BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
PHẠM HỮU HOÀNG CHIẾN
NGHIÊN CỨU NGHIỆM SOLITON
CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH
TRƯỜNG CHUẨN YANG - MILLS
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 60 44 01 03
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT LÝ
Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN THUẬN
HÀ NỘI - 2014
1
LỜI CẢM ƠN
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Thuận, thầy đã tận tình
hướng dẫn, giúp đỡ, động viên em trong suốt quá trình nghiên cứu và thực hiện luận
văn.
Em xin cảm ơn các thầy, cô giáo trong Bộ môn Vật lý lý thuyết, Khoa Vật lý,
Phòng Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, Trường Đại học Tây Nguyên đã
tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành
luận văn.
Xin trân trọng cảm ơn sự giúp đỡ và những tình cảm quý báu mà gia đình, đồng
nghiệp và bạn bè đã dành cho tôi.
Hà Nội, tháng
năm 2014
Học viên
Phạm Hữu Hoàng Chiến
2
MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU
5
Tính cấp thiết của đề tài
5
Mục đích nghiên cứu của đề tài
6
Phương pháp nghiên cứu
6
Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
6
CHƯƠNG 1. NGHIỆM SOLITON CỦA HỆ YANG-MILLS-HIGGS
8
1.1. Nghiệm soliton của trường Yang-Mills SU(2) thuần túy
8
1.1.1. Các phương trình của trường Yang-Mills SU(2) thuần túy
8
1.1.2. Một số dạng nghiệm
9
1.1.2.1. Các nghiệm riêng hằng số
9
1.1.2.2. Các nghiệm tổng quát
10
1.2. Nghiệm soliton của hệ Yang-Mills-Higgs
11
1.2.1. Trường Higgs và sự phá vỡ đối xứng tự phát
11
1.2.2. Các phương trình trường trong hệ Yang-Mills-Higgs
12
1.2.3. Một số dạng nghiệm
12
1.2.3.1. Nghiệm monopole từ ‘t Hooft-Poliakov
12
1.2.3.2. Nghiệm dyon
15
1.2.3.3. Nghiệm Singleton
16
CHƯƠNG 2. NGHIỆM SOLITON CỦA HỆ YANG-MILLS VỚI NGUỒN NGOÀI
ĐỐI XỨNG CẦU
19
2.1. Tham số hóa vectơ của nhóm SU(2)
19
2.2. Các phương trình Yang-Mills tĩnh khi có nguồn ngoài
19
2.3. Nghiệm của các phương trình Yang-Mills tĩnh với nguồn ngoài yếu
có định hướng Su(2) cho trước
25
2.3.1. Nguồn dạng xuyên tâm
25
2.3.2. Nghiệm của các phương trình Yang-Mills tĩnh với nguồn yếu
có định hướng SU(2) cho trước
28
2.3.3. Năng lượng của trường Yang-Mills với nguồn ngoài yếu
31
CHƯƠNG 3. HẠT YANG-MILLS TRONG TRƯỜNG SINGLETON
3.1. Các phương trình Wong mở rộng
32
32
3.2. Đối xứng Lorentz định xứ và bài toán hạt trong trường Yang-Mills
3
tựa Schwarzschild (Schwarzschild-like)
33
3.3. Chuyển động của hạt trong trường Singleton tựa Schwarzschild
34
KẾT LUẬN
41
TÀI LIỆU THAM KHẢO
42
PHỤ LỤC A
44
PHỤ LỤC B
46
MỞ ĐẦU
4
1. Tính cấp thiết của đề tài
Mô hình chuẩn và các hướng mở rộng khác nhau của mô hình này đã cho phép
mô tả hiện tượng luận phong phú của các tương tác cơ bản trong tự nhiên. Cùng với
việc khai thác các ứng dụng hiện tượng luận về tương tác dựa trên các mô hình chuẩn,
một hướng nghiên cứu khác thu hút sự quan tâm lớn, đó là nghiên cứu các tính chất cơ
bản của lý thuyết trường chuẩn không Abel (còn gọi là lý thuyết trường Yang-Mills)
như là các hệ động lực học phi tuyến.
Vật lý toán phi tuyến là lĩnh vực được phát triển mạnh mẽ trong những năm gần
đây. Như đã biết, các phương trình phi tuyến là đối tượng nghiên cứu của vật lý toán
phi tuyến, lĩnh vực mà về công cụ và các đặc trưng khác xa vật lý toán truyền thống.
Một trong những đặc điểm quan trọng là sự tồn tại các nghiệm soliton của các phương
trình trường phi tuyến. Nó có thể mô tả như các sóng đơn lẻ dạng như bó sóng hoặc
xung. Soliton bảo toàn dạng theo thời gian và sự bảo toàn này liên quan đến bản chất
topo của nghiệm, nghĩa là các nghiệm được phân thành những lớp có topo khác nhau
và đặc trưng topo (chỉ số topo) của nghiệm là tích phân chuyển động. Soliton là đối
tượng nghiên cứu của nhiều lĩnh vực vật lý như: quang học phi tuyến, vật lý hạt cơ
bản, vũ trụ học, vật lý chất rắn,… Đối với lý thuyết trường của các hạt cơ bản, người
ta thấy rằng, ngay ở mức độ cổ điển (chưa lượng tử hóa) hoặc ở gần đúng chuẩn cổ
điển, các soliton của các phương trình trường phi tuyến đã có dạng gần đúng như các
hạt: mật độ năng lượng trường là hữu hạn, tập trung trong miền không gian và dịch
chuyển theo thời gian. Các nghiệm soliton được nghiên cứu nhiều phải kể đến là các
soliton của lý thuyết Yang-Mills hoặc lý thuyết Yang-Mills-Higgs trong không gian
Mincopxki (nghiệm Wu-Yang, monopole ‘t Hooft-Polyakov, dyon Julia-Zee, nghiệm
Bogomolny-Prasad-Sammerfield), hay trong không gian Euclid (nghiệm instanton),…
Các nghiên cứu theo hướng này hiện vẫn tiếp tục phát triển và thu hút được sự quan
tâm của nhiều nhà vật lý lý thuyết [1-7]. Các kết quả nghiên cứu có nhiều ứng dụng
vật lý. Chẳng hạn như, monopole từ không Abel không những có ý nghĩa quan trọng
đối với các mô hình thống nhất các tương tác của các hạt cơ bản, mà nó còn liên quan
đến những quá trình lạm phát của vũ trụ ở giai đoạn rất sớm. Thậm chí nó còn ảnh
hưởng đến quá trình tiến hóa của vũ trụ. Hay như việc phát hiện ra instanton của các
5
phương trình trường phi tuyến là một trong những kết quả gây ấn tượng nhất của lý
thuyết yang-Mills cổ điển. Sự tồn tại của instanton có thể liên hệ với hiệu ứng đường
ngầm trong không gian Mincopxki giữa các chân không khác nhau [8]. Để giải thích
sự cầm tù quark người ta cho rằng khi mật độ instanton đủ lớn, có thể có sự chuyển
pha từ trường chuẩn không khối lượng tới trường chuẩn có khối lượng. Khi đó liên kết
Yang-Mills là lớn giữ cho các quark ở bên trong các hadron. Ngành soliton học nghiên
cứu các tính chất của các soliton cùng các khả năng ứng dụng của chúng đang trở
thành một lĩnh vực vật lý phát triển mạnh trong những năm gần đây.
Trên đây là một số nhận xét về vai trò và tầm quan trọng của các soliton khi
nghiên cứu lý thuyết trường Yang-Mills. Qua đó cho thấy việc nghiên cứu đề tài:
Nghiên cứu nghiệm soliton của các phương trình trường chuẩn Yang-Mills, mang
tính cập nhật, có ý nghĩa khoa học và thực tiễn.
2. Mục đích nghiên cứu của đề tài
Nghiên cứu một số dạng nghiệm soliton của các phương trình trường chuẩn Yang-
Mills với nhóm chuẩn SU(2) khi không có nguồn ngoài và khi có nguồn ngoài, ý nghĩa
vật lý của các nghiệm tìm được.
Khảo sát một số tính chất về chuyển động của hạt Yang-Mills SU(2) trong một số
cấu hình trường soliton.
3. Phạm vi nghiên cứu của đề tài
Chỉ xét một số dạng nghiệm soliton của các phương trình trường chuẩn YangMills không phụ thuộc thời gian với nhóm chuẩn SU(2).
4. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp thông dụng khi nghiên cứu lý thuyết trường: Phương
pháp giải tích, lý thuyết nhóm, tính số,…
Ứng dụng một số phương pháp nghiên cứu mới trong phương trình vi phân đạo hàm
riêng phi tuyến: phương pháp ansatz, phương pháp tham số hóa vectơ,…
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Góp phần làm sáng tỏ hơn ý nghĩa của các nghiệm soliton khi nghiên cứu lý thống
nhất các tương tác cơ bản.
Trong chừng mực nào đó, đóng góp vào sự phát triển của lý thuyết các phương trình
vi phân đạo hàm riêng phi tuyến.
6
6. Cấu trúc của đề tài
Ngoài phần mở đầu, kết luận và phụ lục, đề tài gồm ba chương.
Chương 1: Nghiệm soliton của hệ Yang-Mills-Higgs.
Chương 2: Nghiệm soliton của hệ Yang-Mills với nguồn ngoài đối xứng cầu.
Chương 3: Hạt Yang-Mills trong trường Singleton
Chương 1
7
NGHIỆM SOLITON CỦA HỆ YANG-MILLS-HIGGS
Trong chương này chúng tôi khảo sát một số dạng nghiệm soliton của hệ YangMills-Higgs với nhóm chuẩn SU(2) và ý nghĩa vật lý của các nghiệm tìm được.
1.1. NGHIỆM SOLITON CỦA TRƯỜNG YANG-MILLS SU(2) THUẦN TÚY
1.1.1. Các phương trình của trường Yang-Mills SU(2) thuần túy
Mật độ Lagrangian của trường chuẩn Yang-Mills thuần túy với nhóm chuẩn SU(2)
có dạng:
1
L Fa Fa ,
4
(1.1)
Fa Wa Fa g abcWbWc
(1.2)
ở đây:
là tenxơ cường độ trường,
Wa
là thế chuẩn Abel (thế Yang-Mills), , 0,1, 2,3 là các
chỉ số không - thời gian, a, b, c 1, 2,3 là các chỉ số của nhóm SU(2).
Mật độ Lagrangian (1.1) thì bất biến đối với phép biến đổi chuẩn SU(2) định xứ.
Từ mật độ Lagrangian này, sử dụng phương trình Lagrange-Euler, ta dễ dàng nhận
được các phương trình chuyển động của trường Yang-Mills SU(2) thuần túy:
Fa g abcWb Fc 0.
(1.3)
Từ phương trình (1.3) ta thấy có hai đặc trưng quan trọng của lý thuyết chuẩn
không Abel không có trong lý thuyết điện từ:
Thứ nhất, các phương trình chuyển động của trường là phi tuyến đối với thế
chuẩn.
Thứ hai, thế chuẩn không Abel xuất hiện tường minh trong phương trình chuyển
động của trường. Từ những đặc trưng này người ta cho rằng, thế chuẩn không Abel
đóng vai trò cơ bản hơn thế trong lý thuyết chuẩn Abel. Ít nhất điều này là đúng ngay
8
trong sự trình bày của lý thuyết đã chứa trực tiếp thế chuẩn không Abel
Wa .
Trong
hình thức luận điện từ, người ta có thể làm việc chỉ với các cường độ trường E và B .
Vấn đề không đơn giản như vậy khi nhóm chuẩn là không Abel. Chẳng hạn, hai thế
Yang-Mills là chuẩn không tương đương có thể cho các cường độ trường Yang-Mills
giống nhau.
1.1.2. Một số dạng nghiệm
Cho đến nay người ta vẫn chưa đưa ra được phương pháp giải tổng quát các
phương trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến. Sau đây chúng tôi sử dụng phương
pháp ansatz để giải các phương trình vi phân này. Giả sử rằng các trường chuẩn là
xuyên tâm, chúng tôi sử dụng ansatz Wu-Yang [9] :
ra
W0a
J r ,
gr
Wi a aij
ở đây
J r , K r
rj
1 K r ,
gr
(1.4)
a
là các hàm của r, còn r là vectơ đơn vị. Khi thế ansatz này vào
(1.3), ta nhận được hệ hai phương trình vi phân phi tuyến liên kết
r 2 J '' 2 JK 2 ,
r 2 K '' K K 2 J 2 1 ,
(1.5)
''
''
trong đó J , K là các đạo hàm bậc hai theo r.
1.1.2.1. Các nghiệm riêng hằng số
Có ba nghiệm hằng số của hệ phương trình (1.5). Hai trong chúng là
K 1, J 0 và K 1, J 0.
9
(1.6)
Đây là các nghiệm chân không với cường độ trường
đầu, còn đối với trường hợp thứ hai thì
Wa
Fa 0 Wa 0
(
cho trường hợp
là chuẩn thuần túy). Nghiệm hằng số
không tầm thường là
K 0, J A const.
(1.7)
Khi thế (1.7) vào (1.4), ta được:
r
rj
W0a a A, Wi a aij
gr
gr
W
(1.8)
a
Do thành phần không gian
i
của thế Yang-Mills SU(2) (1.8) có dạng tương tự như
thế của một điện tích điểm trong trường tĩnh điện, nên ta có thể coi (1.8) tương ứng
với thế chuẩn của một monopole từ điểm với từ tích có độ lớn
qm
1
.
g
1.1. 2.2. Các nghiệm tổng quát
Hệ phương trình (1.5) có hai nghiệm tổng quát sau:
K r
r
,
sinh r J r i r coth r 1 ,
(1.9)
và
K r
A
,
Ar 1
J r
i
,
Ar 1
(1.10)
K r ,J r
ở đây , A là các hằng số tích phân, i là đơn vị ảo. Các hàm của (1.10) có
kì dị tại r r0 1/ A. Nghiệm (1.9) thì khác với nghiệm Prasad-Sommerfield một đơn
vị ảo [10]. Từ nghiệm (1.9) chúng tôi thấy rằng, khi 0 thì hàm
10
K r 1, J r 0
W
và thế chuẩn SU(2) trở thành chân không
a
0 .
Trường hợp
0, nghiệm (1.9) đều tại r = 0 (vì tại các hàm K r 1, J r 0 ). Nghiệm này có
tích topo n = 1, như chúng ta thấy từ điều kiện biên
a
0
a
W =r
i
g
tại r . Nghiệm
(1.10) có dạng tương tự nghiệm Schwarzschild trong lý thuyết tương đối tổng quát.
Khi thế (1.10) vào (1.4), chúng tôi nhận được:
a
i
rj
Ar
a
W r
, Wi aij
1
.
gr Ar 1
gr Ar 1
a
0
(1.11)
Các thế này có kì dị tại r = 0 và r0 1/ A. Tính kì dị của thế chuẩn không Abel tại r =
0 thì cũng giống như tính kì dị của thế Coulomb gây bởi một điện tích điểm tại r = 0
trong hình thức luận điện từ cổ điển. Còn tính kì dị của thế chuẩn không Abel tại
r0
1
A dường như biểu lộ sự giam cầm tích chuẩn SU(2). Một hạt mang tích chuẩn
SU(2) đi vào miền
r
1
A thì không thể rời khỏi trong miền này.
Dễ dàng thấy rằng các nghiệm (1.9) và (1.10) là tự đối ngẫu, bởi vì các cường độ
a
a
trường Ei , Bi thỏa mãn phương trình:
Bia iEia ,
(1.12)
trong đó:
11
1
Eia F0ai , Bia ij k F jka .
2
(1.13)
1.2. NGHIỆM SOLITON CỦA HỆ YANG-MILLS-HIGGS
1.2.1. Trường Higgs và sự phá vỡ đối xứng tự phát
Trường Yang-Mills SU(2) liên kết với một tam tuyến Higgs được xác định bởi mật
độ Lagrangian:
2
1 a 1
1 m2
L F Fa Da D a
2 ,
4
2
4
trong đó
Fa
cho bởi phương trình (1.2), còn
Da
(1.14)
là đạo hàm hiệp biến của trường
Higgs. Nó có dạng:
Da a g abcWbc .
(1.15)
Số hạng cuối cùng ở vế phải của mật độ Lagrangian (1.14) đóng vai trò như thế Higgs.
Vì vậy ta đặt:
2
1 m2
U
2 , 2 aa .
4
(1.16)
Trong lý thuyết cổ điển này có sự vi phạm bất biến chuẩn SU(2) định xứ, do sự
xuất hiện thế Higgs trong mật độ Lagrangian (1.14). Trường Higgs phải khác không ở
vô hạn để thế năng tại đó bằng không. Như vậy, nghiệm vật lý bất kỳ phải thỏa mãn
điều kiện
m a a a
r , r r 1, r .
a
(1.17)
Điều này thì tương tự như sự phá vỡ đối xứng tự phát trong lý thuyết trường lượng
tử, ở đấy người ta cho trường Higgs một giá trị kỳ vọng chân không khác không
12
a 0. Nếu a 0 tại vô hạn, điều này dẫn đến sự phá vỡ bất biến chuẩn SU(2)
định xứ theo nghĩa, một nghiệm bất kỳ thỏa mãn điều kiện (1.17) không bất biến đối
với nhóm chuẩn SU(2) toàn cục. Tuy nhiên nghiệm này bất biến đối với nhóm con
U(1) của nhóm chuẩn SU(2).
1.2.2. Các phương trình trường trong hệ Yang-Mills-Higgs
Từ mật độ Lagrangian (1.14), sử dụng phương trình Lagrange-Euler, chúng tôi
tìm được các phương trình chuyển động của trường chuẩn SU(2) liên kết với một tam
tuyến Higgs. Chúng có dạng:
Fa g abc Fb Wc Db c ,
(1.18)
Da g abc Db Wc m 2a a 2 .
(1.19)
Giả sử trường chuẩn và trường Higgs là xuyên tâm, để tìm nghiệm của các
phương trình trên ta sử dụng ansatz Wu-Yang [9]:
1 K r
Wi a aij rj
,
gr
W0a r a
a ra
J r
,
gr
(1.20)
H r
,
gr
a
K r , J r , H r
ở đây r là bán kính vectơ đơn vị,
là các hàm chỉ phụ thuộc vào r.
Nếu chỉ quan tâm tới các nghiệm tĩnh thì tất cả các đạo hàm theo thời gian trong các
phương trình (1.18), (1.19) sẽ bằng không. Khi thế ansatz (1.20) vào các phương trình
(1.18), (1.19), chúng tôi nhận được hệ ba phương trình vi phân phi tuyến liên kết (phụ
lục A):
13
r 2 K ' ' K K 2 H 2 J 2 1 ,
r 2 J ' ' 2 JK 2 ,
(1.21)
2
H 2
2 2
r H H 2 K m r 2 .
g
2
''
Những dấu phẩy phía trên các hàm trường trong hệ phương trình (1.21) chỉ đạo hàm
theo r. Hệ phương trình (1.21) chỉ có thể giải được chính xác trong một số trường hợp
đơn giản.
1.2.3. Một số dạng nghiệm
1.2.3.1. Nghiệm monopole từ ‘t Hooft-Poliakov
a
Khi thành phần thời gian của trường chuẩn SU(2) bằng không ( W0 = 0, hay hàm
J r 0
), hệ phương trình (1.21) viết lại là:
r 2 K '' K K 2 H 2 1 ,
2
H 2
2 2
r H H 2 K m r 2 .
g
2
''
(1.22)
Khi đó ansatz (1.14) đưa về dạng:
1 K r
Wi a aij r j
,
gr
W0a 0,
a ra
(1.23)
H r
.
gr
14
Hệ phương trình vi phân phi tuyến (1.22) chỉ giải được chính xác khi các hằng số
m 2 0, 0, còn khi m 2 0, 0 thì chỉ giải được bằng phương pháp số. ‘t Hooft và
Poliakov đã độc lập tìm được nghiệm của các phương trình chuyển động (1.22) khi m
và khác không. Nghiệm này được gọi là monopole ‘t Hooft-Poliakov [11, 12]. Các
đặc tính của nghiệm là
a
a
W và không kì dị ở mọi nơi.
Thành phần tầm xa của nghiệm tương ứng với trường điện từ của một monopole từ
tĩnh.
Nghiệm có năng lượng hữu hạn và ổn định.
Ta xét nghiệm thỏa mãn điều kiện biên ở khoảng cách lớn
r
của hệ phương
trình (1.22) là
K r Are gmr /
H r
,
(1.24)
gm / r Be
2
r,
(1.25)
Wi a aij r j / gr ,
(1.26)
a r a m / Be
2r
,
(1.27)
trong đó A, B là các hằng số. Từ (1.24) ta thấy, đại lượng gm / có ý nghĩa là khối
lượng của thành phần không gian của trường chuẩn. Nếu gọi Mw là khối lượng của
thành phần không gian của trường chuẩn thì
Wi a : 1/ r ,
M W gm / .
Theo (1.26) thì
điều này cho thấy thành phần không gian của trường chuẩn có dạng của
một monopole từ điểm không Abel.
15
Nghiệm thỏa mãn điều kiện biên ở khoảng cách nhỏ
r 0 của hệ phương trình
(1.22) là
K r 1 gCr 2 ,
(1.28)
H r gDr 2 ,
(1.29)
Wi a aij r j Cr ,
(1.30)
a r a Dr ,
(1.31)
trong đó C và D là các hằng số. Các phương trình (1.28) - (1.31) cho thấy các hàm
K r , H r
a
a
cũng như các thế Wi , không kì dị tại r = 0.
Bây giờ chúng tôi giải thích lý do tại sao các nghiệm tìm được trên đây được giải
thích như là monopole từ. Khi khảo sát các nghiệm cổ điển của lý thuyết Yang-Mills,
người ta thấy rằng thành phần tầm xa trong các nghiệm tĩnh của lý thuyết Yang-Mills
tương ứng với nhóm chuẩn U(1) định xứ không bị phá vỡ. Vì vậy người ta có thể xem
thành phần tầm xa như là một trường điện từ. Để làm điều này cần phải xây dựng một
định nghĩa thích hợp cho tenxơ cường độ trường điện từ trong lý thuyết (1.14). Định
nghĩa này phải bất biến đối với phép biến đổi chuẩn SU(2). ‘t Hooft đã đưa ra tenxơ
bất biến chuẩn [11]:
G A A
1
abc a b c ,
g
(1.32)
được đồng nhất với tenxơ cường độ trường điện từ. Trong phương trình (1.32) thì:
A a Wa , a a / ,
16
(1.33)
ở đây
A
là thành phần không khối lượng của thế chuẩn
Wa .
Dễ dàng thấy rằng với
ansatz đối xứng cầu (1.20) thì a ra , phương trình (1.32) cho kết quả:
G0i 0 (trường hợp hàm J r 0)
Gij
1
r
ijk k .
gr 2
(1.34)
(1.35)
Biểu thức (1.35) chính là cường độ từ trường của một monopole từ điểm với từ tích có
độ lớn:
qm
1
.
g
(1.36)
1.2.3.2. Nghiệm dyon
Các monopole từ mang điện tích được gọi là dyon. Để monopole từ mang điện
tích thì trong ansatz Wu-Yang (2.1) thành phần thời gian của trường chuẩn
W
a
0
phải
2
khác không. Khi m 0, 0 hệ phương trình (1.21) chỉ có thể giải được bằng
phương pháp số. Xét trường hợp trường Higgs không có khối lượng, hệ phương trình
(1.21) đưa về dạng:
r 2 K ' ' K K 2 H 2 J 2 1 ,
r 2 J ' ' 2 JK 2 ,
(1.37)
r 2 H ' ' 2 HK 2 .
17
a
a
a
Khi thế W0 0, thì F0i Ei 0, vì vậy điện trường được bổ sung vào từ trường của
monopole từ. Prasad-Sommerfield đã tìm được nghiệm chính xác của hệ phương trình
(1.37), nó có dạng [10]:
K r Cr / sinh Cr ,
(1.38)
J r sinh Cr coth Cr 1 ,
(1.39)
H r cosh Cr coth Cr 1 ,
(1.40)
ở đây C , là các hằng số. Các nghiệm (1.38) - (1.40) được gọi là nghiệm chính xác
dyon Julia-Zee.
Trường hợp C 0 nghiệm (1.38) tương ứng với sự phá vỡ đối xứng SU(2) định
K r Cre Cr .
xứ, bởi vì: khi r thì
Như vậy C là khối lượng của hai thành phần
trường Yang-Mills, nó nhận được khối lượng qua sự phá vỡ đối xứng chuẩn định xứ.
Khi C 0 thì K 1, J 0, H 0, nghiệm (1.38) - (1.40) trở thành nghiệm chân
không
W
a
0, a 0 .
Năng lượng của dyon cho bởi các nghiệm (1.38) - (1.40) được xác định bằng cách
lấy tích phân thể tích của thành phần thời gian - thời gian của tenxơ năng - xung
lượng:
T F a F a D a D a g L,
nghĩa là
E T 00 d 3 x
18
(1.41)
2
2
2
2
'
'
4 '2 K 1
J 2 K 2 rJ J
H 2 K 2 rH H
2K
dr.
g 0
2r 2
r2
2r 2
r2
2r 2
(1.42)
Khi thế (1.38) - (1.40) vào (1.42) và lấy tích phân, chúng tôi nhận được:
E
4 C
cosh 2 .
2
g
(1.43)
1.2.3.3. Nghiệm Singleton
Từ việc so sánh sự tương ứng giữa lý thuyết tương đối tổng quát và lý thuyết
Yang-Mills, Singleton đã tìm được một dạng nghiệm chính xác khác của hệ phương
trình (1.37). Nghiệm này có dạng tương tự nghiệm Schwarzshild trong lý thuyết tương
đối tổng quát [13]:
K r
Ar
,
Ar 1
(1.44)
J r
B
,
Ar 1
(1.45)
H r
C
,
Ar 1
(1.46)
2
2
ở đây A là hằng số tùy ý, còn B và C là các hằng số thỏa mãn điều kiện C B 1. Vì
vậy, nếu chỉ có thành phần không gian của trường chuẩn và trường Higgs thì
K r
Ar
1
, H r
.
Ar 1
Ar 1
(1.47)
Còn nếu chỉ có trường chuẩn thuần túy (không có trường Higgs) thì
K r
Ar
i
, J r
.
Ar 1
Ar 1
19
(1.48)
Nghiệm (1.48) trùng với nghiệm (1.10), điều này là hiển nhiên vì khi không có trường
Higgs thì mật độ Lagrangian (1.14) đưa về mật độ Lagrangian (1.1).
Sau đây chúng tôi sẽ xét chi tiết các tính chất và ý nghĩa của nghiệm Singleton.
Do có sự tương tự giữa nghiệm Singleton của lý thuyết Yang-Mills-Higgs và nghiệm
Schwarzschild của lý thuyết tương đối tổng quát, nên người ta cho rằng có mối liên hệ
giữa trường Yang-Mills và trường hấp dẫn.
K r , J r , H r
Các hàm trường
có kì dị tại r0 1/ A. Trường chuẩn không Abel
SU(2) và trường Higgs cho bởi ansatz (1.20) tương ứng với các nghiệm (1.44) - (1.46)
có kì dị tại r 0, và r0 1/ A. Tính kì dị của trường chuẩn không Abelian và của
trường Higgs tại r = 0 thì cũng tương tự như tính kì dị của thế Coulomb của một điện
tích điểm trong hình thức luận điện từ trường cổ điển. Từ các phương trình (1.2),
(1.13) và (1.20), chúng tôi tìm được các biểu thức xác định cường độ điện từ trường
không Abel (phụ lục B):
J ' a i JK ai a i
r r 2 r r ,
r
r
(1.49)
1 K 2 1 a i K ' ai a i
r r r r .
g r2
r
(1.50)
Eia
Bia
1
g
Khi thế (1.44) - (1.46) vào (1.49) và (1.50), chúng tôi nhận được:
Eia
Bia
1
g
B 1 2 Ar a i
BAr
ai a i
r
r
r r ,
2
2
2
r 2 Ar 1
r Ar 1
1 1 2 Ar a i
Ar
ai a i
r
r
r r ,
2
2
g r Ar 1 2
r 2 Ar 1
(1.51)
(1.52)
Điện trường không Abel và từ trường không Abel có kì dị tại r = 0 và r0 1/ A. Do tính
kì dị của các thế chuẩn cũng như tính kì dị của cường độ điện từ trường không Abel tại
20
- Xem thêm -