Tài liệu 10 đề thi học sinh giỏi toán 8 cấp huyện 2015

PHÒNG GD&ĐT HOẰNG HÓA --------------- ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2014 - 2015 MÔN : Toán 8 Thời gian làm bài: 120 phút (không tính thời gian giao đề) (Đề này gồm 01 trang) A. ĐỀ BÀI. Câu 1 (2 điểm) : Cho biểu thức A = x 3  3x x4  2  3 x 1 x  x 1 x 1 a) Rút gọn biểu thức A b) Chứng minh rằng giá trị của A luôn dương với mọi x ≠ - 1 Câu 2 (3 điểm): a) Chứng minh rằng: Với mọi x  Q thì giá trị của đa thức : M =  x  2   x  4   x  6   x  8  16 là bình phương của một số hữu tỉ. b) Giải phương trình x  1  x( x  1) Câu 3 (1,5 điểm): Đa thức P(x) bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1. Biết P(1)=0 ; P(3)=0 ; P(5)= 0. Hãy tính giá trị của biểu thức: Q= P(-2)+7P(6) Câu4 (2,5 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác AD. Vẽ hình vuông MNPQ có M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC, P và Q thuộc cạnh BC. Gọi E và F lần lượt là giao điểm của BN và MQ; CM và NP. Chứng minh rằng: a) DE song song với AC b) DE =DF; AE =AF. Câu5 (1 điểm): Chứng minh bất đẳng thức: a b c 3    Với a  b  c  0 ab bc ca 2 -----------------------------Hết-------------------------------(Lưu ý: cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) B. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI MÔN: Toán 8 Câu Thang điểm Đáp án   x x 2  x  1   x  1  3  3 x   x  4 x 3  3x x4   a/ A = = x  1 x 2  x  1 x3  1  x  1 x 2  x  1       2 x3  2 x 2  2 x  1  x  1 x  x  1 x2  x  1   2 =  x  1 x 2  x  1  x  1 x 2  x  1 x  x  1  1  2 1 3  x    2 2 4 x  x 1  b/ Víi mäi x ≠ - 1 th× A = 2 = 2 x  x 1  1 3 x    2 4  2 2 V×  x  1   3  0;  x  1   3  0, x  1  A  0, x  1      2 4  2 2 a/ Ta cã: M =  x  10 x  16   x  10 x  24   16 2 2 4 §Æt a = x2 + 10x + 16 suy ra M = a( a+8) + 16 = a2 + 8a + 16 = ( a+ 4)2 M = ( x2 + 10x + 20 )2 ( ®pcm) b/ x  1  x( x  1)  x( x  1)  x  1  0  x . x  1  x  1  0  x  1 ( x  1)  0  x 1  0     x 1  0 3 4 1,0  x 1  0  x  1    x  1  x 1 Ta có: P(x)M (x-1), (x-3), (x-5) Nên P(x) có dạng: P(x) = (x-1)(x-3)(x-5) (x+a) Khi đó: P(-2) +7P(6) = (-3).(-5).(-7).(-2 +a) +7.5.3.1.(6+a) = -105.(-2+a) +105.(6+a) = 105.( 2 –a +6 +a) = 840 a/ Vẽ hình 1,0 0,5 1,0 0,5 1,0 0,5 1,0 0,25 a) Chứng minh được: BE BQ BQ AB BD     EN QP MQ AC DC  DE / / NC hay DE / / A C 1 b) Do DE / / A C nên DE BD BD   DE  .CN (1) CN BC BC Tương tự, DF  CD .BM (2) BC Từ (1) và (2) suy ra DE BD CN  . DF CD BM BD AB CN AC   Mà và CD AC BM AB DE  1 DE  DF Nên DF ˆ ˆ ˆ ˆ Ta có D1  DAC  DAB  D2  ADE  ADF  AE =AF 0,5 0,25 0,5 Gọi vế trái là A, ta có: 3  a 1  b 1  c 1          2 a b 2  b  c 2  c  a 2  a b b c c a    2(a  b) 2(b  c ) 2(c  a ) a b (b  a )  (a  c ) ca    2(a  b) 2(b  c ) 2(c  a ) A 5 a b  1 1  a c  1 1  .      2 ab bc  2 b c c  a  a b c a a c a b  .  . 2 (a  b)(b  c) 2 (b  c)(c  a)  ( a  b)(a  c)  1 1  .   2(b  c)  a  b c  a  (a  b)(a  c)(b  c)   0 ( Do a  b  c  0) 2(b  c)(b  c)(c  a) 3 Vậy A  2  1,0