§¹i häc huÕ
Trêng ®¹i häc s ph¹m
ph¹m thÞ cóc
HÖ nh©n tö
trong nhãm ph¹m trï ph©n bËc
luËn ¸n tiÕn sÜ to¸n häc
HuÕ - 2014
§¹i häc huÕ
Trêng ®¹i häc s ph¹m
ph¹m thÞ cóc
HÖ nh©n tö
trong nhãm ph¹m trï ph©n bËc
Chuyªn ngµnh: §¹i sè vµ lý thuyÕt sè
M· sè: 62. 46. 05. 01
luËn ¸n tiÕn sÜ to¸n häc
Ngêi híng dÉn khoa häc:
1. PGS. TS. NguyÔn TiÕn Quang
2. GS. TS. Lª V¨n ThuyÕt
HuÕ, 2014
Lêi cam ®oan
T«i xin cam ®oan ®©y lµ c«ng tr×nh nghiªn cøu cña t«i ®îc viÕt chung víi c¸c ®ång
t¸c gi¶. Nh÷ng kÕt qu¶ viÕt chung víi c¸c t¸c gi¶ kh¸c ®· ®îc sù nhÊt trÝ cña c¸c ®ång t¸c
gi¶ khi ®a vµo luËn ¸n. C¸c sè liÖu, kÕt qu¶ ®îc tr×nh bµy trong luËn ¸n lµ trung thùc vµ
cha tõng ®îc ai c«ng bè trong bÊt kú c«ng tr×nh nµo kh¸c.
T¸c gi¶
Ph¹m ThÞ Cóc
1
Lêi c¶m ¬n
LuËn ¸n ®îc hoµn thµnh díi sù híng dÉn cña PGS. TS. NguyÔn TiÕn Quang vµ GS.
TS. Lª V¨n ThuyÕt. Lêi ®Çu tiªn, em xin bµy tá lßng biÕt ¬n ch©n thµnh vµ s©u s¾c nhÊt ®Õn
c¸c ThÇy. C¸c ThÇy kh«ng chØ truyÒn cho em niÒm ®am mª nghiªn cøu khoa häc, tËn t×nh
híng dÉn vµ gióp ®ì em vÒ mäi mÆt, mµ cßn dµnh cho em sù cæ vò vµ ®éng viªn trong
suèt qu¸ tr×nh häc tËp vµ nghiªn cøu cña m×nh.
T«i xin tr©n träng c¶m ¬n c¸c thÇy c« trong Khoa To¸n, Phßng Sau ®¹i häc - Trêng
§¹i häc s ph¹m - §¹i häc HuÕ, Ban ®µo t¹o sau ®¹i häc - §¹i häc HuÕ vµ c¸c thÇy c« trong
Bé m«n §¹i sè, Khoa Khoa häc tù nhiªn - Trêng §¹i häc Hång §øc - Thanh Hãa ®· t¹o
mäi ®iÒu kiÖn thuËn lîi cho t«i häc tËp, nghiªn cøu vµ hoµn thµnh ch¬ng tr×nh nghiªn cøu
cña m×nh.
T«i còng xin göi lêi c¶m ¬n ®Õn Th¹c sü NguyÔn Thu Thñy v× nh÷ng sù gióp ®ì ch©n
thµnh.
Cuèi cïng, t«i muèn bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c ®Õn gia ®×nh t«i v× nh÷ng sù ®ång c¶m,
®éng viªn vµ chia sÎ nh÷ng khã kh¨n trong suèt thêi gian t«i lµm nghiªn cøu sinh vµ hoµn
thµnh luËn ¸n nµy.
Ph¹m ThÞ Cóc
2
Môc lôc
1
Mét sè kiÕn thøc chuÈn bÞ
16
1.1 Nhãm ph¹m trï (bÖn) ph©n bËc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1.1 Nhãm ph¹m trï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1.2 Nhãm ph¹m trï thu gän vµ c¸c t¬ng ®¬ng chÝnh t¾c . . . . . . . . . 17
1.1.3 Nhãm ph¹m trï ph©n bËc
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.1.4 Nhãm ph¹m trï bÖn ph©n bËc
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1.5 Hµm tö monoidal, t¬ng ®¬ng tù nhiªn monoidal
. . . . . . . . . . . 19
1.2 Ann-ph¹m trï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.1 Ann-ph¹m trï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.2 Ann-hµm tö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.3 Ann-ph¹m trï thu gän
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Ph©n líp c¸c hµm tö monoidal kiÓu
(ϕ, f ) vµ øng dông
2.1 Ph©n líp ®èi ®ång ®iÒu c¸c hµm tö monoidal kiÓu
25
(ϕ, f ) . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Ph©n líp c¸c nhãm ph¹m trï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3 Ph©n líp c¸c nhãm ph¹m trï bÖn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4 Ph©n líp c¸c nhãm ph¹m trï bÖn ph©n bËc bëi hÖ nh©n tö . . . . . . . . . . . 37
2.5
¸p dông vµo bµi to¸n më réng nhãm cæ ®iÓn
. . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.5.1 Nhãm ph¹m trï cña mét h¹t nh©n trõu tîng . . . . . . . . . . . . . . 45
2.5.2 Hµm tö monoidal vµ bµi to¸n më réng nhãm
3
. . . . . . . . . . . . . . 49
Nhãm ph¹m trï chÆt chÏ vµ më réng nhãm kiÓu m«®un chÐo
53
3.1 Nhãm ph¹m trï liªn kÕt víi mét m«®un chÐo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2 Ph©n líp c¸c m«®un chÐo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3 Bµi to¸n më réng nhãm kiÓu m«®un chÐo: lý thuyÕt c¶n trë vµ ®Þnh lý ph©n líp 58
4
Nhãm ph¹m trï ph©n bËc chÆt chÏ vµ më réng nhãm ®¼ng biÕn kiÓu
chÐo
Γ-m«®un
65
4.1 Lý thuyÕt ®èi ®ång ®iÒu nhãm ®¼ng biÕn cña Cegarra . . . . . . . . . . . . . 65
3
4.2 Nhãm ph¹m trï ph©n bËc thu gän vµ hµm tö monoidal ph©n bËc kiÓu
(ϕ, f ) . 66
4.2.1 X©y dùng nhãm ph¹m trï ph©n bËc thu gän th«ng qua ph¹m trï khung
67
4.2.2 X©y dùng nhãm ph¹m trï ph©n bËc thu gän b»ng ph¬ng ph¸p hÖ nh©n
tö
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2.3 Ph©n líp c¸c hµm tö monoidal ph©n bËc kiÓu
4.3
Γ-m«®un chÐo vµ nhãm ph¹m trï ph©n bËc liªn kÕt . . . . . . . . . . . . . . 73
4.4 Ph©n líp c¸c
Γ-m«®un chÐo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.5 Bµi to¸n më réng nhãm ®¼ng biÕn kiÓu
®Þnh lý ph©n líp
5
(ϕ, f ) . . . . . . . . . . 72
Γ-m«®un chÐo: lý thuyÕt c¶n trë vµ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Ann-ph¹m trï chÆt chÏ vµ më réng vµnh kiÓu E-hÖ chÝnh qui
5.1 Lý thuyÕt ®èi ®ång ®iÒu vµnh cña Mac Lane vµ Shukla
88
. . . . . . . . . . . . 88
5.2 Song m«®un chÐo vµ E-hÖ chÝnh qui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.3 Ph©n líp c¸c E-hÖ chÝnh qui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.4 Më réng vµnh kiÓu E-hÖ chÝnh qui
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4
B¶ng ký hiÖu
Ký hiÖu
NghÜa
ObG
tËp c¸c vËt cña ph¹m trï
MorG
tËp c¸c mòi tªn cña ph¹m trï
(0, g, d)
rµng buéc ®¬n vÞ cña phÐp céng
(1, l, r)
rµng buéc ®¬n vÞ (cña phÐp nh©n)
Π = π0 G
tËp c¸c líp vËt ®¼ng cÊu cña
A = π1 G
tËp c¸c tù ®¼ng cÊu cña vËt ®¬n vÞ
SG
ph¹m trï thu gän cña ph¹m trï
Hom(ϕ,f ) [S, S0 ]
tËp c¸c líp ®ång lu©n c¸c hµm tö kiÓu
tõ
G
G
G
I
G
(ϕ, f )
0
S ®Õn S
(Π, A), (Π, A, k)
R
(Π, A, h)
Γ
(F, Fe)
nhãm ph¹m trï kiÓu
(F, F̆ , Fe)
e (G, G)
e
(H, H),
Ann-hµm tö
e Γ ), (GΓ , G
eΓ )
(HΓ , H
c¸c t¬ng ®¬ng monoidal
nhãm ph¹m trï
(Π, A)
Γ-ph©n bËc kiÓu (Π, A)
hµm tö monoidal (Γ-ph©n bËc)
c¸c t¬ng ®¬ng monoidal chÝnh t¾c
Γ-ph©n bËc chÝnh
t¾c
(R, M ), (R, M, h)
Ann-ph¹m trï kiÓu
H i (Π, A)
c¸c nhãm ®èi ®ång ®iÒu nhãm
HΓi (Π, A)
i
HM
acL (R, M )
i
HShu
(R, M )
c¸c nhãm ®èi ®ång ®iÒu nhãm ®¼ng biÕn
MA
vµnh c¸c song tÝch cña vµnh
(R, M )
c¸c nhãm ®èi ®ång ®iÒu vµnh cña Mac Lane
c¸c nhãm ®èi ®ång ®iÒu vµnh cña Shukla
A
tËp c¸c líp t¬ng ®¬ng c¸c më réng nhãm
Ext(Π, A, ψ)
d
M, (B, D, d, θ), B → D
(Γ-)m«®un chÐo, E-hÖ
ExtB→D (Q, B, ψ)
tËp c¸c líp t¬ng ®¬ng c¸c më réng nhãm
kiÓu m«®un chÐo
ExtΓB→D (Q, B, ψ)
tËp c¸c líp t¬ng ®¬ng c¸c më réng nhãm
®¼ng biÕn kiÓu
5
Γ-m«®un chÐo
B¶ng thuËt ng÷
ThuËt ng÷
TiÕng Anh
Ann-ph¹m trï
Ann-category
Ann-ph¹m trï chÆt chÏ
strict Ann-category
Ann-ph¹m trï chÝnh qui
regular Ann-category
Ann-ph¹m trï thu gän
reduced Ann-category
Ann-hµm tö
Ann-functor
Ann-hµm tö ®¬n
single Ann-functor
Ann-mòi tªn
Ann-morphism
Ann-t¬ng ®¬ng
Ann-equivalence
Ann-t¬ng ®¬ng chÝnh t¾c
canonical Ann-equivalence
c¶n trë
obstruction
®Ýnh
stick
®iÒu kiÖn khíp
coherence condition
E-hÖ
E-system
E-hÖ chÝnh qui
regular E-system
hµm tö monoidal
monoidal functor
hµm tö monoidal chÝnh qui
regular monoidal functor
hµm tö monoidal ®èi xøng
symmetric monoidal functor
hµm tö monoidal ph©n bËc
graded monoidal functor
hµm tö monoidal ph©n bËc chÝnh qui
regular graded monoidal functor
h¹t nh©n trõu tîng
abstract kernel
hÖ nh©n tö
factor set
hÖ nh©n tö chÝnh qui
regular factor set
gi¶ hµm tö
pseudo-functor
m«®un chÐo
crossed module
m«®un chÐo ®¼ng biÕn
equivariant crossed module
më réng nhãm ®¼ng biÕn
equivariant group extension
më réng tÝch chÐo
crossed product extension
nhãm ph¹m trï
categorical group
nhãm ph¹m trï chÆt chÏ
strict categorical group
nhãm ph¹m trï bÖn
braided categorical group
nhãm ph¹m trï bÖn ph©n bËc
graded braided categorical group
6
nhãm ph¹m trï ph©n bËc
graded categorical group
nhãm ph¹m trï ph©n bËc chÆt chÏ
strict graded categorical group
nhãm pham trï rêi r¹c
discrete categorical group
nhãm ph¹m trï thu gän
reduced categorical group
ph¹m trï khung
skeletal category
ph¹m trï monoidal
monoidal category
ph¹m trï monoidal ®èi xøng
symmetric monoidal category
ph¹m trï Picard
Picard category
ph©n bËc
graded
rµng buéc
constraint
rµng buéc bÖn
braided constraint
rµng buéc ®¬n vÞ
unit constraint
rµng buéc giao ho¸n
commutativity constraint
rµng buéc kÕt hîp
associativity constraint
song m«®un chÐo
crossed bimodule
song tÝch
bimultiplication
song tÝch giao ho¸n
permutable bimultiplication
sù t¬ng thÝch
compatibility
tiÒn ®Ýnh
pre-stick
t¬ng ®¬ng ph¹m trï
categorical equivalence
t¬ng ®¬ng tù nhiªn monoidal
monoidal natural equivalence
vËt
object
7
s¬ ®å mèi liªn hÖ gi÷a c¸c kh¸i niÖm, thuËt ng÷
Nhãm ph¹m trï
Ann-ph¹m trï
ph©n bËc
@
@
@
@
@
Nhãm ph¹m trï
1.
Nhãm ph¹m trï
⊃
Nhãm ph¹m trï
chÆt chÏ
-
M«®un chÐo
@
@
@
@
@
Më réng nhãm
2.
Nhãm ph¹m trï
ph©n bËc
⊃
Më réng nhãm
kiÓu m«®un chÐo
⊃
Nhãm ph¹m trï
ph©n bËc chÆt chÏ
-
Γ-m«®un chÐo
@
@
@
@
3.
Ann-ph¹m trï
Më réng nhãm
®¼ng biÕn
⊃
⊃
Më réng nhãm ®¼ng biÕn
kiÓu Γ-m«®un chÐo
Ann-ph¹m trï
chÆt chÏ
-
@
@
@
@
@
Më réng vµnh
Më réng vµnh
kiÓu E-hÖ chÝnh qui
⊃
8
E-hÖ chÝnh qui
Më ®Çu
Kh¸i niÖm ph¹m trï monoidal (hay ph¹m trï tens¬) ®îc ®Ò xuÊt bëi BÐnabou [44], S.
Mac Lane [26], G. M. Kelly [23], ... vµo ®Çu nh÷ng n¨m 60 cña thÕ kû tríc. §ã lµ mét
ph¹m trï
C ®îc trang bÞ mét song hµm tö ⊗ : C × C → C cã tÝnh kÕt hîp (sai kh¸c mét
®¼ng cÊu tù nhiªn) vµ mét vËt
I võa lµ ®¬n vÞ tr¸i võa lµ ®¬n vÞ ph¶i ®èi víi phÐp to¸n ⊗
(còng sai kh¸c mét ®¼ng cÊu tù nhiªn). C¸c ®¼ng cÊu tù nhiªn kÕt hîp vµ ®¬n vÞ ph¶i tháa
m·n nh÷ng ®iÒu kiÖn khíp nhÊt ®Þnh ®Ó ®¶m b¶o r»ng tÊt c¶ c¸c biÓu ®å phï hîp lµ giao
ho¸n. NÕu c¸c ®¼ng cÊu nµy ®Òu lµ ®ång nhÊt th× ta nãi c¸c rµng buéc lµ chÆt chÏ, vµ ph¹m
trï ®ang xÐt lµ ph¹m trï monoidal chÆt chÏ. Mçi ph¹m trï monoidal ®Òu t¬ng ®¬ng víi
mét ph¹m trï monoidal chÆt chÏ. PhÐp to¸n tens¬ th«ng thêng lµm cho c¸c kh«ng gian
vect¬, c¸c nhãm aben, c¸c
R-m«®un hoÆc c¸c R-®¹i sè trë thµnh ph¹m trï monoidal. Do
®ã, ph¹m trï monoidal cã thÓ ®îc xem nh tæng qu¸t hãa cña c¸c kh¸i niÖm nµy vµ nhiÒu
vÝ dô kh¸c.
Ph¹m trï monoidal ®îc "mÞn hãa" ®Ó trë thµnh ph¹m trï víi cÊu tróc nhãm khi bæ
sung thªm kh¸i niÖm vËt kh¶ nghÞch. Trong trêng hîp ph¹m trï nÒn lµ mét groupoid (nghÜa
lµ mäi mòi tªn trong ph¹m trï ®Òu lµ ®¼ng cÊu) th× ta thu ®îc mét líp ph¹m trï quan träng,
®ã lµ nhãm ph¹m trï. Mét nhãm ph¹m trï (hay Gr-ph¹m trï theo c¸ch gäi cña H. X. SÝnh
[50]) lµ mét ph¹m trï monoidal trong ®ã mäi mòi tªn ®Òu kh¶ nghÞch vµ mäi vËt ®Òu cã
nghÞch ®¶o yÕu (ë ®©y nghÞch ®¶o yÕu cña mét vËt
®Òu ®¼ng cÊu víi vËt ®¬n vÞ
X lµ mét vËt Y sao cho X ⊗ Y vµ Y ⊗ X
I ). §Æc biÖt, mét nhãm ph¹m trï
chÆt chÏ
(theo c¸ch gäi cña
A. Joyal vµ R. Street [22]) lµ mét ph¹m trï monoidal chÆt chÏ trong ®ã mäi mòi tªn ®Òu kh¶
nghÞch vµ mäi vËt ®Òu cã nghÞch ®¶o chÆt chÏ (X
®îc gäi lµ
⊗ Y = I = Y ⊗ X ). Kh¸i niÖm nµy cßn
G -groupoid theo R. Brown vµ C. Spencer [8], hay
2-nhãm
theo B. Noohi [29],
hay 2-nhãm chÆt chÏ theo J. C. Baez vµ A. D. Lauda [3], hay Gr-ph¹m trï chÆt chÏ theo H.
X. SÝnh [51]. Nhãm ph¹m trï bÖn lµ mét nhãm ph¹m trï ®îc trang bÞ thªm rµng buéc bÖn.
Trong trêng hîp rµng buéc bÖn lµ ®èi xøng th× ta thu ®îc kh¸i niÖm nhãm ph¹m trï ®èi
xøng
(hay ph¹m trï Picard, Pic-ph¹m trï theo [50]) hay 2-nhãm ®èi xøng.
Nh÷ng t¸c gi¶ ®Çu tiªn nghiªn cøu vÒ nhãm ph¹m trï mµ ta cã thÓ kÓ ®Õn lµ N. Saavedra
Rivano [49], H. X. SÝnh [50], M. L. Laplaza [24], ... Trong luËn ¸n cña m×nh n¨m 1975 [50],
H. X. SÝnh ®· m« t¶ cÊu tróc cña nhãm ph¹m trï vµ ph¹m trï Picard vµ ph©n líp chóng bëi
nhãm ®èi ®ång ®iÒu chiÒu 3 cña c¸c nhãm. Do trong líp ph¹m trï nµy mäi mòi tªn ®Òu lµ
®¼ng cÊu nªn c¸c bÊt biÕn ®Æc trng cña mçi ph¹m trï thuéc líp nµy ®Òu ®îc x¸c ®Þnh.
Theo ®ã, mçi nhãm ph¹m trï
vËt ®¼ng cÊu cña
G x¸c ®Þnh hoµn toµn ba bÊt biÕn: nhãm Π = π0 G c¸c líp
G, Π-m«®un A = π1 G c¸c tù ®¼ng cÊu cña vËt ®¬n vÞ cña G vµ mét líp
9
®èi ®ång ®iÒu chuÈn t¾c chiÒu 3 cña nhãm
Π víi c¸c hÖ tö trong Π-m«®un A. H¬n n÷a,
mçi nhãm ph¹m trï ®Òu t¬ng ®¬ng víi mét nhãm ph¹m trï kiÓu
(Π, A) qua c¸c t¬ng
®¬ng chÝnh t¾c ®îc x©y dùng nhê kh¸i niÖm ®Ýnh. Do ®ã, sù ph©n líp c¸c nhãm ph¹m
trï hoµn toµn cã thÓ ®îc thùc hiÖn mét c¸ch ®¬n gi¶n h¬n trªn líp c¸c ph¹m trï lo¹i nµy
(c¸c nhãm ph¹m trï tiÒn ®Ýnh kiÓu
(Π, A)). KÕt qu¶ nµy ®· cho phÐp x¸c lËp mèi liªn hÖ
gi÷a lý thuyÕt nhãm ph¹m trï, ®èi ®ång ®iÒu nhãm vµ bµi to¸n më réng nhãm cæ ®iÓn cña
Schreier - Eilenberg - Mac Lane [51]. Sau ®ã, lý thuyÕt nhãm ph¹m trï víi tÝnh kh¸i qu¸t
cña nã ngµy cµng cã nhiÒu øng dông.
LuËn ¸n cña H. X. SÝnh [50] cã thÓ xem nh lµ ®· tr×nh bµy mét c¸ch ®Çy ®ñ c¸c vÊn ®Ò
c¬ b¶n liªn quan ®Õn nhãm ph¹m trï, nhng c«ng tr×nh nµy kh«ng ®îc xuÊt b¶n vµ còng
rÊt khã t×m. J. C. Baez vµ A. D. Lauda [3] sau ®ã ®· cã mét tæng kÕt kh¸ tØ mØ cho c¸c nhãm
ph¹m trï, tuy nhiªn c¸c t¸c gi¶ nµy l¹i kh«ng ®Ò cËp tíi bµi to¸n ph©n líp.
C¸c nhãm ph¹m trï
Γ-ph©n bËc ®îc giíi thiÖu lÇn ®Çu tiªn trong [20] bëi A. Frohlich
vµ C. T. C. Wall. GÇn ®©y, nhiÒu vÝ dô thó vÞ kh¸c vÒ nhãm ph¹m trï ph©n bËc còng xuÊt
hiÖn trong t«p« ®¹i sè vµ lý thuyÕt vµnh (xem [14, 16]). Trong [14], A. M. Cegarra vµ c¸c
®ång t¸c gi¶ ®· chøng ®Þnh lý ph©n líp chÝnh x¸c cho c¸c nhãm ph¹m trï ph©n bËc vµ c¸c
hµm tö monoidal ph©n bËc bëi nhãm ®èi ®ång ®iÒu ®¼ng biÕn chiÒu thø 3 theo nghÜa trong
[15]. Sau ®ã, c¸c kÕt qu¶ nµy ®· ®îc ¸p dông ®Ó ®a ra lêi gi¶i thÝch hîp cho bµi to¸n më
réng ®¼ng biÕn cña nhãm víi h¹t nh©n kh«ng aben trong [14]. §©y lµ mét d¹ng kh¸i qu¸t
cña bµi to¸n më réng nhãm cæ ®iÓn, mµ ë ®©y nã xuÊt hiÖn nh lµ mét trêng hîp ®Æc biÖt
øng víi
Γ = 1. KÕt qu¶ nµy cho ta thÊy mèi liªn hÖ gi÷a bé ba: lý thuyÕt nhãm ph¹m trï
ph©n bËc, më réng nhãm ®¼ng biÕn vµ ®èi ®ång ®iÒu ®¼ng biÕn.
Nhãm ph¹m trï bÖn ®îc xÐt tíi lÇn ®Çu trong [22] bëi A. Joyal vµ R. Street nh mét më
réng cña ph¹m trï Picard, trong ®ã c¸c nhãm ph¹m trï bÖn ®· ®îc ph©n líp bëi nhãm ®èi
®ång ®iÒu aben
3
Hab
(M, N ). T×nh huèng tæng qu¸t h¬n ®èi víi c¸c nhãm ph¹m trï Picard
®îc ®a ra bëi A. Frohlich vµ C. T. C. Wall víi tªn gäi nhãm ph¹m trï ph©n bËc [20] (sau
nµy, A. M. Cegarra vµ E. Khmaladze [18] gäi lµ ph¹m trï Picard ph©n bËc). C¸c ®Þnh lý
ph©n líp ®ång lu©n cho ph¹m trï c¸c nhãm ph¹m trï bÖn ph©n bËc, vµ trêng hîp riªng cña
nã lµ ph¹m trï c¸c ph¹m trï Picard ph©n bËc ®· ®îc tr×nh bµy theo thø tù trong [17] vµ
[18]. Trong phÐp chøng minh c¸c ®Þnh lý ph©n líp nµy, phÇn thó vÞ nhÊt vµ còng lµ phøc
t¹p nhÊt lµ phÐp dùng 3-®èi chu tr×nh ®îc c¶m sinh bëi mét nhãm ph¹m trï bÖn ph©n bËc
(hoÆc ph¹m trï Picard ph©n bËc) qua ph¹m trï khung mµ mçi líp t¬ng ®¬ng cña c¸c ph¹m
trï cïng lo¹i lµ t¬ng øng víi mét líp ®èi ®ång ®iÒu chiÒu 3.
Trong bµi b¸o [34], N. T. Quang ®· giíi thiÖu mét c¸ch tiÕp cËn kh¸c cho bµi to¸n ph©n
líp ph¹m trï c¸c nhãm ph¹m trï
tö
Γ-ph©n bËc dùa trªn ph¬ng ph¸p hÖ nh©n tö (hay gi¶ hµm
theo nghÜa cña A. Grothendieck [47]). Ph¬ng ph¸p nµy dùa trªn ý tëng sau. Mçi nhãm
10
ph¹m trï
Γ-ph©n bËc ®îc xem nh më réng cña mét nhãm ph¹m trï bëi nhãm Γ. Do mçi
nhãm ph¹m trï lµ t¬ng ®¬ng víi mét nhãm ph¹m trï kiÓu
(Π, A) nªn 3-®èi chu tr×nh c¶m
sinh cã thÓ ®îc x¸c ®Þnh tõ mét hÖ nh©n tö t¬ng tù nh c¸ch x¸c ®Þnh c¸i c¶n trë cña bµi
to¸n më réng nhãm. Ph¬ng ph¸p nµy cã nhiÒu triÓn väng trong viÖc ¸p dông cho ph¹m trï
c¸c nhãm ph¹m trï bÖn
Γ-ph©n bËc.
NÕu nh nhãm ph¹m trï ®îc xem nh lµ mét phiªn b¶n ph¹m trï cña cÊu tróc nhãm
th× vµo n¨m 1988 N. T. Quang [1] ®· ®a ra kh¸i niÖm Ann-ph¹m trï, xem nh mét ph¹m
trï hãa cña kh¸i niÖm vµnh, víi nh÷ng ®ßi hái vÒ tÝnh kh¶ nghÞch cña c¸c vËt vµ cña c¸c
mòi tªn trong ph¹m trï nÒn. Còng trong [1], N. T. Quang ®· x¸c ®Þnh ®îc c¸c bÊt biÕn
®Æc trng cña mét Ann-ph¹m trï bao gåm mét vµnh
tö thuéc nhãm ®èi ®ång ®iÒu Mac Lane
R, mét R-song m«®un M vµ mét phÇn
3
HM
acL (R, M )
theo nghÜa trong [48]. Tõ ®ã x¸c
lËp ®îc mét song ¸nh gi÷a tËp c¸c líp t¬ng ®¬ng cña c¸c Ann-ph¹m trï tiÒn ®Ýnh kiÓu
(R, M ) víi tËp c¸c líp ®èi ®ång ®iÒu c¸c cÊu tróc cña Ann-ph¹m trï kiÓu (R, M ) (§Þnh lý
3.4, Ch¬ng IV [1]). Sau ®ã, bµi to¸n ph©n líp c¸c Ann-hµm tö ®· ®îc N. T. Quang vµ D.
D. Hanh gi¶i quyÕt trong [35] nhê c¸c nhãm ®èi ®ång ®iÒu chiÒu thÊp cña ®èi ®ång ®iÒu
vµnh Mac Lane. Còng trong bµi b¸o nµy, c¸c t¸c gi¶ ®· chØ ra mèi liªn hÖ gi÷a bµi to¸n më
réng vµnh vµ lý thuyÕt c¶n trë cña c¸c Ann-hµm tö.
Líp c¸c Ann-ph¹m trï chÝnh qui (rµng buéc ®èi xøng tháa m·n ®iÒu kiÖn
®èi víi mäi vËt
cX,X = id
X ), n¶y sinh tõ bµi to¸n më réng vµnh, ®· ®îc ph©n líp trong [1] bëi nhãm
®èi ®ång ®iÒu cña ®¹i sè kÕt hîp
3
HShu
(R, M ) theo nghÜa cña Shukla trong [52]. GÇn ®©y
nhÊt, bµi to¸n ph©n líp c¸c Ann-ph¹m trï trong trêng hîp tæng qu¸t ®· ®îc N. T. Quang
gi¶i quyÕt trän vÑn trong [37].
M«®un chÐo cña c¸c nhãm ®îc J. H. C. Whitehead ®a ra vµo n¨m 1949 trong c«ng
tr×nh nghiªn cøu cña «ng vÒ biÓu diÔn 2-d¹ng ®ång lu©n [43] mµ kh«ng cã sù trî gióp cña
lý thuyÕt ph¹m trï. Trong bµi b¸o ®îc xuÊt b¶n n¨m 1976 [8], R. Brown vµ C. Spencer ®·
chØ ra r»ng mçi m«®un chÐo ®Òu x¸c ®Þnh mét
G -groupoid (nghÜa lµ, mét nhãm ph¹m trï
chÆt chÏ) vµ ngîc l¹i, do ®ã m«®un chÐo cã thÓ ®îc nghiªn cøu bëi lý thuyÕt ph¹m trï.
KÕt qu¶ nµy cho phÐp x¸c lËp mèi liªn hÖ gi÷a lý thuyÕt nhãm ph¹m trï víi m«®un chÐo,
mét kh¸i niÖm c¬ b¶n vµ cã nguån gèc tõ t«p« ®¹i sè. Mét c¸ch chÝnh x¸c, R. Brown vµ C.
Spencer ®· chøng minh r»ng (§Þnh lý 1, [8]) ph¹m trï c¸c m«®un chÐo lµ t¬ng ®¬ng víi
ph¹m trï c¸c
G -groupoid (trong ph¹m trï thø nhÊt c¸c mòi tªn lµ c¸c ®ång cÊu m«®un chÐo,
cßn trong ph¹m trï thø hai mòi tªn lµ c¸c hµm tö b¶o toµn phÐp to¸n nhãm). Tríc ®ã, kÕt
qu¶ nµy ®· ®îc t×m ra mét c¸ch ®éc lËp bëi J. -L. Verdier vµo n¨m 1965 trong mét c«ng
tr×nh cña «ng nhng kh«ng ®îc c«ng bè. Sau ®ã, kÕt qu¶ nµy ®· ®îc sö dông vµ trÝch dÉn
trong kh¸ nhiÒu nghiªn cøu cña c¸c t¸c gi¶ kh¸c cã liªn quan tíi m«®un chÐo hoÆc nhãm
ph¹m trï. Mét d¹ng kh¸i qu¸t hãa cña §Þnh lý 1 trong [8] cho c¸c m«®un chÐo trong nhãm
11
víi phÐp to¸n vµ c¸c ph¹m trï trong ®· ®îc T. Porter giíi thiÖu trong [32]. Nh vËy, cã thÓ
xem nh R. Brown vµ C. Spencer lµ nh÷ng t¸c gi¶ ®Çu tiªn ®· ®a ra ®îc mét t¬ng ®¬ng
ph¹m trï gi÷a mét bªn lµ ph¹m trï c¸c m«®un chÐo vµ mét bªn lµ ph¹m trï cña mét lo¹i
®¹i sè ph¹m trï. Tuy nhiªn, trong t¬ng ®¬ng nµy, ngoµi viÖc x©y dùng ®îc t¬ng øng
gi÷a c¸c vËt cña hai ph¹m trï, c¸c t¸c gi¶ míi chØ x©y dùng ®îc t¬ng øng trªn mét líp
c¸c mòi tªn vµ c¸c hµm tö rÊt ®Æc biÖt. Do ®ã, t¬ng ®¬ng nµy cha ph¶n ¸nh ®îc b¶n
chÊt cña tenx¬ ph¹m trï, ®ã lµ mèi liªn hÖ víi ®èi ®ång ®iÒu nhãm. Mèi liªn hÖ gi÷a nhãm
ph¹m trï chÆt chÏ, m«®un chÐo vµ ®èi ®ång ®iÒu nhãm ®· ®îc A. Joyal vµ R. Street chØ ra
trong b¶n th¶o bµi b¸o n¨m 1986 [21], nhng sau ®ã l¹i bÞ bá ®i trong phiªn b¶n cuèi cïng
[22].
Bµi to¸n më réng nhãm kiÓu m«®un chÐo ®îc giíi thiÖu trong [42] vµ [46] ®· ®îc
R. Brown vµ c¸c céng sù nghiªn cøu trong c¸c c«ng tr×nh [7], [9], [10]. Trong ®ã, c¸c t¸c
gi¶ ®· gi¶i thÝch ®Þnh lý vÒ sù tån t¹i vµ ph©n líp c¸c më réng lo¹i nµy b»ng c¸ch sö dông
ph¬ng ph¸p phøc chÐo, t¬ng tù nh ph¬ng ph¸p phøc xÝch trong ®¹i sè ®ång ®iÒu. C¸c
kÕt qu¶ vÒ bµi to¸n më réng nhãm kiÓu m«®un chÐo ®· ®îc biÓu diÔn (thÓ hiÖn) qua ®èi
®ång ®iÒu nhãm, t¬ng tù nh kÕt qu¶ cæ ®iÓn cña Eilenberg - Mac Lane (MÖnh ®Ò 8.3,
Ch¬ng IV [27]). Trong [51], H. X. SÝnh còng ®· sö dông nhãm ph¹m trï chÆt chÏ ®Ó t×m
l¹i §Þnh lý 9.2, Ch¬ng IV, [27] vÒ sù thÓ hiÖn mét 3-®èi chu tr×nh nhãm nh lµ c¸i c¶n
trë cña bµi to¸n më réng nhãm. §iÒu nµy gîi ý cho c¸c nghiªn cøu vÒ viÖc thÓ hiÖn nh÷ng
kh¸i niÖm liªn quan ®Õn m«®un chÐo qua ng«n ng÷ nhãm ph¹m trï, vµ tõ ®ã øng dông trë
l¹i c¸c kÕt qu¶ cña lý thuyÕt nhãm ph¹m trï cho c¸c bµi to¸n vÒ m«®un chÐo.
Kh¸i niÖm m«®un chÐo cña J. H. C. Whitehead [43] ®· ®îc tæng qu¸t hãa theo nhiÒu
c¸ch kh¸c nhau dùa trªn c¸c quan ®iÓm kh¸c nhau khi xem chóng lµ 1-m«®un chÐo hay
m«®un chÐo trªn c¸c nhãm. M«®un chÐo (hay 1-m«®un chÐo) m« t¶ c¸c 2-d¹ng ®ång lu©n
liªn th«ng vµ do ®ã chóng ®ãng vai trß quan träng trong ®¹i sè ®ång ®iÒu. N¨m 1984, D.
ConduchÐ [45] ®· ®a ra kh¸i niÖm 2-m«®un chÐo vµ m« t¶ chóng nh lµ c¸c 3-d¹ng liªn
th«ng. Sau ®ã, vµo n¨m 2009 Z. Arvasi vµ c¸c ®ång t¸c gi¶ ®· giíi thiÖu kh¸i niÖm tæng
qu¸t h¬n, 3-m«®un chÐo, vµ m« t¶ chóng nh lµ c¸c 4-d¹ng ®ång lu©n ®¹i sè [2].
Nh ®· nãi ë trªn, mçi m«®un chÐo trªn c¸c nhãm ®îc xem nh mét nhãm ph¹m trï
chÆt chÏ, vµ chóng thêng ®îc nghiªn cøu nhiÒu nhÊt díi d¹ng nµy. Sau ®ã, H. -J. Baues
[4] ®· giíi thiÖu kh¸i niÖm m«®un chÐo trªn c¸c
trªn c¸c
k-®¹i sè vµ lµ k-chÎ ra cã cïng h¹t nh©n M vµ ®èi h¹t nh©n B ®· ®îc ph©n líp bëi
nhãm ®èi ®ång ®iÒu Hochschild
bëi vµnh giao ho¸n
biÖt, víi
k-®¹i sè (k lµ trêng). C¸c m«®un chÐo
3
HHoch
(B, M ) [5]. Trong [6] c¸c t¸c gi¶ thay thÕ trêng k
K vµ gäi c¸c m«®un chÐo trªn c¸c K-®¹i sè lµ
song m«®un chÐo.
§Æc
K = Z th× chóng t«i thu ®îc kh¸i niÖm song m«®un chÐo trªn vµnh.
Kh¸i niÖm m«®un chÐo trªn c¸c nhãm cã thÓ ®îc x¸c ®Þnh trªn vµnh theo mét c¸ch
12
kh¸c, mµ chóng t«i gäi lµ E-hÖ. Trêng hîp ®Æc biÖt cña E-hÖ, E-hÖ chÝnh qui, trïng víi
kh¸i niÖm song m«®un chÐo trªn vµnh, vµ do ®ã kh¸i niÖm E-hÖ lµ yÕu h¬n kh¸i niÖm song
m«®un chÐo trªn vµnh. T¬ng tù nh m«®un chÐo trªn c¸c nhãm, kh¸i niÖm E-hÖ chÝnh
qui mµ chóng t«i ®a ra nh»m môc ®Ých kÕt nèi víi kh¸i niÖm Ann-ph¹m trï chÆt chÏ (mäi
rµng buéc trong nã ®Òu lµ chÆt chÏ) th«ng qua mét t¬ng ®¬ng ph¹m trï, lµ më réng cña
t¬ng ®¬ng ph¹m trï ®· ®îc thiÕt lËp bëi R. Brown vµ C. Spencer. N»m trong chuçi c¸c
bµi to¸n më réng kiÓu m«®un chÐo, chóng t«i ®a ra vµ gi¶i quyÕt bµi to¸n më réng vµnh
kiÓu E-hÖ chÝnh qui, xem nh lµ mét øng dông cña kh¸i niÖm E-hÖ còng nh cña lý thuyÕt
Ann-ph¹m trï.
Mét phiªn b¶n kh¸c cña kh¸i niÖm m«®un chÐo trªn c¸c nhãm lµ kh¸i niÖm m«®un chÐo
trªn c¸c
Γ-nhãm, thêng ®îc gäi lµ m«®un chÐo Γ-®¼ng biÕn (hay ®¬n gi¶n lµ Γ-m«®un
chÐo). Kh¸i niÖm nµy ®· ®îc B. Noohi giíi thiÖu trong [30] khi so s¸nh c¸c ph¬ng ph¸p
kh¸c nhau ®Ó ®Þnh nghÜa ®èi ®ång ®iÒu nhãm víi c¸c hÖ tö trong mét m«®un chÐo. Do ®ã,
vÊn ®Ò t×m ra mét líp ph¹m trï phï hîp ®Ó biÓu diÔn c¸c
Γ-m«®un chÐo, tõ ®ã ph©n líp c¸c
Γ-m«®un chÐo, ... ®ang cßn lµ vÊn ®Ò më.
Nh vËy, bªn c¹nh nh÷ng kÕt qu¶ ®· cã vÒ mèi liªn hÖ gi÷a m«®un chÐo, nhãm ph¹m
trï chÆt chÏ, ®èi ®ång ®iÒu nhãm vµ bµi to¸n më réng nhãm cæ ®iÓn; mèi liªn hÖ gi÷a nhãm
ph¹m trï ph©n bËc, lý thuyÕt ®èi ®ång ®iÒu ®¼ng biÕn vµ bµi to¸n më réng ®¼ng biÕn; mèi
liªn hÖ gi÷a lý thuyÕt Ann-ph¹m trï, ®èi ®ång ®iÒu vµnh vµ bµi to¸n më réng vµnh, chóng
t«i tiÕp tôc nghiªn cøu mét c¸ch cã hÖ thèng mèi c¸c liªn hÖ nµy vµ c¸c phiªn b¶n tæng
qu¸t hãa cña chóng. Kü thuËt hÖ nh©n tö ®· ®îc sö dông xuyªn suèt c¶ ®Ò tµi nghiªn cøu
®Ó gi¶i quyÕt nhiÒu vÊn ®Ò. Do ®ã, díi sù híng dÉn cña PGS. TS. NguyÔn TiÕn Quang vµ
GS. TS. Lª V¨n ThuyÕt, chóng t«i chän ®Ò tµi "HÖ nh©n tö trong nhãm ph¹m trï ph©n
bËc"
®Ó gi¶i quyÕt c¸c vÊn ®Ò nªu trªn.
Môc ®Ých cña luËn ¸n tríc hÕt lµ nghiªn cøu vÒ líp hµm tö monoidal gi÷a c¸c nhãm
ph¹m trï kiÓu
(Π, A), ®Ó tõ ®ã ph©n líp ph¹m trï c¸c nhãm ph¹m trï vµ ph¹m trï c¸c nhãm
ph¹m trï bÖn. Hai lµ, ph©n líp c¸c nhãm ph¹m trï bÖn ph©n bËc bëi c¸c hÖ nh©n tö. Ba lµ,
nghiªn cøu mét sè phiªn b¶n cña m«®un chÐo trªn c¸c nhãm cña J. H. C. Whitehead, bao
gåm: sù biÓu diÔn cña chóng qua c¸c líp ph¹m trï nµo ®ã (gäi lµ ph¹m trï liªn kÕt), mèi
liªn hÖ gi÷a c¸c ®ång cÊu m«®un chÐo lo¹i ®ã víi c¸c hµm tö gi÷a c¸c ph¹m trï liªn kÕt
t¬ng øng, vµ sö dông c¸c kÕt qu¶ cña lý thuyÕt ph¹m trï cïng lo¹i ®Ó gi¶i quyÕt bµi to¸n
më réng kiÓu m«®un chÐo t¬ng øng, xem nh lµ mét øng dông cña lý thuyÕt chung.
§èi tîng nghiªn cøu cña luËn ¸n tríc hÕt lµ mét sè líp ph¹m trï víi cÊu tróc vµ øng
dông cña chóng, bao gåm: nhãm ph¹m trï, nhãm ph¹m trï bÖn, nhãm ph¹m trï ph©n bËc,
nhãm ph¹m trï bÖn ph©n bËc, vµ Ann-ph¹m trï. §èi tîng tiÕp theo mµ luËn ¸n quan t©m
nghiªn cøu ®ã lµ m«®un chÐo vµ c¸c phiªn b¶n cña nã, c¸c ®ång cÊu m«®un chÐo vµ c¸c
13
hµm tö gi÷a c¸c ph¹m trï liªn kÕt vµ bµi to¸n më réng kiÓu m«®un chÐo t¬ng øng.
§Ò tµi nghiªn cøu ®îc cÊu tróc thµnh 5 ch¬ng, kh«ng kÓ c¸c phÇn më ®Çu, kÕt luËn,
tµi liÖu tham kh¶o vµ danh môc tõ khãa.
Ch¬ng 1, Mét sè kiÕn thøc chuÈn bÞ,
tr×nh bµy mét sè kh¸i niÖm vµ kÕt qu¶ ®· biÕt
vÒ lý thuyÕt nhãm ph¹m trï vµ Ann-ph¹m trï ®îc sö dông cho c¸c ch¬ng sau.
Ch¬ng 2, Ph©n líp c¸c hµm tö monoidal kiÓu
(ϕ, f ) vµ øng dông, bao gåm mét sè
néi dung sau. TTríc hÕt, chóng t«i m« t¶ vÒ c¸c hµm tö monoidal gi÷a c¸c nhãm ph¹m trï
kiÓu
(Π, A) (hµm tö monoidal kiÓu (ϕ, f )), tr×nh bµy lý thuyÕt c¶n trë vµ ®Þnh lý ph©n líp
cho c¸c hµm tö lo¹i nµy (§Þnh lý 2.6). KÕt qu¶ ph©n líp nµy kh«ng nh÷ng ®îc sö dông ®Ó
chøng minh ®Þnh lý ph©n líp cho ph¹m trï c¸c nhãm ph¹m trï (§Þnh lý 2.7) vµ ph¹m trï
c¸c nhãm ph¹m trï bÖn (§Þnh lý 2.10), mµ cßn ®îc n©ng lªn cho nh÷ng cÊu tróc phøc t¹p
h¬n ®Ó sö dông trong c¸c ch¬ng sau. §ång thêi chóng t«i giíi thiÖu mét øng dông ®¹i sè
cña lý thuyÕt c¶n trë cña c¸c hµm tö monoidal liªn quan ®Õn mét trong nh÷ng bµi to¸n cæ
®iÓn cña lý thuyÕt nhãm lµ bµi to¸n më réng nhãm (§Þnh lý 2.18). Còng trong Ch¬ng 2
nµy, chóng t«i chøng minh ®Þnh lý ph©n líp cho ph¹m trï c¸c nhãm ph¹m trï bÖn ph©n bËc
b»ng ph¬ng ph¸p hÖ nh©n tö.
Ch¬ng 3, Nhãm ph¹m trï chÆt chÏ vµ më réng nhãm kiÓu m«®un chÐo,
nghiªn
cøu vÒ mèi liªn hÖ gi÷a m«®un chÐo, nhãm ph¹m trï chÆt chÏ vµ bµi to¸n më réng nhãm
kiÓu m«®un chÐo. Chóng t«i x©y dùng mèi liªn hÖ gi÷a c¸c ®ång cÊu m«®un chÐo víi c¸c
hµm tö monoidal gi÷a c¸c nhãm ph¹m trï chÆt chÏ liªn kÕt, tõ ®ã thu ®îc mét t¬ng ®¬ng
ph¹m trï (§Þnh lý 3.4) mµ t¬ng ®¬ng ph¹m trï cña R. Brown vµ C. Spencer trong [8] chØ
lµ trêng hîp riªng. §ång thêi, chóng t«i sö dông c¸c nhãm ph¹m trï chÆt chÏ vµ kÕt qu¶
vÒ c¸c hµm tö monoidal ®· nãi ë Ch¬ng 2 ®Ó thu l¹i kÕt qu¶ cña bµi to¸n më réng nhãm
kiÓu m«®un chÐo cña R. Brown vµ c¸c céng sù [9], xem nh mét øng dông cña lý thuyÕt
nhãm ph¹m trï cã liªn quan tíi m«®un chÐo.
Ch¬ng 4, Nhãm ph¹m trï ph©n bËc chÆt chÏ vµ më réng nhãm ®¼ng biÕn kiÓu
Γ-m«®un
chÐo,
tr×nh bµy mét kh¸i qu¸t chung cho c¶ hai lý thuyÕt më réng nhãm kiÓu
m«®un chÐo vµ lý thuyÕt më réng nhãm ®¼ng biÕn. §ã lµ lý thuyÕt më réng nhãm ®¼ng
biÕn kiÓu
Γ-m«®un chÐo. Tríc hÕt, chóng t«i ®a ra kh¸i niÖm nhãm ph¹m trï ph©n bËc
chÆt chÏ ®Ó kÕt nèi víi kh¸i niÖm
Γ-m«®un chÐo cña B. Noohi th«ng qua mét t¬ng ®¬ng
ph¹m trï (§Þnh lý 4.9. KÕt qu¶ nµy lµ më réng cña §Þnh lý 3.4 ë Ch¬ng 3 (øng víi
Γ = 1),
vµ do ®ã lµ më réng cña §Þnh lý 1 cña R. Brown vµ C. Spencer trong [8]. Bªn c¹nh ®ã,
chóng t«i tr×nh bµy lý thuyÕt Schreier ®èi víi c¸c më réng nhãm ®¼ng biÕn kiÓu
chÐo nhê c¸c
Γ-m«®un
Γ-hµm tö monoidal (§Þnh lý 4.11 vµ §Þnh lý 4.13), tõ ®ã thu l¹i ®îc §Þnh
lý ph©n líp c¸c më réng nhãm kiÓu m«®un chÐo cña R. Brown vµ O. Mucuk (§Þnh lý 5.2
[9]) vµ §Þnh lý ph©n líp c¸c më réng cña c¸c
14
Γ-nhãm cña A. M. Cegarra vµ c¸c ®ång t¸c
gi¶ (§Þnh lý 4.1 [14]) nh nh÷ng trêng hîp riªng. Trêng hîp thø nhÊt øng víi
Γ = 1 vµ
m«®un chÐo tïy ý, trêng hîp thø hai øng víi m«®un chÐo c¸c tù ®¼ng cÊu cña mét nhãm
vµ
Γ tïy ý. §iÒu ®Æc biÖt h¬n n÷a lµ khi c¶ hai trêng hîp nµy ®ång thêi x¶y ra (nghÜa lµ
Γ = 1 vµ m«®un chÐo lµ m«®un chÐo c¸c tù ®¼ng cÊu cña mét nhãm) th× ta thu ®îc bµi
to¸n më réng nhãm cæ ®iÓn.
Ch¬ng 5, Ann-ph¹m trï chÆt chÏ vµ më réng vµnh kiÓu E-hÖ chÝnh qui,
nghiªn
cøu vÒ E-hÖ, mèi liªn hÖ cña chóng víi mét sè kh¸i niÖm liªn quan ®· biÕt vµ t×m kiÕm øng
dông liªn quan ®Õn bµi to¸n më réng. Kh¸i niÖm E-hÖ mµ chóng t«i ®a ra ®îc xem nh
mét phiªn b¶n cña m«®un chÐo trªn c¸c nhãm cho vµnh. Trêng hîp ®Æc biÖt, kh¸i niÖm
E-hÖ chÝnh qui lµ trïng víi kh¸i niÖm song m«®un chÐo trªn vµnh. Nhê viÖc biÓu diÔn c¸c
E-hÖ chÝnh qui th«ng qua c¸c Ann-ph¹m trï chÆt chÏ (cßn gäi lµ 2-vµnh chÆt chÏ) vµ nh÷ng
nghiªn cøu vÒ mèi liªn hÖ gi÷a c¸c ®ång cÊu E-hÖ chÝnh qui víi c¸c Ann-hµm tö gi÷a c¸c
Ann-ph¹m trï chÆt chÏ liªn kÕt mµ chóng t«i thu ®îc kÕt qu¶ ph©n líp ph¹m trï c¸c E-hÖ
chÝnh qui (§Þnh lý 5.7). Cuèi cïng, chóng t«i ®a ra vµ gi¶i quyÕt bµi to¸n më réng vµnh
kiÓu E-hÖ chÝnh qui (§Þnh lý 5.10), xem nh lµ mét øng dông cña kh¸i niÖm E-hÖ còng nh
cña lý thuyÕt Ann-ph¹m trï.
15
Ch¬ng 1
Mét sè kiÕn thøc chuÈn bÞ
Sau khi kh¸i niÖm ph¹m trï monoidal ®îc giíi thiÖu bëi J. BÐnabou trong [44], S. Mac
Lane trong [26], G. M. Kelly trong [23], ... vµo ®Çu nh÷ng n¨m 60 cña thÕ kû tríc, nã
®· ®îc nhiÒu ngêi quan t©m nghiªn cøu vµ ph¸t triÓn kh¸ nhanh. Nh÷ng nghiªn cøu liªn
quan tíi mét sè líp ph¹m trï monoidal ®Æc biÖt nh nhãm ph¹m trï, Ann-ph¹m trï, ... ®·
®¹t ®îc nh÷ng kÕt qu¶ s©u s¾c nhê nh÷ng ph¸t hiÖn, n¶y sinh mét c¸ch tù nhiªn, vÒ mèi
liªn kÕt t¬ng øng víi lý thuyÕt ®èi ®ång ®iÒu nhãm, ®èi ®ång ®iÒu vµnh, ... V× vËy, trong
ch¬ng nµy chóng t«i tr×nh bµy mét sè kh¸i niÖm vµ kÕt qu¶ c¬ b¶n liªn quan ®Õn: nhãm
ph¹m trï dùa theo tµi liÖu [50], nhãm ph¹m trï ph©n bËc dùa theo tµi liÖu [14], nhãm ph¹m
trï bÖn ph©n bËc dùa theo tµi liÖu [17] vµ Ann-ph¹m trï dùa theo tµi liÖu [1].
Trong toµn bé luËn ¸n nµy, ®Ó cho tiÖn, ®«i khi chóng t«i ký hiÖu
cho tÝch tenx¬
1.1
XY hoÆc X.Y thay
X ⊗ Y cña hai vËt.
Nhãm ph¹m trï (bÖn) ph©n bËc
1.1.1
Nhãm ph¹m trï
Mét ph¹m trï monoidal
(G, ⊗, I, a, l, r) lµ mét ph¹m trï G cïng víi mét song hµm tö
⊗ : G × G → G, mét vËt cè ®Þnh I gäi lµ vËt ®¬n vÞ cña ph¹m trï vµ c¸c ®¼ng cÊu tù nhiªn
aX,Y,Z : X ⊗ (Y ⊗ Z) → (X ⊗ Y ) ⊗ Z, lX : I ⊗ X → X , rX : X ⊗ I → X,
t¬ng øng gäi lµ rµng buéc kÕt hîp, rµng buéc ®¬n vÞ tr¸i vµ rµng buéc ®¬n vÞ ph¶i. C¸c
rµng buéc nµy ph¶i tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn khíp, lÇn lît gäi lµ tiªn ®Ò ngò gi¸c vµ tiªn ®Ò
tam gi¸c
(aX,Y,Z ⊗ idT ) aX,Y ⊗Z,T (idX ⊗ aY,Z,T ) = aX⊗Y,Z,T aX,Y,Z⊗T ,
(1.1)
idX ⊗ lY = (rX ⊗ idY )aX,I,Y .
(1.2)
16
Mét ph¹m trï monoidal ®îc gäi lµ chÆt chÏ nÕu rµng buéc kÕt hîp
®¬n vÞ
a vµ c¸c rµng buéc
l, r ®Òu lµ c¸c phÐp ®ång nhÊt.
Mét nhãm ph¹m trï
G lµ mét ph¹m trï monoidal mµ tÊt c¶ c¸c vËt ®Òu kh¶ nghÞch vµ
ph¹m trï nÒn lµ mét groupoid, nghÜa lµ tÊt c¶ c¸c mòi tªn ®Òu lµ ®¼ng cÊu.
1.1.2
Nhãm ph¹m trï thu gän vµ c¸c t¬ng ®¬ng chÝnh t¾c
Cho
G lµ mét nhãm ph¹m trï. Khi ®ã tËp π0 G c¸c líp vËt ®¼ng cÊu cña G lµ mét nhãm,
trong ®ã luËt hîp thµnh, ký hiÖu lµ phÐp nh©n, ®îc c¶m sinh bëi phÐp to¸n
vÞ 1 lµ líp c¸c vËt ®¼ng cÊu víi vËt ®¬n vÞ
®¬n vÞ
⊗, phÇn tö ®¬n
I . TËp π1 G = Aut(I) c¸c tù ®¼ng cÊu cña vËt
I lµ mét nhãm giao ho¸n víi phÐp to¸n nhãm, ký hiÖu lµ phÐp céng, chÝnh lµ phÐp
hîp thµnh hîp thµnh. H¬n n÷a,
π1 G lµ mét π0 G-m«®un tr¸i víi t¸c ®éng ®îc cho bëi:
−1
su = γX
δX (u), X ∈ s, s ∈ π0 G, u ∈ π1 G,
trong ®ã γX , δX lÇn lît ®îc cho bëi biÓu ®å giao ho¸n sau:
X
lX
γX (u)
-
6
I ⊗X
X
6
rX
lX
u⊗id
-
Rµng buéc kÕt hîp cña
I ⊗X
-
6
X
6
rX
X ⊗I
id⊗u
-
X ⊗ I.
G c¶m sinh mét 3-®èi chu tr×nh nhãm k ∈ Z 3 (π0 G, π1 G).
Víi c¸c d÷ kiÖn nµy, ta x©y dùng ®îc mét ph¹m trï
nhãm
δX (u)
X
SG cã c¸c vËt lµ c¸c phÇn tö cña
π0 G vµ c¸c mòi tªn lµ nh÷ng tù ®¼ng cÊu (s, u) : s → s, s ∈ π0 G, u ∈ π1 G. PhÐp
hîp thµnh cña hai mòi tªn ®îc c¶m sinh bëi phÐp céng trong
π1 G,
(s, u) ◦ (s, v) = (s, u + v).
Ph¹m trï
SG t¬ng ®¬ng víi ph¹m trï G nhê c¸c t¬ng ®¬ng chÝnh t¾c ®îc x©y dùng
nh sau. Víi mçi
s = [X] ∈ π0 G ta chän mét ®¹i diÖn Xs ∈ G sao cho X1 = I vµ víi mçi
X ∈ s ta chän mét mòi tªn ®¼ng cÊu iX : Xs → X sao cho iXs = id. Hä (Xs , iX ) ®îc
gäi lµ mét ®Ýnh cña nhãm ph¹m trï
G nÕu
iI⊗Xs = lXs , iXs ⊗I = rXs .
Víi mçi ®Ýnh
(Xs , iX ) chóng ta thu ®îc hai hµm tö
G : G → SG
G(X) = [X] = s
f
G(X →
−1 −1
Y ) = (s, γX
(iY f iX ))
s
17
H : SG → G
H(s) = Xs
H(s, u) = γ (u).
Xs
Hai hµm tö
G vµ H lµ nh÷ng t¬ng ®¬ng ph¹m trï bëi c¸c phÐp biÕn ®æi tù nhiªn
α = (iX ) : HG ∼
= idG ,
β = id : GH ∼
= idSG .
Chóng ®îc gäi lµ nh÷ng t¬ng ®¬ng chÝnh t¾c.
Bëi phÐp chuyÓn cÊu tróc nhê bé bèn
(G, H, α, β), ph¹m trï SG trë thµnh mét nhãm
ph¹m trï víi phÐp to¸n ®îc x¸c ®Þnh nh sau:
s ⊗ t = s.t,
s, t ∈ π0 G,
(s, u) ⊗ (t, v) = (st, u + sv),
Nhãm ph¹m trï
u, v ∈ π1 G.
SG cã rµng buéc ®¬n vÞ lµ chÆt chÏ vµ cã rµng buéc kÕt hîp as,r,t =
(srt, k(s, r, t)), víi k ∈ Z 3 (π0 G, π1 G).
H¬n n÷a, c¸c t¬ng ®¬ng
G vµ H trë thµnh c¸c t¬ng ®¬ng monoidal cïng víi c¸c
®¼ng cÊu tù nhiªn
eX,Y = G(iX ⊗ iY ) , H
e s,t = i−1
G
Xs ⊗Xt : Xs Xt → Xst .
Nhãm ph¹m trï
(1.3)
SG ®îc gäi lµ mét thu gän cña nhãm ph¹m trï G. Chóng ta cã thÓ nãi
SG cã kiÓu (Π, A, k), hoÆc ®¬n gi¶n lµ kiÓu (Π, A), khi ta thay thÕ π0 G, π1 G bëi c¸c nhãm
Π vµ Π-m«®un A mét c¸ch t¬ng øng.
1.1.3
Nhãm ph¹m trï ph©n bËc
Trong luËn ¸n nµy, ký hiÖu
mét nhãm
Π ®îc trang bÞ thªm mét Γ-t¸c ®éng tr¸i bëi c¸c tù ®¼ng cÊu, vµ mét Π-m«®un
Γ-®¼ng
(tr¸i)
Γ lµ mét nhãm cè ®Þnh. Ta nh¾c l¹i r»ng mét Γ-nhãm Π lµ
biÕn
lµ mét
Γ-nhãm aben A ®îc trang bÞ mét cÊu tróc Π-m«®un sao cho
σ(xa) = (σx)(σa), víi mäi σ ∈ Γ, x ∈ Π vµ a ∈ A. Mét Γ-®ång cÊu f : Π → Π0 gi÷a c¸c
Γ-nhãm lµ mét ®ång cÊu nhãm tháa m·n f (σx) = σf (x), σ ∈ Γ, x ∈ Π.
Nhãm
tö cña
Γ ®îc xem nh mét ph¹m trï víi ®óng mét vËt ký hiÖu lµ ∗, mòi tªn lµ c¸c phÇn
Γ vµ phÐp hîp thµnh lµ phÐp to¸n nhãm. H¬n n÷a, Γ lµ mét nhãm ph¹m trï, gäi lµ
nhãm ph¹m trï rêi r¹c.
Ph¹m trï
G ®îc gäi lµ Γ-ph©n bËc nÕu cã mét hµm tö gr : G → Γ.
Ph©n bËc ®îc gäi lµ æn ®Þnh nÕu víi mçi
trong
G víi ®èi miÒn X sao cho gr(f ) = σ .
Mét ph¹m trï monoidal
i) mét ph¹m trï
vµ
X ∈ Ob G vµ mçi σ ∈ Γ tån t¹i mét mòi tªn f
Γ-ph©n bËc G = (G, gr, ⊗, I, a, l, r) bao gåm:
Γ-ph©n bËc æn ®Þnh (G, gr), c¸c hµm tö Γ-ph©n bËc ⊗ : G ×Γ G → G
I : Γ → G,
ii) c¸c ®¼ng cÊu tù nhiªn bËc 1
∼
∼
aX,Y,Z : (X ⊗ Y ) ⊗ Z → X ⊗ (Y ⊗ Z), lX : I ⊗ X →
∼
X, rX : X ⊗ I → X tháa m·n hai ®iÒu kiÖn khíp (1.1) vµ (1.2).
18
- Xem thêm -