Tài liệu Bài giảng điều khiển tự động - chương 2 mô tả toán học phần tử và hệ thống liên tục

Mô tả toán học Phần tử và hệ thống liên tục Chương 2: 2.1 Phương trình vi phân 2.2 Phép biến đổi Laplace 2.3 Hàm truyền 2.4 Sơ đồ khối 2.5 Hàm truyền của các khâu vật lý điển hình 2.6 Graph tín hiệu 2.7 Phương trình trạng thái 9/4/2014 1 2.1 Phương trình vi phân Tổng quát, quan hệ giữa tín hiệu vào, tín hiệu ra của một hệ thống liên tục tuyến tính bất biến SISO có thể mô tả bằng phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng: dn y dn1y dmr dm1r an n  an1 n1  ...  a0 y(t)  bm m  bm1 m1  ...  b0r(t) dt dt dt dt ai , bi : thông số của hệ thống (khối lượng, ma sát, R,L,C,…) r(t) : tín hiệu vào y(t) : tín hiệu ra n = bậc của hệ thống = bậc ph.trình vi phân Với hệ thống thực tế : m  n (nguyên lý nhân quả) 9/4/2014 2 Ví dụ 2.1: Hệ khối lượng – lò xo – giảm chấn m : khối lượng, [kg] b : hệ số ma sát nhớt, [N.s/m] k : độ cứng lo xo, [N/m]  Tín hiệu vào: lực tác dụng F(t), [N]  Tín hiệu ra: lượng di động y(t), [m] Lực lò xo : Flx  ky(t) Lực giảm chấn : F(t) (+) Áp dụng Định luật II Newton : d2 y m 2   Fi  F(t)  Fms  Flx dt m Flx 9/4/2014 Fms dy b dt Fms  d2 y dy m 2 b  ky(t)  F(t) dt dt 3 Ví dụ 2.2: Mạch điện RLC nối tiếp Theo định luật Kirchhoff : uR  uL  uC  u Trong đó: 1 uC   idt C duC iC dt duC uR  Ri  RC dt di d2uC uL  L  LC 2 dt dt Tín hiệu vào: điện áp u Tín hiệu ra: điện áp uc  9/4/2014 d2uC du LC 2  RC C  uC  u dt dt 4 Ví dụ 2.2b: Mạch điện RLC nối tiếp Theo định luật Kirchhoff : uR  uL  uC  u Tín hiệu vào: điện áp u Tín hiệu ra: dòng điện i  di 1 Ri  L   idt  u dt C  di RCi  LC   idt  Cu dt Lấy đạo hàm hai vế:  9/4/2014 d2i di du LC 2  RC  i  C dt dt dt 5 Ví dụ 2.3: Đặc tính động học vận tốc xe ôtô v(t) b f(t) m dv  bv(t)  f(t) dt m : khối lượng xe b : hệ số cản (ma sát nhớt)  Tín hiệu vào: Lực đẩy của động cơ, f(t)  Tín hiệu ra: vận tốc của xe , v(t) 9/4/2014 6 Ví dụ 2.4: Bộ giảm chấn trong xe ôtô/ máy móc m : khối lượng, [kg] b : hệ số ma sát nhớt, [N.s/m] k : độ cứng lo xo, [N/m]  Tín hiệu vào: lượng di động r(t), [m]  Tín hiệu ra: lượng di động y(t), [m] d2 y dy dr m 2 b  ky(t)  b  kr(t) dt dt dt 9/4/2014 7 Bài tập: Viết ptvp mô tả mạch RLC Tín hiệu vào: điện áp u Tín hiệu ra: điện áp uc i i 9/4/2014 d2uC duC RLC 2  L  RuC  Ru dt dt d2uC du du RLC 2  L C  RuC  L dt dt dt 8 2.2 Phép biến đổi Laplace Nghieäm y(t) Nghieäm Y(s) 9/4/2014 9 2.2 Phép biến đổi Laplace 2.2.1 Định nghĩa  Cho hàm thời gian f(t) xác định với mọi t0, biến đổi Laplace của f(t) là:  F(s)  L [f (t)]   f (t)e st dt 0 s : biến Laplace (biến số phức) L : toán tử biến đổi Laplace F(s): biến đổi Laplce hay ảnh Laplace của f(t) Biến đổi Laplace tồn tại khi tích phân trong biểu thức định nghĩa trên là hội tụ (hữu hạn). 9/4/2014 10 2.2 Phép biến đổi Laplace  Cho hàm phức F(s), biến đổi Laplace ngược của F(s) là một hàm thời gian f(t) xác định bởi: 1 ts f (t)  L [F(s)]  F(s)e ds  2j 1 t0 c Trong đó :  C là đường cong kín được lựa chọn trong miền s  j là số ảo đơn vị (j2 =-1) L L -1 f(t)  F(s)  f(t) 9/4/2014 11 2.2 Phép biến đổi Laplace 2.2.2 Tính chất 1) Tuyến tính L [f1(t)  f2(t)] = F1(s)  F2(s) L [kf(t)] = kF(s) 2) Ảnh của đạo hàm Ví dụ : Giải ph.trình vi phân mô tả chuyển động bậc hai: 300y(t)  5y(t)  20y(t)  100 2 điều kiện đầu: y(0) là vị trí ban đầu (tại t=0) y( 0) là vận tốc ban đầu (tại t=0). Tổng quát: Giải PTVP bậc n cần n điều kiện đầu: f (0), f (0), f (0), ..., f (n 1) (0) 9/4/2014 12 2.2 Phép biến đổi Laplace 2a) Nếu các điều kiện đầu khác 0 n L [f ( n) (t )]  snF(s)   sni f ( i 1) (0) i 1 L [f (t)]  s 2 F(s)  sf (0)  f (0) L [f (3) (t)]  s3F(s)  s 2f (0)  sf (0)  f (0) 2b) Nếu các điều kiện đầu = 0 Ví dụ, xét ptvp: L [f ( n) (t )]  snF(s) 300 y(t)  5y(t)  20 y(t)  100r(t) Biến đổi Laplace 2 vế với ĐKĐ =0 ta được: 300s2 Y(s)  5sY(s)  20Y(s)  100R(s) (300s2  5s  20)Y(s)  100R(s) 9/4/2014 13 2.2 Phép biến đổi Laplace 3) Ảnh của tích phân t  F(s) L   f (t )dt   s 0  4) Ảnh của hàm trễ f(t-T) = f(t) khi t T = 0 khi t0)    (t)dt  1  (s  )t e t  st L [e t ]   e e dt   e  (s )t dt   s 0 0 9/4/2014 0  0 1  s 17 2.2.3 Biến đổi Laplace của các hàm cơ bản 4) Hàm dốc đơn vị  t khi t  0 r(t)  t.1(t)   0 khi t < 0 t.1(t) 0 t Lấy tích phân từng phần e st ut ; v  udv  uv   vdu s   st    st te e 1 1 L [t.1(t)]   te st dt   dt  0  2  2 s 0 0 s s s 0 Theo cách tương tự, ta tính được ảnh của t2, t3, tn … Cũng có thể dùng tính chất ảnh của tích phân: t  L [1(t)] 1 L [t.1(t)]  L  1(t)dt    2 s s 0  9/4/2014 18 2.2.3 Biến đổi Laplace của các hàm cơ bản 5) Hàm lượng giác sint, cost, … cos t  jsin t  e jt   j t cos  t  jsin  t  e  1 1 jt  jt  cos t  e jt  e jt ; sin t  e e 2 2j Công thức Euler:           1 jt 1 e  e  jt e st dt   e  s  j t  e  s  jt dt 2 20 0 L [cos t]   1 1 1  s     2  2  s  j s  j  s  2  1 1 1   2 L [sin t ]  ...     2 j  s  j s  j  s  2 9/4/2014 19 Một số biến đổi Laplace thường dùng (trang 20) TT f(t) F(s) 1 1(t) 1/ s 2 (t) 1 3 t 1 s e 8 te t t 17 e 18 e t sin t 9/4/2014 cos t 1 (s  )2 s (s   )2  2  (s   )2  2 20