Tài liệu Bài toán đồng hóa dữ liệu đối với một số phương trình tiến hóa trong cơ học chất lỏng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————— * ——————— BÙI HUY BÁCH BÀI TOÁN ĐỒNG HÓA DỮ LIỆU ĐỐI VỚI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA TRONG CƠ HỌC CHẤT LỎNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————— * ——————— BÙI HUY BÁCH BÀI TOÁN ĐỒNG HÓA DỮ LIỆU ĐỐI VỚI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA TRONG CƠ HỌC CHẤT LỎNG Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân Mã số: 9 46 01 03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS Cung Thế Anh Hà Nội - 2020 1 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của GS.TS Cung Thế Anh. Các kết quả được phát biểu trong luận án là hoàn toàn trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất cứ một công trình nào khác. Nghiên cứu sinh Bùi Huy Bách 2 LỜI CẢM ƠN Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nghiêm khắc, tận tình, chu đáo của GS.TS Cung Thế Anh. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới GS.TS Cung Thế Anh, người Thầy đã dẫn dắt tác giả làm quen với nghiên cứu khoa học từ những ngày học cao học. Ngoài những chỉ dẫn về mặt khoa học, sự động viên và lòng tin tưởng của Thầy dành cho tác giả luôn là động lực lớn giúp tác giả say mê trong nghiên cứu. Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phòng Sau Đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, đặc biệt là PGS.TS Trần Đình Kế và các thầy giáo, cô giáo trong Bộ môn Giải tích, Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã luôn giúp đỡ, động viên, tạo môi trường học tập và nghiên cứu thuận lợi cho tác giả. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội, Ban Giám hiệu trường THPT Chúc Động, các thầy cô và các anh chị đồng nghiệp công tác tại trường THPT Chúc Động đã luôn tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả xin gửi đến các anh chị em NCS chuyên ngành Phương trình vi phân và tích phân của Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, các bạn bè gần xa, lời cảm ơn chân thành về tất cả những giúp đỡ, động viên mà tác giả đã nhận được trong suốt thời gian qua. Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin dành cho gia đình, những người luôn yêu thương, chia sẻ, động viên tác giả vượt qua khó khăn để hoàn thành luận án. 3 Mục lục Lời cam đoan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Một số kí hiệu dùng trong luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1. Lí do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2. Tổng quan vấn đề nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . 13 4. Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 5. Kết quả của luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 6. Cấu trúc của luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.1. Một số α-mô hình trong cơ học chất lỏng . . . . . . . . . . . . 17 1.2. Toán tử nội suy Ih . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3. Tập hút toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4. Các không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.5. Các toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.6. Một số bất đẳng thức sơ cấp thường dùng . . . . . . . . . . . . 26 Chương 2. BÀI TOÁN ĐỒNG HÓA DỮ LIỆU RỜI RẠC ĐỐI VỚI HỆ 4 LERAY-α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1. Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2. Sự tồn tại duy nhất và sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ tới nghiệm khảo sát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Chương 3. BÀI TOÁN ĐỒNG HÓA DỮ LIỆU RỜI RẠC ĐỐI VỚI HỆ NAVIER-STOKES-α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.1. Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2. Sự tồn tại duy nhất và sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ tới nghiệm khảo sát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Chương 4. BÀI TOÁN ĐỒNG HÓA DỮ LIỆU LIÊN TỤC RÚT GỌN ĐỐI VỚI HỆ BARDINA ĐƠN GIẢN HÓA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.1. Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.2. Sự tồn tại duy nhất và sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ tới nghiệm khảo sát trong trường hợp toán tử phép đo loại I . . . . . . . . 62 4.3. Sự tồn tại duy nhất và sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ tới nghiệm khảo sát trong trường hợp toán tử phép đo loại II . . . . . . . 71 Chương 5. BÀI TOÁN ĐỒNG HÓA DỮ LIỆU RÚT GỌN ĐỐI VỚI HỆ LERAY-α CẢI BIÊN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.1. Bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục rút gọn đối với hệ Leray-α cải biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.1.1. Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.1.2. Sự tồn tại duy nhất và sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ tới nghiệm khảo sát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 5.2. Bài toán đồng hóa dữ liệu rời rạc rút gọn đối với hệ Leray-α cải biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5.2.1. Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5 5.2.2. Sự tồn tại duy nhất và sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ tới nghiệm khảo sát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 1. Kết quả đạt được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 2. Kiến nghị một số vấn đề nghiên cứu tiếp theo . . . . . . . . . . 118 DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 6 MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN Ω Ω = [0, L]3 là hình hộp trong R3 H, V các không gian hàm dùng để nghiên cứu hệ Navier-Stokes và các α-mô hình V0 không gian đối ngẫu của không gian V (·, ·), | · | tích vô hướng và chuẩn trong không gian H ((·, ·)), k · k tích vô hướng và chuẩn trong không gian V h·, ·iV 0 ,V đối ngẫu giữa V 0 và V k · kV 0 chuẩn trong không gian V 0 A, B, B̃ các toán tử dùng để nghiên cứu hệ Navier-Stokes và các α-mô hình λm giá trị riêng thứ m của toán tử Stokes A D(A) miền xác định của toán tử A D(A)0 không gian đối ngẫu của không gian D(A) h·, ·iD(A)0 ,D(A) đối ngẫu giữa D(A)0 và D(A) k · kD(A)0 chuẩn trong không gian D(A)0 → hội tụ mạnh Y X bao đóng của Y trong X S(t) nửa nhóm liên tục sinh bởi bài toán đạo hàm riêng A tập hút toàn cục của nửa nhóm S(t) µ tham số giãn Ih toán tử nội suy 7 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Việc nghiên cứu những lớp phương trình tiến hóa trong cơ học chất lỏng có ý nghĩa quan trọng trong khoa học và công nghệ. Chính vì vậy nó đã và đang thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà khoa học trên thế giới. Sau khi nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán, việc nghiên cứu bài toán đồng hóa dữ liệu (data assimilation), tức là dự đoán dáng điệu của nghiệm trong tương lai từ những phép đo thu được, rất quan trọng vì nó cho phép ta hiểu và dự đoán xu thế phát triển của hệ trong tương lai; điều này đặc biệt quan trọng trong các bài toán dự báo, chẳng hạn bài toán dự báo khí tượng. Đây là một hướng nghiên cứu được phát triển mạnh mẽ trong những năm gần đây. Về mặt toán học, ta có thể phát biểu bài toán đồng hóa dữ liệu như sau. Giả sử một quá trình phức tạp (chẳng hạn dự báo khí tượng) được mô tả bởi phương trình tiến hóa (nói chung rất phức tạp) có dạng dY = F (Y ), dt trong đó Y là vectơ biểu diễn biến trạng thái mà ta muốn “dự báo”. Mục tiêu của chúng ta là tìm một "xấp xỉ tốt” của Y khi thời gian đủ lớn. Ở đây, chúng ta không biết “dữ kiện ban đầu” của Y tại một thời điểm trước thời điểm t0 để tính nghiệm của mô hình dự báo từ thời điểm t0 trở đi, tuy nhiên chúng ta biết “phép đo” (một phần) của Y trong khoảng thời gian [t0 , t0 + T ] hoặc tại một dãy thời điểm {tn }n∈N . Bài toán đồng hóa dữ liệu là xác định một xấp xỉ W (t) của Y (t) từ các “phép đo” đã biết, sao cho W (t) dần tới Y (t) (theo một chuẩn thích hợp) khi thời gian t tiến tới vô cùng. 8 Một phương pháp cổ điển của đồng hóa dữ liệu liên tục, xem ví dụ [18], là thay các phép đo quan sát được trực tiếp vào một mô hình sau này được lấy tích phân theo thời gian. Chẳng hạn, ta có thể thay các quan sát chế độ thấp Fourier vào phương trình cho sự tiến hóa của các chế độ cao. Khi đó các giá trị của chế độ thấp và chế độ cao sẽ được kết hợp để tạo ra một xấp xỉ đầy đủ cho trạng thái của hệ. Cách tiếp cận này đã được thực hiện cho hệ Navier-Stokes hai chiều trong [31, 46] và một số hệ khác trong cơ học chất lỏng [2, 21, 22, 28, 40]. Về mặt toán học, cách tiếp cận này dựa trên sự tồn tại tập hút toàn cục hữu hạn chiều và tính chất các mode xác định (determining modes) của hệ Navier-Stokes [38], một tính chất khá phổ biến cho các hệ tiêu hao mạnh, nhưng có nhược điểm là không áp dụng được khi các dữ liệu thu được dưới dạng rời rạc theo không gian, vì ta không thể lấy đạo hàm theo biến không gian tại các điểm rời rạc đó. Một cách tiếp cận hiệu quả khác áp dụng cho các hệ tiến hóa tuyến tính được đề xuất bởi J.P. Puel trong [48]. Cách tiếp cận này dựa trên các bất đẳng thức kiểu Carleman, tỏ ra rất hứa hẹn và hiệu quả, trên cả phương diện lí thuyết và tính toán số, nhưng có hạn chế là chỉ áp dụng được cho các bài toán tuyến tính. Năm 2014, Titi và cộng sự đã đề xuất một phương pháp mới [5] khắc phục được nhược điểm của các phương pháp nói trên. Ý tưởng của phương pháp này là sử dụng một số hạng điều khiển phản hồi chứa dữ liệu quan sát được đưa vào trong hệ ban đầu để được một hệ mới gọi là hệ phương trình đồng hóa dữ liệu. Sau đó ta sẽ thiết lập các điều kiện để đảm bảo hệ đồng hóa dữ liệu này có một nghiệm toàn cục duy nhất và nó hội tụ về nghiệm khảo sát của hệ gốc ban đầu. Tuy nhiên, kết quả nghiên cứu bằng phương pháp này mới chỉ có ở bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục cho cho hệ Navier-Stokes hai chiều [5] và một vài α-mô hình ba chiều [2, 1]; trong trường hợp rời rạc thì mới chỉ có kết quả đối với hệ Navier-Stokes hai chiều [27]. Hệ Navier-Stokes đóng vai trò quan trọng trong cơ học chất lỏng. Tuy 9 nhiên, trong trường hợp ba chiều (là trường hợp có ý nghĩa vật lí nhất) thì tính đặt đúng toàn cục và việc tính toán số nghiệm của hệ này vẫn còn là những vấn đề mở lớn và tỏ ra rất khó. Một trong những cách tiếp cận để vượt qua những khó khăn này là sử dụng những hệ chỉnh hóa của hệ Navier-Stokes. Một lớp hệ chỉnh hóa phổ biến và thường được sử dụng là các α-mô hình trong cơ học chất lỏng, bao gồm hệ Navier-Stokes-α [25], hệ Leray-α [15], hệ Leray-α cải biên [34] và hệ Bardina đơn giản hóa [42], . . . . Về mặt hình thức, nếu cho α = 0 trong các α-mô hình này ta sẽ thu lại được hệ Navier-Stokes cổ điển. Trong vài năm gần đây, đã có một số kết quả về bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục cho các α-mô hình, bao gồm hệ Navier-Stokes-α [2], hệ Bardina đơn giản hóa [1], hệ Leray-α [24], . . . . Tuy nhiên, theo hiểu biết của chúng tôi, chưa có kết quả nào về bài toán đồng hóa dữ liệu rời rạc đối với các α-mô hình trong cơ học chất lỏng. Ngoài ra, bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục mà chỉ sử dụng phép đo trên hai trong số ba thành phần của vectơ vận tốc (mà ta sẽ gọi là phép đo rút gọn) đối với các α-mô hình vẫn còn rất ít kết quả; mới chỉ có kết quả gần đây trong [24] đối với hệ Leray-α. Từ những phân tích trên ta thấy rằng mặc dù đã có một số kết quả ban đầu nhưng các kết quả về bài toán đồng hóa dữ liệu đối với các α-mô hình trong cơ học chất lỏng, đặc biệt trong trường hợp đồng hóa dữ liệu rời rạc hoặc chỉ sử dụng phép đo trên hai thành phần của vectơ vận tốc, vẫn còn ít và đang là vấn đề thời sự, có ý nghĩa khoa học và thực tiễn, thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới. Vì vậy, chúng tôi chọn vấn đề "Bài toán đồng hóa dữ liệu đối với một số phương trình tiến hóa trong cơ học chất lỏng" làm đề tài nghiên cứu luận án tiến sĩ của mình. 2. Tổng quan vấn đề nghiên cứu Từ cuối những năm 1960s, các vệ tinh nhân tạo bắt đầu thu được các dữ liệu về thời tiết gần như liên tục theo thời gian. Charney, Halem và Jastrow đã 10 chỉ ra trong [12] một số phương trình về khí quyển được dùng để xử lí các dữ liệu đó và thu được các đánh giá trước về trạng thái của khí quyển. Phương pháp của họ, được gọi là đồng hóa dữ liệu liên tục, đó là đưa các dữ liệu đo đạc thu thập được một cách trực tiếp vào trong một mô hình và sau đó tích phân lại theo thời gian. Một tổng hợp về việc sử dụng đồng hóa dữ liệu liên tục trong thực tế dự báo thời tiết cũng được nêu bởi Daley [18]. Bằng việc sử dụng cách tiếp cận cổ điển và số mode xác định, Titi và cộng sự đã nghiên cứu bài toán đồng hóa dữ liệu cho hệ Navier-Stokes hai chiều, trong cả hai trường hợp là dữ liệu thu thập được liên tục theo thời gian [46] và rời rạc theo thời gian [31]. Phương pháp này có ưu điểm là đơn giản về mặt khái niệm, nhưng có nhược điểm là không áp dụng được khi các dữ liệu thu được dưới dạng rời rạc theo không gian, vì không thể lấy đạo hàm theo biến không gian tại các điểm rời rạc đó. Nhằm khắc phục những nhược điểm trên, năm 2014 Titi và cộng sự đã đề xuất một phương pháp mới để nghiên cứu bài toán đồng hóa dữ liệu [5]. Ý tưởng của phương pháp này là sử dụng một số hạng điều khiển phản hồi đưa vào trong phương trình để được một phương trình mới, gọi là phương trình đồng hóa dữ liệu. Phương pháp này còn được gọi là phương pháp nudging Newton hay phương pháp giãn động lực (dynamic relaxation) [32]. Nội dung của phương pháp đồng hóa dữ liệu trong [5] như sau: Giả sử rằng một hệ phương trình có dạng dY = F (Y ) dt (1) (với điều kiện biên đã biết) và không biết điều kiện ban đầu Y (t0 ) = Y0 . Bằng cách sử dụng các thiết bị đo đạc, ta biết một phần của nghiệm trong khoảng thời gian [t0 , T ] (bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục) hoặc tại các thời điểm tn với n = 1, 2, . . ., trong đó ti ≤ tj , ∀i ≤ j và tn → ∞ khi n → ∞ (bài toán đồng hóa dữ liệu rời rạc). Vì không biết chính xác điều kiện ban đầu nên ta không thể tính được Y (t). Do đó, thay vì đi tính Y (t), ta đi tìm W (t), là nghiệm 11 của một phương trình mới gọi là phương trình đồng hóa dữ liệu, sao cho W (t) hội tụ về Y (t) (theo một chuẩn thích hợp) khi thời gian t tiến tới vô cùng. Khi đó, W (t) gọi là nghiệm xấp xỉ và nghiệm Y (t) gọi là nghiệm khảo sát. Kí hiệu Ih (Y (t)) là phần của nghiệm mà ta đo đạc được tại thời điểm t. Ở đây, tham số h đặc trưng cho độ phân giải không gian của phép đo. Toán tử quan sát Ih , với các điều kiện thích hợp, là một toán tử khá tổng quát, chứa cả trường hợp các mode xác định (determining modes), cũng như các nút xác định (determining nodes) và các phần tử thể tích xác định (determining finite volume) (xem [2]). Đối với bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục, phần đo đạc Ih (Y (t)) của nghiệm thu được trên [t0 , T ], ta xét hệ phương trình đồng hóa dữ liệu dW = F (W ) − µ (Ih (W ) − Ih (Y )) dt (2) với điều kiện ban đầu W (t0 ) = W0 do ta dự đoán trước (lấy tùy ý). Ở đây, số dương µ được gọi là tham số giãn. Ta sẽ tìm các điều kiện đủ của các tham số µ và h (h đủ nhỏ, µ đủ lớn) để hệ (2) có nghiệm toàn cục duy nhất W (t) và W (t) hội tụ tới Y (t) khi thời gian t tiến tới vô cùng. Theo quan điểm vật lí, độ phân giải không gian h của phép đo thường là khó và tốn kém để thay đổi, trong khi tham số giãn µ là tham số toán học có thể dễ dàng thay đổi, do đó ta tập trung vào việc tìm điều kiện của h để tồn tại một giá trị µ đảm bảo cho sự thành công của thuật toán. Sau khoảng thời gian T > 0 đủ lớn, nghiệm W (T ) có thể được sử dụng làm điều kiện ban đầu trong hệ (1) để đưa ra dự đoán trong tương lai của nghiệm tham chiếu Y (t) khi t > T hoặc ta có thể tiếp tục với chính hệ đồng hóa dữ liệu (2), nếu dữ liệu đo vẫn tiếp tục được cung cấp. Đối với bài toán đồng hóa dữ liệu rời rạc, tình huống gần với thực tiễn hơn, khi mà phần đo đạc Ih (Y (t)) của nghiệm thu được tại các thời điểm rời rạc tn với n = 1, 2, . . ., trong đó ti ≤ tj , ∀i ≤ j và tn → ∞ khi n → ∞, thay cho hệ 12 (2), ta xét hệ phương trình đồng hóa dữ liệu sau ∞ X dW = F (W ) − µ Ih (W (tn ) − Y (tn ))χn dt n=0 (3) với điều kiện ban đầu W (t0 ) = W0 do ta dự đoán trước (lấy tùy ý), ở đây χn là hàm đặc trưng của khoảng [tn , tn+1 ). Gọi κ là khoảng cách lớn nhất giữa hai lần đo: |tn+1 − tn | ≤ κ, ∀n ∈ N. Cũng như đối với hệ (2), ta đi tìm các điều kiện đủ của h, µ và κ sao cho hệ (3) có nghiệm toàn cục duy nhất W (t) và W (t) hội tụ tới Y (t) khi thời gian t tiến tới vô cùng. Phương pháp đồng hóa dữ liệu chỉ áp dụng được cho các mô hình đặt đúng, nói riêng là các hệ mà đã chứng minh được sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm. Chính vì lí do đó, kết quả đồng hóa dữ liệu đối với hệ Navier-Stokes mới chỉ có trong trường hợp hai chiều [5, 27], còn trong trường hợp ba chiều ta chưa chứng minh được các kết quả tương tự. Để nghiên cứu các tính chất nghiệm nói chung và bài toán đồng hóa dữ liệu nói riêng của hệ Navier-Stokes ba chiều, một cách làm phổ biến là nghiên cứu trên các α-mô hình, được coi như là những xấp xỉ của hệ Navier-Stokes khi tham số α nhỏ. Gần đây đã có một số kết quả đối với bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục cho các α-mô hình như hệ Navier-Stokes-α [2], hệ Bardina đơn giản hóa [1], hệ Leray-α [24], . . . Rất gần đây một hướng nghiên cứu mới, đó là giảm số chiều phép đo xuống thấp hơn số chiều không gian, cũng đang thu hút sự quan tâm của nhiều nhà khoa học [23, 24]. Bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục rút gọn số chiều phép đo về cơ bản vẫn được thiết lập như trường hợp đầy đủ số chiều phép đo, nhưng các số liệu phép đo thay vì được biểu diễn bởi các toán tử nội suy Ih (Y (t)), ví dụ như đối với không gian ba chiều là bao gồm cả ba thành phần Ih (Y1 (t)), Ih (Y2 (t)) và Ih (Y3 (t)) (với t ∈ [t0 , T ]), thì giờ đây chỉ được biểu diễn bởi số thành phần ít hơn, ví dụ như đối với không gian ba chiều là hai thành phần (bất kì) trong số ba thành phần này, chẳng hạn chỉ bởi Ih (Y1 (t)) và Ih (Y2 (t)). Việc không có dữ liệu nào đối với thành phần phép đo bị thiếu dẫn tới khó khăn trong việc xây dựng nghiệm xấp xỉ và chứng minh sự hội tụ của nghiệm 13 xấp xỉ tới nghiệm khảo sát theo thuật toán đồng hóa dữ liệu liên tục. Khó khăn này đã được khắc phục trong một số mô hình cụ thể, đó là hệ Navier-Stokes hai chiều [23] và hệ Leray-α ba chiều [24], bằng cách sử dụng điều kiện không nén được ∇ · Y = 0 để biểu diễn các số hạng ứng với thành phần chưa biết thông qua các số hạng ứng với các thành phần đã biết. Tuy nhiên, "chìa khóa" này chưa thể khẳng định luôn dùng được cho mọi mô hình nói chung và các α-mô hình nói riêng. Đó là trong trường hợp bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục, còn theo hiểu biết của chúng tôi bài toán đồng hóa dữ liệu rời rạc với phép đo rút gọn cho đến nay vẫn chưa được thiết lập và nghiên cứu. Từ những phân tích trên, những vấn đề mở mà chúng tôi quan tâm nghiên cứu trong luận án này bao gồm: • Bài toán đồng hóa dữ liệu rời rạc đối với một số α-mô hình trong không gian ba chiều. • Bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục đối với một số α-mô hình trong không gian ba chiều, trong đó chỉ sử dụng phép đo trên hai thành phần của vectơ vận tốc. • Bài toán đồng hóa dữ liệu rời rạc đối với một số α-mô hình trong không gian ba chiều, trong đó chỉ sử dụng phép đo trên hai thành phần của vectơ vận tốc. 3. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu • Mục đích của luận án: Nghiên cứu bài toán đồng hóa dữ liệu, cả trong trường hợp liên tục và trường hợp rời rạc, đối với một số α-mô hình trong cơ học chất lỏng. • Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu sự tồn tại duy nhất toàn cục và đánh giá tiệm cận theo thời gian của hiệu giữa nghiệm của hệ đồng hóa dữ liệu (gọi là nghiệm xấp xỉ) với nghiệm khảo sát của hệ gốc (nói riêng là 14 sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ về nghiệm khảo sát khi thời gian ra vô cùng nếu phép đo không có sai số), đối với một số α-mô hình trong cơ học chất lỏng. • Phạm vi nghiên cứu: Trong các mô hình dưới đây v = u − α2 ∆u. Các mô hình được xét trên khoảng [t0 , ∞), với điều kiện biên tuần hoàn trên hình hộp Ω = [0, L]3 và điều kiện ban đầu u(t0 ) = u0 chưa biết. ◦ Nội dung 1: Bài toán đồng hóa dữ liệu rời rạc đối với hệ Leray-α ba chiều:    ∂v − ν∆v + (u · ∇)v + ∇p = f, ∂t  ∇ · u = ∇ · v = 0. ◦ Nội dung 2: Bài toán đồng hóa dữ liệu rời rạc đối với hệ NavierStokes-α ba chiều:    ∂v − ν∆v − u × (∇ × v) + ∇p = f, ∂t   div u = 0. ◦ Nội dung 3: Bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục chỉ sử dụng phép đo trên hai thành phần của vectơ vận tốc đối với hệ Bardina đơn giản hóa ba chiều:    ∂v − ν∆v + (u · ∇)u + ∇p = f, ∂t  ∇ · u = ∇ · v = 0. ◦ Nội dung 4: Bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục/rời rạc chỉ sử dụng phép đo trên hai thành phần của vectơ vận tốc đối với hệ Leray-α cải biên ba chiều:    ∂v − ν∆v + (v · ∇)u + ∇p = f, ∂t  ∇ · u = ∇ · v = 0. 15 4. Phương pháp nghiên cứu • Nghiên cứu bài toán đồng hóa dữ liệu rời rạc: sử dụng phương pháp đề xuất trong [27] bởi E. Titi và các cộng sự. • Nghiên cứu bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục: sử dụng phương pháp đề xuất trong [5, 23, 24] bởi E. Titi và các cộng sự. 5. Kết quả của luận án Luận án đã đạt được những kết quả chính sau đây: • Chứng minh được sự tồn tại duy nhất của nghiệm xấp xỉ và đánh giá được tiệm cận theo thời gian của hiệu giữa nghiệm xấp xỉ và nghiệm khảo sát cho bài toán đồng hóa dữ liệu rời rạc đối với hệ Leray-α ba chiều và hệ Navier-Stokes-α ba chiều trong trường hợp phép đo có thể có sai số. Đặc biệt, khi không có sai số ta thu được sự hội tụ theo tốc độ mũ của nghiệm xấp xỉ hội tụ tới nghiệm khảo sát khi thời gian tiến tới vô cùng. Đây là nội dung chính của Chương 2 và Chương 3. • Chứng minh được sự tồn tại duy nhất của nghiệm xấp xỉ và sự hội tụ theo tốc độ mũ của nghiệm xấp xỉ tới nghiệm khảo sát đối với bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục đối với hệ Bardina đơn giản hóa ba chiều mà chỉ sử dụng phép đo trên hai thành phần của vectơ vận tốc. Đây là nội dung chính của Chương 4. • Chứng minh được sự tồn tại duy nhất của nghiệm xấp xỉ và sự hội tụ theo tốc độ mũ của nghiệm xấp xỉ về nghiệm khảo sát cho cả bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục và rời rạc đối với hệ Leray-α cải biên ba chiều mà chỉ sử dụng phép đo trên hai thành phần của vectơ vận tốc. Đây là nội dung chính của Chương 5. Các kết quả của luận án là những đóng góp có ý nghĩa cho Lí thuyết các phương trình đạo hàm riêng trong cơ học chất lỏng và Lí thuyết đồng hóa dữ 16 liệu; góp phần vào việc hoàn thiện các lí thuyết này và giải quyết một số vấn đề mở được nhiều nhà khoa học trong và ngoài nước quan tâm. Các kết quả chính đạt được đã được công bố hoặc đang gửi đăng trên một số tạp chí chuyên ngành quốc tế (xem phần Danh mục công trình khoa học) và đã được báo cáo tại các hội thảo và seminar khoa học sau: • Hội nghị toán học toàn quốc lần thứ 8, Nha Trang, tháng 8/2018; • Hội nghị nghiên cứu khoa học của nghiên cứu sinh, Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, các năm 2017 và 2018; • Seminar của Bộ môn Giải tích, Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội. 6. Cấu trúc của luận án Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các công trình khoa học liên quan đến luận án và danh mục tài liệu tham khảo, luận án gồm 5 chương: • Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. • Chương 2. Bài toán đồng hóa dữ liệu rời rạc đối với hệ Leray-α. • Chương 3. Bài toán đồng hóa dữ liệu rời rạc đối với hệ Navier-Stokes-α. • Chương 4. Bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục rút gọn đối với hệ Bardina đơn giản hóa. • Chương 5. Bài toán đồng hóa dữ liệu rút gọn đối với hệ Leray-α cải biên. 17 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức cơ bản về các α-mô hình trong cơ học chất lỏng, toán tử nội suy Ih , tập hút toàn cục, các không gian hàm, toán tử, và các bất đẳng thức được sử dụng trong chứng minh các kết quả chính của luận án ở các chương sau. 1.1. Một số α-mô hình trong cơ học chất lỏng Một lớp hệ chỉnh hóa phổ biến và thường gặp của hệ Navier-Stokes ba chiều là các α-mô hình trong cơ học chất lỏng. Các α-mô hình này thu được bằng cách thay v = u − α2 ∆u và thay số hạng phi tuyến (v · ∇)v trong hệ Navier-Stokes    ∂v − ν∆v + (v · ∇)v + ∇p = f, ∂t  ∇ · v = 0,
lần lượt bởi (u · ∇)v, −u × ∇ × (u − α2 ∆u) , (u · ∇)u và (v · ∇)u. Mặc dù xuất phát từ mục đích ban đầu là dùng để mô phỏng số cho hệ Navier-Stokes, nhưng các α-mô hình cũng đã được chỉ ra là có mối liên hệ giữa các nghiệm của chúng với các dòng chảy hỗn loạn trên các kênh và các đường ống (xem [13]). Về mặt hình thức, trong các α-mô hình này nếu thay α bằng 0 ta sẽ thu được hệ Navier-Stokes. Dưới đây ta liệt kê các α-mô hình được nghiên cứu trong luận án. • Hệ Leray-α ba chiều [15]:    ∂v − ν∆v + (u · ∇)v + ∇p = f, ∂t  ∇ · u = ∇ · v = 0. 18 • Hệ Navier-Stokes-α ba chiều [25]: 
  ∂ (u − α2 ∆u) − ν∆(u − α2 ∆u) − u × ∇ × (u − α2 ∆u) + ∇p = f, ∂t  ∇ · u = 0. • Hệ Bardina đơn giản hóa ba chiều [42]:    ∂v − ν∆v + (u · ∇)u + ∇p = f, ∂t  ∇ · u = ∇ · v = 0. • Hệ Leray-α cải biên ba chiều [34]:    ∂v − ν∆v + (v · ∇)u + ∇p = f, ∂t  ∇ · u = ∇ · v = 0. Trong tất cả các hệ trên, u = u(x, t) biểu diễn cho vận tốc của dòng chảy, v = u − α2 ∆u và α > 0 là một tham số cho trước. Ở đây, p là một hàm vô hướng, biểu thị cho áp suất và f là hàm ngoại lực. Trong những năm gần đây, đã có nhiều kết quả về sự tồn tại duy nhất nghiệm toàn cục và dáng điệu tiệm cận nghiệm thông qua sự tồn tại và tính chất của tập hút toàn cục cho các α-mô hình; xem, chẳng hạn, [10, 11, 15, 34, 40, 41, 42, 55]. Xin xem thêm bài báo [33] về một số α-mô hình quan trọng khác trong cơ học chất lỏng và kết quả toán học liên quan đến chúng. 1.2. Toán tử nội suy Ih Trong luận án này ta xét toán tử nội suy Ih là một toán tử tuyến tính thỏa mãn một trong hai trường hợp sau, lần lượt gọi là toán tử nội suy loại I và toán tử nội suy loại II. Trường hợp 1. Ih : H 1 (Ω) → L2 (Ω) và 2 kϕ − Ih (ϕ)kL2 (Ω) ≤ γ0 h2 kϕk2H 1 (Ω) , ∀ϕ ∈ H 1 (Ω).