Mô tả:
0 sao cho b à i toán Cauchy: = f(x, y, y ' , .... y ( x j = yo» y'(x,) = y'o. . . . . có và chỉ có đ ú n g một nghiệm y = y(x, y^, . . tr ê n - r^Xo + r). T ừ đó với n h ữ n g giả th i ế t th o ả đáng, b ằ n g cách c h o n h ữ n g giá t r ị th a y đổi (sao cho c6 th ể áp d ụ n g đ ư ợ c định lí Picard) t a 8ẽ được m ột họ n g h iệ m củ a phương t r ì n h (phụ thuộc "n" h ằ n g số "tùy ý" ( y ^ , N g h i ệ m y -
i bài
toán Cauchy (C) t h ì nó được gọi ỉà n g h iệm riên g của (0.1)) khi
cho C ỉ , . . . , Ca n h ữ n g giá t r ị xác định.
Dĩ nhiên ò đ ây ''nghiệm” đưỢc hiểu là nghiệm trên một
miển nào đó. và bài to á n Cauchy (C) ỉà nói vổi đ iề u kiện ban
đẩu thuộc một miền nào đó. Ngoài r a v ân có th ể tổn tạ i những
ngh iệm củ a phương tr ìn h vi p h â n không suy được từ nghiệm
tổng q u á t như đă nói, ch ẳ n g h ạ n n h ư nghiệm b ấ t thư ờng, mà ta
8Ỗ gặp s a u này.
11. P H Ư Ơ N G T R Ì N H V I P H Â N C Ấ P 1
Xét phương t r ì n h vi p h ả n cấp 1 dạng:
y' = f(x,y)»
( 1 .0 )
h a y tổng q u á t hdn,
dx
=
g(x,y)
(1.0-)
Dưdi đây ta 8ẽ liệt kẽ (để ghi nhỗ) một 8ấ trư ò n g hợp điển
h ì n h mà (0.1) ((1.0*)) có t h ể ^ í ỏ i được (t.l. tỉm n ghiệm tổng q u á t
dược) bằng phép tín h tích p h â n (hay, n h ư người t a còn nói "tích
p h á n được").
1.1. Phương tr in h vài biến ph& n ly
Đó là (1.0') với f(x,y) = f(x) v à g{x. y) = g(y), t.l. phương
trìn h ,
f (x ) đ x + g(y)dy = 0
(1.1)
hay
g(y)dy = -f(x)dx
Từ đó
\s(y )tfy = - J/(x)dx
Vậy, nếu F, G tư d ng ú n g ià n h ũ n g n guy ên h à m n ào đó cùa
f v à g, thì
G(y) = -F (x) + c
hay
G(y) + F(x) = c
Biểu thức n ày cho ta h àm ẩ n y = y(x.C) là n g h i i ệ m tổng
q u á t của phư úng t r i n h ( ỉ . l ) .
Một biểu thức n h ư vậy được gọi là một tich p h ả n u ổ n g quát
củ a phUdng trìn h . Đưòng cong y = y(x, C), h a y ờ d ạ m g ẩn
G{y) + F(x) = c , t r ê n m ặ t p h ả n g (x.y) sẽ được gọi là đU íờng; cong
t ứ h p h á n c ủ a phương tr ì n h ( 1 . 1 ) (với mỗi c đã chọn).
Ví d ụ
dv
1 -P hưđng t r ì n h đơn giản hdn cả — = f(x)
dx
hay
dy = f(x)dx
Nghiệm tổng q u á t củ a nó là:
f(x)dx
2* G iải phương tr ì n h
(X + I) ặ
đx
= K (y* + 1)
Viết phương t r ì n h đưái đạng
dy
+1
_ x.dx
x +1
v à lấy tích p h â n h ai v ế ta được : arctgy - X - In I x+11 + (C.
Đó ỉà tích p h ả n tổng q u á t củ a phương tr in h , nỏ >xác dính
ng h iệ m tổ n g quát:
y = tg U -ln |x + l|
i«2. P hư ơng tr in h đ ư a được về biến 80 p h â n ly
a) Phương tr ìn h t h u ầ n n h ấ t là phương tr ì n h có d ạ m g
(l.2 a )
ứ 4 oV ,
B ằng phép biến đổi V = — thì Ị1.2a) trở t h à n h
X
V + X
dv
,, ,
= f(v)
dx
.
hay
dv
—
f(v) - V
dx
là p k ío n g t r ì n h vdi biến số p h â n ly.
N ếu V = tp (x. c) là nghiệm tổng q u á t của phương t r ì n h này
thì
y= X 9 ( x . c) s ẽ là nghiệm t ổ n g q u á t c ủ a ( 1 . 2 a).
V i dụ: Giải phuơng trìn h ẩ y
dx
- _ ă ì± y ì2xy
Bằng phép biến dổi y = XV d ẩ n tối
dv
dx
u V
2vdv
2v
l + 3v^
dx
Lấy tích p h ầ n la được
3
ln(l+3v^) = - l n | x | + c,
1 + 3v* =
h ay
Từ đó tích phàn của phương t r ì n h sẽ là :
X (x" + 3y') = c .
b) Phương trìn h dạng
(a,x + b,y + c,) dx + (a^x + bịV +
Bằng phép đổi biến
2 -TCC -T3
X=
x +a
y = Y+p
dy = u
1+ y
\X>
với a, p lff"nghiệm c ủ a hệ
a , a + b,p + c, =0.
*2“ + bjP + Cj = 0
t a sẽ đ ư a p h ư ớ n g t r ì n h (1.2á‘) v l d ạ n g t h u ầ n n h ấ t
Y
dY _
a,X + b,Y _
ax ^ ■ a ^ X .b lv =
X
^
^ X
V í d ụ : G iải p h ư đ n g t r ì n h (4x + 3y + l)d x + (x+ y +l>đl}y = c
, ^
•
, 4 a + 3P + 1 = 0
Ì a f - P + 1 = 0
0 = 2
p=
-3
D ù n g p h é p b iế n đổi X = X + 2 y = Y - 3. s a u k h i rúit gọn
t a có p h ư ơ n g t r ì n h (4X + 3Y) dX + (X+Y) dY = 0
Đ ặtY = v X
t a cổ
ln (2 + v )+
— L _ d v + ^ =0
{2^yf
X
2+ V
+ lnX = C
ln(2X + Y) = c -
^
2X + Y
T rỏ v ề b iế n c ũ ln(2x + y - 1) = C•-
x-2
2x + y - 1
1-3. P h ư ơ n g ừ -inh vi p h á n tu yến tín h cấp m ộ t
P h ư o n g t r ì n h vi p h ồ n tuyến t í n h cấp một là p h ư ư n g t r ì n h
có dạng
y ' 4. P(x)y = Q(*)
(•) t.l tịnh tiến gốc toạ độ vể giao điểm (a, P) của các dưòng thẳng
aiX+biV+c, = 0 (í=l,2).
( ’J ,.2b)
Để giẳi phương t r ì n h này ta n h â n h a i v ế c ủ a p h ư d n g tr ìn h
(ỉ.2b) với một h à m s ố p(x) sẽ dược xác đ ịn h s a u ,
py’ + pPy = p Q
<=> (py)' - ( p ' ' p p )y - pQ
bây giò ta chọn p để
h ay
p’ - p p = 0 hay
p(x) =
—= p
p
( chọn một ng uyên h à m đơn g iả n n h ấ t
tro n g ^Jp(x)đx).
T a di đốn
( p y ) ' - pQ
hay
py = Ị p(x)Q(x)dx
Vậy nghiệm tổng q u ấ t của (1.2b) 8ẽ là
y(jc) = —
íp(x) Q(x)dx vối p(x) =
p(x) ^
V í d ụ : Giải phưdng trìn h
?
dx
Ta có
p(x) =
+ y = e= e*
y = e * |e * .e ' d x =
1.4. Phương trin h B ern o u iỉli
ề.
y ' + P(x) y = Q(x) y“
(1.2c)
Cách g i ả i : Trưốc h ế t nếu a > 0 th ì t a có n g a y m ột nghiệm
ỉà y « 0 mà sau đ ả ỵ ta sẽ khòng xét đ ến n ữ a . C h ia cả hai v ế cỏ
y* v à viết (1.2c) dưới dạng
X ^ P ( x ' ) 4 ^ = Q(x)
và b iế n đổi
V
= — — , ta di đến p h ư ơ n g t r ì n h
V' + (1 - a) P(x)
V
= ( l - a ) Q(x)
Đó là p h ư ơ n g t r i n h tu y ế n tính, d ạ n g (1.2a) m à t a đtai giã
được.
V í dụ:
G iải phương trìn h
dx
^
X
1
B ư ớc 1: Đổi biến V = — (a = 2) ta đi dến p h ư ơ n g t T ì n l h
y
v’ + -1 v = - l
X
B ư ở c 2 : giải phương t r ì n h này:
1)
p d Laẹrange'"’
(a) PhươTig tr in h C la ừ a n t: Đó là phương t r ỉ n h d ạ n g ;
y = xy’ + f(y’)
(1.3a)
R õ ràng, b ằ n g cách cho y'(x) ■ c , t a được n g h iệ m tổng
q u á t c ủ a phương t r ì n h (1.3a);
y(x,C) = xC + f(C)
(*)
là m ộ t h ọ đưồng th ẳ n g .
C ũ n g rõ r à n g rằ n g b ao h ìn h (L) củ a họ (*) l à đ ư ờ n g cong
tích p h â n cho bởi m ột nghiệm "đậc biệt" của (1.3a).
Q u à vậy: mỗi điểm (x, y) e L đ ểu n ă m t r ê n m ộ t
đưòng
t h ả n g cù a họ (*) là đưòng tiếp tu y ế n củ a L tạ i (x.y), y = y (x.Cị),
và vì v ậ y X, y, y' = Cị n g h iệ m đ ú n g (1.3a).
T a tìm (L) dưâi d ạ n g th a m s ố X = i(C), y = y(C) .
V ậy phải có :
y(C) = C,(C) + f(C) => y'(C) = Cx‘(C) + x(C) + f ’( C ) .
Vì
c = y ’(x) = ^
, h ay
x’(C)
x(C) + f(C) = 0
hay
y '(C) = Cx '(C). t a p h ả i c6
x(C )= -f(C )
Vậy (L) c6 phương trìn h
t h a m 6ố l à :
-f'(C )
y = - C f '( C ) + f(C)
^ (b) Phương tr in h Lagrange.
Đ ó là phưdng t r i n h d ạng
y = X g(y') + f(y’)
(1.3b)
m à (1.3a) là một trư ò n g hợp đặc
b i ệ t (khi g(y') B y') .
H ình 2
Đ ể c h ỉ n h ữ n g d i ể m k h ô n g th u ộ o yêiỉ c ẩ u bÂt b u ộ c c ủ a c h ư ơ n g t H n h
Cách giải:
• Lấy y' = u làm t h a m biến, ta tìm n g h iệ m củ a (L3b) dưói d ạ n g
X = x(u)
y = y(u)
T h ế thỉ
y = xg(u) + f(u) ^ dy = g(u)dx + xg *(u)du + f ‘(u)du
= y 'dx = udx ^ (g(u) - u]
du
+ g’(u)x = - f Xu) .
Đó là một p h ư ơ ng t r ì n h tuyến tí n h th e o x(u) m à t a đ ă biết
cách giải. Nếu z = x(u, C) là nghiệm tổng q u á ỉ củ a p h ư ơ n g t r ì n h
n ỉ y t h i n g h iệ m tổ n g q u á t củ a (L3b), dưổi d ạ n g t h a m số, 8ẽ là:
x = x(u.C)
y = g(u) x(u,C) + f ( u ) .
(Dĩ n h iên ỏ đ â y t a giả th iế t g(u) ^ u, trưòng hợp g(u) a u
đ ă được xét ỏ ( a ) ) .
ỉ «7. P hư ơng tr in h vi p h á n đ ú n g (hay : hoàn chinh/)
Đó ỉà phương t r ì n h cho bài d ạ n g vi p h â n đ ú n g
M(x,y) dx + N(x,y)dy,
t.l. phương t r ì n h :
M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0.
(1.7)
N h ư đ ẵ biết, phương t r i n h (1.7) là phương tr ì n h đ ú n g trẽn
D n ếu — - — = 0 . V(x.y) € D ( c R* v à là một tậ p mở, 1 - liên
dx
dy
th ô n g c h ả n g hạn).
Theo đ ịn h n g h ĩ a củ a d ạ n g vi p h â n đúng, tồn tại m ột hàm
f(x,y) (m à ta đ ã b iế t cả cách tỉm) sao cho :
df(x,y) = M(x,y)dx + N(x,y)dy =0, (x,y) € D.
Hệ thức n à y tương đương v ớ i :
f(x,y) ■ c ,
(x,y) e D
v à đổ c h ín h ỉà tích p h â n (tổng quát) củ a (1.7).
V í d ụ (a). G iải phương t r ì n h
V
1
—+ x d x - - ^ d y = 0
y
y
Tac6
3x
1 _
5y
1
0.
Vậy đó là một
•y ^
phương t r ì n h đúng. Dề th ấ y r ằ n g
X + —X
1 2
d. —
^
h
V
22 "
y
_=s 1
-
Vậy
í
y
-
2
+ X
dx ~ d y .
=
là tích p h â n tổ n g q u á t củ a phương t r ì n h đ â cho (trong miển
{ (x.y) 6 R*. y * 0}.
(b) Giải p h ư ơ n g trình.
x d y - y d x = xy^dx .
Trước h ế t t a th ấ y ngay rằ n g y(x) » 0 là m ộ t n g h iệ m củ a
phương t r ì n h v à p hư dng tr i n h này k h ông là ph ư ơ n g t r ì n h vi
p h ắ n đủng.
Tuy n h iê n , n ế u n h â n hai v ế với S(x,y) = — (y ;e 0) t a sẽ
y*
được phương t r ì n h ở ví d ụ (a) là phương t r i n h vi p h â n đúng.
Vì vậy lẽ t ự n h iê n nẩy sinh v ấn dề sau:
Cho p h ư ớ n g t r ì n h vi phân
M(x,y)đx + N(x,y)dy = 0
Có c h ả n g m ột h à m p(x,y) * 0, mà người t a gọi là n h â n tử
tích p h â n , dể
p (x),
y=
V,
y’ = u
Phương t r ì n h (2) tương ứng sỗ là ;
u ẹ '( u ) d u + (-'l)dv = 0
là phương t r ì n h vi phân đúng. Từ đó
ỉ
dv = u ỉ \,ịu , v) = V
o f(u, V) = u v + g(v)
(f(x, y •) = x y • + R(y ’))
thì, củng n h ư trên
X = u,
y = f ( u , C)
hay
y = f(x, C)
sẽ là a g h iệ m tổng q u ẳ t của p h ư ơ n g t r ì n h đ ã cho (b).
Với ph ư ơ n g Irinh L agrnnge f(x, y ') = g(y ‘)x + h(y ’)
phư dng t r ì n h (2) tương ửng sè là:
(v - g(v)) d u - (ugXv) +h'(v))dv = 0
tà p h ư ơ ng t r i n h vi p h â n tu y ế n tín h (khống dúng, nói chung)
đv
g(v)
- V
m à ta đã b iế t cách tỉm nghiệm lổng q u á t u = u ( v , C)
Vậy n g h iệ m tổng q u á t củ a p h ư ơ n g t r ì n h d ẵ cho sẻ là:
x = u ( v , C ),
y=f(u(v, o . v )
Thực c h á t đó c ủ n g là diểu mà t â d ã làm ỗ 1.6(b).
I 2 P H Ư Ơ N G T R Ỉ N H VI P H Ả N C Ấ P CAO
N h ữ n g phương tr ì n h vi p h â n cấp cao d ạ n g tổng q u á t mà
t a cố th ể tích p h â n được trước h ế t p h ả i thuộc loại cổ th ể hạ cấp
được bảng m ộ t phép biên đổi bién h à m nào đó. S au đâv ià một
SỐ trưòng hợp:
2.1. P hư ơ ng tr ìn h hạ cấp được