Trị riêng và vector riêng
Bài 04.04.1.001
Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận A:
3 0
1)
8 1
10 9
2)
4 2
0 3
3)
4 0
Giải:
1) Phương trình đặc trưng của ma trận là
3
0
8
1
0
1 3
nên A có 2 trị riêng là 3 và -1.
3 1 0
2 1
3 x1 0
Vecto riêng ứng với trị riêng là x x1 , x2 thỏa mãn:
8 x1 1 x2 0
0 x 0
Với 1 3, ta có hệ 1
x2 2 x1 , x1 tùy ý
8
x
4
x
0
1
2
x x
1
Nên x 1 1 x1 do đó vecto riêng là 1,2
2
x2 2 x1
4 x 0
Với 2 1, ta có hệ 1
x1 0, x2 tùy ý
8 x1 0 x2 0
x 0
0
Nên x 1 x2 do đó vecto riêng là 0,1
1
x2 x2
2) Phương trình đặc trưng của ma trận là
10
9
4
2
0
4 0 1 2 4 là trị riêng bội 2.
2
Vecto riêng ứng với trị riêng 4 là x x1 , x2 thỏa mãn hệ
6 x1 9 x2 0
3
10 4 x1 9 x2 0
hay
x1 x2 , x2 tùy ý
2
4 x1 6 x2 0
4 x1 2 4 x2 0
x1 3 / 2 x2
3 / 2
Do đó x
x2
x2
1
x2
3
Vậy vecto riêng là ,1 ứng với trị riêng là 4.
2
3) Phương trình đặc trưng của ma trận là
3
4
2 12 0
Dễ dàng suy ra A có hai trị riêng 1 12, 2 12
3
Với 1 12 có vecto riêng tương ứng là
,1
12
3
Với 2 12 có vecto riêng tương ứng là
,1
12
Bài 04.04.1.002
Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận A:
2 7
1)
1 2
0 0
2)
0 0
1 0
3)
0 1
Giải:
1) Phương trình đặc trưng của A là
2
7
1
2
2 3 0 (1)
Phương trình (1) không có nghiệm thực, đo đó A không có trị riêng thực.
Nếu xét các trị riêng phức thì A có 2 trị riêng 1 i 3, 2 i 3
2 i 3 x1 7 x2 0
Với 1 i 3, ta có:
x1 2 i 3 x2 , x2 tùy ý.
x
2
i
3
x
0
1
2
2 i 3
x1 2 i 3 x2
x2
x
nên có vecto riêng là 2 i 3,1
1
x2
x2
2 i 3 x1 7 x2 0
x1 2 i 3 x2 , x2 tùy ý.
Với 1 i 3, ta có:
x1 2 i 3 x2 0
2 i 3
x1 2 i 3 x2
x2
x
nên có vecto riêng là 2 i 3,1
x
1
2
x2
2) Phương trình đặc trưng của A là
0
0
2 0
A có trị riêng bội hai là 1 2 0.
0 x 0 x2 0
Vecto riêng tương ứng là x x1 , x2 thỏa mãn 1
nên x1, x2 tùy ý.
0 x1 0 x2 0
1
0
0 0
0
Hai vecto 1,0 và 0,1 là ĐLTT vì 0
0
1
0 0
0
Vậy có hai vecto riêng ĐLTT là 1,0 và 0,1
3) Phương trình đặc trưng của A là
1
0
0
1
1 0
2
Do đó A có trị riêng bội hai là 1 2 1
0 x 0 x2 0
Hệ phương trình xác định vecto riêng x x1 , x2 tương ứng là: 1
0 x1 0 x2 0
Hệ phương trình này trùng hệ phương trình ý 2) nên ta cũng có kết quả tương tự
Vậy ứng với trị riêng 1 2 1 có hai vecto riêng là 1,0 và 0,1
Bài 04.04.1.003
Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận A:
2 1 2
1) 5 3 3
1 0 2
4 5 2
3) 5 7 3
6 9 4
0 1 0
2) 4 4 0
2 1 2
Giải:
1) Phương trình đặc trưng là
2
1
2
5
3
3
1
0
2
1 0
3
Do đó A có một trị riêng bội ba là 1.
Vecto riêng tương ứng là x x1 , x2 , x3
2 1 x1 x2 2 x3 0
thỏa mãn: 5 x1 3 1 x2 3 x3 0
x1 2 1 x3 0
Hệ này có nghiệm x1 0, x3 x2 , x2 tùy ý.
Do đó
x1 0
0
x x2 x2 x2 1
x3 x2
1
Vậy ứng với trị riêng bội ba 1 có một vecto riêng là 0,1, 1
1
0
2) Phương trình đặc trưng của A là 4 4
2
1
2 0
3
0
2
Do đó A có một trị riêng bội ba là 2.
Vecto riêng tương ứng là x x1 , x2 , x3
2 x1 x2 0
thỏa mãn: 4 x1 2 x2 0
2 x x 0
1
2
Hệ này có nghiệm x2 2x1, x1, x3 tùy ý.
Do đó
x1 x1
1
0
x x2 2 x1 x1 2 x3 0
x3 x3
0
1
Vậy ứng với trị riêng bội ba 2 có 2 vecto riêng 1,2,0 và 0,0,1
3) Phương trình đặc trưng của A là
4
5
2
5
7
3
6
9
4
2 1 0
có hai trị riêng 1 2 0 bội hai và 3 1 đơn.
Vecto riêng tương ứng là x x1 , x2 , x3 thỏa mãn:
4 x1 5 x2 2 x3 0
Với 1 2 0 có hệ 5 x1 7 x2 3 x3 0
6 x 9 x 4 x 0
2
3
1
Hệ thuần nhất này có nghiệm không tầm thường x2 2 x1, x3 3x1, x1 tùy ý.
x1 x1
1
Do đó x x2 2 x1 x1 2
x3 3 x1
3
Vậy ứng với trị riêng bội hai 1 2 0 có vecto riêng là 1,2,3
3x1 5 x2 2 x3 0
Với 3 1, ta có hệ 5 x1 8 x2 3x3 0 x2 x3 , x1 x3 , x3 tùy ý
6 x 9 x 3 x 0
2
3
1
x1 x3
1
Do đó x x2 x3 x3 1
x3 x3
1
Vậy ứng với trị riêng 3 1 có vecto riêng là 1,1,1
Bài 04.04.1.004
Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận A:
1 3 3
1) 2 6 13
1 4 8
1 3 4
2) 4 7 8
6 7 7
7 12 6
3) 10 19 10
12 24 13
Giải:
1
3
6
1) Phương trình đặc trưng của A là 2
1
4
3
13 1 0
3
8
Do đó A có một trị riêng bội ba là 1.
Vecto riêng tương ứng là x x1 , x2 , x3
1 1 x1 3x2 3x3 0
thỏa mãn 2 x1 6 1 x2 13x3 0
x1 4 x2 8 1 x3 0
Hệ thuần nhất này có nghiệm x1 3x3 , x2 x3 , x3 tùy ý.
Do đó
x1 3x3
3
x x2 x3 x3 1
x3 x3
1
Vậy ứng với trị riêng bội ba 1 có vecto riêng là 3,1,1
1
3
4
4
7
8
6
7
7
2) Phương trình đặc trưng của A là
1 3 0
2
Do đó A có hai trị riêng là 1 2 1 bội và 3 3 đơn.
Vecto riêng tương ứng là x x1 , x2 , x3 thỏa mãn hệ
1 1 x1 3x2 4 x3 0
Với 1 2 1 ta có hệ 4 x1 7 1 x2 8 x3 0 x1 x3 , x2 2 x3 , x3 tùy ý.
6 x1 7 x2 7 1 x3 0
Do đó
x1 x3
1
x x2 2 x3 x3 2
x3 x3
1
Vậy ứng với trị riêng bội hai 1 2 1 có vecto riêng là 1,2,1
1 3 x1 3x2 4 x3 0
Với 3 3 ta có hệ 4 x1 7 3 x2 8 x3 0 x2 2 x1 , x3 2 x1 , x1 tùy ý
6 x1 7 x2 7 3 x3 0
Do đó
x1 x1
1
x x2 2 x1 x1 2
x3 2 x1
2
Vậy ứng với trị riêng 3 3 có vecto riêng là 1,2,2
3) Phương trình đặc trưng của A là
7
12
6
10
19
10
12
24
13
1 1 0
2
Do đó A có hai trị riêng khác nhau 1 2 1 bội hai và 3 1 đơn.
Vecto riêng ứng với 1 2 1 là x x1 , x2 , x3 thỏa mãn hệ:
7 1 x1 12 x2 6 x3 0
10 x1 19 1 x2 10 x3 0 x1 2 x2 x3 , x2 , x3 tùy ý.
12 x1 24 x2 13 1 x3 0
x1 2 x2 x3 2 x2 x3
2
1
x2 x2 0 x2 1 x3 0
Do đó x x2
x3
0
1
x3 0 x3
Vậy ứng với trị riêng bội hai 1 2 1 có 2 vecto riêng là 2,1,0 và 1,0,1
Vecto riêng ứng với 3 1 là x x1 , x2 , x3 thỏa mãn hệ:
7 1 x1 12 x2 6 x3 0
1
5
10 x1 19 1 x2 10 x3 0 x1 x3 , x2 x3 , x3 tùy ý.
2
6
12
x
24
x
13
1
x
0
3
1
2
Do đó
x1 1 / 2 x3
3
1
x x2 5 / 6 x3 x3 5
6
x3
6
x3
Vậy ứng với trị riêng 3 1 có một vecto riêng là 3,5,6
Bài 04.04.1.005
Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận A:
3 1
1 1
2)
3 0
4 1
4 5 7
1) 1 4 9
4 0 5
0
0 0
5 3
3 1
0
1
0
3)
1
0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 1
Giải:
1) Phương trình đặc trưng của A là
4
1
4
5
7
4
9 1 2 4 13 0
0
5
Do đó A có một trị riêng thực 1 1 và hai trị riêng phức 2 2 3i, 3 2 3i
4 1 x1 5 x2 7 x3 0
Với 1 1 ta có hệ x1 4 1 x2 9 x3 0 x1 x3 , x2 2 x3 , x3 tùy ý.
4 x1 5 1 x3 0
Do đó
x1 x3
1
x x2 2 x3 x3 2
x3 x3
1
Vậy ứng với trị riêng 1 1 có vecto riêng là 1,2,1
2 3i x1 5 x2 7 x3 0 x 3 3i x
3
1
4
Với 2 2 3i ta có hệ x1 6 3i x2 9 x3 0
và x3 tùy ý.
5
3
i
x
x3
4
x
3
3
i
x
0
1
3
2
4
Do đó
x1
3 3i
x3
x x2
5 3i
4
x3
4
Vậy ứng với trị riêng 2 2 3i có vecto riêng 3 3i,5 3i,4
Tương tự với trị riêng 3 2 3i có vecto riêng 3 3i,5 3i,4
0
3 1
1
1
0
2) Phương trình đặc trưng của A là
3
0
5
1
3
4
0
2 4 0
3
1
0
Do đó A có một trị riêng bội 4 là 2.
Vecto riêng x x1 , x2 , x3 , x4
4
ứng với trị riêng 2 thỏa mãn:
3 2 x1 x2
x1 1 2 x2
3x1 5 2 x3 3 x4
4 x x 3x 1 2 x
3
4
1 2
0
0
0
x1 x3 x4
x2 x3 x4
và x3 , x4 tùy ý.
0
x1 x3 x4 x3 x4
1
1
x x x x
1
1
x4
2
3
4
3
x3
x4
Do đó x
x3
1
0
x3 x3 0
x4 0 x4
0
1
x4
Vậy ứng với trị riêng bội bốn 2 có hai vecto riêng 1,1, 1,0 và 1,1,0,1
1
0
3) Phương trình đặc trưng của A
1
0
0
0
0
0
0
0
1 2 2 0
0
0 1
0
Do đó A có hai trị riêng 1 0 bội hai và 2 1 bội hai.
Vecto riêng ứng với 1 0 là x x1, x2 , x3 , x4
x1 0
0 x2 0
thỏa mãn
x1 0 x3 0
x4 0
Hệ này có nghiệm x1 0, x4 0, x2, x3 tùy ý.
x1 0 0 0
0
0
x x 0
1
0
x2
2
2
x2
x3
Do đó x
x3 x3 0 x3
0
1
0
0
x4 0 0 0
Vậy ứng với trị riêng bội hai 1 0 có hai vecto riêng 0,1,0,0 và 0,0,1,0
Vecto riêng ứng với 2 1 là x x1, x2 , x3 , x4
1 1 x1 0
x2 0
thỏa mãn
x1 x3 0
1 1 x 0
4
Hệ này có nghiệm x2 0, x3 x1, x1, x4 tùy ý.
x1 x1 x1 0
1
0
x
0
0
0
0
0
2
Do đó x x1 x4
x3 x1 x1 0
1
0
0
1
x4 x4 0 x4
Vậy ứng với trị riêng bội hai 2 1 có hai vecto riêng 1,0,1,0 và 0,0,0,1
Bài 04.04.1.006
1 6
6
3
Cho ma trận A
,
u
,
v
. u , v có là vecto riêng của A?
5 2
5
2
Giải:
Xét
1 6 6 24
6
Au
4
5 4u
5 2 5 20
1 6 3 9
3
Av
2
5 2 2 11
Vậy u là một vecto riêng ứng với trị riêng -4, v không là vecto riêng của A do Av
không biểu diễn được theo v.
Bài 04.04.1.007
3 2
2 có là trị riêng của A
3 8
Giải:
Để 2 là trị riêng của A khi và chỉ khi Ax 2 x có nghiệm không tầm thường.
Nghĩa là A 2I x 0 ta tính:
3 2 2 0 1 2
A 2I
3 8 0 2 3 6
Các cột của A phụ thuộc tuyến tính, nên
A 2I x 0
có nghiệm không tầm
thường, do đó 2 là một trị riêng của A.
Bài 04.04.1.008
7 3
2 có là trị riêng của
3 1
Giải:
Để -2 là trị riêng của A khi và chỉ khi Ax 2 x có nghiệm không tầm thường.
Nghĩa là A 2I x 0 ta tính:
7 3 2 0 9 3
3 1 0 2 3 1
A 2I
Các cột của A phụ thuộc tuyến tính, nên
thường, do đó -2 là một trị riêng của A.
Bài 04.04.1.009
A 2I x 0
có nghiệm không tầm
1
3 1
Vecto có là vecto riêng của A
không?
4
3
8
Nếu có, hãy tìm trị riêng tương ứng.
Giải:
3 1 1 1
1
Ta xét
4 .
3 8 4 29
1
Vậy vecto không là vecto riêng của A.
4
Bài 04.04.1.010
1 2
2 1
Vecto
có là vecto riêng của A
không?
1
4
1
Nếu có, hãy tìm trị riêng tương ứng.
Giải:
1 2
2 1 1 2 1 2 2
3
2
Ta xét
1 3 2
1
1 4
1 2
Dễ dàng nhận thấy vecto
là một vecto riêng của A,
1
ứng với trị riêng là 3 2.
Bài 04.04.1.011
3 7 9
4
Vecto 3 có là vecto riêng của A 4 5 1 không?
2 4 4
1
Nếu có, tìm trị riêng tương ứng.
Giải:
3 7 9 4 0
Ta xét 4 5 1 3 0
2 4 4 1 0
4
Vậy Vecto 3 là vecto riêng của A, ứng với trị riêng là 0.
1
Bài 04.04.1.012
3 0 1
4 có là một trị riêng của A 2 3 1 không?
3 4 5
Nếu có, hãy tìm vecto riêng tương ứng.
Giải:
3 0 1 4 0 0 1 0 1
Có A 4 I 2 3 1 0 4 0 2 1 1
3 4 5 0 0 4 3 4 1
Để biết 4 có là trị riêng của A, ta xét: A 4I x 0 có nghiệm không tầm
thường hay không, có:
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
2 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0
3 4 1 0 0 4 4 0 0 0 0 0
Phương trình A 4I x 0 có nghiệm không tầm thường, nên 4 là một trị
riêng. Mọi nghiệm khác 0 của pt A 4I x 0 đều là trị riêng tương ứng.
x1 x3 0
Từ biến đổi trên ta được
với x3 khác 0 tùy ý.
x2 x3 0
Do đó ta chọn x3 1 ta được vecto riêng là 1, 1,1
Bài 04.04.1.013
1 2 2
3 có là một trị riêng của A 3 2 1 không?
0 1 1
Nếu có, hãy tìm vecto riêng tương ứng.
Giải:
1 2 2 3 0 0 2 2 2
Có A 3I 3 2 1 0 3 0 3 5 1
0 1 1 0 0 3 0 1 2
Để biết 3 có là trị riêng của A, ta xét: A 3I x 0 có nghiệm không tầm
thường hay không, có:
2 2 2 0 1 1 1 0 1 0 3 0
3 5 1 0 0 1 2 0 0 1 2 0
0 1 2 0 0 2 4 0 0 0 0 0
Phương trình A 3I x 0 có nghiệm không tầm thường, nên 3 là một trị
riêng. Mọi nghiệm khác 0 của pt A 3I x 0 đều là trị riêng tương ứng.
x 3x3 0
Từ biến đổi trên ta được 1
với x3 khác 0 tùy ý.
x2 2 x3 0
Do đó ta chọn x3 1 ta được vecto riêng là 3,2,1
Bài 04.04.1.014
Tìm cơ sở của không gian riêng ứng với các trị riêng sau:
5 0
A
, =1,5.
2
1
Giải:
5 0 1 0 4 0
Với 1: A 1I
2 1 0 1 2 0
4 0 0
Ma trận của phương trình A I x 0 là
2 0 0
Do đó x1 0, x2 tùy ý. Nghiệm tầm thường của A I x 0 là e2 ,
0
với e2 và là một cơ sở của không gian riêng tương ứng với trị riêng 1.
1
5 0 5 0 0 0
Với 5 : A 5I
2 1 0 5 2 4
Phương trình A 5I x 0 dẫn đến 2 x1 4 x2 0 x1 2 x2 ,
x 2 x
2
nghiệm tầm thường là 1 2 x2 .
1
x2 x2
2
Vậy là một cơ sở của không gian riêng tương ứng với trị riêng 5.
1
Bài 04.04.1.015
Tìm cơ sở của không gian riêng ứng với trị riêng sau:
10 9
A
, =4.
4
2
Giải:
10 9 4 0 6 9
Với 4 : A 4 I
0 4 4 6
4
2
6 9 0 1 9 / 6 0
Ma trận của phương trình A 4I x 0 là
0
0
4 6 0 0
Do đó x1
3
x2 , với x2 tùy ý.
2
x1 3 / 2 x2
3 / 2
x
Nghiệm tầm thường là
2
x2
1
x2
3 / 2
Vậy một cơ sở của không gian riêng tương ứng với 4 là
1
Bài 04.04.1.016
Tìm cơ sở của không gian riêng ứng với trị riêng sau:
4 2
A
, =10.
3 9
Giải:
4 2 10 0 6 2
Với 10 : A 10I
3 9 0 10 3 1
6 2 0 1 1 / 3 0
Ma trận của phương trình A 10I x 0 là
3 1 0 0 0 0
1
Do đó x1 x2 , x2 tùy ý.
3
x1 1 / 3 x2
1 / 3
x
Nghiệm tầm thường là
2
1
x2
x2
1 / 3
Một cơ sở của không gian riêng ứng với 10 là
.
1
Bài 04.04.1.017
Tìm cơ sở của không gian riêng ứng với các trị riêng sau:
7 4
A
, =1,5.
3
1
Giải:
7 4 1 0 6 4
Với 1: A I
3 1 0 1 3 2
6 4 0 1 2 / 3 0
Ma trận của phương trình A I x 0 là
0
3
2
0
0
0
2
Do đó x1 x2 , x2 tùy ý.
3
2 / 3
2
Một cơ sở của không gian riêng tương ứng 1 là
hay
1
3
7 4 5 0 2 4
Với 5 : A 5I
0 5 3 6
3
1
2 4 0 1 2 0
Ma trận của phương trình A 5I x 0 là
0 0 0
3
6
0
x
2
Do đó x1 2 x2 với x2 tùy ý. Nghiệm tầm thường là 1 x2
1
x2
2
Một cơ sở của không gian riêng tương ứng 5 là
1
Bài 04.04.1.018
Tìm cơ sở của không gian riêng ứng với các trị riêng sau:
4 0 1
A 2 1 0 , =1,2,3.
2 0 1
Giải:
4 0 1 1 0 0 3 0 1
Với 1: A I 2 1 0 0 1 0 2 0 0
2 0 1 0 0 1 2 0 0
3x x 0
Phương trình A I x 0 dễ dàng suy ra được 1 3
nên x1 x3 0, và
2
x
0
1
x2 tùy ý. Nghiệm tầm thường của phương trình A I x 0 là x2e2 với
e2 0,1,0 và là một cơ sở không gian riêng.
4 0 1 2 0 0 2 0 1
Với 2 : A 2 I 2 1 0 0 2 0 2 1 0
2 0 1 0 0 2 2 0 1
2 0 1 0 2 0 1 0 1 0 1 / 2 0
A 2 I 0 2 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0
2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1
Do đó x1 x3 , x2 x3 , x3 tùy ý.
2
1 / 2
Nghiệm tầm thường của phương trình A 2I x 0 là x3
1
1
1
Vậy cơ sở không gian riêng tương ứng là 2 .
2
0 1
4 0 1 3 0 0 1
Với 3 : A 3I 2 1 0 0 3 0 2 2 0
2 0 1 0 0 3 2 0 2
0 1 0
1
1 0 1 0
1 0 1 0
A 3I 0 1 2 0 0 0 2 2 0 0 1 1 0
2 0 2 0
0 0 0 0
0 0 0 0
1
Do đó x1 x3 , x2 x3 , x3 tùy ý. Cơ sở không gian riêng tương ứng là 1 .
1
Bài 04.04.1.019
Tìm cơ sở của không gian riêng ứng với trị riêng sau:
1 0 1
A 1 3 0 , = 2
4 13 1
Giải:
Với 2, ta xét:
3 0 1 0
1 0 1 / 3 0
1 0 1 / 3 0
A 2 I 0 1 1 0 0 0 1 1 / 3 0 0 1 1 / 3 0
4 13 3 0
0 13 13 / 3 0
0 0
0
0
1
1
Do đó x1 x3 , x2 x3 , x3 tùy ý.
3
3
1 / 3
Nghiệm tầm thường của phương trình A 2I x 0 là x3 1 / 3
1
- Xem thêm -