Tài liệu Bộ đề thi học sinh giỏi toán 8 có đáp án cấp trường

PHÒNG GD&ĐT HUYỆN KIM BÔI TRƯỜNG THCS SÀO BÁY ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MÔN: TOÁN, LỚP 8 Năm học 2016 - 2017 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài 120 phút (không kể thời gian giao đề) ( Đề bài có 01 trang gồm 04 câu ) ĐỀ BÀI Câu 1: (4,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1). Câu 2: (5,0 điểm) Cho biểu thức : 2 x 4 x2 2 x x 2  3x A(  2  ):( ) 2 x x 4 2 x 2 x 2  x3 a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ? b) Tìm giá trị của x để A > 0? c) Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4. Câu 3: (5,0 điểm) a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0. b) Cho a b c x y z x2 y 2 z 2    1 và    0 . Chứng minh rằng : 2  2  2  1 . x y z a b c a b c Câu 4: (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD. a. Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ? b. Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK c. Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2. Hết HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN, LỚP 8 Năm học: 2016 – 2017 Nội dung đáp án Bài 1 a 2 Điểm 2,0 1,0 0,5 0,5 2,0 1,0 0,5 0,5 5,0 3,0 2 3x – 7x + 2 = 3x – 6x – x + 2 = = 3x(x -2) – (x - 2) = (x - 2)(3x - 1). b a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = = ax(x - a) – (x - a) = = (x - a)(ax - 1). Bài 2: a ĐKXĐ : 2  x  0  2 x  4  0  x   2  0  x 2  3x  0   2 x 2  x3  0  A( x  0  2 x x  3  1,0 2  x 4x2 2 x x2  3x (2  x) 2  4 x 2  (2  x) 2 x 2 (2  x)  2  ):( 2 ) .  2  x x  4 2  x 2 x  x3 (2  x)(2  x) x( x  3) 1,0 4 x2  8x x(2  x) .  (2  x)(2  x) x  3  0,5 4 x( x  2) x (2  x ) 4x2  (2  x)(2  x )( x  3) x  3 0,25 Vậy với x  0, x   2, x  3 thì A  4x 2 . x 3 0,25 b 1,0 Với x  0, x  3, x   2 : A  0   x3 0  x  3(TMDKXD) 4x 0 x 3 Vậy với x > 3 thì A > 0. c x  7  4 x7  4   x  7  4  x  11(TMDKXD)    x  3( KTMDKXD) Với x = 11 thì A = 121 2 2 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 0,5 0,25 0,25 Bài 3 a 5,0 2,5 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0  (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0  9(x - 1)2 + (y - 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 (*) Do : ( x  1) 2  0;( y  3) 2  0;( z  1) 2  0 Nên : (*)  x = 1; y = 3; z = -1 Vậy (x,y,z) = (1,3,-1). b Từ : Ta có : a b c ayz+bxz+cxy   0 0 x y z xyz  ayz + bxz + cxy = 0 x y z x y z    1  (   )2  1 a b c a b c 2 2 2 x y z xy xz yz  2  2  2  2(   )  1 a b c ab ac bc 2 2 2 x y z cxy  bxz  ayz  2  2  2 2 1 a b c abc x2 y 2 z 2  2  2  2  1(dfcm) a b c 1,0 0,5 0,5 0,25 0,25 2,5 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 Bài 4 6,0 H C B 0,25 F O E A D a Ta có : BE  AC (gt); DF  AC (gt) => BE // DF Chứng minh : BEO  DFO( g  c  g ) => BE = DF Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành. b � � Ta có: �  �  HBC  KDC ABC ADC Chứng minh : CBH : CDK ( g  g )  CH CK   CH .CD  CK .CB CB CD K 2,0 0,5 0,5 0,25 0,25 2,0 0,5 1,0 0,5 c, Chứng minh : AFD : AKC ( g  g ) AF AK   AD. AK  AF . AC AD AC Chứng minh : CFD : AHC ( g  g ) CF AH   CD AC CF AH   AB. AH  CF .AC Mà : CD = AB  AB AC  1,75 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đfcm). 0,25