Tài liệu Về mã constacyclic nghiệm lặp trên vành chuỗi hữu hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ ĐỨC HIỀN VỀ MÃ CONSTACYCLIC NGHIỆM LẶP TRÊN VÀNH CHUỖI HỮU HẠN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ ĐỨC HIỀN VỀ MÃ CONSTACYCLIC NGHIỆM LẶP TRÊN VÀNH CHUỖI HỮU HẠN CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ MÃ SỐ: 62 46 01 04 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: 1) GS. TS. ĐINH QUANG HẢI 2) PGS. TS. NGÔ SỸ TÙNG Nghệ An - 2017 1 MỤC LỤC Lời cam đoan 3 Lời cảm ơn 4 Một số ký hiệu thường dùng trong luận án 6 Lời nói đầu 7 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 16 1.1. Vành giao hoán hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2. Một số kiến thức về mã trên vành hữu hạn . . . . . . . . . 20 1.3. Kết luận Chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Chương 2. Về lớp mã Constacyclic trên vành thặng dư đa thức 28 2.1. Vành Ra = F2m + uF2m + · · · + ua−1 F2m . . . . . . . . . . . 29 2.2. Mã λ - constacyclic có độ dài 2s trên vành Ra . . . . . . . 32 2.3. Mã Λ - constacyclic có độ dài 2s trên vành Ra . . . . . . . 40 2.4. Mã λ - constacyclic có độ dài N bất kỳ trên Ra . . . . . . . 45 2 2.5. Kết luận Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Chương 3. Mã constacyclic nghiệm lặp có độ dài là lũy thừa của một số nguyên tố trên vành chuỗi hữu hạn 56 3.1. Mã λ - constacyclic nghiệm lặp có độ dài ps trên vành chuỗi hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.2. Mã constacyclic bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.3. Kết luận Chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Kết luận chung và kiến nghị 80 Danh mục công trình của NCS có liên quan đến luận án 82 Tài liệu tham khảo 83 3 LỜI CAM ĐOAN Luận án được hoàn thành tại trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn của GS. TS. Đinh Quang Hải và PGS. TS. Ngô Sỹ Tùng. Tôi xin cam đoan đây là công trình của riêng tôi. Các kết quả được viết chung với các tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả khi đưa vào luận án. Các kết quả được trình bày trong luận án là mới và chưa từng được ai công bố trước đó. Tác giả Nguyễn Thị Đức Hiền 4 LỜI CẢM ƠN Luận án được hoàn thành tại trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn khoa học của GS. TS. Đinh Quang Hải và PGS. TS. Ngô Sỹ Tùng. Trước hết, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với những người thầy của mình: GS. TS. Đinh Quang Hải và PGS. TS. Ngô Sỹ Tùng, những người đã đặt bài toán và định hướng nghiên cứu cho tác giả. Các thầy đã dạy bảo tác giả một cách kiên trì và nghiêm khắc. Cảm ơn các thầy đã luôn chia sẻ, động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS. Nguyễn Thành Quang, PGS. TS. Nguyễn Thị Hồng Loan, quý thầy, cô luôn tận tình chỉ bảo và tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tác giả học tập và hoàn thành luận án. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn khoa Sư phạm toán học, Tổ bộ môn Đại số, Phòng đào tạo Sau đại học và các phòng chức năng khác của Trường Đại học Vinh đã tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ của nghiên cứu sinh. Tác giả xin được bày tỏ sự cảm ơn đến lãnh đạo và tổ Toán - Tin trường THPT Chuyên - Trường Đại học Vinh đã quan tâm động viên cũng như tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả tập trung học tập và nghiên cứu. Tác giả xin chân thành cảm ơn nhóm seminar về Lý thuyết vành và 5 môđun do PGS. TS. Ngô Sỹ Tùng chủ trì đã luôn động viên và đóng góp nhiều ý kiến cho tác giả trong suốt quá trình thực hiện luận án. Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và những người bạn thân thiết đã luôn sẻ chia, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả Nguyễn Thị Đức Hiền 6 MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN TT Các ký hiệu Giải thích ý nghĩa của ký hiệu

n n 1 Tổ hợp chập k của n phần tử; k = k 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ct Ann(S) |A| hγi C⊥ d(C) dh (C) 0 d(c, c ) Ra 11 Sa (s, λ) 12 Sa (s, Λ) 13 Ta (s, n, λ) 14 Rλ 15 16 17 wth gcd(f, g) R 18 19 pk kN iC n! k!(n − k)! Đối tập cyclotomic thứ t Linh hóa tử của tập hợp S Số phần tử của tập hợp A Iđêan sinh bởi phần tử γ Mã đối ngẫu của mã C Khoảng cách Hamming của mã C Khoảng cách thuần nhất của mã C 0 Khoảng cách Hamming giữa hai từ mã c và c Vành Ra = F2m + uF2m + · · · + ua−1 F2m Ra [x] Vành thương 2s với λ là phần tử hx − λi khả nghịch loại 1∗ của vành Ra Ra [x] với Λ là phần tử Vành thương 2s hx − Λi khả nghịch loại 1 của vành Ra Vành thương Ta (s, n, λ) = hxR2san[x] −λi R[x] Vành thương Rλ = ps hx − λi Trọng thuần nhất Ước chung lớn nhất của hai đa thức f (x) và g(x) Vành thương R = R/M với M là iđêan tối đại của vành chuỗi R pk là ước của N và pk+1 không phải là ước của N Chỉ số thành phần của mã C 7 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết mã xuất hiện lần đầu tiên vào năm 1948 bởi công trình của C. E. Shannon [51] về lý thuyết toán học cho lĩnh vực truyền thông. Từ đó đến nay, lý thuyết này đã và đang góp phần quan trọng trong những vấn đề về thông tin liên lạc. Nó được ứng dụng nhiều trong các lĩnh vực như: thông tin điện tử, thu phát thanh,... Đầu tiên, lý thuyết mã được nghiên cứu trên trường hữu hạn và các kết quả cơ bản đã được đúc kết trong [4] và [34]. Sau đó, các nhà toán học đã mở rộng nghiên cứu về mã trên các vành hữu hạn [13, 14, 43]. Trong lý thuyết mã, lớp mã constacyclic đóng một vai trò quan trọng. Trong đó, có hai loại mã được quan tâm nhất là mã cyclic và mã negacyclic. Mã cyclic được nghiên cứu nhiều nhất trong tất cả các mã. Nhiều mã nổi tiếng như mã BCH, mã Kerdock, mã Golay, mã Preparata hoặc là mã cyclic hoặc được xây dựng từ mã cyclic. Bên cạnh đó, các mã cyclic có thể được mã hóa một cách hữu hiệu bằng việc sử dụng cách ghi luân phiên. Điều này giải thích vai trò tích cực của chúng trong công nghệ. Hơn nữa, mã cyclic được đặc trưng dễ dàng như là một iđêan của vành thương F [x] hxn −1i của vành (hữu hạn) F [x] (xem F như là bảng chữ cái). Mã negacyclic và mã λ - constacyclic tương ứng với các iđêan của vành thương F [x] hxn +1i và F [x] hxn −λi (ở đây λ là phần tử khả nghịch của F ). Hầu hết các nghiên cứu tập trung trong trường hợp độ dài n của mã 8 có liên quan đến đặc số của trường F . Trong trường hợp như vậy, mã λ - constacyclic có độ dài n là các iđêan hf (x)i của F [x] hxn −λi , với f (x) là ước của xn − λ. Nếu độ dài n của mã chia hết cho đặc số p của trường F thì mã được gọi là mã nghiệm lặp. Ngược lại, nếu độ dài mã không chia hết cho đặc số p thì mã đó được gọi là mã nghiệm đơn. Mã nghiệm lặp được nghiên cứu lần đầu tiên vào năm 1967 bởi S. D. Berman [5]. Sau đó nhiều nhà toán học khác như J. L. Massey [41], G. Falkner [22], R. M. Roth và G. Seroussi [48],... cũng quan tâm nghiên cứu về loại mã này. Mã nghiệm lặp được nghiên cứu trong trường hợp tổng quát vào năm 1991 bởi G. Castagnoli [16] và J. H. van Lint [39]. Trong các tài liệu [16] và [39], G. Castagnoli và J. H. van Lint đã chỉ ra rằng mã cyclic nghiệm lặp có cấu trúc ràng buộc nhau. Việc tìm thêm các tính chất thú vị khác về mã cyclic nghiệm lặp là một điều khả thi và cũng chính là động lực thúc đẩy các nhà toán học khác nghiên cứu nhiều hơn nữa về vấn đề này [1, 44, 52, 54]. Nghiên cứu về mã trên vành giao hoán hữu hạn, đặc biệt là mã nghiệm lặp trên lớp các vành chuỗi hữu hạn cũng được nhiều nhà toán học quan tâm như T. Abualrub và R. Oehmke [1, 2], T. Blackford [6, 7], D. Q. Hai [24, 25, 27, 30], S. T. Ling [20, 36, 37] và A. Sălăgean [45, 50]... Chúng ta đã biết rằng có tất cả bốn vành hữu hạn cấp bốn. Đó là trường Galois F4 , vành các số nguyên mod 4 là Z4 , vành F2 + uF2 với u2 = 0 và vành F2 + v F2 với v 2 = v. Ba vành đầu tiên là vành chuỗi, còn vành F2 + v F2 ∼ = F2 × F2 không phải là vành chuỗi (thậm chí không phải là vành địa phương). Vành F2 + uF2 chứa tất cả các đa thức bậc 0 hoặc bậc 1 biến u, nó đóng đối với phép cộng và phép nhân đa thức mod u2 . Do đó, ta có F2 + uF2 = F2 [u] = {0; 1; u; u = 1 + u} hu2 i 9 là vành chuỗi với iđêan tối đại là {0; u}. Phép cộng trong vành F2 + uF2 tương tự như phép cộng trong trường Galois F4 = {0; 1; ξ; ξ 2 = ξ + 1}, với u được thay thế bởi ξ. Phép nhân trong vành F2 + uF2 tương tự như phép nhân trong vành Z4 , với u được thay thế bởi 2. Do đó, ta có thể xem cấu trúc của vành F2 + uF2 "nằm giữa" hai vành F4 và Z4 . Trên vành F2 + uF2 , các mã cyclic đã được nghiên cứu bởi rất nhiều nhà toán học như A. Bonnecaze và P. Udaya [8, 9], S. Dougherty, P. Gaborit, M. Harada, và P. Sole [21], S. Ling và P. Solé [38], ... Ngoài ra, trên vành này, các nhà toán học còn nghiên cứu các vấn đề khác như các mã cyclic và mã tự đối ngẫu [9], giải mã cyclic [8], mã loại II [21], mã đối ngẫu [38], mã constacyclic nghiệm lặp [27]. Vào năm 2009, D. Q. Hai [27] đã chỉ ra cấu trúc của mã constacyclic có độ dài 2s trên vành F2m + uF2m . Tổng quát cho trường hợp ps với p là số nguyên tố tùy ý, năm 2010, D. Q. Hai [30] đã thu được các kết quả về mã constacyclic độ dài ps trên vành Fpm [u] hu2 i = Fpm + uFpm . Lớp vành hữu hạn có dạng Fpm [u] hu2 i = Fpm + uFpm được sử dụng rộng rãi như là bảng chữ cái của các mã constacyclic. Dạng tổng quát của vành này là Fpm [u] hua i = Fpm + uFpm + · · · + ua−1 Fpm , được gọi là vành thặng dư đa thức (polynomial residue ring). Trên vành này, M. Ozen và I. Siap [46] đã tập trung nghiên cứu mã tuyến tính với mêtric Rosenbloom Tsfasman. R. Alfaro, S. Bennett, J. Harvey và C. Thornburg [3] đã xây dựng được cấu trúc của mã tự đối ngẫu. Với mục đích nghiên cứu mã nghiệm lặp constacyclic có độ dài ps trên vành chuỗi hữu hạn, chúng tôi lựa chọn đề tài luận án của mình là: “Về mã constacyclic nghiệm lặp trên vành chuỗi hữu hạn”. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của luận án là nghiên cứu về mã λ - constacyclic 10 nghiệm lặp trên vành chuỗi hữu hạn (ví dụ như vành Ra ) với các phần tử khả nghịch λ thỏa mãn tính chất nào đó (như phần tử khả nghịch s loại 1, 1∗ , phần tử khả nghịch λ có dạng λ = λp0 + wγ) nhằm bổ sung một số cấu trúc về mã trên cơ sở bài toán tổng quát của lý thuyết mã: Chỉ ra cấu trúc của mã constacyclic có độ dài n trên vành giao hoán hữu hạn R? 3. Đối tượng nghiên cứu - Vành chuỗi hữu hạn, các iđêan của vành thương R[x] hxn −λi khi R là vành chuỗi hữu hạn. Mã constacyclic nghiệm lặp trên vành chuỗi hữu hạn. - Vành Ra = Fpm + uFpm + ... + ua−1 Fpm . Mã λ - constacyclic có độ dài ps trên vành Ra và đối ngẫu của nó, khoảng cách Hamming, lượng Hamming, khoảng cách thuần nhất, lượng thuần nhất của các mã đó. - Mã constacyclic bội. 4. Phạm vi nghiên cứu Chúng tôi nghiên cứu cấu trúc của các mã λ - constacyclic có độ dài 2s trên vành chuỗi Ra với λ là phần tử khả nghịch loại 1 và loại 1∗ . Từ đó, chúng tôi mở rộng kết quả cho mã λ - constacyclic có độ dài N bất kỳ trên vành Ra . Chúng tôi nghiên cứu về mã constacyclic độ dài ps trên vành chuỗi R, phân loại các phần tử khả nghịch, tính chất của vành thương Rλ và chỉ ra cấu trúc mã λ - constacyclic có độ dài ps trên vành chuỗi giao hoán hữu hạn R. Chúng tôi đưa ra định nghĩa mã constacyclic bội độ dài n trên vành chuỗi hữu hạn có đặc số pa , chỉ ra một số tính chất của loại mã này. 11 5. Phương pháp nghiên cứu Đề tài của luận án thuộc lĩnh vực khoa học cơ bản ngành toán học. Do đó, chúng tôi chủ yếu sử dụng phương pháp suy luận lôgic trên cơ sở các kết quả đã biết trước đó. Bước đầu, chúng tôi nghiên cứu các tài liệu chuyên môn cùng với một số bài báo khoa học trong lĩnh vực nghiên cứu. Sau đó, chúng tôi sử dụng các phương pháp khái quát hóa, so sánh, phân loại để đề xuất những vấn đề nghiên cứu của luận án. 6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Luận án nghiên cứu về vành Ra và thu được một số kết quả về cấu trúc của mã λ - constacyclic có độ dài 2s trên vành Ra với λ là phần tử khả nghịch loại 1∗ và loại 1. Tổng quát hơn, chúng tôi thu được cấu trúc về mã λ - constacyclic có độ dài N bất kỳ trên vành Ra . Luận án đã đạt được một số kết quả về mã constacyclic độ dài ps trên vành chuỗi giao hoán hữu hạn, trong đó có những kết quả đã tổng quát được một số kết quả của các nhà toán học khác như D. Q. Hai, Y. Cao với cách chứng minh khác và đơn giản hơn. Luận án có thể làm tài liệu tham khảo cho các sinh viên, học viên cao học và nghiên cứu sinh chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số. 7. Tổng quan và cấu trúc của luận án 7.1. Tổng quan một số vấn đề liên quan đến luận án Cho A là một bảng chữ cái gồm q ký tự. Một tập con C của An được gọi là một mã có độ dài n trên A. Mỗi phần tử c thuộc C được gọi là một từ mã của mã C. Các nhà toán học đã trang bị các cấu trúc đại số cho tập A. Bước đầu, họ xét A là một trường hữu hạn. Khi đó An 12 trở thành một không gian vectơ trên A. Nếu thêm điều kiện C là một không gian vectơ con của An thì C được gọi là một mã tuyến tính có độ dài n trên A. Sau đó, các nhà toán học tiếp tục xem xét A là một vành giao hoán hữu hạn. Khi đó, họ nhìn nhận An là một A - môđun. Nếu C là một môđun con của A - môđun An thì C được gọi là mã tuyến tính độ dài n trên vành giao hoán hữu hạn A. Tiếp theo, các nhà toán học đưa ra các khái niệm về mã cyclic, mã negacyclic và tổng quát hơn là mã λ - constacyclic với λ là phần tử khả nghịch của A. Mã cyclic đóng vai trò là lớp mã quan trọng nhất trong các mã. Mã cyclic trên trường hữu hạn được tập trung nghiên cứu từ cuối những năm 1950. Kể từ những năm 1990, có rất nhiều nghiên cứu về mã này trên vành Z4 [47]. Năm 2007, D. Q. Hai [25] đã xây dựng công thức tính khoảng cách của tất cả các mã negacyclic độ dài 2s trên Z2a . Tổng quát hơn, Calderbank và Sloane đã chỉ ra cấu trúc của mã cyclic trên vành Zpm , và sau đó là Kanwar, López - Permouth [35], Norton, Sălăgen - Mandache [45]. Vào năm 1999, Wolfman [53] đã nghiên cứu mã negacyclic độ dài lẻ trên vành Z4 và đề xuất câu hỏi mở về mã negacyclic có độ dài chẵn trên Z4 . Năm 2009, D. Q. Hai đã chỉ ra cấu trúc mã constacyclic có độ dài 2s trên vành F2 + uF2 [27] và tổng quát hơn nữa là mã constacyclic có độ dài ps trên vành Fpm + uFpm vào năm 2010 [29]. Tiếp tục hướng nghiên cứu đó, chúng tôi xem xét mã constacyclic có độ dài ps trên vành Ra = F2m + uF2m + ... + ua−1 F2m . Năm 2013, Y. Cao đã nghiên cứu về mã constacyclic trên vành chuỗi giao hoán hữu hạn và đặc trưng được mã (1 + wγ) - constacyclic trên vành chuỗi hữu hạn [15]. Trong luận án, chúng tôi tổng quát tính chất s này với phần tử khả nghịch λ có dạng λ = λp0 + wγ, trong đó w là phần tử khả nghịch của vành chuỗi R. 13 7.2. Cấu trúc luận án Nội dung luận án được trình bày trong 3 chương. Ngoài ra, luận án còn có Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, Mở đầu, Kết luận và kiến nghị, Danh mục các công trình khoa học của nghiên cứu sinh liên quan trực tiếp đến luận án và danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1 trình bày các kiến thức cơ bản của vành và mã constacyclic để làm cơ sở cho việc trình bày các chương sau. Chương 1 bao gồm 2 mục. Mục 1.1 dành cho việc trình bày các khái niệm và các tính chất cơ bản của vành giao hoán hữu hạn. Mục 1.2 giới thiệu khái niệm và một số tính chất cơ bản về mã constacyclic trên vành giao hoán hữu hạn như: mã λ - constacyclic, mã cyclic, mã negacyclic, phép chuyển λ - consatcyclic, mã đối ngẫu, mã trực giao, mã tự đối ngẫu,... và một số kết quả cùng hướng nghiên cứu với luận án, được sử dụng ở các chứng minh trong phần sau. Chương 2 nghiên cứu các lớp mã constacyclic nghiệm lặp trên vành Ra = F2m [u] = F2m + uF2m + · · · + ua−1 F2m . a hu i Chúng tôi đã chỉ ra Ra là vành chuỗi với trường thặng dư F2m . Vành Ra chứa đúng (2m − 1)2m(a−1) phần tử khả nghịch, cụ thể là các phần tử có dạng α0 + uα1 + · · · + ua−1 αa−1 , với α0 , α1 , . . . , αa−1 ∈ F2m , α0 6= 0. Chúng tôi đưa ra các tiêu chí để phân loại các phần tử khả nghịch này. Sau đó, chúng tôi nghiên cứu cấu trúc của các mã λ - constacylic có độ dài 2s trên vành Ra , với bất kỳ phần tử khả nghịch λ của vành Ra có dạng λ = 1 + uλ1 + · · · + ua−1 λa−1 , 14 với λ1 , . . . , λa−1 ∈ F2m , λ1 6= 0 (phần tử khả nghịch loại 1*). Từ đó, chúng tôi nghiên cứu mã Λ - constacylic có độ dài 2s trên vành Ra , với Λ là phần tử khả nghịch của vành Ra có dạng Λ = Λ0 + uΛ1 + · · · + ua−1 Λa−1 , sao cho Λ0 , Λ1 , . . . , Λa−1 ∈ F2m , Λ0 6= 0, Λ1 6= 0 (phần tử khả nghịch loại 1). Chúng tôi sử dụng tương ứng 1 - 1 qua đẳng cấu vành Φ để đưa các kết quả về cấu trúc của mã λ - constacyclic sang mã Λ - constacyclic. Các cấu trúc được chỉ ra sẽ cung cấp cho chúng ta công thức tính toán số các từ mã, các mã đối ngẫu, khoảng cách Hamming, khoảng cách thuần nhất của tất cả các mã λ - constacyclic và Λ - constacyclic. Trên cơ sở đó, chúng tôi thu được cấu trúc của các mã λ - constacyclic trên vành Ra có độ dài N = 2s n. Chúng chính là các iđêan của vành Ra [x] . hx2s n −λi Trong phần này, xuất phát từ các toán tử sinh đa thức, chúng tôi đã tính toán số các từ mã và các mã đối ngẫu. Các kết quả của chương này đã được công bố trên tạp chí Advances in Mathematics of Communications [31]. Trong chương 3, chúng tôi chứng minh được rằng cho một vành chuỗi giao hoán hữu hạn R có đặc số pa với iđêan tối đại duy nhất hγi. Khi đó bất kỳ phần tử khả nghịch λ của vành chuỗi R đều có thể được s biểu diễn dưới dạng λ = λp0 + γw, với w ∈ R. Hơn nữa, vành thương R[x] hxps −λi là vành địa phương với iđêan tối đại hx − λ0 , γi. Hai trường hợp của w được nghiên cứu một cách chi tiết trong chương này là w = 0 và s w là một phần tử khả nghịch của vành R. Khi w = 0 hay λ = λp0 , chỉ số lũy linh của x − λ0 hoàn toàn được xác định. Khi w là phần tử khả s nghịch, tức là, λ = λp0 + γw với các phần tử khả nghịch λ0 , w của R, chúng tôi chứng minh rằng γ ∈ hx − λ0 i. Khi đó, vành thương R[x] hxps −λi là vành chuỗi. Trong trường hợp này, cấu trúc và kích thước của tất cả các mã λ - constacyclic và đối ngẫu của chúng cũng được thiết lập. 15 Sau đó, chúng tôi tập trung nghiên cứu các mã tuyến tính vừa là α - constacyclic vừa là β - constacyclic trên vành chuỗi hữu hạn R, với hai phần tử khả nghịch khác nhau α, β. Một mã như vậy được gọi là mã constacyclic bội. Chúng tôi đã chứng minh được rằng nếu λ là một phần tử khả nghịch của R với iđêan tối đại hγi = 6 h0i thỏa mãn λ − λ−1 là một phần tử khả nghịch thì tồn tại một mã λ - constacyclic tự đối ngẫu C độ dài n trên R khi và chỉ khi chỉ số lũy linh Nγ là chẵn. Trong n trường hợp này, γ Nγ /2 là mã λ - constacyclic tự đối ngẫu có độ dài n duy nhất trên vành R. Các kết quả của chương này đã được công bố trên tạp chí Finite Fields and Their Applications [33]. Các kết quả chính của luận án đã được trình bày tại seminar về Lý thuyết vành và môđun do PGS.TS. Ngô Sỹ Tùng chủ trì, seminar của tổ Đại số thuộc khoa Sư phạm toán học - Trường Đại học Vinh, Hội thảo khoa học "Toán - tin học ứng dụng" của Trường Đại học Vinh ngày 26/11/2011, các hội nghị NCS của Trường Đại học Vinh và Hội nghị toàn quốc về "Đại số - Hình học - Tôpô" tại Buôn Ma Thuột năm 2016. Hơn nữa, các kết quả trong luận án còn được GS.TS Đinh Quang Hải báo cáo tại Hội nghị quốc tế về toán học và ứng dụng (International Conference in Math and Applications) tại Bangkok - Thái Lan năm 2016. Các kết quả này cũng đã được công bố trong 02 bài báo trên các tạp chí toán học quốc tế thuộc danh mục ISI, trong đó có 01 bài đăng trên tạp chí thuộc danh mục SCI (Finite Fields and Their Applications) và 01 bài đăng trên tạp chí thuộc danh mục SCIE (Advances in Mathematics of Communications). Tác giả Nguyễn Thị Đức Hiền 16 CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản về vành giao hoán hữu hạn và mã tuyến tính làm kiến thức bổ trợ cho các chương sau. Tất cả các vành R được nói đến trong luận án đều là các vành có đơn vị. 1.1 Vành giao hoán hữu hạn Cho R là vành giao hoán hữu hạn. Vành R được gọi là vành địa phương nếu R có duy nhất một iđêan tối đại. Vành R được gọi là vành chuỗi nếu tập hợp tất cả các iđêan của vành R là một chuỗi sắp thứ tự tuyến tính theo quan hệ bao hàm. Từ đó ta suy ra rằng một vành chuỗi là một vành địa phương. Các ví dụ về vành chuỗi giao hoán hữu hạn bao gồm vành Zpk với p là số nguyên tố, các vành Galois GR(pk , m), cũng như các vành Galois mở rộng bậc m của Zpk [42],... Các lớp vành này đã được nghiên cứu rộng rãi như là bảng chữ cái của mã constacyclic. Việc giải các mã khác nhau trên vành Galois đã được quan tâm nghiên cứu trong [10, 11, 12]. Trước hết, chúng ta nhắc lại một số khái niệm cơ bản của lý thuyết vành được sử dụng trong luận án. Ta xét vành giao hoán R. Số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho nr = 0 với mọi phần tử r ∈ R được gọi là 17 đặc số của vành R. Nếu số nguyên dương n như vậy không tồn tại ta nói rằng vành R có đặc số 0. Phần tử a (a 6= 1) của R được gọi là phần tử lũy linh nếu tồn tại số nguyên n sao cho an = 0. Số tự nhiên n nhỏ nhất thoả mãn tính chất trên được gọi là chỉ số lũy linh của phần tử a. Bây giờ, chúng ta liệt kê một số các tính chất cơ bản của vành chuỗi giao hoán R và vành các đa thức R[x], R[x] với R là trường thặng dư của vành chuỗi R nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu về mã constacyclic ở hai chương sau. Các điều kiện tương đương với lớp vành chuỗi giao hoán hữu hạn. 1.1.1 Mệnh đề. ([23]) Cho R là vành giao hoán hữu hạn. Khi đó, các phát biểu sau đây là tương đương: (i) R là vành địa phương và iđêan tối đại M của R là iđêan chính; (ii) R là vành iđêan chính, địa phương; (iii) R là vành chuỗi. Cho a là phần tử sinh của iđêan tối đại M của vành chuỗi giao hoán hữu hạn R. Khi đó a là phần tử lũy linh. Chúng ta ký hiệu $ là chỉ số lũy linh của a. Các iđêan của vành R có dạng chuỗi như sau: R = ha0 i ) ha1 i ) · · · ) ha$−1 i ) ha$ i = h0i. Cho R = R M. Ký hiệu − : R[x] −→ R[x] là đồng cấu vành tự nhiên với tương ứng r 7→ r + M . 1.1.2 Mệnh đề. ([40]) Cho R là vành chuỗi giao hoán hữu hạn với iđêan tối đại M = hγi. Gọi Nγ là chỉ số lũy linh của γ. Khi đó: (a) Tồn tại số nguyên tố p và các số nguyên dương k, l (k ≥ l) sao cho |R| = pk , |R| = pl và đặc số của R và R là lũy thừa của p. 18 (b) Tồn tại phần tử ξ của nhóm nhân các phần tử khả nghịch của vành R với cấp |R| − 1 sao cho bất kỳ một phần tử r ∈ R đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng r = r0 + r1 γ + · · · + rNγ −1 γ Nγ −1 , với ri ∈ T = {0, 1, ξ, . . . , ξ |R|−2 } là tập Teichmüller của vành R. (c) Với i = 0, 1, . . . , Nγ , |hγ i i| = |R|Nγ −i . Đặc biệt, |R| = |R|Nγ , nghĩa là k = lNγ . Các khái niệm sau là quen thuộc đối với vành chuỗi giao hoán hữu hạn R [42]. Hai đa thức f1 , f2 ∈ R[x] được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu hf1 i + hf2 i = R[x], hoặc tương đương, nếu tồn tại các đa thức g1 , g2 ∈ R[x] sao cho f1 g1 + f2 g2 = 1. Khái niệm nguyên tố cùng nhau của hai đa thức trong vành R[x] được định nghĩa tương tự. Nếu thêm giả thiết vành R là vành chuỗi giao hoán hữu hạn thì R là trường. Khi đó, hai đa thức trong R[x] nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi chúng không có ước chung nào có bậc lớn hơn 0. Các kết quả sau chỉ ra mối liên hệ giữa các phần tử của vành R[x] và R[x]. 1.1.3 Bổ đề. ([42]) Với bất kỳ vành chuỗi giao hoán hữu hạn R, hai đa thức f1 , f2 ∈ R[x] là nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi f 1 và f 2 là nguyên tố cùng nhau trong vành R[x]. 1.1.4 Nhận xét. ([42]) Cho R là vành chuỗi giao hoán hữu hạn. Giả sử rằng f1 , f2 , . . . , fk là các đa thức đôi một nguyên tố cùng nhau trong k Q vành R[x]. Khi đó, fi và fj nguyên tố cùng nhau trong vành R[x]. j6=i