Tài liệu Phân bố giá trị của ánh xạ phân hình từ đa tạp kähler vào đa tạp xạ ảnh và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Nguyễn Thị Nhung PHÂN BỐ GIÁ TRỊ CỦA ÁNH XẠ PHÂN HÌNH TỪ ĐA TẠP KÄHLER VÀO ĐA TẠP XẠ ẢNH VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Hình học và Tôpô Mã số: 9.46.01.05 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Sĩ Đức Quang Hà Nội, 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan các kết quả được trình bày trong luận án là mới, đã được công bố trên các tạp chí Toán học có uy tín trên thế giới. Các kết quả nêu trong luận án là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Nghiên cứu sinh Nguyễn Thị Nhung ii LỜI CẢM ƠN Luận án đã được hoàn thành dưới sự quan tâm và hướng dẫn tận tình của PGS.TS Sĩ Đức Quang. Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến Thầy, cảm ơn Thầy đã luôn chỉ bảo, sẻ chia và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Tôi xin được gửi lời cảm ơn đến GS.TSKH Hà Huy Khoái, người đã định hướng và khuyến khích tôi trong nghiên cứu khoa học, tạo nhiều cơ hội để tôi có thể học tập và giao lưu với những nhà khoa học cùng hướng nghiên cứu. Tôi xin được gửi lời cảm ơn đến Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội, Phòng Sau đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin về sự giúp đỡ cũng như tạo điều kiện thuận lợi dành cho tôi. Tôi xin được gửi lời cảm ơn đến các thầy cô và anh chị em trong seminar Hình học phức của Bộ môn Hình học và Tô pô, đặc biệt là TS Phạm Đức Thoan và TS Lê Ngọc Quỳnh, về sự động viên, trợ giúp và những trao đổi khoa học hữu ích trong quá trình tôi học tập và nghiên cứu. Tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Trường Đại học Thăng Long, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin, anh chị em đồng nghiệp trong Bộ môn Toán đã giúp đỡ, quan tâm và chia sẻ để tôi luôn có những điều kiện thuận lợi nhất trong suốt quá trình học nghiên cứu sinh. Cuối cùng, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn từ tận đáy lòng đến gia đình và người thân đã luôn bên tôi, khích lệ và động viên tôi, chia sẻ khó khăn để tôi có thể hoàn thành được luận án của mình. Tác giả iii MỤC LỤC Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Danh mục các quy ước và kí hiệu vi MỞ ĐẦU 1 1 TỔNG QUAN 6 2 QUAN HỆ SỐ KHUYẾT KHÔNG LẤY TÍCH PHÂN CHO ÁNH XẠ PHÂN HÌNH GIAO VỚI HỌ SIÊU MẶT DƯỚI TỔNG QUÁT 18 2.1 Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Định lý về quan hệ số khuyết không lấy tích phân cho ánh xạ phân hình 27 3 VẤN ĐỀ DUY NHẤT CHO ÁNH XẠ PHÂN HÌNH CÓ CÙNG ẢNH NGƯỢC CỦA MỘT SỐ SIÊU PHẲNG 3.1 53 Định lý cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình từ hình cầu và họ siêu phẳng ở vị trí tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.2 Định lý duy nhất cho ánh xạ phân hình có cùng ảnh ngược của một số siêu phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4 SỰ PHỤ THUỘC ĐẠI SỐ CỦA BA ÁNH XẠ PHÂN HÌNH CÓ CÙNG ẢNH NGƯỢC CỦA MỘT SỐ SIÊU PHẲNG 4.1 67 Định lý cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình từ hình cầu và họ siêu phẳng ở vị trí dưới tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.2 Định lý về sự phụ thuộc đại số của ba ánh xạ phân hình có cùng ảnh ngược của một số siêu phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 iv Kết luận và kiến nghị 92 Danh mục các công trình đã công bố liên quan đến luận án 94 95 TÀI LIỆU THAM KHẢO v DANH MỤC CÁC QUY ƯỚC VÀ KÍ HIỆU Trong toàn bộ luận án, chúng ta thống nhất một số kí hiệu như sau. • Pn (C): không gian xạ ảnh phức n− chiều. • kzk = |z1 |2 + · · · + |zm |2
1/2 với z = (z1 , . . . , zm ) ∈ Cm . • B(r) := {z ∈ Cm : kzk < r} là hình cầu mở bán kính r trong Cm . • S(r) := {z ∈ Cm : kzk = r} là mặt cầu bán kính r trong Cm . √ −1 (∂ − ∂): các toán tử vi phân. • d = ∂ + ∂, dc := 4π • βn−1 := (ddc kzk2 )n−1 , σn := dc logkzk2 ∧ (ddc logkzk2 )n−1 : các dạng vi phân. • O(1): hàm bị chặn đối với r. • O(r): vô cùng lớn cùng bậc với r khi r → +∞. • o(r): vô cùng bé bậc cao hơn r khi r → +∞. • log+ r = max{log r, 0}, r > 0. • “ || P ”: có nghĩa là mệnh đề P đúng với mọi r ∈ [0, +∞) nằm ngoài một tập con Borel E của [0, +∞) thoả mãn R E dr < +∞. • |S|: lực lượng của tập hợp S . • I(x): số nguyên lớn nhất không vượt quá x. • BCNN{d1 , . . . , dq }: bội số chung nhỏ nhất của các số nguyên dương d1 , . . . , dq . • Zero(h) : tập các không điểm của hàm h. • supp(ν) : giá của divisor ν . vi MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết Nevanlinna bắt đầu bằng những nghiên cứu về phân bố giá trị của các hàm phân hình trên mặt phẳng phức. Năm 1926, R. Nevanlinna đã mở rộng định lý Picard nhỏ bằng cách chứng minh hai định lý quan trọng mà thường được gọi là định lý cơ bản thứ nhất và định lý cơ bản thứ hai. Công trình của R. Nevanlinna ngay lập tức được quan tâm mạnh mẽ và đã có nhiều kết quả quan trọng được công bố bởi các tác giả như A. Bloch [2], H. Cartan [4],[5], H. Weyl và F. J. Weyl [42]. Đặc biệt, H. Cartan đã mở rộng lý thuyết Nevanlinna cho đường cong chỉnh hình trong không gian xạ ảnh phức và sau đó L. Ahlfors [1] đưa ra cách tiếp cận hình học cho các kết quả của H.Cartan và Weyls. Vào những năm tiếp theo, W. Stoll [35] và một số nhà toán học khác như P. Griffiths, B. Shiffman đã tổng quát các kết quả trên cho trường hợp nhiều biến phức và đồng thời phát triển lên cho trường hợp ánh xạ phân hình từ đa tạp parabolic vào đa tạp xạ ảnh. Trong những thập kỉ vừa qua, nhiều nhà toán học đã quan tâm đến bài toán tổng quát lý thuyết Nevanlinna lên cho trường hợp ánh xạ phân hình từ đa tạp Kähler vào đa tạp xạ ảnh. Năm 1985, H. Fujimoto [14] đã xây dựng lý thuyết phân bố giá trị cho trường hợp đa tạp Kähler M đầy và có phủ song chỉnh hình với một hình cầu B(R0 ) trong không gian phức nhiều chiều Cm . Điểm khác biệt là trên đa tạp Kähler tổng quát không có hàm vét cạn parabolic, do đó không thể xây dựng được các khái niệm thông thường cho hàm đếm của divisor, hàm đặc trưng cũng như hàm xấp xỉ của các ánh xạ. Để vượt qua khó khăn này, dựa vào tính giảm khoảng cách của không gian cơ sở so với không gian phủ, Fujimoto chuyển các bài toán cho ánh xạ phân hình f từ M thành bài toán cho f từ B(R0 ) vào không gian xạ ảnh Pn (C). Đồng thời, H. Fujimoto cũng đưa ra các khái niệm mới và phương pháp mới để giải quyết những trường hợp khác 1 biệt khi áp dụng lý thuyết Nevanlinna trên hình cầu B(R0 ) so với trên Cm . Cụ thể là, ông đã đưa ra khái niệm số khuyết không lấy tích phân và thiết lập được quan hệ số khuyết này cho ánh xạ phân hình từ M vào không gian xạ ảnh Pn (C) giao với họ các siêu phẳng. Sau kết quả này của H. Fujimoto, T. V. Tấn và V. V. Trường [38] đã chứng minh được định lý về số khuyết không lấy tích phân cho ánh xạ phân hình từ M giao với họ siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát. Tuy nhiên, khái niệm “dưới tổng quát” của các tác giả khá đặc biệt khi cần thêm một điều kiện so với định nghĩa thông thường. Bằng một cách khác, M. Ru và S. Sogome [32] đã mở rộng kết quả của H. Fujimoto cho ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh với các siêu mặt ở vị trí tổng quát. Theo nghĩa tự nhiên của khái niệm “dưới tổng quát”, một số tác giả sau đó đã thiết lập quan hệ số khuyết cho ánh xạ phân hình và các siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát như Q. Yan [43], Đ. Đ. Thái và S. Đ. Quang [40]. Tuy nhiên, các kết quả của các tác giả trên vẫn chưa phải là những mở rộng thực sự cho kết quả của M. Ru và S. Sogome khi quay về họ siêu mặt ở vị trí tổng quát. Do đó, một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là: “Liệu có thể thiết lập được quan hệ số khuyết không lấy tích phân tốt hơn cho trường hợp họ siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát không?” Trong luận án này, chúng tôi sẽ đưa ra một phương pháp mới để trả lời cho câu hỏi trên. Sau khi R. Nevanlinna đưa ra định lý năm điểm hay còn gọi là định lý duy nhất, nhiều tác giả đã mở rộng định lý này lên cho trường hợp ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C). Những kết quả đầu tiên thuộc về H. Fujimoto [11] và L. Smiley [34], trong đó L. Smiley đã chứng minh rằng hai ánh xạ phân hình sẽ trùng nhau nếu chúng bằng nhau trên ảnh ngược của 3n + 2 siêu phẳng và giao của ảnh ngược của hai siêu phẳng tùy ý có đối chiều ít nhất là hai. Việc có thêm điều kiện đối chiều của giao ảnh ngược của hai siêu phẳng đã giúp thực hiện được nhiều biến đổi hơn trên hàm đếm và cho đến nay đã có nhiều kết quả cải tiến định lý của L. Smiley được đưa ra. Những kết quả tốt nhất theo hướng này thuộc về Z. Chen và Q. Yan [6], H. H. Giang, L. N. Quỳnh và S. Đ. Quang [16]. Năm 1986, sau khi thiết lập thành công quan hệ số khuyết không lấy tích phân, H. Fujimoto [15] đã đưa ra được định lý duy nhất cho ánh xạ phân hình từ M vào Pn (C) với họ các siêu phẳng. Tuy nhiên, định lý của H. Fujimoto không thuộc hướng có thêm điều kiện về đối chiều nên không khái quát được những kết quả được đề cập ở trên khi quay về trường hợp Cm . Do vậy, mục đích tiếp 2 theo của chúng tôi trong luận án là mở rộng định lý duy nhất của H. Fujimoto và đồng thời tổng quát các kết quả đã đạt được trên Cm . Khi số siêu phẳng không đủ lớn thì ta không thể suy ra kết luận trong bài toán duy nhất. Tuy nhiên, với một số điều kiện nhất định, ta có thể chỉ ra được các ánh xạ được xét có liên hệ đại số với nhau. Bài toán về sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) được bắt đầu nghiên cứu trong bài báo của S. Ji [18] và cho đến nay đã có nhiều kết quả được công bố. Một số kết quả tốt nhất gần đây thuộc về Z. Chen và Q. Yan [7], S. Đ. Quang [24], S. Đ. Quang và L. N. Quỳnh [26]. Từ đó, một cách tự nhiên, chúng tôi đặt ra câu hỏi: “Có thể mở rộng các kết quả về sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình từ Cm thành ánh xạ từ M vào Pn (C) được không?” Chúng tôi lưu ý là cho đến nay, chưa có kết quả nào được đưa ra cho sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình trên M , mặc dù bài toán duy nhất cho ánh xạ phân hình từ M đã được một số tác giả nghiên cứu sau bài báo của H. Fujimoto năm 1986. Nguyên nhân là những kỹ thuật như sắp xếp hàm đếm hoặc sắp xếp lại họ siêu phẳng được dùng trong những bài toán trên Cm hay trong định lý duy nhất trên M , đều không sử dụng được khi làm bài toán suy biến trên M . Do đó, trong chương cuối của luận án, chúng tôi đã đề xuất những kỹ thuật mới khắc phục khó khăn này, để xây dựng được mối liên hệ đại số của ánh xạ phân hình từ đa tạp Kähler. Từ những lý do như trên, chúng tôi lựa chọn đề tài “Phân bố giá trị của ánh xạ phân hình từ đa tạp Kähler vào đa tạp xạ ảnh và ứng dụng ”, để đi sâu vào nghiên cứu việc thiết lập quan hệ số khuyết không lấy tích phân cho trường hợp ánh xạ phân hình và các siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát, đồng thời nghiên cứu bài toán duy nhất cũng như bài toán về sự phụ thuộc đại số cho những ánh xạ phân hình giao với họ các siêu phẳng. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích đầu tiên của luận án là thiết lập quan hệ số khuyết không lấy tích phân cho ánh xạ phân hình từ đa tạp Kähler vào đa tạp xạ ảnh với họ siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát. Tiếp theo đó luận án nghiên cứu bài toán duy nhất cũng như bài toán suy biến hay phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình từ đa tạp Kähler vào không gian xạ ảnh giao với họ các siêu phẳng ở vị trí tổng quát hoặc dưới tổng quát. 3 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của luận án là quan hệ số khuyết không lấy tích phân, vấn đề duy nhất và vấn đề phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình từ đa tạp Kähler vào đa tạp xạ ảnh. Đề tài được nghiên cứu trong phạm vi của lý thuyết Nevanlinna cho ánh xạ phân hình trên đa tạp Kähler. 4. Phương pháp nghiên cứu Để giải quyết các vấn đề đặt ra trong luận án, chúng tôi sử dụng những phương pháp của lý thuyết phân bố giá trị và hình học phức. Bên cạnh việc sử dụng các kỹ thuật truyền thống, chúng tôi đưa ra những kỹ thuật mới nhằm đạt được những mục đích đã đặt ra trong đề tài. 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Luận án góp phần làm sâu sắc hơn các kết quả về quan hệ số khuyết không lấy tích phân cho ánh xạ phân hình từ đa tạp Kähler vào đa tạp xạ ảnh với họ siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát. Bên cạnh làm phong phú thêm các bài toán về sự duy nhất, luận án cũng đưa ra được những kết quả mới cho sự phụ thuộc đại số của những ánh xạ phân hình từ đa tạp Kähler vào không gian xạ ảnh với họ siêu phẳng. Luận án có thể là tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học và nghiên cứu sinh theo hướng nghiên cứu này. 6. Cấu trúc luận án Cấu trúc của luận án bao gồm bốn chương chính. Chương Tổng quan dành để phân tích một số kết quả nghiên cứu của những tác giả trong và ngoài nước liên quan đến nội dung của đề tài. Ba chương còn lại trình bày các kiến thức chuẩn bị cũng như những chứng minh chi tiết cho các kết quả mới của đề tài. Chương I. Tổng quan. Chương II. Quan hệ số khuyết không lấy tích phân cho ánh xạ phân hình giao với họ siêu mặt dưới tổng quát. Chương III. Vấn đề duy nhất cho ánh xạ phân hình có cùng ảnh ngược của một số siêu phẳng. Chương IV. Sự phụ thuộc đại số của ba ánh xạ phân hình có cùng ảnh ngược của một số siêu phẳng. 4 Luận án được viết dựa trên bốn bài báo, trong đó có ba bài đã được đăng và một bài đang gửi đi công bố. 7. Nơi thực hiện luận án Trường Đại học Sư phạm Hà Nội. 5 Chương 1 TỔNG QUAN Như đã trình bày trong phần Mở đầu, luận án tập trung nghiên cứu những bài toán về thiết lập quan hệ số khuyết không lấy tích phân, tính duy nhất cũng như sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình từ đa tạp Kähler M vào không gian xạ ảnh Pn (C), ở đây M có phủ song chỉnh hình với một hình cầu B(R0 ) trong Cm . Chúng tôi sẽ đi sâu phân tích lịch sử, kết quả của những tác giả đi trước, cũng như các kết quả mới mà chúng tôi đạt được trong từng bài toán. Lưu ý rằng, các bài toán cho ánh xạ phân hình xét trên M được mở rộng từ những bài toán tương ứng xét trên Cm . Trong phần Mở đầu, ta thấy rằng nhờ tính giảm khoảng cách của không gian cơ sở so với không gian phủ, các bài toán cho f từ M được chuyển thành bài toán trên hình cầu B(R0 ). Như đã biết, một trong những kết quả chính của lý thuyết Nevanlinna là định lý cơ bản thứ hai, cho bất đẳng thức đánh giá chặn trên hàm đặc trưng bởi tổng một số hàm đếm cộng với một đại lượng nhiễu Sf (r). Đối với trường hợp ánh xạ từ Cm , Sf (r) có thể ước lượng là vô cùng bé bậc cao hơn so với hàm đặc trưng Tf (r). Tuy nhiên, khi xét bài toán cho f từ B(R0 ) với bán kính R0 < ∞, điều này nói chung không còn đúng, dẫn đến việc đánh giá qua hàm đếm và hàm đặc trưng không còn có ý nghĩa. Sự khác biệt cũng như khó khăn khi giải quyết bài toán trên M xuất phát từ đặc điểm này của đa tạp. Trong suốt luận án này, các đa tạp Kähler luôn được giả thiết là có phủ song chỉnh hình với một hình cầu trong Cm . 6 I. Quan hệ số khuyết không lấy tích phân cho ánh xạ phân hình giao với họ siêu mặt dưới tổng quát Quan hệ số khuyết, định lý cơ bản thứ nhất và định lý cơ bản thứ hai là ba kết quả quan trọng nhất của lý thuyết Nevanlinna. Mục đích đầu tiên của luận án là thiết lập quan hệ số khuyết không lấy tích phân cho ánh xạ phân hình từ đa tạp Kähler vào đa tạp xạ ảnh. Như đã trình bày ở trên, khi bán kính R0 < ∞, các kỹ thuật truyền thống đánh giá qua hàm đếm và hàm đặc trưng là không thực hiện được, do đó không xây dựng được quan hệ số khuyết cổ điển của Nevanlinna. Năm 1983, H. Fujimoto [13] đưa ra khái niệm số khuyết không lấy tích phân cho ánh xạ chỉnh hình từ mặt Riemann mở vào không gian xạ ảnh Pn (C) và đạt được những kết quả tương tự như quan hệ số khuyết cổ điển. Năm 1985, H. Fujimoto trong [14] đã mở rộng những kết quả này lên cho trường hợp ánh xạ phân hình từ đa tạp Kähler đầy có phủ song chỉnh hình với một hình cầu trong Cm vào Pn (C). Để tiện cho việc trình bày, chúng tôi đưa ra một số ký hiệu và định nghĩa sau. Cho M là đa tạp Kähler đầy có chiều m. Giả sử f : M −→ Pn (C) là ánh xạ phân hình, Ωf là kéo√lùi bởi f của dạng Fubini-Study Ω trong Pn (C). Trên M −1 P với dạng Kähler ω = i,j hij̄ dzi ∧ dz j , ta định nghĩa 2 Ricω = ddc log(det(hij )). Định nghĩa 1.0.1. Với ρ ≥ 0, ta nói rằng f thỏa mãn điều kiện (Cρ ) nếu tồn tại hàm thực h khác không, liên tục bị chặn h trên M sao cho ρΩf + ddc logh2 ≥ Ricω, √ ở đây, d = ∂ + ∂ và dc = −1 (∂ − ∂). 4π Định nghĩa 1.0.2. Với mỗi số nguyên dương µ0 và siêu mặt Q bậc d trong Pn (C) thỏa mãn f (M ) 6⊂ Q, ký hiệu νf (Q)(p) là bội giao của ảnh của f và Q tại f (p). Số khuyết không lấy tích phân của f đối với siêu mặt Q chặn bội bởi µ0 , ký hiệu là δf[µ0 ] (Q), được định nghĩa như sau: [µ ] δf 0 (Q) := 1 − inf{η ≥ 0 : η thỏa mãn điều kiện (∗)}. 7 Ở đây, điều kiện (*) có nghĩa là tồn tại hàm không âm h liên tục, bị chặn trên M và có bội không điểm không nhỏ hơn min{νf (Q), µ0 }, sao cho √ −1 ¯ dηΩf + ∂ ∂logh2 ≥ [min{νf (Q), µ0 }], 2π với [ν] là ký hiệu của dòng kiểu (1, 1) sinh bởi divisor ν . Định nghĩa 1.0.3. Cho V là đa tạp xạ ảnh của Pn (C) có chiều k > 0. Cho N, n, q là các số nguyên dương thỏa mãn N ≥ n và q ≥ N + 1 và Q1 , . . . , Qq là các siêu mặt trong Pn (C). Khi đó, các siêu mặt Q1 , . . . , Qq được gọi là ở vị trí N -dưới tổng quát đối với V nếu Qj1 ∩ · · · ∩ QjN +1 ∩ V = ∅ với mọi 1 ≤ j1 < · · · < jN +1 ≤ q. Khi N = n thì ta nói Q1 , . . . , Qq ở vị trí tổng quát đối với V . Khi V = Pn (C) thì đơn giản ta nói Q1 , . . . , Qq ở vị trí N -dưới tổng quát. Năm 1985, H. Fujimoto [14] thiết lập một quan hệ số khuyết không lấy tích phân cho ánh xạ phân hình và họ siêu phẳng ở vị trí tổng quát qua định lý sau. Định lý A. Cho M là đa tạp Kähler đầy có chiều m. Giả sử rằng phủ phổ dụng của M song chỉnh hình với một hình cầu trong Cm . Giả sử f : M → Pn (C) là ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính và thỏa mãn điều kiện (Cρ ) với ρ ≥ 0. Khi đó, nếu H1 , . . . , Hq là các siêu phẳng của Pn (C) ở vị trí tổng quát thì ta có q X [n] δf (Hi ) ≤ n + 1 + ρn(n + 1). i=1 M. Ru-S. Sogome [32] vào năm 2012 đã mở rộng Định lý A lên trường hợp ánh xạ phân hình giao với họ siêu mặt ở vị trí tổng quát như sau. Định lý B. Cho M là đa tạp Kähler đầy chiều m và có phủ phổ dụng song chỉnh hình với một hình cầu trong Cm . Giả sử f : M → Pn (C) là ánh xạ phân hình không suy biến đại số và thỏa mãn điều kiện (Cρ ) với ρ ≥ 0. Cho Q1 , . . . , Qq là các siêu mặt trong Pn (C) có bậc di , ở vị trí tổng quát, và đặt d = BCN N {d1 , . . . , dq }. Khi đó, với mỗi  > 0, ta có q X [u−1] δf (Qj ) ≤ n + 1 +  + j=1 8 ρu(u − 1) , d 2 ở đây u ≤ 2n +4n en d2n (nI(ε−1 ))n và I(x) := min{k ∈ N : k > x} với x là số thực dương. Sau đó, Q. Yan [43] đã mở rộng Định lý B bằng cách xem xét họ siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát và đưa ra kết quả sau vào năm 2013. Định lý C. Giả sử M và f thỏa mãn các giả thiết như trong Định lý B. Cho Q1 , . . . , Qq là các siêu mặt trong Pn (C) có bậc di , ở vị trí N -dưới tổng quát, và đặt d = BCN N {d1 , . . . , dq }. Khi đó, với mỗi  > 0, ta có q X [u−1] δf (Qj ) ≤ N (n + 1) +  + j=1 ở đây u = K0 +n
≤ n ρu(u − 1) , d (3eN dI(−1 ))n (n + 1)3n và K0 = 2N dn2 (n + 1)2 I(−1 ). Kết quả của Yan trong Định lý C chưa là một tổng quát hóa kết quả của H. Fujimoto và M. Ru-S. Sogome. Thật vậy, khi họ siêu mặt ở vị trí tổng quát, tức là N = n, số hạng đầu tiên trong vế phải của bất đẳng thức về quan hệ số khuyết là n(n + 1), lớn hơn n + 1 như thông thường. Như đã nói trong phần Mở đầu, năm 2012, T. V. Tấn và V. V. Trường trong [38] đưa ra một quan hệ số khuyết không lấy tích phân cho họ siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát và cho số hạng này bằng n + 1. Tuy nhiên, định nghĩa “dưới tổng quát” của các tác giả khá đặc biệt, khi cần thêm một điều kiện về giao của thành phần bất khả quy của q siêu mặt này (xem định nghĩa 1.1(ii) trong [38]). Thông thường, khi giải quyết trường hợp họ siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát, ta phải tổng quát khái niệm trọng Nochka. Tuy nhiên, đối với trường hợp siêu mặt, trọng Nochka chưa được xây dựng đầy đủ. Để vượt qua khó khăn này, chúng tôi sử dụng kỹ thuật “thay thế siêu mặt” của S. Đ. Quang đưa ra trong [28]. Ý tưởng của kỹ thuật này là tránh dùng trọng Nochka bằng cách sau: “Mỗi lần thực hiện các đánh giá trong các hàm phụ trợ, N + 1 siêu mặt trong họ được thay bằng n + 1 siêu mặt khác ở vị trí tổng quát mà không làm thay đổi các ước lượng”. Bằng cách sử dụng kỹ thuật “thay thế siêu mặt”, chúng tôi thiết lập quan hệ số khuyết không lấy tích phân cho ánh xạ phân hình từ đa tạp Kähler đầy vào Pn (C) giao với họ siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát, trong đó kết quả đạt được đã tổng quát Định lý B và đồng thời cải tiến kết quả của Q. Yan. Cụ thể, chúng tôi chứng minh được định lý sau. 9 Định lý 2.2.4 Cho M là đa tạp Kähler đầy chiều m và có phủ phổ dụng song chỉnh hình với một hình cầu trong Cm . Giả sử f : M → Pn (C) là ánh xạ phân hình không suy biến đại số và thỏa mãn điều kiện (Cρ ) với ρ ≥ 0. Cho Q1 , . . . , Qq là các siêu mặt trong Pn (C) có bậc là di , ở vị trí N − dưới tổng quát và gọi d = BCN N {d1 , . . . , dq }. Khi đó, với mỗi  > 0, ta có q X [u−1] δf (Qj ) ≤ p(n + 1) +  + j=1 L0 +n
≤ en+2 (dp(n + 1)2 I(−1 ))n n (n + 1)d + p(n + 1)3 I(−1 )d. ở đây p = N − n + 1, u = L0 = ρu(u − 1) , d và Trong Định lý 2.2.4, dễ thấy khi họ siêu mặt {Q1 , . . . , Qq } ở vị trí tổng quát thì số hạng đầu tiên trong vế phải của bất đẳng thức về quan hệ số khuyết là n + 1, giống kết quả đạt được trong Định lý B của M. Ru-S. Sogome. Hơn nữa, đánh giá bội chặn của số khuyết trong định lý của chúng tôi nhỏ hơn nhiều so với các ước lượng đạt được trong cả Định lý B và Định lý C. Trong các định lý trên, f luôn được giả thiết là ánh xạ phân hình không suy biến đại số. Để giải quyết trường hợp f có thể suy biến đại số, ta phải xây dựng được quan hệ số khuyết cho ánh xạ phân hình từ M vào đa tạp xạ ảnh V của Pn (C) giao với họ siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát đối với V . Tiếp tục sử dụng kỹ thuật “thay thế siêu mặt”, chúng tôi mở rộng Định lý 2.2.4 cho trường hợp họ siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát đối với đa tạp xạ ảnh như sau. Định lý 2.2.10 Cho M là đa tạp Kähler đầy chiều m, có phủ phổ dụng song chỉnh hình với một hình cầu trong Cm . Cho V là đa tạp xạ ảnh chiều k trong Pn (C) và f là ánh xạ phân hình không suy biến đại số từ M vào V , thỏa mãn điều kiện (Cρ ) với ρ ≥ 0. Giả sử Q1 , . . . , Qq là các siêu mặt trong Pn (C) có bậc dj , ở vị trí N − dưới tổng quát đối với V và đặt d = BCN N {d1 , . . . , dq }. Khi đó, với mỗi ε > 0, ta có q X [M0 −1] δf (Qj ) ≤ p(k + 1) + ε + j=1 ρεM0 (M0 − 1) , d  2  ở đây p = N − k + 1, M0 = dk +k deg(V )k+1 ek pk (2k + 4)k lk ε−k + 1 , l = (k + 1)q! và [x] là phần nguyên của số thực x. 10 Từ định lý trên, chúng tôi nhận được hệ quả sau cho trường hợp ánh xạ phân hình có thể suy biến đại số. Hệ quả 2.2.12 Giả sử f : M → Pn (C) là ánh xạ phân hình và {Qi }qi=1 là các siêu mặt trong Pn (C) có bậc di , ở vị trí tổng quát. Đặt d = BCN N {d1 , . . . , dq }. Khi đó, tồn tại số nguyên dương M0 sao cho q X [M −1] δf 0 (Qj ) ≤ j=1 n 2 +1 2 ρM0 (M0 − 1) . d +1+ Chúng tôi lưu ý rằng, bằng một phương pháp khác (sử dụng dạng mở rộng không đầy đủ của trọng Nochka cho siêu mặt), Đ. Đ. Thái và S. Đ. Quang [40] đã đánh giá được tổng số khuyết như sau với những giả thiết giống Định lý 2.2.10. q X j=1 [HV (d)−1] δf (Qj ) ≤ (2N − k + 1)HV (d) ρ(2N − k + 1)HV (d)(HV (d) − 1) + , k+1 (k + 1)d với HV (d) là hàm Hilbert của V . Do HV (d) ≤ n+d n
nên khi ρ dần về 0, chặn trên của tổng số khuyết trong [40] lớn hơn chặn trên đưa ra trong Định lý 2.2.10. Tuy nhiên, bội chặn của số khuyết trong [40] của hai tác giả Thái-Quang nhỏ hơn đánh giá của chúng tôi trong Định lý 2.2.10. II. Vấn đề duy nhất cho ánh xạ phân hình có cùng ảnh ngược của một số siêu phẳng Năm 1926, R. Nevanlinna [20] chỉ ra rằng hai ánh xạ phân hình khác hằng trên mặt phẳng phức có cùng ảnh ngược của năm điểm phân biệt thì trùng nhau. Năm 1975, H. Fujimoto [11] tổng quát kết quả của R. Nevalinna cho trường hợp ánh xạ phân hình từ Cm vào không gian xạ ảnh Pn (C). Ông đã chỉ ra rằng hai ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) trùng nhau nếu có cùng ảnh ngược của 3n+2 siêu phẳng tính cả bội. Năm 1983, bằng cách thêm điều kiện đối chiều của giao ảnh ngược của hai siêu phẳng bất kỳ trong họ ít nhất là hai, L. Smiley [34] chứng minh sự duy nhất của họ ánh xạ phân hình có cùng ảnh ngược của 3n + 2 siêu phẳng không tính bội. Năm 2006, Đ. Đ. Thái và S. Đ. Quang [39] đưa ra ý tưởng sử dụng các hàm phụ trợ mới để chứng minh lại kết quả của S. Smiley cho 3n + 1 siêu phẳng với n ≥ 2. 11 Trong những thập kỷ gần đây, nhiều tác giả cải tiến các kết quả trên bằng cách giảm số siêu phẳng tham gia. Kết quả tốt nhất theo hướng này được đưa ra bởi Z. Chen và Q. Yan [6] vào năm 2009, khi họ chứng minh được định lý duy nhất với số siêu phẳng tham gia là q = 2n + 3. Trong tất cả các kết quả đề cập ở trên, các tác giả luôn xét cố định giả thiết của L. Smiley là đối chiều giao của ảnh ngược của hai siêu phẳng bất kỳ ít nhất là hai. Năm 2012, H. H. Giang, L. N. Quỳnh và S. Đ. Quang [16] đã tổng quát kết quả của Z. Chen và Q. Yan bằng cách xét điều kiện tổng quát hơn là đối chiều giao của ảnh ngược của k siêu phẳng bất kỳ ít nhất là hai, với 1 ≤ k ≤ n. Cụ thể, các tác giả đã chứng minh được định lý sau. Định lý D. Cho H1 , . . . , Hq là q siêu phẳng của Pn (C) ở vị trí tổng quát thỏa mãn điều kiện dim f −1 k+1 \ ! Hij ≤m−2 (1 ≤ i1 < . . . < ik+1 ≤ q). j=1 Giả sử f, g : Cm → Pn (C) là các ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính sao cho f = g trên ∪qj=1 f −1 (Hj ) ∪ g −1 (Hj ). Khi đó, nếu q = (n + 1)k + n + 2 thì f ≡ g. Mục đích tiếp theo của luận án là xem xét bài toán duy nhất trong trường hợp tổng quát hơn với ánh xạ phân hình f : M → Pn (C), trong đó M là đa tạp Kähler liên thông đầy chiều m, có phủ song chỉnh hình với một hình cầu B(R0 ) trong Cm . Năm 1986, Fujimoto [15] lần đầu tiên đưa ra một kiểu định lý duy nhất mới cho ánh xạ phân hình từ M vào Pn (C) như sau. Định lý E. Cho M là đa tạp Kähler liên thông đầy có phủ phổ dụng song chỉnh hình với hình cầu trong Cm . Giả sử f và g là các ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính từ M vào Pn (C) thỏa mãn điều kiện (Cρ ) với ρ ≥ 0. Giả sử H1 , . . . , Hq là q siêu phẳng trong Pn (C) ở vị trí tổng quát thỏa mãn: f = g trên ∪qj=1 f −1 (Hj ) ∪ g −1 (Hj ). Khi đó, nếu q > n2 + 2n + 1 + ρn(n + 1) thì f ≡ g . Như đã trình bày trong phần Mở đầu, Định lý E không thuộc hướng có điều kiện về chiều của Smiley nên không mở rộng được các kết quả trên khi quay về 12 trường hợp M = Cm . Lấy ý tưởng trong bài của H. H. Giang, L. N. Quỳnh và S. Đ. Quang [16], bằng cách chuyển thành một điều kiện tổng quát hơn, chúng tôi chứng định lý duy nhất sau đây. Với kết quả này, chúng tôi không những mở rộng được Định lý E mà còn tổng quát được kết quả trong Định lý của H. H. Giang, L. N. Quỳnh và S. Đ. Quang và cũng là của Z. Chen và Q. Yan. Định lý 3.2.1 Cho M là đa tạp Kähler liên thông đầy có phủ phổ dụng song chỉnh hình với một hình cầu trong Cm . Giả sử f, g : M → Pn (C) là các ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính và thỏa mãn điều kiện (Cρ ) với ρ ≥ 0. Giả sử H1 , . . . , Hq làq siêu phẳng trong Pn (C) ở vị trí tổng quát thỏa mãn  Tk+1 (i) dim f −1 j=1 Hij ≤ m − 2 (1 ≤ i1 < . . . < ik+1 ≤ q), (ii) f = g trên ∪qj=1 f −1 (Hj ) ∪ g −1 (Hj ). 2nkq > n + 1 + ρn(n + 1) q + 2nk − 2k hoặc q < 2(n + 1)k và q > (n + 1)(k + 1) + ρn(n + 1) thì f ≡ g . Khi đó, nếu q ≥ 2(n + 1)k và q − III. Sự phụ thuộc đại số của ba ánh xạ phân hình có cùng ảnh ngược của một số siêu phẳng Như đã trình bày trong phần Mở đầu, khi số siêu phẳng không đủ lớn để họ ánh xạ đang nghiên cứu là duy nhất, ta có thể xem xét về sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ trong họ. Trong chương cuối của luận án, chúng tôi tập trung vào chứng minh các định lý về sự phụ thuộc đại số của ba ánh xạ phân hình từ đa tạp Kähler M vào Pn (C). Để tiện cho việc trình bày, chúng tôi đưa ra một số ký hiệu và định nghĩa sau. Xét f là ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) không suy biến tuyến tính. Với mỗi số nguyên dương d và q siêu phẳng H1 , . . . , Hq trong Pn (C) ở vị trí tổng quát thỏa mãn dim(f −1 (Hi ) ∩ f −1 (Hj )) 6 m − 2 (1 6 i < j 6 q), ta xét F(f, {Hi }qi=1 , d) là họ các ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính g : Cm → Pn (C) thỏa mãn hai điều kiện sau: (a) min(ν(Hj ,f ) , d) = min(ν(Hj ,g) , d) (1 6 j 6 q ), S (b) f (z) = g(z) trên qj=1 f −1 (Hj ), ở đây νHj (f ) (z) là bội giao của ảnh của f với siêu phẳng Hj tại điểm z . Khi d = 1, ta nói f và g chung nhau ảnh ngược của q siêu phẳng {Hj (f )}qj=1 13 không tính bội. Mục tiêu của bài toán về sự phụ thuộc đại số của ba ánh xạ phân hình là tìm điều kiện để f 1 , f 2 , f 3 ∈ F(f, {Hi }qi=1 , d) có mối liên hệ đại số với nhau, cụ thể là đưa ra điều kiện để tập {(f 1 (z), f 2 (z), f 3 (z)), z ∈ Cm } được chứa trong một đa tạp xạ ảnh con thực sự của Pn (C) × Pn (C) × Pn (C). Sự phụ thuộc đại số của f 1 , f 2 , f 3 có thể suy ra từ một điều kiện mạnh hơn là f 1 ∧ f 2 ∧ f 3 ≡ 0. Theo hướng này, năm 1988, S. Ji [18] đã chứng minh định lý về sự phụ thuộc đại số cho ba ánh xạ phân hình có cùng ảnh ngược của 3n + 1 siêu phẳng không tính bội. Sau đó, năm 1989, W. Stoll [36] đã tổng quát kết quả của S. Ji cho trường hợp đa tạp có phủ parabolic. Bài toán về sự phụ thuộc đại số cũng được M. Ru [30] nghiên cứu cho trường hợp đường cong chỉnh hình với mục tiêu di động vào năm 2001 và sau đó được mở rộng bởi nhiều tác giả như P. Đ. Thoan, P. V. Đức và S. Đ. Quang [41], S. Đ. Quang [25], H. Cao [3],. . . Cũng có thể chỉ ra sự phụ thuộc đại số của ba ánh xạ phân hình nếu chứng minh được ánh xạ tích f 1 × f 2 × f 3 là suy biến đại số. Những kết quả tốt theo hướng này gần đây thuộc về T.V. Tấn và V. V. Trường [37], Z. Chen và Q. Yan [7], S. Đ. Quang [27],. . . Trong bài toán phụ thuộc đại số, có hai đối tượng chính được quan tâm là số siêu phẳng tham gia q và giá trị bội chặn d. Các số này càng nhỏ thì kết quả càng có giá trị. Trong kết quả của các tác giả nêu trên, số siêu phẳng luôn được giả sử ít nhất là 2n + 2. Năm 2015, bằng cách đưa ra những kỹ thuật mới, S. Đ. Quang và L. N. Quỳnh [26] đã chứng minh định lý về sự phụ thuộc đại số của ba ánh xạ có cùng ảnh ngược của ít hơn 2n + 2 siêu phẳng ở vị trí tổng quát như sau. Định lý F. Giả sử f 1 , f 2 , f 3 là ba ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính từ Cm vào Pn (C). Giả sử {Hi }qi=1 là họ gồm q siêu phẳng trong Pn (C) ở vị trí tổng quát thỏa mãn dim f −1 (Hi ) ∩ f −1 (Hj ) 6 m − 2 (1 6 i < j 6 q).
Giả sử rằng các điều kiện sau được thỏa mãn. (a) min{ν(f 1 ,Hi ) , n} = min{ν(f 2 ,Hi ) , n} = min{ν(f 3 ,Hi ) , n}, (1 6 i 6 q), Sq 1 −1 (b) f 1 = f 2 = f 3 trên √ i=1 (f ) (Hi ). 2n + 5 + 28n2 + 20n + 1 Khi đó, nếu q > thì ta có một trong các khẳng định 4 sau: 14