Tài liệu Bài toán dạng cauchy cho hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến hai chiều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Đoàn Thị Ri A BÀI TOÁN DẠNG CAUCHY CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM PHI TUYẾN HAI CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Đoàn Thị Ri A BÀI TOÁN DẠNG CAUCHY CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM PHI TUYẾN HAI CHIỀU Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. NGUYỄN ANH TUẤN Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn thạc sĩ của mình, em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo, Phòng Sau đại học, Khoa toán tin và các giảng viên trường Đại học Sư phạm – Đại học Tiền Giang đã nhiệt tình truyền đạt những kiến thức quý báo và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình học tập và hoàn thành Luận văn Thạc sĩ. Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS. TS. Nguyễn Anh Tuấn – Người trực tiếp chỉ bảo, hướng dẫn em trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành Luận văn Thạc sĩ. Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đã động viên, khuyến khích tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Xin chân thành cảm ơn. Thành phố Hồ Chí Minh, ngày tháng năm 2012 Tác giả Đoàn Thị Ri A MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN ..............................................................................................................................................1 CÁC KÍ HIỆU ...............................................................................................................................................5 MỞ ĐẦU ....................................................................................................................................................7 CHƯƠNG 1: BÀI TOÁN BIÊN TỔNG QUÁT CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM PHI TUYẾN ..............9 1.1 Giới thiệu bài toán: .........................................................................................................................9 1.2 Tính giải được của bài toán (1.1), (1.2): ....................................................................................... 12 1.3 Các hệ quả về tính giải được của bài toán (1.1), (1.2): ................................................................ 15 CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN DẠNG CAUCHY CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM PHI TUYẾN HAI CHIỀU ..................................................................................................................................................... 18 2.1 Giới thiệu bài toán: ...................................................................................................................... 18 2.2 Các định lí về tính giải được của bài toán (2.1), (2.2): ................................................................ 22 2.3 Tính giải được của bài toán biên dạng Cauchy cho hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến đối số lệch hai chiều:.......................................................................................................................... 52 2.4 Các ví dụ và phản ví dụ: ................................................................................................................ 58 KẾT LUẬN................................................................................................................................................ 69 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................................................. 70 = ( −∞, +∞ ) , =+ [0, +∞ ) , CÁC KÍ HIỆU I = [ a, b ]  n : là không gian vectơ n cột x = ( xi )i =1 với các thành phần xi ∈  n 1, 2,..., n ) (i = n và chuẩn x = ∑ xi ; i =1 Nếu x = ( xi )i =1 thì sgn ( x ) = ( sgn xi )i =1 n n  n×n : là không gian ma trận cấp n × n X = ( xik )i ,k =1 với các thành phần n xik ∈  1, 2,..., n ) và chuẩn: ( i, k = X = n ∑x i , k =1 ik . C ([ a, b ] ;  ) : Không gian Banach của những hàm liên tục u : , → R được [ a b]  { } trang bị với= chuẩn u C max u ( t ) : t ∈ [ a, b ] . C ([ a, b ] ;  ) : tập những hàm liên tục tuyệt đối u : , →R. [ a b]  C loc ([ a, b ] ;  ) : tập những hàm u : , → R sao cho u ∈ C ([ a, β ] ;  ) với mỗi [ a b]  β ∈ ( a, b ) . C ([ a, b ] ;  n ) : là không gian của những vectơ hàm liên tục x : [ a, b ]  →  n với { } chuẩn: x C max x ( t ) : t ∈ [ a, b ] . = L ([ a, b ] ;  ) : Không gian Banach những hàm khả tích Lebesgue h : , → [ a b]  a được trang bị chuẩn h L = ∫ h ( s ) ds . b L ([ a, b ] ;  + )= {h ∈ L ([ a, b];  ) : h ( t ) ≥ 0, ∀t ∈ [ a, b]} . L ([ a, b ] ;  n ) : là không gian của vectơ hàm khả tích x : [ a, b ]  →  n với chuẩn: b x L = ∫ x ( t ) dt . a → L ([ a, b ] :  ) . ab : tập những toán tử tuyến tính bị chặn l : C ([ a, b ] :  )  ab : là tập những toán tử l ∈ ab bị chặn mạnh, tức là tồn tại η ∈ L ([ a, b ] ;  + ) sao cho: ∀u ∈ C ([ a, b ] ;  ) , l ( u )( t ) ≤ η ( t ) . u C , ∀t ∈ [ a, b ] K ([ a, b ] × A; B ) : với A ⊆  m  ( m ∈  ) và B ⊆  , là tập những hàm f : [ a, b ] × A  → B thoả mãn điều kiện Caratheodory, tức là: i) f (., x ) : , → B là hàm đo được ∀x ∈ A . [ a b]  ii) f ( t ,.) : A  → B là hàm liên tục với mỗi t ∈ [ a, b ] . iii) Với mỗi r > 0 , tồn tại một hàm qr ∈ L ([ a, b ] ;  + ) sao cho: f ( t , x ) ≤ qr ( t ) , với mỗi t ∈ [ a, b ] , ∀x ∈ A, x ≤ r . = [ x ]+ x +x = , [ x ]− 2 x −x 2 MỞ ĐẦU Lý thuyết bài toán biên cho phương trình vi phân hàm được nghiên cứu bởi nhiều tác giả trong những năm đầu thế kỷ XX. Song phát triển theo hướng này là các tác giả Ivan Kiguradze và Bedrich Puza trong những năm từ 1997 đến 2003, các ông đã thiết lập các điều kiện đủ cho việc tồn tại nghiệm của bài toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính, sau đó phát triển cho bài toán phi tuyến. Song các kết quả cụ thể cho các bài toán biên như: Bài toán biên nhiều điểm, Bài toán biên dạng tuần hoàn,… cho hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến, cũng như cho phương trình vi phân hàm bậc cao phi tuyến vẫn chưa đạt được nhiều kết quả, cần phải tiếp tục mở rộng và xem xét. Cụ thể là: “ Bài toán dạng Cauchy cho hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến hai chiều” còn chưa được xem xét. Mục đích chính của luận văn là thiết lập các điều kiện đủ cho việc tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán sau: Xét trên đoạn [ a, b ] , bài toán biên cho hệ phương trình vi phân hai chiều phi tuyến: x1′ ( t ) = F1 ( x1 , x2 )( t ) ; x2′ ( t ) = F2 ( x1 , x2 )( t ) Với điều kiện biên dạng Cauchy: x1 ( a ) = ϕ1 ( x1 , x2 ) ; ( ) x2 ( a ) = ϕ2 ( x1 , x2 ) ( ) ( ) → L [ a, b ];  là toán tử liên tục. Với F1 , F2 : C [ a, b ];  × C [ a, b ];   →  là phiếm hàm liên tục. ϕ1 ,ϕ2 : C ([ a, b ];  ) × C ([ a, b ];  )  Nghiệm của bài toán trên là cặp ( x1 , x2 ) là hàm liên tục tuyệt đối trên [ a, b ] thỏa mãn x1′ ( t ) = F1 ( x1 , x2 )( t ) ; x2′ ( t ) = F2 ( x1 , x2 )( t ) hầu khắp nơi trên [ a, b ] và thoả điều kiện biên x1 ( a ) = ϕ1 ( x1 , x2 ) ; x2 ( a ) = ϕ 2 ( x1 , x2 ) . Nội dung chính của luận văn gồm hai chương: Chương 1: Xây dựng các điều kiện đủ cho việc tồn tại nghiệm của hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến. Trong chương 2, dựa trên các kết quả của chương 1, chúng ta xây dựng các điều kiện đủ cho việc tồn tại và duy nhất nghiệm của “Bài toán dạng Cauchy cho hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến hai chiều”. Luận văn là tài liệu tham khảo cho những người quan tâm nghiên cứu về bài toán dạng Cauchy cho hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến hai chiều. Những kết quả chính có thể được ứng dụng cho trường hợp hệ được xét đến là hệ phương trình vi phân với đối số chậm và đối số lệch. CHƯƠNG 1: BÀI TOÁN BIÊN TỔNG QUÁT CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM PHI TUYẾN 1.1 Giới thiệu bài toán: Giả sử n là số tự nhiên, I = [ a, b ] là một đoạn của trục số thực và giả sử →  n là toán tử liên tục, với mỗi f : C ( I ;  n )  → L ( I ;  n ) và h : C ( I ;  n )  ρ ∈ [ 0, +∞ ] , các điều kiện sau thỏa mãn: { sup { h ( x ) : x ∈ C ( I ;  ) , sup f ( x )(.) : x ∈ C ( I ;  n ) , x n x C C } ≤ ρ ∈ L ( I;) } ≤ ρ < +∞ Xét hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến: dx ( t ) = f ( x )( t ) dt (1.1) h( x) = 0 (1.2) Với điều kiện biên: Nghiệm của phương trình (1.1), chúng ta hiểu là một vectơ hàm liên tục tuyệt đối x : I  →  n hầu khắp nơi trên I thỏa phương trình này, và nghiệm của bài toán (1.1), (1.2) chúng ta hiểu là một nghiệm của phương trình (1.1) thỏa (1.2). Mục đích chính của phần này là xây dựng các điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán trên. Các kết quả chính của chương này được trích từ các kết quả của hai nhà toán học I. Kiguradze and B. Puza, trong tài liệu [15]. Ngoài ra, một số kết quả lấy từ tài liệu [16] và [20]. Để làm thành kết quả chính của chương 1, ta cần những định nghĩa sau: Định nghĩa 1.1: Giả sử p : C ( I ;  n ) × C ( I ;  n )  → L ( I ; n ); l : C ( I ;  n ) × C ( I ;  n )  → n là hai toán tử liên tục. Khi đó, cặp ( p, l ) được gọi là nhất quán nếu thỏa các điều kiện sau: (i) ( Với mỗi x ∈ C I ;  n ( ) ( ) ( → L I ; n cố định, toán tử p ( x,.) : C I ;  n  ) ) →  n là tuyến tính. và l ( x,.) : C I ;  n  (ii) ( ) Với mỗi x, y ∈ C I ;  n và ∀t ∈ I bất đẳng thức: ( p ( x, y )( t ) ≤ α t , x C ) ( l ( x, y ) ≤ α 0 x y C, được thực hiện, với C ) y C α 0 :  +  →  + là hàm không giảm và →  + là hàm khả tích theo biến số thứ nhất và không giảm α : I ×  +  theo biến số thứ hai. (iii) ( ) ( ) Tồn tại β > 0 sao cho với mỗi x ∈ C I ;  n , q ∈ C I ;  n , c0 ∈  n , và y ( t ) là một nghiệm tùy ý của bài toán biên: dy ( t ) = p ( x, y )( t ) + q ( t ) , dt l ( x, y ) = c0 (1.3) thì y ( t ) thỏa đánh giá: y C ≤ β ( c0 + q L ) (1.4) Định nghĩa 1.2 (xem tài liệu [20]): ( ) ( ) ( → L I ; n Giả sử p : C I ;  n × C I ;  n  ( ) ( → L I ; n tùy ý, với p0 : C I ;  n  tính. Ta nói rằng cặp ( p0 , l0 ) ) ) ( ) ( ) → n và l : C I ;  n × C I ;  n  ( ) →  n là toán tử tuyến và l0 : C I ;  n  thuộc tập ε pn ,l nếu tồn tại một dãy xk ∈ C ( I ;  n ) 1, 2,...) sao cho (k = ( ) ( ) ( với mỗi y ∈ C I ;  n những điều kiện sau được thực hiện: t t 0 0 lim ∫ p ( xk , y ) ( s ) ds = ∫ p0 ( y )( s ) ds đều trên I, k →∞ lim l ( xk , y ) = l0 ( y ) . k →∞ Định nghĩa 1.3: ( ) ( ) ( ) ) → L I ;  n và l : C I ;  n × C I ;  n  →  n là Giả sử p : C I ;  n × C I ;  n  hai toán tử liên tục. Ta nói rằng cặp ( p, l ) thuộc lớp Opial 00n nếu thỏa các điều kiện sau: (i) ( ) ( ) ( → L I ; n Với mỗi x ∈ C I ;  n cố định, toán tử p ( x,.) : C I ;  n  ( ) ) →  n là tuyến tính. và l ( x,.) : C I ;  n  (ii’) ( ) Với mỗi x, y ∈ C I ;  n , ∀t ∈ I , bất đẳng thức: p ( x, y )( t ) ≤ α ( t ) y C , l ( x, y ) ≤ α 0 y C →  + là hàm khả tích và α 0 ∈  + . được thực hiện, với α : I  (iii’) Với mỗi ( p0 , l0 ) ∈ ε p ,l bài toán: n dy ( t ) = p= l0 ( y ) 0 0 ( y )( t ) , dt chỉ có nghiệm tầm thường. Do Bổ đề 2.2 từ [20], nếu ( p, l ) ∈ 00 thì cặp ( p, l ) là nhất quán. n (1.5) Định nghĩa 1.4: ( ) ( ) → L I ;  n được gọi là bị chặn mạnh nếu tồn Toán tử tuyến tính p0 : C I ;  n  ( ) →  + sao cho: với mọi y ∈ C I ;  n , bất đẳng thức tại một hàm khả tích α : I  p0 ( y )( t ) ≤ α ( t ) y C được thực hiện hầu khắp nơi trên I. 1.2 Tính giải được của bài toán (1.1), (1.2): Định lí 1.5: Giả sử tồn tại số dương ρ và một cặp nhất quán ( p, l ) của toán tử liên tục p : C ( I ;  n ) × C ( I ;  n )  → L ( I ;  n ) và l : C ( I ;  n ) × C ( I ;  n )  →  n sao cho với λ ∈ [ 0,1] bất kỳ, và x ( t ) là một nghiệm tùy ý của bài toán: dx ( t ) = p ( x, x )( t ) + λ  f ( x )( t ) − p ( x, x )( t )  dt λ l ( x, x ) − h ( x )  l ( x, x ) = (1.6) (1.7) thì x thỏa đánh giá: x C ≤ρ (1.8) Khi đó bài toán (1.1), (1.2) là giải được. Chứng minh: Đặt: 1  s  σ ( s ) = 2 − ρ  0 ,0 ≤ s ≤ ρ , ρ < s < 2ρ , s ≥ 2ρ (1.9) ( q ( x )( t ) = σ x ( c0 ( x= ) σ x C C )  f ( x )( t ) − p ( x, x )( t ) , (1.10) ) l ( x, x ) − h ( x ) Từ (1.9) suy ra: 0 ≤ σ ( s ) ≤ 1 . Do ( p, l ) là cặp nhất quán nên theo (ii) của Định nghĩa 1.1 ta có: ( q (= x )( t ) σ x C )  f ( x )( t ) − p ( x, x )( t ) ≤ f ( x )( t ) + p ( x, x )( t ) { C ≤ 2 ρ + p ( x, x )( t ) { C ≤ 2 ρ + 2 ρα ( t , 2 ρ ) , với mỗi ≤ sup f ( x )( t ) : x ∈ C ( I ;  n ) , x ≤ sup f ( x )( t ) : x ∈ C ( I ;  n ) , x } } x ∈ C ( I ;  n ) , ∀t ∈ I ( = σ x c0 ( x ) C ) l ( x, x ) − h ( x ) ≤ l ( x, x ) + h ( x ) { ≤ 2 ρα 0 ( 2 ρ ) + sup h ( x ) : x ∈ C ( I ;  n ) , x C } ( ) ≤ 2 ρ , với mỗi x ∈ C I ;  n , ∀t ∈ I Ta đặt: { γ (t ) = 2 ρα ( t , 2 ρ ) + sup f ( x )( t ) : x ∈ C ( I ;  n ) , x { 2 ρα 0 ( 2 ρ ) + sup h ( x ) : x ∈ C ( I ;  n ) , x γ0 = ( C C ≤ 2ρ } ≤ 2ρ , } ) Khi đó: γ ∈ L ( I ;  ) , γ 0 < +∞ và với mỗi x ∈ C I ;  n và ∀t ∈ I , các bất đẳng thức sau thỏa mãn: q ( x )( t ) ≤ γ ( t ) , c0 ( t ) ≤ γ 0 (1.11) ( ) Với x tùy ý thuộc C I ;  n cố định, xét bài toán biên cho hệ phương trình tuyến tính: dy ( t ) = p ( x, y )( t ) + q ( x )( t ) , dt l ( x, y ) = c0 ( x ) (1.12) Do ( p, l ) là cặp nhất quán nên theo điều kiện (iii) của Định nghĩa 1.1, tồn tại β > 0 ( ) ( ) sao cho với mỗi x ∈ C I ;  n , q ( x ) ∈ C I ;  n , c0 ( x ) ∈  n , và y ( t ) là một nghiệm tùy ý của bài toán trên thì y ( t ) thỏa đánh giá: y C ≤ β ( c0 + q L ) Khi đó, bài toán thuần nhất: dy ( t ) = p= ( x, y )( t ) , l ( x, y ) 0 dt (1.13) chỉ có nghiệm tầm thường. Từ các điều kiện (i), (ii) của Định nghĩa 1.1 và bài toán (1.13) chỉ có nghiệm tầm thường nên các giả thiết của Định lí 1 trong [16] thỏa mãn. Do đó theo Định lí 1 trong [16] suy ra bài toán (1.12) có nghiệm duy nhất. Mặt khác, do điều kiện (i), (ii) từ Định nghĩa 1.1 và bất đẳng thức (1.11), nghiệm y của bài toán (1.12) thỏa đánh giá: y ( C β γ0 + γ với ρ 0 = ≤ ρ0 , L ), y′ ( t ) ≤ γ * ( t ) , ∀t ∈ I γ * (t ) = α ( t , ρ0 ) ρ0 + γ ( t ) . (1.14) ( ) ( ) ( ) → C I ;  n , với mỗi x ∈ C I ;  n thì u ( x ) = y Ta xây dựng toán tử u : C I ;  n  , với y của bài toán (1.12). Theo Hệ quả 1.6 của [16], toán tử u là liên tục. Mặt khác, từ (1.14) ta có: u ( x) C ≤ ρ0 , t u ( x )( t ) − u ( x )( s ) ≤ ∫ γ * (ξ ) d ξ , với s, t ∈ I . s { ( ) x ∈ C I ; n : x Vậy toán tử u là ánh xạ liên tục từ quả cầu Cρ0 = C } ≤ ρ 0 vào tập Compact của chính nó. Do đó, theo Định lí Schauder, tồn tại x ∈ Cρ0 sao cho: u ( x )( t ) = x ( t ) , với t ∈ I . Vậy x là nghiệm của bài toán (1.12). Từ đẳng thức (1.10) và bài toán (1.12), rõ ràng x là một nghiệm của bài toán (1.6), (1.7), với λ = σ (x ) C Theo giả thiết của Định lí suy ra: x ( C ≤ρ ) = xC 1 Khi đó λ σ= Do đó x cũng là một nghiệm của bài toán (1.1), (1.2). Hay bài toán (1.1), (1.2) là giải được.  1.3 Các hệ quả về tính giải được của bài toán (1.1), (1.2): Hệ quả 1.6: Giả sử tồn tại một số ρ > 0 và một cặp toán tử ( p, l ) ∈ 00 sao cho với mỗi n λ ∈ [ 0,1] , và y ( t ) là một nghiệm tùy ý của bài toán (1.6), (1.7) thỏa đánh giá (1.8) thì bài toán (1.1), (1.2) là giải được. Chứng minh: Do Bổ đề 2.2 từ [20], nếu ( p, l ) ∈ 00 thì cặp ( p, l ) là nhất quán. n Do đó các giả thiết của Định lí 1.5 được thỏa mãn. Vậy bài toán (1.1), (1.2) là giải được.  Hệ quả 1.7: ( ) ( ) → L I ; n , Giả sử tồn tại một toán tử tuyến tính bị chặn mạnh p0 : C I ;  n  ( ) →  n sao cho bài toán: một toán tử tuyến tính bị chặn l0 : C I ;  n  dy ( t ) = p= l0 ( y ) 0 0 ( y )( t ) , dt (1.5) chỉ có nghiệm tầm thường và tồn tại số ρ > 0 sao cho với mỗi λ ∈ [ 0,1] , với mọi nghiệm x ( t ) của bài toán: dx ( t ) = p0 ( x )( t ) + λ  f ( x )( t ) − p0 ( x )( t )  dt l0 ( x ) = λ l0 ( x ) − h ( x )  (1.15) thỏa đánh giá: x C ≤ρ Khi đó bài toán (1.1), (1.2) là giải được. Chứng minh: Đặt: p ( x, y )( t ) ≡ p0 ( y )( t ) l ( x, y ) ≡ l0 ( y ) . (1.8) Do giả thiết p0 là toán tử tuyến tính bị chặn và l0 là toán tử tuyến tính bị chặn nên theo Định nghĩa 1.4 thì p ( x, y )( t ) và l ( x, y )( t ) thỏa điều kiện (i), (ii’) của Định nghĩa 1.3. Mặt khác, ( p0 , l0 ) ∈ ε p ,l (do p ( x, y ) và l ( x, y ) không phụ thuộc vào x ) và ( p0 , l0 ) n thỏa điều kiện bài toán (1.5) chỉ có nghiệm tầm thường, suy ra ( p0 , l0 ) thỏa điều kiện (iii’) của Định nghĩa 1.3. Do đó ( p, l ) ∈ 00 . Từ đó theo Hệ quả 1.6 thì bài toán (1.1), (1.2) là giải được. n  CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN DẠNG CAUCHY CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM PHI TUYẾN HAI CHIỀU 2.1 Giới thiệu bài toán: Trong chương 2 ta áp dụng các kết quả của chương 1 để nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán biên cho hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến hai chiều. Trên đoạn [ a, b ] , xét bài toán: x1′ ( t ) = F1 ( x1 , x2 )( t ) ; x2′ ( t ) = F2 ( x1 , x2 )( t ) (2.1) x2 ( a ) = ϕ 2 ( x1 , x2 ) (2.2) Với điều kiện biên dạng Cauchy: x1 ( a ) = ϕ1 ( x1 , x2 ) ; Với F1 , F2 : C ([ a, b ] ;  ) × C ([ a, b ] ;  )  → L ([ a, b ] ;  ) là toán tử liên tục, ϕ1 ,ϕ 2 : C ([ a, b ] ;  ) × C ([ a, b ] ;  )  →  là phiếm hàm liên tục. Nghiệm của bài toán (2.1), (2.2) là cặp ( x1 , x2 ) là hàm liên tục tuyệt đối trên [ a, b] thỏa mãn (2.1) hầu khắp nơi trên [ a, b] và thoả điều kiện biên (2.2). Các kết quả chính của chương này được trình trích dẫn từ các kết quả của nhà toán học Cộng Hòa Séc Jiri Sremr, trong tài liệu [25]. Ngoài ra chúng ta công nhận một số kết quả trích từ các tài liệu [15], [26] không chứng minh. Định nghĩa 2.1: Toán tử l ∈ ab được gọi là không giảm nếu nó là một ánh xạ từ tập C ([ a, b ] ;  + ) vào L ([ a, b ] ;  + ) . Tập các toán tử tuyến tính không giảm kí hiệu là ab . Ta nói rằng toán tử l ∈ ab là không tăng nếu −l ∈ ab . Ví dụ : Giả sử l ∈ ab được định nghĩa như sau: l ( z )( t ) = h ( t ) z (τ ( t ) ) với mỗi t ∈ [ a, b ] và ∀z ∈ C ([ a, b ] ;  ) Với h ∈ L ([ a, b ] :  ) và τ : , → [ a, b ] là hàm đo được. [ a b]  Thì l ∈ ab khi và chỉ khi h ( t ) ≥ 0 với mỗi t ∈ [ a, b ] . Định nghĩa 2.2: Ta nói rằng l ∈ ab là một toán tử a – Volterra nếu với mỗi b0 ∈ [ a, b ] và z ∈ C ([ a, b ] ;  ) thoả mãn: z ( t ) = 0 với t ∈ [ a, b0 ] thì ta có: l ( z )( t ) = 0 với mỗi t ∈ [ a, b0 ] Ví dụ : Toán tử l ∈ ab được định nghĩa như sau: l ( z )( t ) = h ( t ) z (τ ( t ) ) với mỗi t ∈ [ a, b ] và ∀z ∈ C ([ a, b ] ;  ) với h ∈ L ([ a, b ] :  ) và τ : , → [ a, b ] là hàm đo được. [ a b]  là một toán tử a – Volterra khi và chỉ khi h ( t ) (τ ( t ) − t ) ≤ 0 với mỗi t ∈ [ a, b ] . Định nghĩa 2.3: → L ([ a, b0 ] ;  ) định Giả sử l ∈ ab và b0 ∈ [ a, b ] . Toán tử l ab0 : C ([ a, b0 ] ;  )  nghĩa như sau: l ab0 ( z )( t ) = l ( z )( t ) với mỗi t ∈ [ a, b0 ] , ∀z ∈ C ([ a, b0 ] ;  ) , với t ∈ [ a b0 ]  z ( t ) , , z ( t ) =  t ∈ [b0 b ]  z ( b0 ) , , gọi là sự thu hẹp của toán tử 𝑙 vào không gian C ([ a, b0 ] ;  ) . ( ) Nếu b0 < b1 ≤ b và z ∈ C ([ a, b1 ] ;  ) thì ta viết l ab0 ( z ) thay cho l ab0 z [a ,b ] . 0 Chú ý 2.4: Nếu 𝑙 là một toán tử a – Volterra thì với mỗi b0 ∈ [ a, b ] , z ∈ C ([ a, b ] ;  ) thỏa: l ab0 ( z )( t ) = l ( z )( t ) ,với mỗi t ∈ [ a, b0 ] . Định nghĩa 2.5: (xem [26], định nghĩa 3.2) 2 Một cặp ( p, g ) ∈ ab × ab được gọi là thuộc tập S ab ( a ) nếu với mỗi u , v∈   C ([ a, b ] ;  ) thoả: u′ ( t ) ≥ p ( v )( t ) , hầu khắp nơi trên [ a, b ] v′ ( t ) ≥ g ( u )( t ) , hầu khắp nơi trên [ a, b ] và u ( a ) ≥ 0, 0 v(a) ≥ Thì u ( t ) ≥ 0 với t ∈ [ a, b ] . 2 Nếu ( l1 , l2 ) ∈ S ab ( a ) thì ta nói rằng định lí yếu của bất đẳng thức vi phân thoả cho l1 ( x2 )( t ) + q1 ( t ) ; hệ x1′ ( t ) = x2′ ( t ) = l2 ( x1 )( t ) + q2 ( t ) ,