Tài liệu (Luận văn thạc sĩ) Bài toán cân bằng và điểm bất động của nửa nhóm không giãn trong không gian Hilbert

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHAN THỊ MƯỜI BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA NỬA NHÓM KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TS. NGUYỄN BƯỜNG THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 Mục lục Mục lục i Lời cảm ơn 1 Mở đầu 1 1 4 Các khái niệm và vấn đề cơ bản 1.1 Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Bài toán cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Các bổ đề và định lí cần sử dụng . . . . . . . . . . . . . 13 2 Nghiệm của bài toán cân bằng và điểm bất động của nửa nhóm không giãn trong không gian Hilbert 17 2.1 Các phương pháp cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Các định lí hội tụ mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Tài liệu tham khảo 31 i Lời cảm ơn Trong suốt quá trình làm luận văn, tôi luôn nhận được sự hướng dẫn và giúp đỡ nghiêm túc của GS.TS Nguyễn Bường- Viện Công nghệ Thông tin, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam. Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy và kính chúc thầy luôn luôn mạnh khỏe. Tôi cũng xin cảm ơn các quý thầy, cô giảng dạy tại Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, đã mang đến cho tôi nhiều kiến thức bổ ích trong khoa học và cuộc sống. Tôi xin chân thành cảm ơn các bạn đồng môn đã giúp đỡ tôi trong thời gian học tập tại Đại học Thái Nguyên và trong quá trình hoàn thành luận văn này. Thái Nguyên, tháng 3 - 2014 Người viết Luận văn Phan Thị Mười 1 Mở đầu Bài toán cân bằng và điểm bất động của nửa nhóm ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert rất quan trọng trong toán học, có nhiều ứng dụng trong khoa học, vật lí, tối ưu và kinh tế... đã có nhiều nhà toán học nghiên cứu về vấn đề này. Năm 1912 nhà toán học Hà Lan Luizen Egbereisjan Brouwer nghiên cứu và đưa ra nguyên lí tìm điểm bất động Brouwer: Một ánh xạ liên tục f từ hình cầu đóng trong Rn vào chính nó phải có điểm bất động, tức là tồn tại x sao cho f (x) = x. Đến năm 1930 Schauder, 1935 Tikhonov đã mở rộng nguyên lí này thành dạng tổng quát: Một ánh xạ liên tục f từ một tập lồi com-pắc trong không gian tô-pô lồi địa phương Hausdorff vào chính nó phải có điểm bất động. Gọi là nguyên lí Brouwer-Schauder-Tikhonov. Cho đến nay các nhà toán học cả trong và ngoài nước vẫn đang tiếp tục nghiên cứu mở rộng định lí này. Trong khuôn khổ của luận văn này chúng tôi xin được trình bày một đề tài "Bài toán cân bằng và điểm bất động của nửa nhóm không giãn trong không gian Hilbert". Luận văn được tổng hợp từ bài báo "Các định lí hội tụ mạnh giải bài toán cân bằng và điểm bất động của nửa nhóm ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert" của GS.TS Nguyễn Bường cùng với cộng sự Nguyễn Đình Dương. Mục đích của luận văn này là giới thiệu các định lí hội tụ mạnh giải bài toán cân bằng và điểm bất động của nửa nhóm ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert. Trong đó giới thiệu hai phương pháp lặp để tìm nghiệm của bài toán cân bằng và điểm bất động của nửa nhóm ánh xạ 2 không giãn trong không gian Hilbert. Sau đó chứng minh định lí về sự hội tụ mạnh của phép lặp, kết hợp giữa kết quả của Comberttes, Hirstoaga và kết quả của Nakajo, Takahashi. Từ kết quả đã chứng minh nhận được hai hệ quả là sự cải tiến và mở rộng các kết quả của Comberttes, Hirstoaga và Tada, Takahashi. Bố cục luận văn gồm 2 chương: Chương I. Một số khái niệm và vấn đề cơ bản. Chương II. Nghiệm của bài toán cân bằng và điểm bất động của nửa nhóm ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert. Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của GS.TS Nguyễn Bường. Mặc dù tác giả đã hết sức cố gắng nhưng do vấn đề được nghiên cứu là khá phức tạp và kinh nghiệm nghiên cứu còn hạn chế nên khó tránh khỏi thiếu sót. Trong quá trình viết luận văn cũng như sử lý văn bản chắc chắn không tránh khỏi sai sót, rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy cô và bạn đọc. Thái Nguyên, tháng 3 - 2014 Tác giả Phan Thị Mười 3 Chương 1 Các khái niệm và vấn đề cơ bản Chương I gồm 3 mục. Mục 1.1 Giới thiệu định nghĩa không gian Hilbert, nửa nhóm ánh xạ không giãn và một số khái niệm, tính chất liên quan. Mục 1.2 Giới thiệu bài toán cân bằng và phương pháp lặp Mann để giải bài toán cân bằng. Mục 1.3 Nêu một số bổ đề và định lý cần thiết để giải bài toán cân bằng. 1.1 Một số khái niệm cơ bản Không gian Hilbert và một số tính chất Định nghĩa 1.1. Cho H là một không gian tuyến tính trên R. Một tích vô hướng trong H là một ánh xạ h., .i thỏa mãn các điều kiện sau: i) hx, xi > 0, ∀x 6= 0; hx, xi = 0 ⇐⇒ x = 0; ii) hx, yi = hy, xi, ∀x, y ∈ H; iii) hαx, yi = αhx, yi, ∀x, y ∈ H, α ∈ R; iv) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi, ∀x, y, z ∈ H. Không gian tuyến tính H cùng với tích vô hướng h., .i được gọi là không gian tiền Hilbert. Không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là không gian Hilbert. Ví dụ 1.1. Chuẩn của phần tử x trong H kí hiệu là kxk và được xác p định bằng kxk = hx, xi. 4 Không gian Rn có tích vô hướng là: hx, yi = n X ξi ηi , i=1 x = (ξ1 , ξ2 , ..., ξn ) ∈ Rn , y = (η1 , η2 , ..., ηn ) ∈ Rn . Ví dụ 1.2. Không gian L2 [a, b] là không gian Hilbert với tích vô hướng được xác định: hϕ, ψi = Zb ϕ(x)ψ(x)dx, ∀ϕ, ψ ∈ L2 [a, b]. a Định nghĩa 1.2. Tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên H gọi là không gian liên hợp (không gian đối ngẫu của H) và kí hiệu là H ∗. Định nghĩa 1.3. Cho H là không gian Hilbert, một dãy {xn } gồm các phần tử xn ∈ H gọi là hội tụ yếu tới phần tử x ∈ H (kí hiệu: xn * x), Nếu < φ, xn >−→< φ, x > với mỗi φ ∈ H ∗ ( H ∗ là không gian liên hợp của H). Định nghĩa 1.4. Cho H là không gian Hilbert, một dãy {xn } gồm các phần tử xn ∈ H gọi là hội tụ mạnh đến phần tử x ∈ H nếu kxn −xk −→ 0 khi n −→ ∞. Nếu dãy {xn } hội tụ mạnh đến phần tử x ∈ H thì: (i) Mỗi dãy con {xnk } ⊂ {xn } cũng hội tụ tới x; (ii) Mỗi dãy {kxn − ξk} bị chặn với ξ ∈ H. Định nghĩa 1.5. Dãy {xn } ⊂ H được gọi là Cauchy, nếu với mỗi ε > 0, tồn tại n0 (ε) sao cho: kxm − xm k < ε với mọi m ≥ n0 (ε), n ≥ n0 (ε). Định nghĩa 1.6. Cho không gian Hilbert thực H , một hàm f : H → R. Khi đó 5 i) Một hàm f xác định trên tập H được gọi là nửa liên tục dưới tại điểm x0 thuộc H nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho f (x) ≥ f (x0 ) − ε, với mọi x thuộc H thoả mãn kx − x0 k < δ . ii) Hàm f được gọi là nửa liên tục trên trên H tại x0 ∈ H nếu hàm −f nửa liên tục dưới trên H tại x0 ∈ H. iii) Hàm f được gọi là liên tục trên H tại điểm x0 ∈ H nếu hàm f vừa nửa liên tục dưới trên H tại điểm x0 ∈ H và vừa liên tục trên trên H tại điểm x0 ∈ H . iv) Hàm f được gọi là liên tục (nửa liên tục) trên H nếu hàm f liên tục (nửa liên tục) tại mọi điểm trên H . Định nghĩa 1.7. Cho H là không gian Hilbert, X là tập con khác rỗng của H. (i) X được gọi là tập lồi nếu với ∀x, y ∈ X, 0 ≤ λ ≤ 1 ta có: λx + (1 − λ)y ∈ X. (ii) X được gọi là compact nếu mọi dãy {xn } ⊂ X đều chứa dãy con hội tụ đến một điểm thuộc X . Định nghĩa 1.8. Cho f là một hàm lồi trên tập lồi C . Một véc-tơ y ∗ ∈ H được gọi là dưới đạo hàm của f tại x∗ ∈ C nếu f (x) ≥ f (x∗ ) + hy ∗ , x − x∗ i, ∀x ∈ C. Tập tất cả các điểm y ∗ thỏa mãn bất đẳng thức trên được ký hiệu là ∂f (x∗ ). Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x∗ nếu ∂f (x∗ ) 6= ∅. Định lý 1.1. Mỗi tập con đóng và bị chặn X của một không gian Hilbert là compact yếu, tức là với mỗi dãy bị chặn trong X có thể trích ra được một dãy con hội tụ yếu tới một phần tử của không gian này. Tập con X của không gian Hilbert H được gọi là đóng yếu, nếu {xn * x}, thì x ∈ X. Định lý 1.2. Định lý Mazur: Mỗi tập con lồi đóng của một không gian Hilbert là đóng yếu. 6 Định nghĩa 1.9. Một phiếm hàm ϕ xác định trên H được gọi là lồi, nếu: ϕ(tx + (1 − t)y) ≤ tϕ(x) + (1 − t)ϕ(y), ∀x, y ∈ H, t ∈ [0, 1]. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y, thì ϕ được gọi là lồi chặt. Nếu tồn tại một hàm liên tục tăng: γ : [0; +∞) −→ R, γ(0) = 0, sao cho: ϕ(tx+(1−t)y) ≤ tϕ(x)+(1−t)ϕ(y)−t(1−t)γ(kx−yk), ∀x, y ∈ H, t ∈ [0, 1] thì ϕ được gọi là lồi đều và hàm γ(t) gọi là modun lồi của ϕ. Nếu γ(t) = ct2 , c > 0 thì phiếm hàm ϕ được gọi là lồi mạnh. Định nghĩa 1.10. Một phiếm hàm ϕ được gọi là nửa liên tục dưới tại x0 ∈ H , nếu với mỗi dãy {xn } ⊂ H sao cho xn −→ x ta có: ϕ(x0 ) ≤ lim inf ϕ(xn ). n−→∞ Nếu xn * x0 và ϕ(x0 ) ≤ lim inf ϕ(xn ), thì ϕ được gọi là nửa liên tục n−→∞ yếu tại x0 ∈ H. Định lý 1.3. (i) Nếu ϕ(x) là một phiếm hàm lồi trên H thì ϕ0 (x) thỏa mãn bất đẳng thức: hϕ0 (x) − ϕ0 (y), x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ H. (ii) Nếu ϕ(x) là một phiếm hàm lồi đều trên H thì ϕ0 (x) thỏa mãn bất đẳng thức: hϕ0 (x) − ϕ0 (y), x − yi ≥ 2γ(kx − yk), ∀x, y ∈ H. (iii) Nếu ϕ(x) là một phiếm hàm lồi mạnh trên H thì ϕ0 (x) thỏa mãn bất đẳng thức: hϕ0 (x) − ϕ0 (y), x − yi ≥ 2γ(kx − yk2 ), ∀x, y ∈ H. 7 Định nghĩa 1.11. Toán tử A : H −→ H được gọi là tuyến tính nếu: (i) A(x1 + x2 ) = Ax1 + Ax2 , ∀x1 , x2 ∈ H, (ii) A(αx) = αAx, ∀α ∈ R, x ∈ H. Định nghĩa 1.12. Toán tử tuyến tính A được gọi là bị chặn, nếu tồn tại một hằng số M > 0 sao cho kAxk ≤ M kxk. Giá trị M nhỏ nhất thỏa mãn bất đẳng thức đó được gọi là chuẩn của A và kí hiệu bởi kAk. Định nghĩa 1.13. Toán tử A : X −→ Y được gọi là compact trên X, nếu nó biến mỗi tập bị chặn trong X thành một tập compact trong Y. Định nghĩa 1.14. Toán tử A : X −→ Y được gọi là: (i) liên tục tại x0 ∈ X nếu với mỗi dãy con {xn } ⊂ X sao cho: Ax −→ Ax0 , khi xn −→ x0 . (ii) h- liên tục tại x0 ∈ X nếu A(x0 + tn h) * Ax0 , khi tn −→ 0 với mỗi véc tơ h ∈ X. (iii) d- liên tục tại x0 ∈ X nếu với mỗi dãy con {xn } ⊂ X sao cho khi xn −→ x0 thì Axn * Ax0 . (iv) liên tục Lipschitz nếu ∃L > 0 sao cho: kAx − Ayk ≤ Lkx − yk, ∀x, y ∈ X. Định nghĩa 1.15. Cho X là không gian Hilbert và X ∗ là không gian ∗ liên hợp của X. Toán tử A : X −→ 2X được gọi là d-đơn điệu trên X nếu tồn tại một hàm không âm d(t), không giảm với t ≥ 0 và d(0) = 0 thỏa mãn: hAx − Ay, x − yi ≥ (d(kxk) − d(kyk))(kxk − kyk), ∀x, y ∈ X. Định nghĩa 1.16. Cho X là không gian Hilbert và X ∗ là không gian ∗ liên hợp của X. Toán tử A : X −→ 2X được gọi là đơn điệu đều trên X nếu tồn tại một hàm không âm δ(t), không giảm với t ≥ 0 và δ(0) = 0 thỏa mãn: hAx − Ay, x − yi ≥ δ(kxk − kyk), ∀x, y ∈ X. 8 Nếu δ(t) = ct2 , (t > 0) thì toán tử A được gọi là đơn điệu mạnh. Toán tử A được gọi là nửa đơn điệu, nếu tồn tại một toán tử compact C sao cho A + C là một toán tử đơn điệu. Định nghĩa 1.17. Cho H là không gian Hilbert thực {xn } là một dãy trong H. Kí hiệu xn * x để chỉ {xn } hội tụ yếu về x, còn xn −→ x để chỉ sự hội tụ mạnh. Trong không gian Hilbert H, ta có kλx + (1 − λ)yk2 = λkxk2 + (1 − λ)kyk2 − λ(1 − λ)kx − yk2 , với mọi x, y ∈ H và λ ∈ R. Giả sử C là tập con khác rỗng, lồi, đóng của H. Khi đó với mỗi x ∈ H, trong C tồn tại duy nhất phần tử, kí hiệu PC (x) thỏa mãn: kx − PC (x)k ≤ kx − yk, ∀y ∈ C. PC được gọi là phép chiếu của H lên C . Ta đều biết PC là ánh xạ không giãn. Hơn nữa, với x ∈ H và z ∈ C z = PC (x) ⇐⇒ hx − z, z − yi ≥ 0, ∀y ∈ C. Định nghĩa 1.18. Không gian Hilbert H luôn thỏa mãn điều kiện Opail, tức là với mọi dãy {xn } ⊂ H với xn * x ta có bất đẳng thức: lim inf kxn − xk < lim inf kxn − yk, ∀y ∈ H, y 6= x. n−→∞ n−→∞ Mặt khác từ hệ thức : kxn − xk2 = kxn k2 − 2hxn , xi + kxk2 . Ta dễ dàng suy ra không gian Hilbert có thuộc tính Kadec-Lee, tức là với xn * x và kxn k −→ kxk ta nhận được xn −→ x. Định nghĩa 1.19. (Ánh xạ không giãn) Cho C là tập con khác rỗng, lồi và đóng trong không gian Hilbert H. Ánh xạ T : C −→ C được gọi là không giãn trên C nếu: kT x − T yk ≤ kx − yk, ∀x, y ∈ C. 9 Ta kí hiệu F (T ) là tập các điểm bất động của T, tức là: F (T ) = {x ∈ X : x = T x}. Định nghĩa 1.20. (Nửa nhóm không giãn) Cho C là tập con khác rỗng, lồi và đóng trong không gian Hilbert thực H. Tập {T (s) : s > 0} được gọi là nửa nhóm không giãn trên C nếu thỏa mãn các điều kiện: (i) Với mỗi s > 0, T (s) là ánh xạ không giãn trên C; (ii) T (0)x = x, ∀x ∈ C; (iii) T (s1 + s2 ) = T (s1 ) ◦ T (s2 ), ∀s1 , s2 > 0; (iv) Với mỗi x ∈ C, ánh xạ T (.)x : (0, +∞) −→ C là liên tục. Kí hiệu F = ∩s>0 F (T (s)). Khi đó F là tập lồi đóng trong H và F 6= ∅ nếu C bị chặn. 1.2 Bài toán cân bằng Cho H là không gian Hilbert với tích vô hướng và chuẩn được ký hiệu lần lượt là h.i và k.k. Cho C ⊂ H là tập đóng, lồi và khác rỗng và song hàm G : C × C −→ R. Trong đó G thỏa mãn các điều kiện: (A1) G(u, u) = 0, ∀u ∈ C, (A2) G(u, v) + G(v, u) ≤ 0, ∀(u, v) ∈ C × C, (A3) ∀u ∈ C, G(u, .) : C −→ R là nửa liên tục dưới và lồi, (A4) limt→0+ G((1 − t)u + tz, v) ≤ G(u, v), ∀(u, z, v) ∈ C × C×C. Bài toán cân bằng với song hàm G là tìm u∗ ∈ C sao cho G(u∗ , v) ≥ 0, ∀v ∈ C. (1.1) Tập nghiệm của (1.1) được ký hiệu bởi EP (G). Xét ánh xạ F : C −→ H và giả sử G(u, v) = hF u, v − ui với mọi u, v ∈ C . Khi đó u∗ ∈ EP (G) khi và chỉ khi hF u∗ , v − u∗ i ≥ 0 với mọi v ∈ C , tức u∗ là nghiệm của bài toán cân bằng. Định lý 1.4. (Điểm bất động Kakutani) Cho C là tập lồi com-pắc trong không gian Hilbert H và F : C −→ 2C là một ánh xạ đa trị nửa 10 liên tục trên và F (x) lồi, đóng, khác rỗng với mọi x ∈ C . Khi đó F có điểm bất động, tức là tồn tại x∗ ∈ C , x∗ ∈ F (x∗ ). Một trường hợp riêng quan trọng của định lý này là định lý điểm bất động Brouwer sau. Định lý 1.5. (Điểm bất động Brouwer) Cho C là một tập lồi com-pắc yếu trong không gian Hilbert thực H và F là một ánh xạ (đơn trị) liên tục từ C vào C . Khi đó tồn tại x∗ ∈ C thỏa mãn x∗ ∈ F (x∗ ). Ta cũng cần đến định lý sau: Định lý cực đại của Berge. Định lý 1.6. Cho X, Y là các không gian tô-pô, F : X −→ 2Y là ánh xạ nửa liên tục trên trên X sao cho F (X) com-pắc. Giả sử g : X ×Y −→ R là hàm số nửa liên tục trên trên X . Khi đó hàm giá trị tối ưu h(x) := max{g(x, y) : y ∈ F (x)} nửa liên tục trên và ánh xạ tập nghiệm tối ưu S(x) := {y ∈ F (x) : g(x, y) = h(x)} nửa liên tục trên. Dựa vào định lý điểm bất động Kakutani và định lý cực đại của Berge, ta có định lý sau nói về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng. Mệnh đề 1.1. Cho C là một tập lồi, com-pắc khác rỗng trong không gian Hilbert thực H và song hàm cân bằng f : C × C −→ R ∪ {+∞} có các tính chất (i) f (., y) nửa liên tục trên với mọi y ∈ C; (ii) g(x, .) lồi, nửa liên tục dưới và khả dưới vi phân trên C với mọi x ∈ C. Khi đó Bài toán (1.1) có nghiệm. Chứng minh. Với mỗi x ∈ C , ta gọi S(x) là tập nghiệm của bài toán min{f (x, y) : y ∈ C}. 11 (1.2) Do C com-pắc và f (x, .) nửa liên tục dưới, nên theo định lý W eistrass, bài toán này tồn tại nghiệm. Hơn nữa, do C lồi, com-pắc, f (x, .) lồi, nên S(x) lồi, com-pắc. Theo định lý cực đại của Berge, ánh xạ g nửa liên tục trên. Và S là ánh xạ từ C vào C . Vậy theo định lý điểm bất động Kakutani, tồn tại x∗ ∈ C thỏa mãn x∗ ∈ S(x∗ ). Bây giờ ta chỉ ra x∗ là nghiệm của bài toán cân bằng (1.1). Thật vậy, do f (x, .) lồi, khả dưới vi phân, theo điều kiện cần và đủ của tối ưu quy hoạch lồi, ta có 0 ∈ ∂2 f (x∗ , x∗ ) + NC (x∗ ). Theo định nghĩa của dưới vi phân và nón pháp tuyến, từ đây ta có v ∗ ∈ ∂2 f (x∗ , x∗ ) + NC (x∗ ) thoả mãn hv ∗ , y − x∗ i ≥ 0 ∀y ∈ C. Do v ∗ ∈ ∂2 f (x∗ , x∗ ), nên hv ∗ , y − x∗ i ≤ f (x∗ , y) − f (x∗ , x∗ ) = f (x∗ , y) ∀y ∈ C. Vậy f (x∗ , y) ≥ 0 ∀y ∈ C. Điều này chứng tỏ x∗ là nghiệm của Bài toán (1.1). Phương pháp lặp Mann Phương pháp tìm điểm bất động trong tập lồi C trong không gian Banach với một ánh xạ liên tục G : C −→ C . W.R.Mann đã xây dựng một dãy {xn } ⊂ C , dãy {xn } hội hội đến điểm bất động của G, bằng cách chọn một phần tử ban đầu là x1 ∈ C và các phần tử tiếp theo được xác định thông qua quá trình lặp: xn+1 = G(xn ), ∀n ≥ 1. (1.3) Nếu dãy này hội tụ thì nó hội tụ đến điểm bất động của G. Nhưng để dãy {xn } hội tụ thì phải cần thêm một số điều kiện như G là một hàm giảm. Nhưng phương án đó chỉ dùng đối với hàm đặc biệt, còn trong 12 trường hợp tổng quát mà bài toán vẫn được giải quyết, Mann đã đưa ra phương pháp giải: Giả sử quá trình lặp được xác định bởi (1.3) là không hội tụ, khi đó ta xét ma trận: 1 0 0  a21 a22 0  ... A=  an1 an2 ... ... ...  ann 0 0 0 0 0 0    .  Trong đó các phần tử của A thỏa mãn các điều kiện: aij ≥ 0, ∀i, j; aij = 0, ∀i > j; i X aij = 1, ∀i. (1.4) j=1 Bắt đầu với phần tử x1 ∈ C và quá trình lặp được xác định: xn+1 = G(un ), ∀n ≥ 1. Trong đó un = n X ank xk . (1.5) (1.6) k=1 Quá trình lặp được xác định bởi điểm ban đầu là x1 , ma trận A và ánh xạ G được biểu thị bởi bộ (x1 , A, G), khi ma trận A là ma trận đơn vị thì bộ (x1 , I, G) là quá trình lặp thông thường (1.5). 1.3 Các bổ đề và định lí cần sử dụng Bổ đề 1.1. (Xem [5]) Cho H là không gian Hilbert thực. Khi đó ta luôn có kx + yk2 ≤ kxk2 + 2hy, x + yi, ∀x, y ∈ H. Bổ đề 1.2. (Xem [5]) Cho C là tập lồi, đóng và khác rỗng trong không gian Hilbert thực H. Với mọi x ∈ H, tồn tại z ∈ C sao cho 13 kz−xk ≤ ky−xk với mọi y ∈ C và z ∈ PC x khi và chỉ khi hz−x, y−zi ≥ 0 với mọi y ∈ C. Bổ đề 1.3. (Xem [6]) Cho {an } ⊂ R, {bn } ⊂ [0, 1], an+1 ≤ (1 − bn )an + cn , ∞ X bk = ∞, k=1 lim sup ck ≤ 0. k−→∞ Khi đó lim ak = 0. k−→∞ Bổ đề 1.4. (Xem [2]) Cho C là tập khác rỗng, lồi, đóng của không gian Hilbert H và G là song hàm từ C × C vào (−∞, +∞) thỏa mãn điều kiện (A1) − (A4), cho r > 0 và x ∈ H. Khi đó luôn ∃z ∈ C sao cho 1 G(z, v) + hz − x, v − zi ≥ 0, ∀v ∈ C. r Bổ đề 1.5. (Xem [2]) Giả sử G : C × C −→ (−∞, +∞) thỏa mãn (A1) − (A4). Cho r > 0 và x ∈, H định nghĩa ánh xạ T r : H −→ C như sau 1 T r (x) = {z ∈ C : G(z, v) + hz − x, v − zi ≥ 0, ∀v ∈ C}. r Khi đó ta có kết quả (i) T r là ánh xạ đơn trị, (ii) T r là ánh xạ không giãn chặt, tức là với mọi x, y ∈ H : kT r x − EP (G)k2 ≤ hT r x − T r y, x − yi, (iii) E(T r ) = EP (G), (iv) EP (G) là tập lồi đóng. 14 Bổ đề 1.6. Cho C là tập khác rỗng, lồi, đóng và bị chặn của H, {T (s) : 0 ≤ s < ∞} là nửa nhóm ánh xạ không giãn trên C. Khi đó với mọi h ≥ 0, ta có 1 lim sup k s→∞ x∈C t Zt 1 T (s)xdx − T (h)( t 0 Zt T (s)xdx)k = 0. 0 Ma trận A thỏa mãn điều kiện: (1.3), (1.6) và quá trình lặp theo (1.4), (1.5), khi đó ta có (x1 , A, G) biểu diễn quá trình lặp, bắt đầu với điểm x1 ∈ E và theo công thức: xn+1 = G(un ) , ∀n ≥ 1, trong đó n 1X xk . un = n k=1 (1.7) Khi đó ta nói rằng (k + 1) phần tử trong dãy {xn } là ảnh của k phần tử đầu tiên qua ánh xạ G và ta thấy quá trình lặp trên thỏa mãn: un+1 − un = G(un ) − un . n+1 (1.8) Trong trường hợp đặc biệt, không gian Banach là trục thực và các tập lồi E đóng và bị chặn. Ta có kết quả là định lí sau Định lý 1.7. Nếu G là một hàm liên tục trên đoạn [a, b] và có một điểm bất động duy nhất p trên đoạn [a, b], với cách chọn x1 ∈ [a, b] thì (x1 , A, G) hội tụ đến p, với mọi cách chọn x1 ∈ [a, b]. Chứng minh: Theo (1.8) thì (un+1 − un ) −→ 0. Lại có hàm G liên tục và p duy nhất thỏa mãn: G(x) − x > 0 nếu x < p và G(x) − x < 0 nếu x > p. Mặt khác, với mỗi giá trị δ > 0 tồn tại ε > 0 sao cho |G(x) − x| ≥ ε khi |x − p| ≥ δ. Áp dụng (1.8) khi đó un+1 được biểu diễn: un+1 = u1 + n X G(uk ) − uk k=1 15 k+1 . Ta có kết quả lim un = p, suy ra limxn = p. Trong Chương I đã trình bày các vấn đề cơ bản về không gian Hilbert, bài toán cân bằng và phép lặp Mann để trình bày và chứng minh các kết quả quan trọng trong chương sau. 16 Chương 2 Nghiệm của bài toán cân bằng và điểm bất động của nửa nhóm không giãn trong không gian Hilbert Trong chương này trình bày vấn đề cơ bản của luận văn như sau. Mục 2.1 nội dung một số phương pháp tìm nghiệm của bài toán cân bằng là điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert. Mục 2.2 giới thiệu phương pháp tìm nghiệm của bài toán cân bằng của nửa nhóm ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert. Các kết quả trên xem trong [1],[3], [5]. 2.1 Các phương pháp cơ bản Một số phương pháp đã được giới thiệu để giải bài toán cân bằng (1.1). Ký hiệu tập điểm bất động của T là F (T ), tức là F (T ) = {x ∈ C : x = T x}. E.F.Browder [4] đã chứng minh được F (T ) 6= ∅ nếu C giới nội. Một số phương pháp được đưa ra để xấp xỉ điểm bất động của T (xem [1], [3], [4]). Năm 2003 Nakajo và Takahashi đã chứng minh kết quả sau: Định lý 2.1. Cho C là tập con khác rỗng, lồi, đóng của không gian Hilber H và T là ánh xạ không giãn từ C vào C thỏa mãn F (T ) 6= ∅. Giả sử dãy {xn } xây dựng bởi công thức 17 x0 = x ∈ C, yn = αn xn + (1 − αn )T xn , Cn = {z ∈ C|kyn − zk ≤k xn − z k}, (2.1) Qn = {z ∈ C|hx0 − xn , xn − zi ≥ 0}, xn+1 = PCn ∩Qn (x0 ), trong đó PCn ∩Qn là phép chiếu từ C lên Cn ∩Qn , {αn } ⊂ [0, a], a ∈ [0, 1). Khi đó {xn } hội tụ mạnh về phần tử PF (T ) (x0 ), trong đó PF (T ) là phép chiếu từ C lên F (T ). Nakajo và Takahashi cũng chứng minh được sự hội tụ mạnh của nửa nhóm ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert. Định lý 2.2. Cho C là tập con khác rỗng, lồi, đóng của không gian Hilbert H và S = {T (s) : 0 ≤ s < ∞} là nửa nhóm ánh xạ không giãn trên C thỏa mãn S 6= ∅. Giả sử {xn } được xây dựng bởi: x0 = x ∈ C, 1 yn = αn xn + (1 − αn ) tn Ztn T (s)xn ds, 0 Cn = {z ∈ C : kyn − zk ≤k xn − z k}, (2.2) Qn = {z ∈ C : hx0 − xn , xn − zi ≥ 0}, xn+1 = PCn ∩Qn (x0 ), với mọi n ∈ N ∪ {0}, trong đó {αn } ⊂ [0, a], a ∈ [0, 1) còn {tn } là dãy số thực dương phân kì. Khi đó dãy {xn } hội tụ mạnh về PF (x0 ). Các phương pháp xấp xỉ của Nakajo và Takahashi được gọi là phương pháp CQ. Năm 2007 phương pháp này được He và Chen cải tiến trong thuật toán: x0 ∈ C, yk = αn kn + (1 − αk )T (sk )xk , Ck = {z ∈ C : kyk − zk ≤k xk − z k}, 18