Tài liệu Các nhóm đồng phôi tôpô và không gian tích của nửa – hình hộp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH __________________ Nguyễn Văn Y CÁC NHÓM ĐỒNG PHÔI TÔPÔ VÀ KHÔNG GIAN TÍCH CỦA NỬA – HÌNH HỘP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ________________ Nguyễn Văn Y CÁC NHÓM ĐỒNG PHÔI TÔPÔ VÀ KHÔNG GIAN TÍCH CỦA NỬA – HÌNH HỘP Chuyên ngành : Hình học và tôpô Mã số : 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. NGUYỄN TRỌNG HÒA Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 LỜI CẢM ƠN  Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS.Nguyễn Trọng Hòa và TS.Nguyễn Hà Thanh , người đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi về chuyên môn cũng như tinh thần cho tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin trân trọng cảm ơn các Thầy Cô đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho học viên cao học khóa 21 chúng tôi những kiến thức cơ bản, những công cụ, phương pháp nghiên cứu khoa học hiệu quả để chúng tôi có thể tự tin cho việc học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Tôi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo và chuyên viên phòng Khoa học công nghệ – Sau đại học, ban chủ nhiệm và các Thầy Cô là giảng viên khoa Toán – Tin của trường Đại học sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện tốt nhất cho chúng tôi hoàn thành khóa học. Xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các bạn học viên cùng khóa đã luôn chia sẽ buồn vui, hỗ trợ lẫn nhau, giúp đỡ nhau cùng vượt qua những lúc khó khăn trong suốt quá trình học tập. Bên cạnh đó, tôi cũng gửi lời cảm ơn đến các bạn là học viên cao học chuyên ngành hình học và tôpô các khóa trước đã nhiệt tình chia sẽ kinh nghiệm nghiên cứu khoa học. Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người thân yêu trong gia đình tôi, những người luôn bên cạnh động viên, giúp đỡ tôi về mọi mặt. MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục Các kí hiệu liên quan LỜI NÓI ĐẦU ................................................................................................. 1 Chương 1 KHÔNG GIAN TÔPÔ................................................................. 5 1.1. Định nghĩa và các khái niệm .................................................................. 5 1.2. Các tiên đề tách ....................................................................................... 9 1.3. Các Tôpô thông thường trên không gian hàm ...................................... 12 Chương 2 CÁC NHÓM ĐỒNG PHÔI TÔPÔ ........................................... 22 2.1. Các tính chất của Η K (Y ) ....................................................................... 22 2.2.Các tính chất của Η f (Y ) : ...................................................................... 26 2.3. Các tính chất của Η + f () và ω ......................................................... 36 Chương 3 TÔPÔ TÍCH NỬA – HÌNH HỘP .............................................. 44 3.1. Định nghĩa............................................................................................. 44 3.2. Các tính chất của ¬ω và sự đồng phôi với nó .................................... 49 KẾT LUẬN .................................................................................................... 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 69 CÁC KÍ HIỆU LIÊN QUAN • F(X;Y) hay F : Tập hợp các ánh xạ từ X đến Y. • C(X;Y) : Tập hợp các hàm số liên tục từ X đến Y. • C(X) : Tập hợp các hàm số thực liên tục từ X đến  . • C + (X) : Tập hợp các hàm số thực xác định dương từ X đến  . • H(Y) : Nhóm các tự đồng phôi trên không gian mêtric Y. • H K (Y) : Nhóm các tự đồng phôi trên không gian mêtric Y theo tôpô mở - compact. • H f (Y) : Không gian các tự đồng phôi trên không gian mêtric Y theo tôpô mịn. • H +f (Y) : Không gian các tự đồng phôi đồng biến trên không gian mêtric Y theo tôpô mịn. • H K () ; H K ( I ) : Các tự đồng phôi trên  và trên I, với I = [−1;1] • H + () ;H + () : Các đồng phôi đồng biến trên  và trên I. • ω : Tích Decarter ω theo tôpô hình hộp . • ¬ω : Tích Decarter ω theo tôpô nửa – hình hộp . 1 LỜI NÓI ĐẦU Lý do chọn đề tài : Như chúng ta đã biết. Cho X; Y là hai không gian tôpô, giả sử f : X → Y là một song ánh sao cho f và ánh xạ ngược f −1 của f đồng thời liên tục thì f gọi là một phép đồng phôi . Không gian tôpô X và không gian tôpô Y được gọi là đồng phôi với nhau nếu có một phép đồng phôi từ không gian này vào không gian kia , và nói chung , tính chất tôpô nào có trong không gian tôpô này thì nó cũng có trong không gian tôpô kia và về cơ bản hai không gian tôpô này theo quan điểm tôpô chúng là một. Hay nói cách khác , hai không gian tôpô X và Y được gọi là đồng phôi với nhau nếu có các ánh xạ liên tục f : X → Y và g : Y → X sao cho thỏa mãn đồng thời f  g = IdY và g  f = Id X Ví dụ : Hình vành khuyên : = A {( x; y) ∈  2 |1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4} đồng phôi với hình trụ B= {( x; y; z ) ∈  3 | x 2 + y 2 = 1;0 ≤ z ≤ 1} Vì ta có thể chỉ ra các hàm liên tục sau f : A → B và g : B → A với   x y = f ( x; y )  ; ; x 2 + y 2 − 1  x2 + y 2  x2 + y 2   Và g ( x; y; z ) = ( (1 + z ) x;(1 + z ) y ) Thõa mãn : f=  g g=  f Id và do đó ta nói f ; g là các phép đồng phôi mà ta hay gọi vắn tắt là các đồng phôi. 2 Ta gọi H f (Y ) là không gian các tự đồng phôi trên không gian mêtric Y theo tôpô mịn thì như ta đã biết nó là một nhóm tôpô . Tức là , nó vừa thỏa mãn các tiên đề của nhóm vừa thỏa tiên đề của một không gian tôpô và ánh xạ sau là liên tục : η : H f (Y ) × H f (Y ) → H f (Y ) (g, h)  η ( g , h) = g  h −1 ( nghĩa là ,ánh xạ ngược và phép toán kết hợp của các hàm số là các hàm liên tục ) Trường hợp riêng , gọi H +f () là không gian các tự đồng phôi đồng biến trên không gian mêtric  theo tôpô mịn , thế thì như ta đã biết , nó có các tính chất giống như tôpô tích các hình hộp ω , nhưng hai không gian này không đồng phôi với nhau. Do vậy dưới động cơ tìm kiếm một không gian tôpô tích mà nó đồng phôi với H +f () thì không gian tích nửa-hình hộp được xem xét , nó là không gian tôpô mịn hơn không gian tôpô tích Tychonoff nhưng thô hơn tôpô tích của các hình hộp . Do đó , đây là nội dung chính của đề tài này mà tác giả quan tâm . Nội dung đề tài : Nội dung đề tài gồm có 3 chương . Chương 1 : Tác giả nêu ra vắn tắt các khái niệm , các định nghĩa mà tác giả cho rằng đủ để chúng ta nhớ lại và để chúng ta thảo luận các vấn đề ở phần sau trọng tâm hơn của đề tài . Tuy nhiên , không phải khái niệm hay định nghĩa nào cũng được nhắc đến , mà tác giả đôi khi sẽ nêu ra ngay tại chổ các vấn đề được quan tâm . Cuối chương tác giả cố gắng nêu ra các nhận xét liên quan đến các khái niệm ,nó là các kết quả được biết trong các bài báo và các sách giáo khoa. Chương 2 : Tác giả nêu ra các vấn đề đồng phôi trên các không gian hàm . 3 Với không gian Hausdorff Y, Gọi Η (Y ) là nhóm ( tự ) đồng phôi trên Y. Nếu Η K (Y ) là kí hiệu của nhóm này theo tôpô mở - compact thì dạng này là một nhóm tôpô nếu như Y là compact hoặc là compact địa phương liên thông địa phương [7]. Nhưng Η K (Y ) không là một nhóm tôpô nếu Y là không gian mêtric khả li compact địa phương , vì phép toán lấy nghịch đảo có thể không liên tục . Cũng trong chương 2 này, chúng ta thấy rằng nếu Y là một không gian mêtric và Η f (Y ) là kí hiệu của Η (Y ) theo tôpô mịn, thì Η f (Y ) luôn là nhóm tôpô . Điều này là trước tiên ta thấy rằng tôpô mịn trên Η (Y ) là bằng tôpô đồ thị của chúng. Và chúng ta sẽ thấy một vài tính chất của Η f (Y ) qua việc nghiên cứu các lớp tương đương của hai quan hệ tương đương trên không gian này. Bây giờ sang không gian đặc biệt,  là không gian các số thực, gọi Ι là khoảng đóng [ −1;1] , gọi ω là tập sắp thứ tự đầu tiên, và gọi  là tập số tự nhiên ω \ {0} . Gọi Η + () và Η + (Ι) tương ứng là các đồng phôi đồng biến trong Η () và Η (Ι) . Hiển nhiên Η K () và Η K (Ι) đồng phôi với tôpô tổng của hai lần Η + K () và Η + K (Ι) . Điều này cũng đúng với Η f () và Η f (Ι) . Vì thế nghiên cứu tính chất của Η () và Η (Ι) , chúng ta chỉ cần xét Η + () và Η + (Ι) . Ta có Η + K (Ι) là đồng phôi với ω ( tích ω lần của  ) với tôpô tích Tychonoff ( xem [10] và [18] ). Không gian Η + K () đồng phôi với Η + K (Ι) , và do đó đồng phôi với ω . Hơn nữa Η + f (Ι) là bằng Η + K (Ι) , vì vậy cũng đồng phôi với ω . Tuy nhiên, Η + f () có một tôpô mịn hơn Η + K () . Vì thế câu hỏi đặt ra là xem nhóm tôpô Η + f () có đồng phôi với ω với tôpô mịn hơn tôpô tích Tychonoff hay không – có thể tôpô tích của các hình hộp được không ? 4 Chúng ta sẽ thấy các tính chất tôpô của Η + f () tương tự những tính chất của ω , ( không gian ω theo tôpô tích hình hộp ). Tuy nhiên , cuối cùng chúng ta sẽ thấy Η + f () không đồng phôi với ω . Chương 3 : chương 3 này là phần trọng tâm của đề tài Chúng tôi đưa ra khái niệm gọi là tôpô tích nửa - hình hộp , mà nó mịn hơn tôpô tích Tychonoff và thô hơn tôpô tích hình hộp. Tôpô tích nửa - hình hộp này trên ω cho một không gian, kí hiệu là ¬ω , nó là một đối tượng tốt là không gian đồng phôi với Η + f () . Cuối cùng , chúng ta nghiên cứu các tính chất của ¬ω và một vài kết quả dự đoán là Η + f () là đồng phôi với ¬ω . Cụ thể , chúng ta sẽ thấy Η + f () được nhúng sang ¬ω và ngược lại . Hơn nửa Η + f () đồng phôi với Q × ¬ω ở đây Q là không gian con của ω . Mặc dù, tác giả đã cố gắng thật nhiều, nhưng chắc sẽ còn nhiều thiếu sót, sai lầm , tác giả chân thành cảm ơn sự đóng góp quí báo của thầy cô và các bạn để tác giả còn có thể nghiên cứu sâu hơn trong lĩnh vực này . 5 Chương 1 KHÔNG GIAN TÔPÔ Trong chương 1 này chúng ta nhắc lại các khái niệm , các định nghĩa của một không gian tôpô. Như ta đã biết trên nền tập hợp các hàm số , chúng ta có thể có rất nhiều tôpô như là : Tôpô hội tụ từng điểm , tôpô hội tụ đều , tôpô hình hộp , tôpô mở - mở , tôpô mở - compact , tôpô Krikorian, tôpô mịn ,tôpô đồ thị …Tuy nhiên, chúng ta chỉ quan tâm đến một vài tôpô cần thiết về sau mà thôi .Như là : tôpô hội tụ từng điểm , tôpô hội tụ đều , tôpô mở -compact , tôpô hình hộp ; tôpô mịn và tôpô đồ thị bằng việc chúng ta nêu định nghĩa về chúng và chỉ ra một cơ sở của nó. Đặc biệt ,chúng ta sẽ so sánh các không gian tôpô trên không gian hàm số không gian nào mịn hơn , thô hơn. 1.1. Định nghĩa và các khái niệm 1.1.1. Định nghĩa không gian tôpô Cho X là một tập hợp khác rỗng . Một họ τ các tập con của X được gọi là một tôpô trên X nếu τ thỏa mãn các tiên đề sau : ( i ) . ∅ ∈τ và X ∈τ . ( ii ) . Nếu U1 ∈τ và U 2 ∈τ , thì U1 ∩ U 2 ∈τ . (iii).Nếu ∈τ , thì ∪  ∈τ với  là họ các phần tử của τ . Giả sử trên X đã được cho một tôpô . Khi đó cặp ( X ;τ ) được gọi là một không gian tôpô xác định trên nền tập hợp X . U ⊂ X , U ∈τ gọi là một mở . các phần tử x ∈ X gọi là các điểm của không gian tôpô ( X ;τ ) . Trên cùng một tập hợp X cho trước , ta có thể có nhiều cấu trúc tôpô khác nhau . Khi đó ta nhận được các tôpô khác nhau có chung tập nền X . Nếu 6 gọi τ 1 và τ 2 là hai tôpô như vậy , khi đó ta có hai không gian tôpô ( X ;τ 1 ) và ( X ;τ 2 ) . Nếu τ 1 ⊂ τ 2 thì ta nói τ 1 thô hơn τ 2 hay τ 2 mịn hơn τ 1 . 1.1.2. Lân cận của một điểm Cho ( X ;τ ) là một không gian tôpô và điểm x0 ∈ X . Tập hợp A ⊂ X gọi là một lân cận của x0 nếu tồn tại một mở U ∈τ sao cho x ∈ U ⊂ A , ta có thể nói rằng U là một lân cận của x0 , nhưng ngược lại một lân cận của x0 chưa hẳn là một tập mở . 1.1.3. Tập mở Một tập V ⊂ X là tập mở nếu và chỉ nếu với mọi x ∈ V có một lân cận U x của x được chứa trong V 1.1.4. Cơ sở của không gian tôpô Một họ  ⊂ τ được gọi là một cơ sở của không gian tôpô ( X ;τ ) nếu mọi tập con mở khác rỗng của X được biểu thị bởi hợp của một họ con của . Ta thấy rằng một họ con  của những tập con của X là một cơ sở của không gian tôpô ( X ;τ ) nếu và chỉ nếu  ⊂ τ và với mọi x ∈ X và một lân cận bất kì V của x có một U ∈  sao cho x ∈ U ⊂ V . Mỗi một không gian tôpô ( X ;τ ) có nhiều cơ sở khác nhau. 1.1.5. Trọng số của một không gian tôpô Tập hợp tất cả số phần tử có dạng | | , ở đây  là một cơ sở của không gian tôpô ( X ;τ ) . Số phần tử nhỏ nhất của | | được gọi là trọng số của không gian tôpô ( X ;τ ) . Kí hiệu : w ( ( X ;τ ) ) 7 1.1.6. Cơ sở con của một không gian tôpô Một họ ρ ⊂ τ được gọi là một cơ sở con của một không gian tôpô ( X ;τ ) nếu một họ tất cả các giao hữu hạn U1 ∩ U 2 ∩ ... ∩ U k , ở đây U i ∈ ρ với i = 1.......k là một cơ sở của không gian ( X ;τ ) . 1.1.7. Cơ sở lân cận Một họ ( x ) các lân cận của x gọi là cơ sở lân cận tại x nếu một lân cận bất kì V của x tồn tại U ∈ ( x ) sao cho x ∈ U ⊂ V . Ta thấy rằng nếu  là một cơ sở của không gian tôpô ( X ;τ ) , thế thì với mọi x ∈ X , một cơ sở ( x ) của ( X ;τ ) tại điểm x ,ta có  = ∪ x∈X ( x ). 1.1.8. Đặc số tại một điểm của một không gian tôpô Đặc số tại một điểm của một không gian tôpô ( X ;τ ) là số phần tử nhỏ nhất có dạng | ( x )| , ở đây ( x ) là cơ sở lân cận tại x . Kí hiệu : χ ( x;( X ;τ ) ) 1.1.9. Đặc số của một không gian tôpô Đặc số một không gian tôpô ( X ;τ ) là cận trên đúng của tất cả các số χ ( x;( X ;τ ) ) với x ∈ X . Kí hiệu : χ ( ( X ;τ ) ) χ ( ( X ;τ ) ) sup {χ ( ( X ;τ ) ) | x ∈ X } +  0 Hay= 1.1.10. Không gian tôpô ( X ;τ ) thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất Nếu χ ( ( X ;τ ) ) ≤  0 , Ở đây  0 ( đọc là aleph zero ) là tập hợp song ánh với tập các số nguyên dương , thế thì không gian tôpô ( X ;τ ) gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất. Nói cách khác, tại mọi điểm x ∈ X có một cơ sở lân cận đếm được. 8 1.1.11. Không gian tôpô ( X ;τ ) thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai Nếu w ( ( X ;τ ) ) ≤  0 , thế thì không gian tôpô ( X ;τ ) được gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai. Nói cách khác, không gian ( X ;τ ) có một cơ sở đếm được. 1.1.12. Ví dụ 1 Gọi  là tập các số thực và τ là họ tất cả các tập con U ⊂  với tính chất là với mọi x ∈ U , có một ε > 0 sao cho ( x − ε ; x + ε ) ⊂ U . Thế thì : • ( ;τ ) là một không gian tôpô • Một họ tất cả các khoảng mở với các đầu mút là số hữu tỉ là một cơ sở của ( ;τ ) , đây là cơ sở có số phần tử nhỏ nhất , do vậy ( ;τ ) thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai, hiển nhiên thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất. • Tôpô này gọi là tôpô tự nhiên trên trường số thực . 1.1.13. Ví dụ 2 Gọi I = [ 0;1] gọi là khoảng đơn vị , và τ là họ tất cả các tập có dạng I ∩ U , ở đây U ⊂  là mở với tôpô tự nhiên trên  . Thế thì • ( I ;τ ) là một không gian tôpô • Một họ tất cả các khoảng có dạng (q; r ),[0; r ), (q;1] ở đây q , r là số hữu tỉ thỏa 0 < q < r < 1 là một cơ sở của ( I ;τ ) • Tất cả các khoảng mở dạng [0; r ), (q;1] là cơ sở con • ( I ;τ ) cũng thỏa cả tiên đề đếm được thứ nhất và thứ hai • Tôpô τ gọi là tôpô tự nhiên trên khoảng I 1.1.14. Ví dụ 3 Cho X là tập bất kì và τ là họ tất cả các tập con của X, thế thì 9 • ( X ;τ ) là một không gian tôpô • Mọi tập hợp A ⊂ X là vừa đóng vừa mở • Một tập bất kì chứa x là lân cận của x . • Họ tất cả tập con 1 điểm của X là cơ sở của ( X ;τ ) , nó là cơ sở có số phần tử nhỏ nhất, nên w ( ( X ;τ ) ) = X . • Với mọi x ∈ X một họ gồm tập đơn độc { x} là một cơ sở lân cận tại x , do đó ( X ;τ ) thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất. • Không gian ( X ;τ ) gọi là không gian rời rạc, và tôpô τ gọi là tôpô rời rạc trên X. 1.2. Các tiên đề tách 1.2.1. T0 - không gian Không gian tôpô ( X ;τ ) gọi là T0 - không gian nếu hai điểm phân biệt bất kì x, y của X đều có một lân cận của x không chứa y hoặc một lân cận của y không chứa x . Kí hiệu : XT0 1.2.2 . T1 - không gian Một không gian tôpô ( X ;τ ) được gọi là T1 - không gian nếu mọi cặp điểm phân biệt bất kì x, y ∈ X có một lân cận của x không chứa y và một lân cận của y không chứa x . Kí hiệu : XT1 Rõ ràng T1 - không gian là T0 - không gian . 10 1.2.3. T2 - không gian Một không gian tôpô ( X ;τ ) được gọi là T2 - không gian ( Hay, không gian Hausdorff ) nếu mọi cặp điểm bất kì x, y ∈ X có các lân cận U1 ,U 2 sao cho x ∈ U1 , y ∈ U 2 và U1 ∩ U 2 = ∅ Kí hiệu : XT2 Rõ ràng T2 - không gian là T1 - không gian . 1.2.4. T3 - không gian ( không gian chính qui ) Một không gian tôpô ( X ;τ ) được gọi là T3 - không gian ( Hay, không gian chính qui ) nếu X là T1 - không gian và với mọi x ∈ X và với mọi tập đóng A ⊂ X sao cho x ∉ A thì tồn tại các tập mở U1 ,U 2 sao cho x ∈ U1 , A ⊂ U 2 và U1 ∩ U 2 = ∅. Kí hiệu : XT3 Rõ ràng không gian chính qui là không gian Hausdorff 1.2.5. T 1 - không gian ( không gian hoàn toàn chính qui ) 3 2 Một không gian tôpô ( X ;τ ) được gọi là T 1 - không gian ( Hay, không 3 2 gian hoàn toàn chính qui , Hay không gian Tychonoff) Nếu X là T1 - không gian và với mọi x ∈ X và với mọi tập đóng A ⊂ X sao cho x ∉ A thì tồn tại một hàm liên tục f : X → I sao cho f ( x) = 0 và f ( y ) = 1, ∀y ∈ A Rõ ràng không gian Tychonoff là không gian chính qui. 1.2.6. T4 - không gian ( không gian chuẩn tắc ) Một không gian tôpô ( X ;τ ) được gọi là T4 - không gian ( Hay, không gian chuẩn tắc ) nếu X là T1 - không gian hai tập đóng bất kì không giao nhau trong X, thì tồn tại các tập mở U và V sao cho A ⊂ U , B ⊂ V và U ∩ V = ∅ . Rõ ràng T4 - không gian là T3 - không gian. 11 1.2.7. Ví dụ 4: Không gian tôpô X với tôpô Zariski ( tức là , X là tập vô hạn , τ gồm có ∅ và các tập con G ⊂ X sao cho X \ G đếm được ) là T1 - không gian nhưng không là T2 - không gian . 1.2.8. Ví dụ 5 : Các không gian tôpô ở ví dụ mục 1 là các không gian Hausdorff. 1.2.9. Ví dụ 6 : Cho tôpô trên mặt phẳng Niemytzki, tức là : Gọi L là tập con nữa mặt phẳng Oxy với điều kiện y ≥ 0 , L1 là đường y = 0 và L2 = L \ L1 . Với mọi x ∈ L1 và r > 0 , gọi U ( x; r ) là tập tất cả những điểm của L bên trong đường tròn bán kính r tiếp xúc với L1 tại x và gọi ( = U i ( x) U x; 1 i ) ∪ {x} với i = 1, 2,....... Với mọi x ∈ L2 và r > 0 gọi U ( x; r ) là tập tất cả những điểm bên trong đường tròn bán kính r và tâm tại x và gọi ( U i ( x) = U x; 1 i ) với i = 1, 2,....... , tôpô τ là tôpô sinh bởi hệ lân cận ( x ) x∈X .Ở đây ( x ) = {U i ( x)}i =1 ∞ Ta gọi U i ( x) một phần tử của cơ sở ( x ) tại điểm x ∈ L . Với mọi y ∈ U i ( x) \{x} kí hiệu y / là điểm mà tia bắt đầu tại x qua y giao với đường tròn U i ( x) , ta có ngay :   0  = f ( y)  1  xy   xy /  khi y = x khi y ∈ L \ U i ( x) khi y ∈ U i ( x) \{x} Ở đây, ab kí hiện của độ dài đoạn nối các điểm a và b 12 Nó xác định một hàm số liên tục f : L → I thỏa điều kiện của không gian Tychonoff. 1.3. Các Tôpô thông thường trên không gian hàm 1.3.1 . Hội tụ từng điểm Gọi X là một tập hợp , Y là một không gian tô pô , và gọi f n : X → Y là một dãy hàm. Ta nói f n hội tụ từng điểm đến hàm f : X → Y nếu với mọi x ∈ X dãy số f n ( x) hội tụ đến số f ( x) . Điều này có nghĩa là , dãy hàm f n hội tụ từng điểm tới f nếu : x) f ( x), ∀x ∈ X lim f n (= n →∞ Ví dụ 7: Cho dãy hàm : ( n) f n ( x) = n sin x Rõ ràng với mỗi x ∈ [ 0; 2π ] ta có ( )  sin x  n  x  x. lim f n ( x) lim lim n sin x = = = n n →∞ n →∞ n →∞   x  n   ( ( )) Và ở đây hàm f là f ( x) = x, ∀x ∈ [ 0; 2π ] 1.3.2. Tôpô tích Gọi X là tập hợp , Y là một không gian tôpô . Cho trước bất kì một x ∈ X và một tập mở tùy ý U ⊂ Y . Ta định nghĩa : S ( x;U ) = { f ∈ F ( X : Y ) | f ( x) ∈ U } Thế thì những tập S ( x;U ) là cơ sở con của F(X;Y) . Tôpô sinh bởi họ các cơ sở con này gọi là tôpô tích trên F(X;Y). Với cơ sở của F(X;Y) được xác định bởi giao hữu hạn những tập con mở : S ( x1 ;U1 ) ∩ S ( x2 ;U 2 ) ∩ .... ∩ S ( x2 ;U 2 ) Ngược lại ta có mệnh đề sau : 13 Mệnh đề 8 : Gọi X là tập hợp , Y là một không gian tôpô và  là một cơ sở của tôpô trên Y. Thì bộ : {S ( x; B) | x ∈ X , B ∈  } Là một cơ sở con của tôpô tích trên F (viết gọn thay vì F(X;Y)). Chứng minh : Giả sử một phần tử S ( x;U ) là một cơ sở con của F . Thế thì U là mở trong Y, Vì thế U được biểu diễn bởi hợp của {Bi }i∈I là những phần tử của  . Do đó S ( x;U ) = ∪ S ( x; Bi ) i∈I Tức là S ( x;U ) nằm trong tôpô sinh bởi những tập S ( x; B)  Ví dụ 9 : Xét không gian ω tích vô hạn lần của  . Nếu (c; d ) là khoảng mở trong  . Thế thì S (3;(c; d )) =  ×  × (c; d ) ×  × ... là một tập mở cơ sở con trong ω . Nếu (a; b) là một khoảng mở khác , thế thì S (1, (a; b)) ∩ S (3, (c; d )) = (a; b) ×  × (c; d ) ×  × ..... là một tập mở cơ sở trong ω . Trong trường hợp tổng quát tập mở cơ sở của ω là một số hữu hạn một bộ tọa độ. Định lý 10 : Sự hội tụ trong tôpô tích. Gọi X là một tập hợp , Y là một không gian tôpô , và gọi f n là một dãy trong F . Gọi f ∈ F . Thế thì f n → f theo tôpô tích nếu và chỉ nếu f n hội tụ từng điểm tới f . Chứng minh : Giả sử f n → f theo tôpô tích , và gọi x ∈ X . Nếu U là một lân cận của f ( x) trong Y , Thế thì S ( x,U ) là một lân cận của f trong F , vì thế 14 f n ∈ S ( x;U ) với tất cả n trừ một số hữu hạn n . Do đó , f n ( x) ∈ U với tất cả n trừ một số hữu hạn n . Ngược lại , Giả sử rằng f n hội tụ từng điểm đến f và gọi S ( x;U ) là một lân cận của f trong F. Thế thì , U là một lân cận của f ( x) trong Y . Vì f n ( x) → f ( x), ∀x ∈ X , cho nên f n ( x) ∈ U với tất cả n trừ một số hữu hạn n . Thế thì f n ( x) ∈ S ( x;U ) với mọi n trừ một số hữu hạn n . Hay nói cách khác f n → f . theo tôpô tích Do vậy , tôpô tích còn gọi là tôpô hội tụ từng điểm trên F(X;Y) . 1.3.3. Tôpô tích Tychonoff Cho ( X i )i∈I là họ các không gian tôpô , τ i là tôpô tương ứng của X i . Ta gọi = X ∏ = X i {( xi )i∈I : xi ∈ X i } . Và gọi ( pi )i∈I là ánh xạ chiếu liên tục xác i∈I định bởi : pi : ∏ X i → X i i∈I (xi )i∈I  xi Gọi : G = ∩ pi−1 ( Gi j =1 n j j ) với pi−j 1 (Gi= ) Gi j × ∏ X i và Gi j ∈τ i . j i ≠i j Ta gọi  là họ tất cả các tập G có dạng như trên . Khi ấy , tồn tại một tôpô  trên X nhận  làm cơ sở gọi là tích Tychonoff của các không gian X i . Như vậy , một tập hợp thuộc vào cơ sở của tôpô Tychonoff sẽ có dạng n n   ∩ (U i j × ∏ X i ) = V= U i j ×  ∏ X i  với U i j là tập mở trong X i j . ∏ j =1 1 i ≠i j j=  i ≠i1 ,i2 .....in  1.3.4. Tôpô hình hộp 1.3.4.1 . Định nghĩa : Gọi X là một tập hợp và Y là một không gian tôpô . Cho trước một họ {U x }x∈X là các tập mở trong Y. Xét tích : 15 ∏U = { f ∈ F | f ( x) ∈U ; ∀x ∈ X } x∈ X x x được gọi là một hình hộp mở trong F . Một bộ tất cả các dạng hình hộp mở là một cơ sở của một tôpô trên F. Gọi là TôPô Hình hộp. 1.3.4.2. Định lý 11: Cơ sở của tôpô hình Hộp Gọi X là một tập hợp , Y là một không gian tôpô , và gọi  là một cơ sở đối với tôpô trên Y . Thế thì bộ các tập hợp {∏ Bx | Bx ∈ , với mỗi x ∈ X } là một cơ sở của tôpô hình hộp trên F Chứng minh : Gọi U = ∏ U x là một hình hộp mở bất kì trong F, và gọi f ⊂ U . Thế thì , f ( x) ⊂ U x với mỗi x ∈ X , vì thế có một Bx ∈  sao cho x ∈ Bx và Bx ⊂ U x . Thế thì , f ∈ ∏ Bx và ∏B x ⊂U  1.3.4.3. Ví dụ 12: Xét trên không gian ω . Một dãy bất kì các khoảng mở của  : (a1 ; b1 ), (a2 ; b2 ), (a3 ; b3 ),..., (an ; bn )... , thì tập hợp (a1 ; b1 ) × (a2 ; b2 ) × (a3 ; b3 ) × ... × (an ; bn ) × ... là một tập mở cơ sở của tôpô hình hộp, ta sẽ gặp lại với kí hiệu ω 1.3.4.4. Ví dụ 13: Ta xét dãy sau trong ω f1 = (1;1;1...........) 1 1 1  f 2 =  ; ; ;.....  2 2 2  1 1 1  f3 =  ; ; ;.....  3 3 3   Dãy này hội tụ đến điểm f = (0;0;0...........) trong tôpô tích . Tuy nhiên , dãy f n này không hội tụ đến f trong tôpô hình hộp . Trong trường hợp cụ thể , hình hộp mở