöùc.  Tìm moät ñieåm thuoäc D sao cho öùng vôùi giaù trò aáy, baát ñaúng thöùc vöøa tìm ñöôïc trôû thaønh ñaúng thöùc. VAÁN ÑEÀ 3: Tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá baèng caùch duøng mieàn giaù trò Xeùt baøi toaùn tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá f(x) treân moät mieàn D cho tröôùc. Goïi y0 laø moät giaù trò tuyø yù cuûa f(x) treân D, thì heä phöông trình (aån x) sau coù nghieäm:  f ( x )  y0  x  D (1) (2) Tuyø theo daïng cuûa heä treân maø ta coù caùc ñieàu kieän töông öùng. Thoâng thöôøng ñieàu kieän aáy (sau khi bieán ñoåi) coù daïng: m  y0  M (3) Vì y0 laø moät giaù trò baát kì cuûa f(x) neân töø (3) ta suy ra ñöôïc: min f ( x )  m; max f ( x )  M D NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 D SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ GIẢI TÍCH 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 VAÁN ÑEÀ 4: Söû duïng GTLN, GTNN cuûa haøm soá trong PT, HPT, BPT Giaû söû f(x) laø moät haøm soá lieân tuïc treân mieàn D vaø coù min f ( x )  m; max f ( x )  M . Khi D D ñoù: 1) Heä phöông trình  f ( x)    x  D 2) Heä baát phöông trình coù nghieäm  m    M.  f ( x)    x  D coù nghieäm  M  .  f ( x)    x  D 3) Heä baát phöông trình coù nghieäm  m  . 4) Baát phöông trình f(x)   ñuùng vôùi moïi x  m  . 5) Baát phöông trình f(x)   ñuùng vôùi moïi x  M  . NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ GIẢI TÍCH 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN I. ÑÖÔØNG TIEÄM CAÄN NGANG: Ñònh nghóa: Cho haøm soá y = f(x) xaùc ñònh treân moät khoaûng voâ haïn (laø khoaûng daïng (a; +  ), (-  ; b) hoaëc (-  ; +  )). Ñöôøng thaúng y = y0 laø ñöôøng tieäm caän ngang (hay tieäm caän ngang) cuûa ñoà thò haøm soá y = f(x) neáu ít nhaát moät trong caùc ñieàu kieän sau ñöôïc thoûa maõn: xlim f(x) = y0 (hoaëc xlim f(x) = y0).     f ( x)  lim f ( x)  l , ta vieát chung laø lim f ( x)  l . * Chuù yù: Neáu xlim x    x  II – ÑÖÔØNG TIEÄM CAÄN ÑÖÙNG Ñònh nghóa: Ñöôøng thaúng x = x0 ñöôïc goïi laø ñöôøng tieäm caän ñöùng (hay tieäm caän ñöùng) cuûa ñoà thò haøm soá y = f(x) neáu ít nhaát moät trong caùc ñieàu kieän sau ñöôïc thoûa maõn: lim f(x) = +  . (hoaëc lim f(x)= -  ; lim f(x) = -  ; lim f(x) = +  ) x x0 x x0 x x0 x x0 LÝ THUYẾT & BÀI TẬP 1. Ñònh nghóa:  Ñöôøng thaúng x  x0 ñgl ñöôøng tieäm caän ñöùng cuûa ñoà thò haøm soá y  f ( x ) neáu ít nhaát moät trong caùc ñieàu kieän sau ñöôïc thoaû maõn: lim f ( x )   ; lim f ( x )   ; lim f ( x )   ;    x  x0 x  x0 lim f ( x )   x  x0  x  x0  Ñöôøng thaúng y  y0 ñgl ñöôøng tieäm caän ngang cuûa ñoà thò haøm soá y  f ( x ) neáu ít nhaát moät trong caùc ñieàu kieän sau ñöôïc thoaû maõn: lim f ( x )  y0 ; lim f ( x )  y0 x  x  2. Chuù yù: Neáu y  f ( x )  P( x ) Q( x ) laø haøm soá phaân thöùc höõu tyû.  Neáu Q(x) = 0 coù nghieäm x0 thì ñoà thò coù tieäm caän ñöùng x  x0 .  Neáu baäc(P(x))  baäc(Q(x)) thì ñoà thò coù tieäm caän ngang. NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ GIẢI TÍCH 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ I- KHAÛO SAÙT VAØ VEÕ ÑOÀ THÒ HAØM SOÁ 3 2 1. Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá y = ax + bx + cx + d (a  0)  Taäp xaùc ñònh: D = R  y' = f'(x) y' = 0: giaûi phöông trình f'(x) = 0.  Tính caùc giôùi haïn lim y lim y = ..., x = ... (chæ caàn keát quaû, khoâng caàn giaûi thích)  Veõ baûng bieán thieân. + Keát luaän caùc khoaûng ñôn ñieäu. + Keát luaän cöïc trò cuûa haøm soá.  Ñieåm ñaëc bieät: Ñieåm cöïc trò (neáu coù) Giao ñieåm vôùi truïc tung: x = 0 tìm y. Giao ñieåm vôùi truïc hoaønh: y = 0 giaûi phöông trình f(x) = 0 tìm x. x   2. Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá y = ax + bx + c (a  0) 4 2  Taäp xaùc ñònh: D = R  y' = f'(x) y' = 0: giaûi phöông trình f'(x) = 0.  Tính caùc giôùi haïn lim y lim y = ..., x = ... (chæ caàn keát quaû, khoâng caàn giaûi thích)  Veõ baûng bieán thieân. + Keát luaän caùc khoaûng ñôn ñieäu. + Keát luaän caùc ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò haøm soá.  Ñieåm ñaëc bieät: Ñieåm cöïc trò; Giao ñieåm vôùi truïc tung: x = 0 tìm y; Giao ñieåm vôùi truïc hoaønh (neáu coù): y = 0 giaûi phöông trình f(x) = 0 tìm x.  Ñoà thò: ñoà thò haøm soá nhaän truïc tung laøm truïc ñoái xöùng. x   NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ GIẢI TÍCH 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 3. Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá y =  Taäp xaùc ñònh: D = R\{  y' = f'(x)  Tính caùc giôùi haïn: lim y x   lim y = a a lim y c , x = c lim y   d c ax  b cx  d (c  0, ad - bc  0) }  Tieäm caän ngang y = a c = ..., x  x ...  Tieäm caän ñöùng x=x0 (chæ caàn keát quaû, khoâng caàn giaûi thích)  Veõ baûng bieán thieân. Keát luaän caùc khoaûng ñoàng bieán, nghòch bieán cuûa haøm soá. Haøm soá khoâng coù cöïc trò  Ñieåm ñaëc bieät: Giao ñieåm vôùi truïc tung: x = 0 tìm y. Giao ñieåm vôùi truïc hoaønh: y = 0 giaûi phöông trình f(x) = 0 tìm x.  Ñoà thò: ñoà thò haøm soá nhaän giao ñieåm hai ñöôøng tieäm caän laøm taâm ñoái xöùng. x  x 0 0 II – SÖÏ TÖÔNG GIAO CUÛA CAÙC ÑOÀ THÒ 1/ Toïa ñoä giao ñieåm cuûa hai ñoà thò: Ví duï: Tìm toïa ñoä giao ñieåm cuûa hai ñöôøng: (C) y = x2 + 2x - 3 vaø d: y = 2x + 1. 2/ Bieän luaän baèng ñoà thò soá nghieäm phöông trình f(x) = g(x): LÝ THUYẾT & BÀI TẬP Haøm soá baäc ba y  ax3  bx 2  cx  d (a  0) :  Taäp xaùc ñònh D = R.  Caùc daïng ñoà thò: a>0 y’ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät  ’= b2 – 3ac > 0 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 a<0 y y I 0 x 0 I x SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ GIẢI TÍCH 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 y’ = 0 coù nghieäm keùp  ’= b2– 3ac = 0 y’ = 0 voâ nghieäm  ’=b2 – 3ac < 0 y y I I 0 0 x x Haøm soá truøng phöông y  ax 4  bx 2  c (a  0) :  Taäp xaùc ñònh D = R.  Ñoà thò luoân nhaän truïc tung laøm truïc ñoái xöùng.  Caùc daïng ñoà thò: y y’ = 0 coù 3 nghieäm phaân bieät  ab < 0 a>0 0 a<0 y x 0 x x y y’ = 0 chæ coù 1 nghieäm  ab > 0 0 y 0 ax  b (c  0, ad  bc  0) : cx  d  d Taäp xaùc ñònh D = R \   .  c d Ñoà thò coù moät tieäm caän ñöùng laø x   vaø c x Haøm soá nhaát bieán y    a c moät tieäm caän ngang laø y  . Giao ñieåm cuûa hai tieäm caän laø taâm ñoái xöùng cuûa ñoà thò haøm soá.  Caùc daïng ñoà thò: y y 0 x ad – bc > 0 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 0 x ad – bc < 0 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ