Một vài tính chất số học của dãy số được xây dựng từ các dãy số của Roettger (Luận văn thạc sĩ)Một vài tính chất số học của dãy số được xây dựng từ các dãy số của Roettger (Luận văn thạc sĩ)Một vài tính chất số học của dãy số được xây dựng từ các dãy số của Roettger (Luận văn thạc sĩ)Một vài tính chất số học của dãy số được xây dựng từ các dãy số của Roettger (Luận văn thạc sĩ)Một vài tính chất số học của dãy số được xây dựng từ các dãy số của Roettger (Luận văn thạc sĩ)Một vài tính chất số học của dãy số được xây dựng từ các dãy số của Roettger (Luận văn thạc sĩ)Một vài tính chất số học của dãy số được xây dựng từ các dãy số của Roettger (Luận văn thạc sĩ)Một vài tính chất số học của dãy số được xây dựng từ các dãy số của Roettger (Luận văn thạc sĩ)Một vài tính chất số học của dãy số được xây dựng từ các dãy số của Roettger (Luận văn thạc sĩ)Một vài tính chất số học của dãy số được xây dựng từ các dãy số của Roettger (Luận văn thạc sĩ)Một vài tính chất số học của dãy số được xây dựng từ các dãy số của Roettger (Luận văn thạc sĩ)Một vài tính chất số học của dãy số được xây dựng từ các dãy số của Roettger (Luận văn thạc sĩ)Một vài tính chất số học của dãy số được xây dựng từ các dãy số của Roettger (Luận văn thạc sĩ)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN THỊ KIM NGÂN
MỘT VÀI TÍNH CHẤT SỐ HỌC
CỦA CÁC DÃY SỐ ĐƯỢC XÂY DỰNG
TỪ CÁC DÃY SỐ CỦA ROETTGER
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - 2016
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN THỊ KIM NGÂN
MỘT VÀI TÍNH CHẤT SỐ HỌC
CỦA CÁC DÃY SỐ ĐƯỢC XÂY DỰNG
TỪ CÁC DÃY SỐ CỦA ROETTGER
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số:
60 46 01 13
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. NÔNG QUỐC CHINH
Thái Nguyên - 2016
i
Mục lục
Danh mục ký hiệu
ii
Mở đầu
1
Chương 1. Các dãy của Roettger và các kết quả liên quan
1.1 Dãy số Roettger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Các kết quả liên quan dãy Roettger . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
11
Chương 2. Dãy {Dn }
17
2.1 Một số tính chất của dãy {Dn } . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Quy tắc phân bố của m trong Dn . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Chương 3. Dãy {En }
28
3.1 Một số kiến thức bổ trợ cho dãy {En } . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2 Một số tính chất của dãy {En } . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Chương 4. Một số bài toán sơ cấp ứng dụng
34
4.1 Phép kiểm tra tính nguyên tố của Lucas . . . . . . . . . . . . . 34
4.2 Phép kiểm tra tính nguyên tố của Roettger . . . . . . . . . . . . 37
Kết luận
40
Tài liệu tham khảo
41
ii
Danh mục ký hiệu
un = un (p, q)
số hạng thứ n của dãy Lucas
vn = vn (p, q)
số hạng thứ n của dãy Lucas
cn = cn (P, Q, R)
số hạng thứ n của dãy Roettger
wn = wn (P, Q, R) số hạng thứ n của dãy Roettger
Un , Vn
các dãy Roettger mở rộng
gcd(a, b)
ước chung lớn nhất của hai số a, b
{Dn }
dãy Dn
{En }
dãy En
a|b
a là ước của b
a-b
a không là ước của b
ω
hạng phân bố của m trong {Dn }
aλ kb
aλ là ước của b nhưng aλ+1 không
là ước của b
1
Mở đầu
Dãy số Fibonaci là một trong những vẻ đẹp đặc biệt trong kho tàng Toán
học, nó vô cùng biến hóa với nhiều tính chất lý thú và ứng dụng quan trọng.
Dãy Fibonaci được công bố bởi nhà toán học Ý tên là Leonardo Pisano Bogollo
(tên thường gọi là Fibonaci) vào năm 1202 trong cuốn sách Liber Abacci. Nói
đến dãy Fibonaci không thể không nói đến dãy số Lucas bởi chúng có mối liên
hệ chặt chẽ với nhau.
Dãy số Lucas là dãy số được đưa ra bởi nhà toán học Francois E’douard
Anatole Lucas (1842-1891). Cũng giống như dãy số Fibonaci, mỗi số trong dãy
Lucas được xác định bằng tổng hai số liền nhau đứng trước nó. Dãy số được
xác định bởi thương của 2 số Lucas đứng liền nhau sẽ hội tụ đến giới hạn bằng
tỉ lệ vàng, đây là một con số diệu kỳ, lí tưởng trong toán học cũng như trong
tự nhiên. Việc nghiên cứu các dãy số tương tự như dãy số Lucas đã được rất
nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm và có rất nhiều kết quả lý thú.
Cho p, q ∈ Z là hai số nguyên thỏa mãn (p, q) = 1, ký hiệu α, β là nghiệm
của đa thức bậc hai x2 − px + q và δ = (α − β)2 = p2 − 4q. Lucas đã xây dựng
hai dãy số của ông là {un } và {vn } xác định như sau:
un = un (p, q) = (αn − β n )/(α − β) và vn = vn (p, q) = αn + β n .
Chúng ta đã biết các dãy {un } và {vn } có nhiều tính chất thú vị và có nhiều
ứng dụng trong toán học và thực tế.
Một cách tương tự như Lucas, Roettger đã xây dựng các dãy {cn } và {wn }
như sau: Cho P, Q, R ∈ Z thỏa mãn (P, Q, R) = 1, và α, β, γ là nghiệm của đa
thức bậc ba h(x) = x3 − P x2 + Qx − R, với biệt thức
∆ = (α − β)2 (β − γ)2 (γ − α)2 = Q2 P 2 − 4Q3 − 4RP 3 + 18P QR − 27R2 6= 0.
2
Các dãy số Roettger được định nghĩa bởi:
cn = cn (P, Q, R) =
(αn − β n )(β n − γ n )(γ n − αn )
(α − β)(β − γ)(γ − α)
và
wn = wn (P, Q, R) = (αn + β n )(β n + γ n )(γ n + αn ) − 2Rn .
Người ta đã chứng minh được rằng các dãy {cn } và {wn } có nhiều tính chất
tương tự những tính chất của dãy Lucas, ví dụ chúng đều là các dãy chia được.
Gần đây nhất, các dãy này tiếp tục được mở rộng thêm bởi Roettger, Williams
và Guy.
Nếu ta ký hiệu γ1 = α/β, γ2 = β/γ, γ3 = γ/α, λ = R, thì ta có thể viết:
cn = λn−1
(1 − γ1n )(1 − γ2n )(1 − γ3n )
,
(1 − γ1 )(1 − γ2 )(1 − γ3 )
wn = vn − 2Rn ,
trong đó vn = λn (1 + γ1n )(1 + γ2n )(1 + γ3n ). Ta xác định
λn−1 (1 − γ1n )(1 − γ2n )(1 − γ3n )
, Vn = λn (1 + γ1n )(1 + γ2n )(1 + γ3n ),
Un =
(1 − γ1 )(1 − γ2 )(1 − γ3 )
trong đó γ1 , γ2 , γ3 , λ ∈ Q với γ1 , γ2 , γ3 6= 1; γi 6= γj khi i 6= j và γ1 γ2 γ3 = 1.
Người ta đã chứng minh được nếu Un , Vn ∈ Z khi n ≥ 0, thì {Un } là dãy
đệ quy tuyến tính và cũng là dãy chia được, và khi đó ta có λ = R ∈ Z và
ρi = R(γi + 1/γi ) (i = 1, 2, 3) là các nghiệm của đa thức bậc ba
g(x) = x3 − S1 x2 + S2 x − S3 ,
trong đó S3 = RS12 − 2RS2 − 4R3 và S1 , S2 ∈ Z.
Ta có Rγi và R/γi (i = 1, 2, 3) là sáu nghiệm của đa thức
G(x) = (x2 − ρ1 x + R2 )(x2 − ρ2 x + R2 )(x2 − ρ3 x + R2 )
= x6 − S1 x5 + (S2 + 3R2 )x4 − (S3 + 2R2 S1 )x3
+ R2 (S2 + 3R2 )x2 − R4 S1 x + R6 .
Đặt Wn = Vn − 2Rn , thì ta sẽ nhận được các dãy {Un } và {Wn } là các dãy
đệ quy tuyến tính với đa thức đặc trưng G(x).
3
Ta xác định
Dn = gcd(Wn − 6Rn , Un ), En = gcd(Wn , Un ).
Ta nhận được các dãy {Dn } và {En } cũng có nhiều tính chất số học tương tự
như các dãy {un } và {vn }.
Mục đích của luận văn là nghiên cứu và trình bày các tính chất số học của
các dãy {Dn } và {En }. Luận văn gồm 4 chương chính là:
Chương 1: Các dãy của Roettger và các kết quả liên quan
Trong chương này trình bày các định nghĩa và các tính chất quan trọng
(không chứng minh) của các dãy Lucas, Roettger.
Chương 2: Dãy {Dn }
Trình bày định nghĩa dãy {Dn }, các tính chất số học của dãy {Dn }.
Chương 3: Dãy {En }
Trình bày định nghĩa dãy {En } và các tính chất của dãy này.
Chương 4: Một số bài toán sơ cấp ứng dụng
Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS.TS.
Nông Quốc Chinh, người đã đặt đề tài và tận tình hướng dẫn để luận văn này
được hoàn thành.
Tôi xin chân thành cảm ơn Khoa Toán - Tin, Phòng Đào Tạo Trường Đại
học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tôi
hoàn thành khóa học. Tôi cũng xin được cảm ơn sự nhiệt tình giảng dạy của
các thầy, cô trong suốt thời gian tôi học tập.
Cuối cùng, tôi xin gửi những lời cảm ơn đặc biệt nhất tới đại gia đình, bạn
bè và các anh chị em đồng nghiệp, những người luôn động viên khích lệ giúp
tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn.
Thái Nguyên, tháng 5 năm 2016
Học viên
Nguyễn Thị Kim Ngân
4
Chương 1
Các dãy của Roettger và các kết
quả liên quan
Trong Chương 1, chúng tôi xin đưa ra khái niệm dãy Lucas, dãy Roettger,
một vài tính chất cơ bản, công thức tính và một số kết quả liên quan dãy
Roettger. Nội dung chương này chủ yếu theo tài liệu [1], [2] và tham khảo
thêm một số tài liệu khác. Các chứng minh chi tiết các định lý và hệ quả đã
được trình bày trong các tài liệu [1] và [2] nên ở đây, chúng tôi chỉ nêu kết quả
chính mà không chứng minh.
1.1
Dãy số Roettger
Bài toán 1.1.1. Chứng minh rằng nếu phân số tối giản
p
((p, q) = 1) là
q
nghiệm của đa thức với hệ số nguyên
f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0
thì p là ước của a0 và q là ước của an .
p
Giải. Giả sử phân thức tối giản là nghiệm của đa thức f (x). Khi đó, ta có
q
n
n−1
p
p
p
p
f
= an
+ an−1
+ · · · + a1
+ a0 = 0.
q
q
q
q
Từ đó, ta có
an pn = −q(an−1 pn−1 + · · · + a1 q n−2 p + a0 q n−1 )
(1.1)
5
và
a0 q n = −p(an pn−1 + an−1 pn−2 q + · · · + a1 q n−1 ).
(1.2)
Từ (1.1) suy ra an pn chia hết cho q mà (p, q) = 1 nên an chia hết cho q. Từ
(1.2) suy ra a0 q n chia hết cho p mà (p, q) = 1 nên a0 chia hết cho p.
Định nghĩa 1.1.2 (Dãy Lucas). Gọi p, q ∈ Z là các số nguyên tố cùng nhau
và α, β là các nghiệm của đa thức bậc hai
x2 − px + q
với biệt thức δ = (α − β)2 = p2 − 4q. Đặt
un = un (p, q) =
αn − β n
,
α−β
vn = vn (p, q) = αn + β n .
Khi đó, hai dãy {un } và {vn } được gọi là hai dãy Lucas.
Với n = 0, ta được u0 =
u1 =
1−1
= 0, v0 = α0 + β 0 = 2; với n = 1, ta có
α−β
α−β
= 1 và v1 = α + β = p.
α−β
Ví dụ 1.1.3. Cho tam thức bậc hai
(x − 2)2 = x2 − 4x + 4
không thỏa mãn điều kiện (p, q) = 1 nên không thuộc dạng đang xét.
Ví dụ 1.1.4. Cho tam thức bậc hai x2 + 3x + 2, ta được
un =
(−1)n − 2n
2n − (−1)n
=
,
−1 − 2
3
vn = (−1)n + 2n .
Ví dụ 1.1.5. Cho tam thức bậc hai x2 − 5x + 1 (có hai nghiệm không nguyên),
ta được
√
√
√ !n
√ !n
5+ 21 n
5− 21 n
−
5
+
21
5
−
21
2
2
√
un =
, vn =
+
.
2
2
21
Ta vẫn có tính chất un , vn là các số nguyên.
Từ định nghĩa, ta có thể chứng minh được cả hai dãy Lucas đều thỏa mãn
công thức truy hồi tuyến tính
Xn+1 = pXn − qXn−1 .
6
Tức là ta cũng có
un+1 = pun − qun−1 và vn+1 = pvn − qvn−1 ,
trong đó u0 = 0, u1 = 1 và v0 = 0, v1 = p. Từ công thức truy hồi này, ta thể có
thể tính được un và vn với mọi giá trị nguyên n.
Các dãy Lucas có nhiều tính chất thú vị và có nhiều ứng dụng trong kiểm
tra tính nguyên tố của số nguyên lớn, nghiệm của đồng dư thức bậc hai và bậc
ba, và trong lý thuyết mật mã (xem [4]).
Roettger [2] đề xuất việc mở rộng dãy Lucas bằng cách mở rộng đa thức từ
bậc 2 lên bậc n. Trong khuôn khổ luận văn này, chúng tôi chỉ trình bày giới
hạn trong đa thức bậc 3. Trong trường hợp này ta gọi P, Q, R ∈ Z là các số
nguyên thỏa mãn gcd(P, Q, R) = 1 và gọi α, β, γ là các nghiệm của
h(x) = x3 − P x2 + Qx − R,
(1.3)
với biệt thức
∆ = (α − β)2 (β − γ)2 (γ − α)2 = Q2 P 2 − 4Q3 − 4RP 3 + 18P QR − 27R2 .
Giả sử rằng ∆ 6= 0.
Định lý 1.1.6 (Định lý Vieta). Ba nghiệm α, β, γ thỏa mãn công thức sau
α+β+γ =P
αβ + βγ + γα = Q
αβγ = R.
Định nghĩa 1.1.7 (Dãy Roettger). Với P, Q, R, α, β và γ xác định như trên,
đặt
(αn − β n )(β n − γ n )(γ n − αn )
cn = cn (P, Q, R) =
(1.4)
(α − β)(β − γ)(γ − α)
và
wn = wn (P, Q, R) = (αn + β n )(β n + γ n )(γ n + αn ) − 2Rn .
Khi đó {cn } và {wn } được gọi là hai dãy Roettger.
Với n = 0 thì
c0 = 0 và w0 = 2 · 2 · 2 − 2R0 = 6;
(1.5)
7
với n = 1 thì
c1 = 1
và
w1 = (α + β)(β + γ)(γ + α) − 2R
= α2 β + αγ 2 + α2 γ + β 2 γ + αβ 2 + βγ 2 + 2αβγ − 2R
= αβ(α + β) + αγ(γ + α) + βγ(β + γ)
= (α + β + γ)αβ + (α + β + γ)αγ + (α + β + γ)βγ − 3αβγ
= (α + β + γ)(αβ + βγ + γα) − 3αβγ
= P Q − 3R.
Ví dụ 1.1.8. Đa thức
(x − 1)(x − 2)(x − 5)
có 3 nghiệm nguyên α = 1, α = 2, α = 5. Ta được
(1n − 2n )(2n − 5n )(5n − 1n ) (1n − 2n )(2n − 5n )(5n − 1n )
=
cn =
(1 − 2)(2 − 5)(5 − 1)
12
wn = (1n + 2n )(2n + 5n )(5n + 1n ) − 2(1 · 2 · 5)n
= (1n + 2n )(2n + 5n )(5n + 1n ) − 2 · 10n .
Các công thức của dãy Roettger còn được viết dưới dạng tổ hợp tuyến tính
của αn β 2n , β n γ 2n , γ n α2n , α2n β n , β 2n γ n , γ 2n αn như sau:
cn =
(αn β 2n + β n γ 2n + γ n α2n ) − (α2n β n + β 2n γ n + γ 2n αn )
δ
và
wn = (αn β 2n + β n γ 2n + γ n α2n ) + (α2n β n + β 2n γ n + γ 2n αn ),
√
trong đó δ = ∆ = (α − β)(β − γ)(γ − α).
Định lý 1.1.9 ([2, tr. 54]). Với m cố định, các dãy {cn } và {wn } thỏa mãn
công thức đệ quy
Xn+6m = a1 Xn+5m − a2 Xn+4m + a3 Xn+3m − a4 Xn+2m + a5 Xn+1m − a6 Xn , (1.6)
trong đó
a1 = w m ,
2
a2 = (wm
− ∆c2m )/4 + Rm wm ,
a3 = Rm (w2m + 2Rm wm + 2R2m ),
a5 = R4m a1 ,
a6 = R6m .
a4 = R2m a2 ,
8
Chứng minh. Đặt
Am = (αm β 2m + β m γ 2m + γ m α2m ), Bm = (α2m β m + β 2m γ m + γ 2m αm ),
thì
cm =
Am − Bm
, wm = Am + Bm .
δ
Thực hiện các phép tính:
a1 = wm = Am + Bm ,
2
wm
− ∆c2m
(Am + Bm )2 − (Am − Bm )2
m
a2 =
+ R wn =
+ R m wn
4
4
m
= Am Bm + R (Am + Bm ),
a3 = Rm (w2m + 2Rm wm + 2R2m )
1
2
= Rm (∆c2m + wm
− 4Rm wm ) + 2Rm wm + 2R2m ,
2
2
m
2
= R A m + Bm
− 2Rm wm + 2Rm wm + 2R2m
2
= Rm (A2m + Bm
+ 2R2m )
2
= (A2m + Bm
)Rm + 2R3m ,
a4 = R2m a2 = Am Bm R2m + (Am + Bm )R3m ,
a5 = R4m a1 = (Am + Bm )R4m ,
a6 = R6m .
Xét đa thức
p(x) = x6 − a1 x5 + a2 x4 − a3 x3 + a4 x2 − a5 x + a6
= x6 − (Am + Bm )x5 + [Am Bm + Rm (Am + Bm )]x4
2
− [(A2m + Bm
)Rm + 2R3m ]x3 + [Am Bm R2m + (Am + Bm )R3m ]x2
− (Am + Bm )R4m x + R6m
= x6 + (Am + Bm )[−x5 + Rm x4 + R3m x2 − R4m x]
2
+ Am Bm (x4 + R2m x2 ) − (A2m + Bm
)Rm x3 − 2R3m x3 + R6m .
Ta kiểm tra αm β 2m , β m γ 2m , γ m α2m , α2m β m , β 2m γ m , γ 2m αm đều là nghiệm của
p(x). Mặt khác, ta thấy
Am − Bm
, wn = Am + Bm
δ
đều là tổ hợp tuyến tính của αm β 2m , β m γ 2m , γ m α2m , α2m β m , β 2m γ m , γ 2m αm nên
cn và wn cũng thỏa mãn đa thức p(x).
cn =
9
Công thức (1.5) là công thức đệ quy tuyến tính bậc 6 được dùng để tính
giá trị của dãy Roettger {cn } và {wn } với mọi n ≥ 0.
Hệ quả 1.1.10. Với mọi n ≥ 0, ta có cn , wn ∈ Z.
Định lý 1.1.11 ([2, tr. 55]). R2n c−n = −cn và R2n w−n = wn .
Tương tự như dãy Lucas, ta cũng có công thức cộng cho dãy Roettger.
Định lý 1.1.12 ([2, tr. 56]).
2w2n+m = wn wn+m + ∆cn cn+m − Rn (wn wm − ∆cn cm − 2R2m wn−m ),
2c2n+m = cn+m wn + cn wn+m − Rn (cm wn − cn wm + 2R2m cn−m ).
Hệ quả 1.1.13 ([2, tr. 57]).
2w2n = ∆c2n + wn2 − 4Rn wn ,
c2n = cn (wn + 2Rn ),
4w3n = 3∆c2n (wn + 2Rn ) + wn2 (wn − 6Rn ) + 24R3n ,
4c3n = cn (∆c2n + 3wn2 ).
Nếu ta thay n bằng m và m bằng n + m trong Định lý 1.1.12, ta bỏ được
dấu trừ ở chỉ số dưới trong công thức của wn và cn .
Hệ quả 1.1.14 ([2, tr. 58]).
2wn+3m = ∆cm cn+2m + wm wn+2m − Rm wm wn+m
+ Rm ∆cm cn+m + 2R3m wn
2cn+3m = wm cn+2m + cm wn+2m − Rm wm cn+m
+ Rm cm wn+m − 2R3m cn .
Định lý dưới đây là công thức nhân của wn và cn .
Định lý 1.1.15 ([2, tr. 65]).
16
c5n
= ∆2 c4n + 20R2n ∆c2n + 20Rn ∆c2n wn + 10∆c2n wn2 + 80R3n wn
cn
− 20R2n wn2 − 20Rn wn3 + 5wn4 + 80R4n ,
16w5n = 5∆2 c4n (wn + 2Rn ) + 10∆c2n (wn3 − 2R2n wn + 4R3n )
+ wn (wn4 − 10Rn wn3 + 20R2n wn2 + 40R3n wn − 80R4n ).
10
Một trong những tính chất quan trọng nhất của dãy Lucas {un } với n ≥ 0
đó là nó là một dãy chia được.
Định nghĩa 1.1.16. Một dãy số nguyên {An } được gọi là dãy chia được nếu
An | Am miễn là n | m và An 6= 0, tức là khi một chỉ số là bội của chỉ số khác
thì số hạng tương ứng cũng là bội của số hạng kia.
Ví dụ 1.1.17. Mọi dãy có dạng an = kn, với k là số nguyên khác không, là
một dãy chia được. Mọi dãy có dạng an = An − B n , với A > B > 0 cũng là
dãy chia được.
Định lý 1.1.18 ([1]). Dãy số Roettger {cn } (n ≥ 0) là một dãy chia được, tức
là
cm | cn nếu m | n.
Chứng minh. Giả sử m | n, khi đó tồn tại s ≥ 0 sao cho n = ms. Ta có
(αn − β n )(β n − γ n )(γ n − αn )
(α − β)(β − γ)(γ − α)
ms
(α − β ms )(β ms − γ ms )(γ ms − αms )
=
(α − β)(β − γ)(γ − α)
m
(α − β m )(β m − γ m )(γ m − αm )
=
(α − β)(β − γ)(γ − α)
ms
(α − β ms )(β ms − γ ms )(γ ms − αms )
·
(αm − β m )(β m − γ m )(γ m − αm )
cn (P, Q, R) =
= cm (P, Q, R) · cs (Am , Bm , Rm ),
trong đó An = αn + β n + γ n , Bn = αn β n + β n γ n + γ n αn (xem [2]).
Lưu ý, dãy Roettger {wn } (n ≥ 0) không nhất thiết là dãy chia được. Xét
w1 = (α + β)(β + γ)(γ + α) − 2R
= α2 β + αγ 2 + α2 γ + β 2 γ + αβ 2 + βγ 2 + 2αβγ − 2R
= αβ(α + β) + αγ(γ + α) + βγ(β + γ)
= (α + β + γ)αβ + (α + β + γ)αγ + (α + β + γ)βγ − 3αβγ
= (α + β + γ)(αβ + βγ + γα) − 3αβγ
= P Q − 3R,
w2 = (α2 + β 2 )(β 2 + γ 2 )(γ 2 + α2 ) − 2R2
11
= α2 β 2 (α2 + β 2 ) + α2 γ 2 (γ 2 + α2 ) + β 2 γ 2 (β 2 + γ 2 )
= (α2 + β 2 + γ 2 )(α2 β 2 + β 2 γ 2 + γ 2 α2 ) − 3α2 β 2 γ 2
= [(α + β + γ)2 − 2(αβ + βγ + γα)]
· [(αβ + βγ + γα)2 − 2(αβ 2 γ + α2 βγ + αβγ 2 )] − 3α2 β 2 γ 2
= [(α + β + γ)2 − 2(αβ + βγ + γα)]
· [(αβ + βγ + γα)2 − 2αβγ(α + β + γ)] − 3α2 β 2 γ 2
= (P 2 − 2Q)(Q2 − 2RP ) − 3R2 .
Nếu ta chọn P = 3, Q = 2R = 0, ta có gcd(P, Q, R) = gcd(3, 2, 0) = 1. Khi
đó, w1 = P Q − 3R = 6, w2 = (P 2 − 2Q)(Q2 − 2RP ) − 3R2 = 20, chứng tỏ w2
không là bội của w1 . Vậy dãy Roettger {wn } không là dãy chia được.
1.2
Các kết quả liên quan dãy Roettger
Gần đây, các dãy Roettger được tiếp tục mở rộng thêm bởi Roettger và
Williams và Guy [3]. Nhắc lại, gọi P, Q, R ∈ Z là các số nguyên thỏa mãn
gcd(P, Q, R) = 1, gọi α, β, γ là các nghiệm của
h(x) = x3 − P x2 + Qx − R.
Đặt γ1 = α/β, γ2 = β/γ, γ3 = γ/α, λ = R, thì theo định lý Vieta cho phương
trình bậc ba, ta thu được
(αn − β n )(β n − γ n )(γ n − αn )
(α − β)(β − γ)(γ − α)
n
(β − αn )(γ n − β n )(αn − γ n )
=
(β − α)(γ − β)(α − γ)
n
n
n
n
n
n
αn β n γ n · β β−α
· γ γ−β
· α α−γ
n
n
n
=
αβγ · β−α
· γ−β
· α−γ
β
γ
α
β n
α n
n−1
R
1− β
1− γ
1−
=
1 − αβ 1 − βγ 1 − αγ
cn =
=
λn−1 (1 − γ1n )(1 − γ2n )(1 − γ3n )
.
(1 − γ1 )(1 − γ2 )(1 − γ3 )
Đặt
vn = (αn + β n )(β n + γ n )(γ n + αn )
γ n
α
12
β n
γ n
α n
=α β γ 1+
1+
1+
β
γ
α
n n n
= λn (1 + γ1n )(1 + γ2n )(1 + γ3n )
thì ta thu được
wn = (αn + β n )(β n + γ n )(γ n + αn ) − 2Rn
= vn − 2Rn , trong đó
vn = λn (1 + γ1n )(1 + γ2n )(1 + γ3n ).
Với α, β, γ là các nghiệm của (1.3) thì ta thu được các dãy {cn } và {wn } hoàn
toàn tương tự (1.4) và (1.5).
Giả sử ta định nghĩa
λn−1 (1 − γ1n )(1 − γ2n )(1 − γ3n )
Un =
(1 − γ1 )(1 − γ2 )(1 − γ3 )
(1.7)
Vn = λn (1 + γ1n )(1 + γ2n )(1 + γ3n ),
(1.8)
trong đó λ, γ1 , γ2 , γ3 ∈ Q; γ1 , γ2 , γ3 6= 1; γi 6= γj khi i 6= j và γ1 γ2 γ3 = 1.
Trong [3], các tác giả chứng minh rằng nếu Un , Vn ∈ Z (n ≥ 0), {Un } là một
dãy đệ quy tuyến tính và {Un } cũng là một dãy chia được, thì λ = R ∈ Z và
ρi = R(γi + 1/γi ) (i = 1, 2, 3) phải là các nghiệm của đa thức bậc ba
g(x) = x3 − S1 x2 + S2 x − S3 ,
(1.9)
S3 = RS12 − 2RS2 − 4R3
(1.10)
trong đó
và S1 , S2 ∈ Z.
Với ρi (i = 1, 2, 3) xác định như trên, sáu nghiệm của đa thức
G(x) = (x2 − ρ1 x + R2 )(x2 − ρ2 x + R2 )(x2 − ρ3 x + R2 )
= x6 − S1 x5 + (S2 + 3R2 )x4 − (S3 + 2R2 S1 )x3
+ R2 (S2 + 3R2 )x2 − R4 S1 x + R6
là Rγi , R/γi (i = 1, 2, 3).
Nếu định nghĩa
Wn = Vn − 2Rn ,
(1.11)
13
thì cả {Un } và {Wn } là các dãy đệ quy tuyến tính với đa thức đặc trưng G(x).
{Un } và {Wn } là các dãy tổng quát hơn {cn } và {wn }. Ta có:
U0 = 0, U1 = 1, U2 = S1 + 2R, U3 = S12 + RS1 − S2 − 3R3 ,
W0 = 6, W1 = S1 , W2 = S12 − 2S2 − 6R2 ,
W3 = S13 − 3S1 S2 + 3RS12 − 6RS2 − 3R2 S1 − 12R3 .
Hơn nữa, tương tự như Định lý 1.1.11 ta có
U−n = −
Wn
Un
,
W
=
.
−n
R2n
R2n
Do đó, Un , Wn ∈ Z nếu n ≥ 0. Thêm vào đó trường hợp này {Un } là dãy chia
được.
Trong [3], các tác giả chỉ ra rằng nếu
S1 = P Q − 3R,
S2 = P 3 R + Q3 − 5P QR + 3R2 ,
(1.12)
thì Un (S1 , S2 , R) = cn (P, Q, R), Wn (S1 , S2 , R) = wn (P, Q, R).
Trong biểu thức (1.7), nếu ta định nghĩa
∆ = λ2 (1 − γ1 )2 (1 − γ2 )2 (1 − γ3 )2
= R2 (γ1 + γ2 + γ3 − 1/γ1 − 1/γ2 − 1/γ3 )2 ,
(1.13)
ta thấy rằng
∆ = S12 − 4S2 + 4RS1 − 12R2 ,
(1.14)
nhưng biểu thức này cũng giống với biệt thức của h(x) là Q2 P 2 −4Q3 −4RP 3 +
18P QR − 27R2 , khi S1 và S2 được cho bởi (1.12).
Nếu ký hiệu d là biệt thức của g(x), thì như đã chứng minh trong [3], ta có
d = ∆Γ, trong đó
Γ = R4 (γ1 − γ2 )2 (γ2 − γ3 )2 (γ3 − γ1 )2
= S22 + 10RS1 S2 − 4RS13 − 11R2 S12 + 12R3 S1 + 24R2 S2 + 36R4 .
Biệt thức D của G(x) được cho bởi D = Ed2 R12 , trong đó
E = R2 ∆(S1 + 2R2 ) = (ρ1 − 4R2 )(ρ2 − 4R2 )(ρ3 − 4R3 ).
(1.15)
(1.16)
14
Nếu S1 và S2 được cho bởi (1.12), thì
Γ = (RP 3 − Q3 )2 .
(1.17)
Chú ý, điều kiện tương tự với gcd(P, Q, R) = 1 của các dãy Roettger là
gcd(S1 , S2 , R) = 1 cho các dãy tổng quát hơn {Wn } và {Un }.
Dạng công thức nhân đôi là
2W2n = Wn2 + ∆Un2 − 4Rn Wn , U2n = Un (Wn + 2Rn )
(1.18)
và dạng công thức nhân ba là
4W3n = 3∆Un2 (Wn + 2Rn ) + Wn2 (Wn − 6Rn ) + 24R2n ,
(1.19)
4U3n = Un (3Wn2 + ∆Un2 ).
(1.20)
Định lý 1.2.1 ([2, tr. 94]). Nếu p là một số nguyên tố, p - 6R∆, p | Un và
p | Wn − 6Rn , thì p3 | Un và p2 | Wn − 6Rn .
Định lý 1.2.2 ([1]). Nếu n ≥ 0, thì 2 | gcd(Wn , Un ) khi và chỉ khi 2 | Un .
Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử 2 | gcd(Wn , Un ). Đặt a = gcd(Wn , Un ) ∈
Z, thì a | Un . Do 2 | a, nên ta có 2 | Un .
U3n
∈ Z (n ≥ 0).
Điều kiện đủ. Giả sử 2 | Un . Do Un là dãy chia được nên ta có
Un
Từ (1.20) kéo theo
U3n
4·
= 3Wn2 + ∆Un2
Un
nên
4 | 3Wn2 + ∆Un2 = 3Wn2 − 3∆Un2 + 4∆Un2 .
do vậy
4 | Wn2 − ∆Un2 hay 4 | Wn2 .
Suy ra 2 | Wn . Do đó 2 | gcd(Wn , Un ).
Chú ý 1.2.3. Khi cho trước S1 , S2 , R ∈ Z không phải lúc nào cũng tồn tại
P, Q ∈ Z sao cho (1.12) xảy ra. Ví dụ khi S1 = −1, S2 = −4 và R = 1; ta
không thể tìm các số nguyên P, Q sao cho P Q = 2 và P 3 + Q3 = 3. Do đó,
các dãy {Wn (S1 , S2 , R)}, {Un (S1 , S2 , R)} biểu diễn phép mở rộng không tầm
thường của các dãy Roettger {wn } và {cn }.
15
(i) Nếu 2 - R và 2α k gcd(Wn , Un ), thì α ∈
W 2 − ∆Un2
là số lẻ.
{0, 1}, và nếu 2 | Wn thì Q̃n = n
4
Bổ đề 1.2.4 ([2, tr. 80, 81]).
(ii) Nếu 2 | R, 2 - Q và 2α k gcd(Wn , Un ), thì α ∈ {0, 1}, và nếu 2 | Wn , thì Q̃n
lẻ.
Từ bổ đề trên ta suy ra được định lý sau.
Định lý 1.2.5 ([2, tr. 81]). Nếu gcd(Q, R) = 1 và 2α k gcd(Wn , Un ), thì α ∈
{0, 1}. Nếu 2 | Wn , thì Q̃n lẻ.
Công thức nhân tổng quát của {Wn } và {Un } được trình bày trong [3]:
Tổng
mãn
X
m(m − λ0 − 1)! n(λ0 +λ3 ) λ2
R
Q̃n vλ1 −λ2 ,
(−1)λ0
λ1 !λ2 !λ3 !
X
m(m − λ0 − 1)! n(λ0 +λ3 ) λ2
R
Q̃n uλ1 −λ2 .
= Un
(−1)λ0
λ1 !λ2 !λ3 !
Wmn =
(1.21)
Umn
(1.22)
P
được lấy trên tập tất cả các số nguyên khác không λ0 , λ1 , λ2 , λ3 thỏa
3
X
λi =
i=0
3
X
iλi = m
i=0
và un = un (P̃n , Q̃n ), vn = vn (P̃n , Q̃n ), với P̃n = Wn , Q̃n = (Wn2 − ∆Un2 )/4.
Cho đa thức p(x) trên trường L, mở rộng tách được K của p(x) trên L là
trường mở rộng K mà trên đó p phân tích được thành các nhân tử tuyến tính
deg(p)
p(x) =
Y
(x − ai ),
i=1
trong đó với mỗi i ta có (x − ai ) ∈ K[x]. Cho g(x) = x3 − S1 x2 + S2 x − S3 ,
trong đó S3 = RS12 − 2RS2 − 4R3 , S1 , S2 ∈ Z. Cho số nguyên tố p - 6∆R. Có
ba khả năng của mở rộng tách được K của h(x) ∈ Fp [x]:
1. nếu K = Fp , ta nói rằng p là một S-nguyên tố,
2. nếu K = Fp2 , ta nói rằng p là một Q-nguyên tố,
3. nếu K = Fp3 , ta nói rằng p là một I-nguyên tố.
16
Ta có δ = (α − β)(β − γ)(γ − α), ∆ = (α − β)2 (β − γ)2 (γ − α)2 . Nếu p là
Q-nguyên tố, ta có thể giả sử α ∈ Fp , β, γ ∈ Fp2 \Fp . Nên αp = α, β p = γ và
γ p = β. Khi đó, trong K,
δ p = (α − β)p (β − γ)p (γ − α)p
= (αp − β p )(β p − γ p )(γ p − αp )
= (α − γ)(γ − β)(β − α) = −δ.
Nên δ p−1 = −1 ⇔ ∆(p−1)/2 = −1 ⇔ ∆p = −1.
Nếu p là S-nguyên tố thì αp = α, β p = β, γ p = γ , và nếu p là I-nguyên tố
thì αp = β, β p = γ, γ p = α. Trong hai trường hợp này δ p = δ ⇒ ∆p = 1. Do
đó p là Q-nguyên tố khi và chỉ khi ∆p = −1.
Bổ đề 1.2.6 ([3]).
(i) Nếu p là S-nguyên tố thì γip = γiε , (i = 1, 2, 3),
(ii) Nếu p là Q-nguyên tố thì γ2p = γ3ε , γ3p = γ2ε , γ3p = γ1ε ,
(iii) Nếu p là I-nguyên tố thì γ1p = γ2ε , γ2p = γ3ε , γ3p = γ1ε ,
với ε = ( ∆p ).
Định nghĩa
Dn = gcd(Wn − 6Rn , Un ) và En = gcd(Wn , Un ).
Khi đó, các dãy {Dn } và {En } có nhiều tính chất lý thuyết chung với {un } và
{vn }. Một số tính chất đã được trình bày trong [3] mà chưa có chứng minh.
Trong Chương 2 và Chương 3 của luận văn này sẽ trình bày một số kết quả
mới liên quan {Dn } và {En }.
- Xem thêm -