Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Giáo dục - Đào tạo Cao đẳng - Đại học Dáng điệu tiệm cận của các bao hàm th ức vi phân có trễ ...

Tài liệu Dáng điệu tiệm cận của các bao hàm th ức vi phân có trễ

.PDF
106
427
133

Mô tả:

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————— * ——————— NGUYỄN VĂN ĐẮC DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA CÁC BAO HÀM THỨC VI PHÂN CÓ TRỄ LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————— * ——————— NGUYỄN VĂN ĐẮC DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA CÁC BAO HÀM THỨC VI PHÂN CÓ TRỄ Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân Mã số: 62 46 01 03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS. TS. Trần Đình Kế PGS. TS. Cung Thế Anh Hà Nội - 2017 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Trần Đình Kế và PGS. TS. Cung Thế Anh. Các kết quả được phát biểu trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố trong các công trình của các tác giả khác. Nghiên cứu sinh Nguyễn Văn Đắc LỜI CẢM ƠN Luận án được thực hiện tại Bộ môn Giải tích Khoa Toán-Tin, trường Đại học sư phạm Hà Nội, dưới sự hướng dẫn nghiêm khắc, tận tình, chu đáo của PGS. TS. Trần Đình Kế và PGS. TS. Cung Thế Anh. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đối với hai Thầy, PGS.TS. Trần Đình Kế là người Thầy đã giảng dạy tác giả từ những ngày còn học đại học và sau đó dẫn dắt tác giả vào hướng nghiên cứu được trình bày trong luận án này, PGS.TS. Cung Thế Anh đã đem đến cho tác giả những bài giảng được chuẩn bị chu đáo, đầy cảm hứng và phương pháp làm việc khoa học. Những chỉ dẫn về mặt khoa học, sự động viên và lòng tin tưởng của tập thể hướng dẫn dành cho tác giả luôn là động lực chính giúp tác giả không những hoàn thành được luận án mà còn có những định hướng cho nghiên cứu tiếp theo. Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phòng sau Đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, đặc biệt là các thầy cô giáo trong Bộ môn Giải tích đã luôn giúp đỡ, động viên, tạo môi trường học tập nghiên cứu thuận lợi cho tác giả. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu trường Đại học Thủy lợi, các đồng nghiệp công tác tại Bộ môn Toán, Khoa Công nghệ Thông tin, Trường Đại học Thủy lợi đã luôn tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin dành cho gia đình, những người luôn yêu thương, chia sẻ, động viên tác giả vượt qua khó khăn để hoàn thành luận án. Tác giả 3 Mục lục Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.1. CÁC KHÔNG GIAN HÀM . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2. ĐỘ ĐO KHÔNG COMPACT VÀ CÁC ƯỚC LƯỢNG . . . 18 1.3. LÍ THUYẾT NỬA NHÓM . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.4. GIẢI TÍCH ĐA TRỊ VÀ ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG . . . 23 1.4.1. Một số vấn đề về giải tích đa trị . . . . . . . . . . . 23 1.4.2. Ánh xạ nén và một số định lí điểm bất động . . . . 26 1.5. TẬP HÚT LÙI CHO HỆ ĐỘNG LỰC KHÔNG Ô-TÔ-NÔM ĐA TRỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Chương 2. TẬP HÚT LÙI CHO BAO HÀM THỨC VI PHÂN NỬA TUYẾN TÍNH VỚI TRỄ HỮU HẠN . . . . . . . . . . 30 2.1. ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2. SỰ TỒN TẠI NGHIỆM TÍCH PHÂN . . . . . . . . . . . . 30 2.3. SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT LÙI . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.4. ÁP DỤNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.4.1. Phương trình vi phân đạo hàm riêng hàm dạng đa diện 44 2.4.2. Hệ phương trình vi phân lưới . . . . . . . . . . . . 45 4 Chương 3. TẬP HÚT LÙI CHO BAO HÀM THỨC VI PHÂN NỬA TUYẾN TÍNH VỚI TRỄ VÔ HẠN . . . . . . . . . . . . 49 3.1. ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2. TIÊU CHUẨN TỒN TẠI TẬP HÚT LÙI . . . . . . . . . . 49 3.3. SỰ TỒN TẠI NGHIỆM TÍCH PHÂN . . . . . . . . . . . . 51 3.4. SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT LÙI . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.5. ÁP DỤNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Chương 4. TÍNH ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN YẾU CHO BAO HÀM THỨC VI PHÂN NỬA TUYẾN TÍNH VỚI TRỄ VÔ HẠN . . . . 66 4.1. ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.2. SỰ TỒN TẠI NGHIỆM PHÂN RÃ VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH YẾU 66 4.2.1. Độ đo không compact trên BC(R+ τ , X) . . . . . . . 67 4.2.2. Sự tồn tại nghiệm phân rã . . . . . . . . . . . . . . 68 4.2.3. Tính ổn định tiệm cận yếu của nghiệm tầm thường . 79 4.3. ÁP DỤNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Chương 5. TÍNH HÚT TRONG KHOẢNG THỜI GIAN HỮU HẠN CHO BAO HÀM THỨC VI PHÂN HÀM NỬA TUYẾN TÍNH . 86 5.1. ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 5.2. ĐIỀU KIỆN ĐỦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.3. TÍNH HÚT CỦA NGHIỆM TẦM THƯỜNG . . . . . . . . 87 5.3.1. Sự tồn tại nghiệm tích phân . . . . . . . . . . . . . 87 5.3.2. Tính hút của nghiệm tầm thường . . . . . . . . . . 90 5.4. ÁP DỤNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 5 MỞ ĐẦU 1. Tổng quan về vấn đề nghiên cứu và lí do chọn đề tài Bao hàm thức tiến hóa là mô hình cho nhiều bài toán khác nhau. Xét bài toán sau đây trong lí thuyết điều khiển (xem [9]) x0 = f (x, u), u ∈ U trong đó u là nhân tố điều khiển. Khi đó, hệ điều khiển và bao hàm thức [ x0 ∈ f (x, U) := f (x, u) u∈U có tập quĩ đạo như nhau. Nếu tập các nhân tố điều khiển phụ thuộc vào x, tức là U = U(x), thì ta nhận được bao hàm thức x0 ∈ f (x, U(x)). Sự tương đương giữa hệ điều khiển và bao hàm thức vi phân tương ứng là yếu tố then chốt để chứng minh các định lí tồn tại trong lí thuyết điều khiển tối ưu. Ở một hướng nghiên cứu khác, ta xét phương trình vi phân x0 (t) = f (x(t)), t ∈ [0, T ], với f : Rn → Rn là một hàm không liên tục. Khi đó bài toán Cauchy x0 (t) = f (x(t)), x(0) = x0 có thể vô nghiệm. Chẳng hạn, xét bài toán Cauchy sau ( x0 (t) = 1, x<0 −1, x≥0 , x(0) = 0. Ta thấy bài toán này không có nghiệm theo nghĩa thông thường. Thật vậy, nếu x(t) < 0 thì nghiệm là x(t) = t + c− và x(t) > 0 thì x(t) = −t + c+ là nghiệm. Trong áp dụng, phương trình vi phân với vế phải không liên tục là mô hình cho một số bài toán trong vật lí, kỹ thuật, sinh học và kinh tế. Các bài toán dạng này được Filippov nghiên cứu trong [37], ở đó kỹ thuật chính quy hóa hàm phi tuyến ở vế phải dẫn đến các bao hàm thức vi phân. 6 Ngoài ra, khi nghiên cứu các bất đẳng thức vi biến phân, một trong những phương pháp hiệu quả là chuyển chúng về các bao hàm thức vi phân (xem [63]). Có thể thấy rằng, bao hàm thức tiến hóa phát sinh từ các bài toán trong nhiều hướng nghiên cứu khác nhau, tiêu biểu là bài toán chính quy hóa phương trình vi phân với phần phi tuyến không liên tục, bài toán điều khiển và một số bất đẳng thức vi biến phân. Đối với các hệ tiến hóa mô tả các bài toán thực tế trong sinh học, hóa học, kỹ thuật, kinh tế,... trễ thời gian thường xuất hiện như một yếu tố tự nhiên, cho phép việc mô tả các quá trình chính xác hơn. Vì vậy, các bao hàm thức vi phân có trễ thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Trong luận án này, chúng tôi tập trung vào một trong những vấn đề trung tâm của lí thuyết định tính các hệ vi phân tiến hóa, đó là dáng điệu nghiệm của các bao hàm thức vi phân không ô-tô-nôm có trễ, bao gồm sự tồn tại nghiệm tích phân, sự tồn tại tập hút lùi, tính ổn định tiệm cận yếu và tính hút trong khoảng thời gian hữu hạn của nghiệm. Lí thuyết định tính các hệ vi phân trong không gian hữu hạn chiều (phương trình vi phân thường) đã được nghiên cứu từ đầu thế kỷ 20 và đã thu được những thành tựu quan trọng dựa trên lí thuyết ổn định Lyapunov (xem [32, 44]), trong đó phương pháp hàm Lyapunov là một công cụ hiệu quả được nhiều nhà nghiên cứu sử dụng. Ngoài ra, các phương pháp khác như phương pháp điểm bất động (xem [17]), phương pháp so sánh (xem [61]) cũng được lựa chọn để phân tích dáng điệu tiệm cận nghiệm. Với các bao hàm thức tiến hóa hữu hạn chiều, các cuốn chuyên khảo [9, 29] trình bày một cách hệ thống các kết quả về tính giải được, cấu trúc tập nghiệm. Tuy nhiên, do tính chất không duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy cho bao hàm thức vi phân, lí thuyết Lyapunov gặp nhiều khó khăn trong việc nghiên cứu tính ổn định nghiệm. Khi đó, khái niệm ổn định yếu đã được Filippov đề xuất (xem [37]) và phương pháp hàm Lyapunov cải tiến để chứng minh tính ổn định yếu cũng đã được xây dựng trong [1]. Trong khoảng hai thập kỷ qua, bao hàm thức vi phân trong không gian Banach tổng quát cùng những ứng dụng của nó đã và đang thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học, trở thành chủ đề nghiên cứu có tính thời sự. Có thể tìm thấy trong các cuốn chuyên khảo tiêu biểu [48, 49, 51, 68] những kết quả nghiên cứu có tính hệ thống. Dựa vào lí thuyết nửa nhóm, các kết quả về tính giải được của các bao hàm thức tiến hóa đã được thiết 7 lập dưới nhiều điều kiện khác nhau (xem [25, 38, 62]). Để nghiên cứu tính ổn định nghiệm, các công cụ như lí thuyết tập hút toàn cục hay lí thuyết ổn định Lyapunov đóng vai trò quan trọng. Lí thuyết tập hút toàn cục được xây dựng (xem [27, 67]) nhằm phân tích dáng điệu nghiệm của các hệ vi phân ô-tô-nôm (autonomous) dưới góc nhìn hệ động lực, theo nghĩa có tồn tại hay không một tập compact, bất biến và hút các quĩ đạo nghiệm. Lí thuyết này được phát triển mạnh mẽ và thu được nhiều kết quả có tính hệ thống cho cả hệ động lực đơn trị (xem [27, 42, 67]) và hệ động lực đa trị (xem [59, 60, 70]). Nói riêng với các hệ vi phân đa trị, lí thuyết tập hút được phát triển với một số lược đồ nghiên cứu, như lược đồ nửa dòng suy rộng của Ball [11, 12], nửa dòng đa trị của Melnik và Valero [59]. Hai cách tiếp cận này đã được so sánh trong [23]. Có thể tham khảo một số kết quả về dáng điệu nghiệm của phương trình vi phân đạo hàm riêng đa trị được thiết lập trong [3, 4, 52, 70] nhờ ứng dụng lược đồ của Melnik và Valero. Ngoài ra, Chepyzov và Vishik [26] cũng phát triển lí thuyết tập hút quỹ đạo để nghiên cứu dáng diệu của các hệ vi phân không duy nhất nghiệm. Để nghiên cứu dáng điệu nghiệm của các hệ vi phân không ô-tô-nôm (nonautonomous), lí thuyết tập hút đều và tập hút lùi được xây dựng cho cả trường hợp đơn trị và đa trị (xem [19, 20, 21, 60]). Trong đó, phải kể đến những kết quả nghiên cứu quan trọng của Caraballo, Kloeden cùng các cộng sự về tập hút lùi cho các hệ vi phân tất định và hệ vi phân ngẫu nhiên với lược đồ thống nhất. Gần đây, ở [28], các tác giả Zelati và Kalita đã đưa ra một cải tiến đáng chú ý trong lược đồ nghiên cứu tập hút lùi, đó là giảm nhẹ tính liên tục (chỉ yêu cầu tính đóng) đối với hệ động lực và đưa ra tiêu chuẩn compact tiệm cận dựa trên độ đo không compact. Trong các lược đồ nghiên cứu về tập hút, bước then chốt để chứng minh sự tồn tại tập hút toàn cục là kiểm tra điều kiện về tính compact tiệm cận của hệ động lực sinh bởi hệ. Điều kiện này được thỏa mãn nếu nửa nhóm sinh bởi phần tuyến tính là nửa nhóm compact. Tuy nhiên, các hệ vi phân đạo hàm riêng trong miền không bị chặn nói chung không thỏa mãn điều kiện này, tức nửa nhóm sinh bởi phần tuyến tính không có tính chất compact. Trong trường hợp không gian pha là một không Hilbert tách được, để kiểm tra điều kiện compact tiệm cận, ta có thể kiểm tra điều kiện xấp xỉ hữu hạn chiều (flattening) (xem [28, 57, 75, 76]). Tuy nhiên, cách này không khả thi cho trường hợp hệ đạo hàm riêng có trễ khi không gian pha tương ứng có cấu trúc phức tạp hơn, theo nghĩa ta không thể tìm được một cơ sở của không gian pha để có thể áp dụng điều kiện xấp xỉ hữu hạn 8 chiều. Mục tiêu nghiên cứu đầu tiên của chúng tôi trong luận án này là xây dựng một số tiêu chuẩn để kiểm tra tính compact tiệm cận của hệ động lực trong tình huống kể trên. Đề cập đến các khái niệm ổn định theo nghĩa Lyapunov cho bao hàm thức vi phân, có thể thấy việc chứng minh tính ổn định theo phương pháp hàm Lyapunov là khó áp dụng vì tính không duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy. Do đó, các kết quả về tính ổn định cho các bao hàm thức vi phân theo nghĩa Lyapunov còn hạn chế. Mục tiêu tiếp theo của chúng tôi là sử dụng cách tiếp cận điểm bất động ở [17] (trong nghiên cứu tính ổn định nghiệm cho các phương trình vi phân thường/vi phân hàm) để phân tích dáng điệu nghiệm của các bao hàm thức vi phân nửa tuyến tính có trễ vô hạn trong không gian Banach tổng quát, trong đó tính ổn định tiệm cận yếu của nghiệm tầm thường (nghiệm không) được xem xét. Theo một góc nhìn khác, mặc dù dáng điệu nghiệm của các hệ vi phân khi thời gian đủ lớn đóng một vai trò quan trọng trong nhiều bài toán thực tiễn, có lịch sử nghiên cứu lâu dài và đạt được những kết quả có tính hệ thống, dáng điệu nghiệm trong khoảng thời gian hữu hạn lại có vai trò quan trọng hơn trong các bài toán liên quan đến quá trình sinh-hóa (biochemical networks), quá trình chuyển đổi tín hiệu (signal transduction),... ở đó các quá trình cần quan sát chỉ xảy ra trong một khoảng thời gian ngắn. Từ đó, hướng nghiên cứu hệ động lực thời gian hữu hạn đang thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Một số kết quả tiêu biểu theo hướng nghiên cứu này cho các hệ vi phân thường có thể tìm thấy trong các công trình [14, 33, 34, 35, 39, 55]. Sử dụng các khái niệm về hệ động lực thời gian hữu hạn trong [39], chúng tôi đặt vấn đề nghiên cứu tính hút trong thời gian hữu hạn của các bao hàm thức tiến hóa nửa tuyến tính có trễ trong không gian Banach, trong đó chúng tôi tìm kiếm các điều kiện chấp nhận được áp đặt lên phần tuyến tính và phần phi tuyến để có thể chứng minh một số điều kiện đủ cho tính hút của nghiệm tầm thường. Sau đây, chúng tôi trình bày một cách ngắn gọn về những nội dung nghiên cứu chính. Sử dụng lược đồ về tập hút lùi của Caraballo và Kloeden, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại tập hút lùi cho một số lớp bao hàm thức vi phân hàm có trễ trong không gian Banach. Cụ thể, trường hợp hệ có trễ hữu hạn, chúng tôi xét lớp bài toán sau u0 (t) ∈ Au(t) + F (t, u(t), ut ), t ≥ τ, (1) 9 u(t) = ϕτ (t − τ ), t ∈ [τ − h, τ ], (2) trong đó hàm trạng thái u lấy giá trị trong không gian Banach tách được X , A là một toán tử tuyến tính đóng và sinh ra nửa nhóm liên tục mạnh trên X , F là một ánh xạ đa trị xác định trên R × X × C([−h, 0]; X), ut là hàm trễ, tức là ut (s) = u(t + s) với s ∈ [−h, 0]. Ký hiệu {U(t, τ, ·)}t≥τ là hệ động lực không ô-tô-nôm đa trị sinh bởi hệ (1)-(2), tức là U(t, τ, ϕτ ) = {ut : u(·, τ, ϕτ ) là một nghiệm tích phân của hệ (1)-(2)}. Liên quan đến kết quả về sự tồn tại tập hút lùi, đóng góp chính của chúng tôi là đề xuất cách kiểm tra tính compact tiệm cận của U theo cách chứng minh tính nén của toán tử GT,t = U(t, t − T, ·) trên C([−h, 0]; X). Đáng lưu ý là cách tiếp cận này hiệu quả đối với các hệ có trễ bởi vì ta chỉ cần kiểm tra các ước lượng độ đo không compact trên phần phi tuyến. Điều này được thể hiện rõ trong phần áp dụng cho hệ vi phân lưới có dạng dui (t) = ui+1 (t) − (2 + α)ui (t) + ui−1 (t) + fi (t, ui (t), ui (t − h)), t > τ, dt (3) ui (τ + s) = φτi (s), s ∈ [−h, 0], i ∈ Z, (4) trong đó u = (ui )i∈Z là hàm trạng thái, α > 0 và fi : R3 → R, i ∈ Z, là các hàm liên tục. Mô hình này phát sinh từ một số bài toán liên quan đến xử lí ảnh, nhận dạng mẫu, kỹ thuật điện và một số lĩnh vực khác. Ngoài ra, nó cũng là kết quả của việc rời rạc hóa theo biến không gian của các phương trình đạo hàm riêng. Trong mô hình này, nửa nhóm sinh bởi phần tuyến tính không có tính chất compact và phần phi tuyến chỉ cần thỏa mãn một số điều kiện về tăng trưởng. Trường hợp hệ có trễ vô hạn, chúng tôi xét lớp bài toán sau u0 (t) ∈ Au(t) + F (t, ut ), t ≥ τ, uτ (s) = ϕτ (s), s ∈ (−∞, 0], (5) (6) trong đó hàm u và toán tử tuyến tính A giống như trong trường hợp trễ hữu hạn, F là ánh xạ đa trị xác định trên R × B , với B là không gian pha kiểu Hale-Kato [45] sẽ được định nghĩa trong Chương 1. Một số kết quả nghiên cứu sự tồn tại tập hút trong trường hợp F là hàm đơn trị đã được công bố, chẳng hạn trong các công trình [16, 20]. Mục đích của chúng tôi là giải quyết trường hợp phần phi tuyến đa trị bằng cách sử dụng các ước lượng theo độ đo không compact. Việc chứng minh sự tồn tại 10 nghiệm cho bài toán (5)-(6) là tương tự như đối với hệ có trễ hữu hạn. Tuy nhiên, khi nghiên cứu sự tồn tại tập hút lùi ta gặp một số khó khăn. Cụ thể là sự xuất hiện trễ vô hạn đã gây ra một số khó khăn về mặt kỹ thuật trong việc chứng minh tính tiêu hao cũng như tính compact tiệm cận của hệ động lực đa trị tương ứng. Những khó khăn này xuất phát từ đặc điểm của không gian pha. Trên không gian này ta không có các tiêu chuẩn về tính compact, đồng thời cũng không có mối quan hệ đủ tốt giữa độ đo không compact trên không gian pha và độ đo không compact trên X như trong bài toán với trễ hữu hạn, dẫn đến việc các kỹ thuật sử dụng cho trường hợp trễ hữu hạn lại không khả dụng cho trường hợp trễ vô hạn. Ở đây, chúng tôi đề xuất một tiêu chuẩn mới cho tính compact tiệm cận đối với hệ động lực không ô-tô-nôm đa trị dựa trên tính co theo độ đo không compact, từ đó chứng minh hệ động lực sinh bởi bài toán (5)-(6) có một tập hút lùi toàn cục khi không gian pha được chọn là Cγ . Kết quả ở phần này được áp dụng cho bài toán điều khiển với phản hồi đa trị sau ∂u (t, x) = ∆u(t, x) + f0 (t, x, u(t, x)) + b(x)v(t), x ∈ Ω, t > τ ∂t Z Z (7) 0  v(t) ∈  ν(θ, y) f1 (u(t + θ, y)), f2 (u(t + θ, y)) dydθ, −∞ O u(t, x) = 0, x ∈ ∂Ω, t > τ, (9) u(τ + s, x) = ϕτ (s, x), x ∈ Ω, s ∈ (−∞, 0],  (8) (10)  trong đó f1 , f2 = {µf1 + (1 − µ)f2 : µ ∈ [0, 1]}. Tập Ω ⊂ Rn là miền bị chặn với biên trơn ∂Ω và O ⊂ Ω là một tập mở. Bên cạnh việc sử dụng khái niệm tập hút lùi, chúng tôi cũng sử dụng khái niệm ổn định tiệm cận yếu để nghiên cứu dáng điệu nghiệm của hệ (5)-(6) theo cách tiếp cận lí thuyết điểm bất động. Ký hiệu SOL(ϕτ ) là tập nghiệm ứng với dữ kiện đầu là ϕτ và giả sử rằng 0 ∈ SOL(0). Nghiệm tầm thường của hệ được gọi là ổn định tiệm cận yếu nếu nó thỏa mãn hai điều kiện (i) ổn định, tức là với mọi  > 0, tồn tại số dương δ sao cho khi |ϕτ |B < δ thì |yt |B < , ∀y ∈ SOL(ϕτ ) và t > τ ; (ii) hút yếu, tức là với mỗi ϕτ ∈ B , tồn tại y ∈ SOL(ϕτ ) sao cho lim |yt |B = 0. t→+∞ Để giải quyết bài toán này, chúng tôi xây dựng một độ đo không compact trên không gian các hàm liên tục và bị chặn trên nửa trục BC([τ, +∞); X), 11 từ đó đưa ra một tiêu chuẩn compact trên không gian này để có thể khai thác nguyên lí điểm bất động cho các ánh xạ đa trị nén. Kết quả lí thuyết được áp dụng cho bài toán điều khiển sau ∂u (t, x) − ∆u(t, x) + λu(t, x) = f (t, x), x ∈ Rn , t ≥ τ ∂t f (t, x) ∈ b(t, x) Z0 Z  (11)  ν(θ, y) k1 (y, u(t + θ, y)), k2 (y, u(t + θ, y)) dydθ, −∞ Ω (12) u(τ + s, x) = ϕτ (s, x), x ∈ Rn , s ∈ (−∞, 0], (13) trong đó Ω là một miền bị chặn trong Rn , ∆ là toán tử Laplace đối với biến x và λ > 0. Nội dung nghiên cứu sau cùng trong luận án là tính hút của nghiệm tầm thường trong khoảng thời gian hữu hạn của hệ vi phân hàm sau đây u0 (t) ∈ Au(t) + F (t, ut ), t ∈ [0, T ], (14) u(s) = ϕ(s), s ∈ [−h, 0], (15) ở đó A và u là tương tự như các bài toán trước, F là ánh xạ đa trị xác định trên [0, T ] × C([−h; 0], X), ut là hàm trễ xác định trên [−h, 0]. Hàm ϕ ∈ C([−h, 0]; X) đóng vai trò là dữ kiện đầu. Mục tiêu của chúng tôi là đưa ra các điều kiện đủ cho tính hút của nghiệm tầm thường của (14)-(15) khi hàm phi tuyến có thể tăng trưởng trên tuyến tính. Cuối cùng, chúng tôi áp dụng kết quả thu được cho hệ vi phân đạo hàm riêng ∂u (t, x) = ∆u(t, x) + f (t, x), x ∈ Ω, t ∈ [0, T ], ∂t n o ˜ f (t, x) ∈ co fi (t, u(t − h, x)) : i = 1, 2, ..., m , (16) (17) u(t, x) = 0, x ∈ ∂Ω, t > 0, (18) u(s, x) = ϕ(x, s), x ∈ Ω, s ∈ [−h, 0], (19) ở đó f˜i : [0, T ] × R → R, i = 1, 2, ..., m, là các hàm liên tục và Ω ⊂ Rn là một miền có biên trơn ∂Ω. 2. Mục đích – Đối tượng – Phạm vi nghiên cứu của luận án 2.1. Mục đích nghiên cứu 12 Nghiên cứu dáng điệu nghiệm của các bao hàm thức vi phân tiến hóa nửa tuyến tính không ô-tô-nôm có trễ bằng lí thuyết tập hút lùi và lí thuyết ổn định. Cụ thể 1) Tìm các điều kiện đủ để kiểm tra tính chất compact tiệm cận của hệ động lực đa trị sinh bởi các bao hàm thức vi phân chứa trễ hữu hạn hoặc vô hạn, từ đó chứng minh sự tồn tại tập hút lùi. 2) Thiết lập các điều kiện đảm bảo tính ổn định tiệm cận yếu của nghiệm tầm thường của lớp bao hàm thức tiến hóa có trễ vô hạn. 3) Xây dựng các điều kiện đủ cho tính hút trong thời gian hữu hạn của nghiệm tầm thường của lớp bao hàm thức vi phân nửa tuyến tính có trễ hữu hạn. 2.2. Đối tượng nghiên cứu Trong luận án, chúng tôi xét hai lớp bao hàm thức vi phân nửa tuyến tính không ô-tô-nôm trong không gian Banach tổng quát: • Lớp thứ nhất: Bao hàm thức vi phân có trễ hữu hạn; • Lớp thứ hai: Bao hàm thức vi phân có trễ vô hạn; trong đó phần tuyến tính sinh ra nửa nhóm liên tục mạnh và phần phi tuyến là hàm đa trị. 2.3. Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu được thể hiện thông qua các nội dung sau. • Nội dung 1: Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các bao hàm thức vi phân không ô-tô-nôm với trễ hữu hạn và trễ vô hạn; • Nội dung 2: Nghiên cứu sự tồn tại tập hút lùi cho các bao hàm thức vi phân nói trên; • Nội dung 3: Nghiên cứu tính ổn định tiệm cận yếu của nghiệm tầm thường đối với các bao hàm thức vi phân với trễ vô hạn; • Nội dung 4: Nghiên cứu tính hút trong thời gian hữu hạn của nghiệm tầm thường cho bao hàm thức vi phân với trễ hữu hạn. 13 3. Phương pháp nghiên cứu ◦ Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của các bao hàm thức vi phân, chúng tôi sử dụng lí thuyết nửa nhóm [64], các ước lượng độ đo không compact [15, 51], các công cụ của giải tích đa trị và định lí điểm bất động cho ánh xạ nén [51]. ◦ Trong nghiên cứu về sự tồn tại tập hút lùi cho quá trình đa trị không ô-tô-nôm, chúng tôi sử dụng lược đồ được đề xuất bởi Caraballo và Kloeden [20]. Trong đó, chúng tôi thực hiện các ước lượng theo độ đo không compact để thu được tính compact tiệm cận của quá trình đa trị. ◦ Để nghiên cứu tính ổn định yếu của nghiệm tầm thường cho hệ vi phân có trễ vô hạn và tính hút của nghiệm tầm thường cho hệ vi phân hàm, chúng tôi sử dụng nguyên lí điểm bất động cho ánh xạ nén ứng với độ đo không compact xây dựng tương tự trong [5] và kỹ thuật ước lượng tiên nghiệm. 4. Cấu trúc và các kết quả của luận án Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Danh mục công trình đã công bố và Tài liệu tham khảo, luận án được chia làm năm chương: • Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi nhắc lại các khái niệm và kết quả được sử dụng trong các chương tiếp theo về lí thuyết nửa nhóm, lí thuyết độ đo không compact, một số kiến thức về giải tích đa trị và lí thuyết tập hút lùi cho quá trình đa trị. • Chương 2: Tập hút lùi cho bao hàm thức vi phân nửa tuyến tính với trễ hữu hạn. Trong chương này, chúng tôi chứng minh tính giải được và sự tồn tại tập hút lùi cho một lớp bao hàm thức vi phân hàm với trễ hữu hạn. • Chương 3: Tập hút lùi cho bao hàm thức vi phân nửa tuyến tính với trễ vô hạn. Trong chương này, chúng tôi đưa ra một tiêu chuẩn về sự tồn tại tập hút lùi cho một quá trình đa trị tổng quát. Chứng minh tính giải được toàn cục của một lớp bao hàm thức vi phân hàm có trễ vô hạn và sự tồn tại tập hút lùi bằng cách sử dụng tiêu chuẩn nói trên. • Chương 4: Tính ổn định tiệm cận yếu cho bao hàm thức vi phân nửa tuyến tính với trễ vô hạn. Trong chương này, chúng tôi xét tính ổn định 14 tiệm cận yếu của nghiệm tầm thường cho bao hàm thức vi phân có trễ vô hạn trên nửa trục. Trước tiên, chúng tôi chỉ ra sự tồn tại nghiệm phân rã của bài toán. Sau đó, sử dụng kết quả thu được để suy ra tính ổn định tiệm cận yếu của nghiệm tầm thường. • Chương 5: Tính hút trong khoảng thời gian hữu hạn cho bao hàm thức vi phân hàm nửa tuyến tính. Chúng tôi xét hệ vi phân với biến thời gian thuộc tập compact cho trước và chứng minh nghiệm tầm thường có tính hút và hút mũ. 5. Ý nghĩa của các kết quả của luận án Các kết quả thu được trong luận án góp phần làm phong phú thêm hướng nghiên cứu ổn định nghiệm cho các bao hàm thức vi phân có trễ trong trong không gian Banach tổng quát, có thể áp dụng cho nhiều lớp phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cũng như các hệ vi phân thường có trễ. Các kết quả chính của luận án đã được công bố trong 02 bài báo trên các tạp chí khoa học chuyên ngành (liệt kê ở mục "Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án"), 02 bài đã hoàn thành ở dạng tiền ấn phẩm. 15 Các nội dung chính trong luận án đã được báo cáo tại: 1) Xê mi na của Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội; 2) Hội thảo cho Nghiên cứu sinh, Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, 2017; 3) Hội thảo "Vietnam-Korean workshop on selected topics in Mathematics", Đà Nẵng, tháng 2 năm 2017. 16 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng ta ký hiệu (E, k · k) là một không gian Banach và 2E là họ các tập con của E . Ký hiệu P(E) = {A ∈ 2E : A 6= ∅}, Pb (E) = {A ∈ P(E) : A là tập bị chặn}, Pc (E) = {A ∈ P(E) : A là tập đóng}, Kv(E) = {A ∈ P(E) : A là tập lồi và compact}, BE [a, r] = {x ∈ E : kx − ak ≤ r}. 1.1. CÁC KHÔNG GIAN HÀM Cho Ω là một tập con đo được và bị chặn trong Rn . Trong luận án, các không gian hàm sau (xem [7]) được sử dụng. • Lp (Ω), 1 ≤ p < +∞, là không gian bao gồm tất cả các hàm khả tích Lebesgue bậc p trên Ω. Chuẩn trên Lp (Ω) được định nghĩa như sau: kukLp (Ω) := Z p |u(x)| dx 1/p . Ω • L∞ (Ω) là không gian bao gồm tất cả các hàm đo được và bị chặn hầu khắp nơi trên Ω với chuẩn kukL∞ (Ω) := ess sup |u(x)|. x∈Ω • Lploc (Ω), 1 ≤ p < +∞, là không gian các hàm khả tích Lebesgue địa phương bậc p trên Ω Lploc (Ω) := {f : f ∈ Lp (K) với mọi tập compact K ⊂ Ω}. Ngoài ra, ta sử dụng các không gian hàm phụ thuộc thời gian sau: • C([a, b]; E) là không gian bao gồm tất cả các hàm u : [a, b] → E liên tục, với chuẩn: kukC([a,b];E) = sup ku(t)kE . t∈[a,b] 17 • Lp (a, b; E) là không gian bao gồm tất cả các hàm u : [a, b] → E sao cho kukLp (a,b;E) := Z b 1/p ku(t)kpE dt < +∞. a • Cτ := C([−τ, 0]; E), với τ > 0 cho trước. Không pha sau đây được sử dụng trong Chương 3 và Chương 4, không gian loại này được giới thiệu trong [45]. Cho (B, | · |B ) là không gian tuyến tính có trang bị nửa chuẩn gồm các hàm từ (−∞, 0] vào E và giả sử các tiên đề (B1)-(B4) phát biểu dưới đây được thỏa mãn. Nếu v : (−∞, σ+T ] → E , ở đó σ ∈ R và T là số thực dương, là một hàm sao cho v|[σ,σ+T ] ∈ C([σ, σ + T ]; E) và vσ ∈ B với vσ (s) = v(σ + s) khi s ∈ (−∞, 0], thì ta có (B1) vt ∈ B với t ∈ [σ, σ + T ]; (B2) hàm t 7→ vt là liên tục trên [σ, σ + T ]; (B3) |vt |B ≤ K(t − σ) sup{kv(s)k : σ ≤ s ≤ t} + M (t − σ)|vσ |B với mỗi t ≥ σ , trong đó K, M : [0, +∞) → [0, +∞), K là hàm liên tục, M là hàm bị chặn địa phương và các hàm này độc lập với v ; (B4) tồn tại ` > 0 sao cho kφ(0)k ≤ `|φ|B , với mọi φ ∈ B . Một ví dụ điển hình cho không gian B là Cγ , được định nghĩa như sau Cγ = {φ ∈ C((−∞, 0]; E) sao cho lim eγθ φ(θ) tồn tại trong E}. θ→−∞ Nếu γ > 0 thì Cγ là không gian Banach với chuẩn xác định bởi |φ|γ = sup eγθ kφ(θ)k. θ≤0 Trong trường hợp này K(t) = 1, M (t) = e−γt , với mọi t ≥ 0. Một ví dụ quan trọng khác là không gian CLpg , được đưa ra sau đây: Giả sử 1 ≤ p < +∞, 0 ≤ r < +∞ và g : (−∞, −r] → R là một hàm đo được Borel và không âm trên (−∞, −r). Ký hiệu CLpg là lớp các hàm ϕ : (−∞, 0] → E sao cho ϕ liên tục trên [−r, 0] và g(·)kϕ(·)kp ∈ L1 (−∞, −r). Nửa chuẩn trên CLpg được xác định bởi h Z −r i p1 (1.1) |ϕ|CLpg = sup {kϕ(θ)k} + g(θ)kϕ(θ)kp dθ . −r≤θ≤0 −∞ 18 Giả sử rằng Z −r g(θ)dθ < +∞, với mọi s ∈ (−∞, −r) và (1.2) s g(s + θ) ≤ G(s)g(θ) với s ≤ 0 và θ ∈ (−∞, −r), (1.3) ở đó G : (−∞, 0] → R+ là bị chặn địa phương. Nếu có (1.2)-(1.3), thì CLpg thỏa mãn (B1)-(B4) với ` = 1 (xem [47]). Hơn nữa, ta có thể lấy  1 với 0 ≤ t ≤ r, hR i p1 (1.4) K(t) = −r  1+ với t > r; −t g(θ)dθ  hR i p1  1 −r  p}  max{1 + g(θ)dθ , G(−t) −r−t M (t) = h i p1 R −r 1    max{ −r−t g(θ)dθ , G(−t) p } với 0 ≤ t ≤ r, với t > r. (1.5) Một số ví dụ khác về không gian pha B được trình bày trong tài liệu tham khảo [43, 47]. Ký hiệu P là không gian B hoặc Cτ và J = [σ, T ], T > σ , σ ∈ R cố định. Khi đó, đặt Cφσ = {v ∈ C(J; E) : v(σ) = φσ (0), với hàm cho trước φσ ∈ P}, ta được Cφσ là không gian con đóng của không gian C(J; E) với chuẩn sup nên Cφσ là không gian Banach. 1.2. ĐỘ ĐO KHÔNG COMPACT VÀ CÁC ƯỚC LƯỢNG Trong mục này, chúng tôi trình bày khái niệm độ đo không compact và một số ước lượng liên quan (xem [2, 51]). Định nghĩa 1.1. Hàm β : Pb (E) → R+ được gọi là một độ đo không compact trong E nếu β(co Ω) = β(Ω) với mọi Ω ∈ Pb (E), trong đó co Ω là bao lồi đóng của Ω. Độ đo β được gọi là: (i) đơn điệu nếu Ω1 , Ω2 ∈ Pb (E), Ω1 ⊂ Ω2 kéo theo β(Ω1 ) ≤ β(Ω2 ); (ii) không suy biến nếu β({x} ∪ Ω) = β(Ω) với mỗi x ∈ E, Ω ∈ Pb (E);
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan