Tài liệu Dạy học giải toán chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng cho học sinh trung học phổ thông

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM –––––––––––––––––––––––– NGUYỄN NGỌC HOA DẠY HỌC GIẢI TOÁN CHỦ ĐỀ PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC THÁI NGUYÊN - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM –––––––––––––––––––––––– NGUYỄN NGỌC HOA DẠY HỌC GIẢI TOÁN CHỦ ĐỀ PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Lý luận và phƣơng pháp dạy học bộ môn Toán Mã số: 60.14.01.11 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Cán bộ hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Trần Trung THÁI NGUYÊN - 2017 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu riêng của tôi. Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chƣa từng đƣợc ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017 Tác giả luận văn Nguyễn Ngọc Hoa i LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành tới PGS.TS Trần Trung đã tận tình hƣớng dẫn em hoàn thành luận văn này. Em xin trân trọng cảm ơn: - Phòng đào tạo sau đại học trƣờng ĐHSP Thái Nguyên, Khoa Toán trƣờng ĐHSP Thái Nguyên. - Các thầy cô giáo ở trƣờng ĐHSP Thái Nguyên đã hƣớng dẫn em học tập trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. - Bạn bè và gia đình đã động viên em trong suốt quá trình học tập và làm luận văn. Dù đã rất cố gắng nhƣng luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, em mong nhận đƣợc sự góp ý chân thành của quý thầy, cô giáo và các bạn. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017 Tác giả luận văn Nguyễn Ngọc Hoa ii MỤC LỤC Lời cam đoan .................................................................................................................. i Lời cảm ơn .....................................................................................................................ii Mục lục ........................................................................................................................ iii Danh mục các chữ viết viết tắt trong luận văn ............................................................. iv Danh mục các bảng ........................................................................................................ v Danh mục các hình ....................................................................................................... vi MỞ ĐẦU .......................................................................................................................1 1. Lý do chọn đề tài .......................................................................................................1 2. Mục đích nghiên cứu .................................................................................................2 3. Đối tƣợng và khách thể nghiên cứu ...........................................................................2 4. Giả thuyết khoa học ...................................................................................................2 5. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................................3 6. Phƣơng pháp nghiên cứu ...........................................................................................3 7. Đóng góp của luận văn, kết quả đạt đƣợc..................................................................3 8. Cấu trúc của luận văn.................................................................................................3 Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN.......................................................4 1.1. Tổng quan lịch sử nghiên cứu vấn đề .....................................................................4 1.1.1. Lịch sử nghiên cứu năng lực toán học .................................................................4 1.1.2. Lịch sử hình thành Phƣơng pháp tọa độ ..............................................................5 1.2. Dạy học giải toán ....................................................................................................6 1.2.1. Vị trí chức năng của bài tập toán .........................................................................6 1.2.2. Phân loại bài tập toán.............................................................................................9 1.2.3. Phƣơng pháp tìm lời giải các bài toán ...............................................................10 1.2.4. Các yêu cầu của việc giải bài toán .....................................................................13 1.3. Năng lực và năng lực toán học .............................................................................14 1.3.1. Năng lực .............................................................................................................14 1.3.2. Năng lực toán học ..............................................................................................15 1.4. Năng lực giải toán của học sinh ............................................................................16 iii 1.4.1. Quan niệm về năng lực giải toán .......................................................................16 1.4.2. Một số thành tố năng lực giải toán của học sinh ...............................................18 1.4.3. Các yếu tố ảnh hƣởng đến năng lực giải toán của học sinh...............................30 1.5. Thực trạng bồi dƣỡng năng lực giải toán trong dạy học giải toán cho học sinh ở trƣờng Trung học phổ thông hiện nay ......................................................................34 1.6. Kết luận chƣơng 1 .................................................................................................35 Chƣơng 2: CÁC BIỆN PHÁP SƢ PHẠM BỒI DƢỠNG NĂNG LỰC GIẢI TOÁN TRONG DẠY HỌC GIẢI TOÁN CHỦ ĐỀ PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG....36 2.1. Khái quát chủ đề Phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng ở trƣờng Trung học phổ thông .....................................................................................................................36 2.1.1. Vị trí và mục tiêu dạy học nội dung chủ đề Phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng ở trƣờng Trung học phổ thông ..........................................................................36 2.1.2. Yêu cầu về kiến thức, kỹ năng của chủ đề Phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng trong chƣơng trình môn Toán Trung học phổ thông ........................................36 2.1.3. Nội dung chủ đề Phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng ở trƣờng Trung học phổ thông .....................................................................................................................39 2.1.4. Đặc điểm dạy học chủ đề Phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng ở trƣờng Trung học phổ thông ....................................................................................................41 2.2. Định hƣớng đề xuất các biện pháp sƣ phạm bồi dƣỡng năng lực giải toán trong dạy học giải toán chủ đề Phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng ........................46 2.3. Các biện pháp sƣ phạm bồi dƣỡng năng lực giải toán trong dạy học giải toán chủ đề Phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng ..............................................................48 2.3.1. Biện pháp 1: Rèn luyện cho học sinh kỹ năng thực hiện lƣợc đồ G.Polya trong giải toán các bài toán về tọa độ trong mặt phẳng ...............................................48 2.3.2. Biện pháp 2: Rèn luyện cho học sinh giải toán các bài toán tọa độ trong mặt phẳng bằng nhiều cách khác nhau ........................................................................59 2.3.3. Biện pháp 3: Bồi dƣỡng cho học sinh khả năng chuyển đổi các bài toán đại số sang bài toán tọa độ trong mặt phẳng thông qua hoạt động biến đổi đối tƣợng để nhận thức mối liên hệ ẩn chứa trong bài toán .........................................................80 iv 2.3.4. Biện pháp 4: Rèn luyện kỹ năng tọa độ hóa để giải các bài toàn hình học .......85 2.4. Kết luận chƣơng 2 .................................................................................................94 Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM .................................................................95 3.1. Mục đích, nội dung thực nghiệm sƣ phạm ...........................................................95 3.1.1. Mục đích của thực nghiệm sƣ phạm ..................................................................95 3.1.2. Nội dung của thực nghiệm sƣ phạm ..................................................................95 3.2. Tổ chức thực nghiệm ............................................................................................95 3.2.1. Đối tƣợng và địa bàn thực nghiệm ....................................................................95 3.2.2. Kế hoạch thực nghiệm .......................................................................................95 3.2.3. Đề kiểm tra thực nghiệm ...................................................................................96 3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm ..............................................................................96 3.4. Kết luận chƣơng 3 .................................................................................................98 KẾT LUẬN .................................................................................................................99 TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................................100 PHỤ LỤC v DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN Viết tắt Viết đầy đủ [!] : Dự kiến câu trả lời của học sinh [?] : Câu hỏi gợi ý của giáo viên DH : Dạy học GV : Giáo viên HĐ : Hoạt động HS : Học sinh PPTĐ : Phƣơng pháp tọa độ Pttq : Phƣơng trình tổng quát THPT : Trung học phổ thông Tr : Trang Vtcp : vec-tơ chỉ phƣơng Vtpt : vec-tơ pháp tuyến iv DANH MỤC BẢNG Bảng 1.1: Bảng khảo sát thực trạng DH giải toán .......................................................34 Bảng 3.1: Bảng phân phối tần suất điểm của bài kiểm tra ..........................................97 Bảng 3.2: Bảng phân phối tần suất điểm tính theo % ..................................................97 v DANH MỤC CÁC HÌNH Hình 1.1 .......................................................................................................................19 Hình 1.2 .......................................................................................................................21 Hình 1.3 .......................................................................................................................23 Hình 1.4 .......................................................................................................................25 Hình 2.1 .....................................................................................................................43 Hình 2.2 ......................................................................................................................43 Hình 2.3 .......................................................................................................................43 Hình 2.4 .......................................................................................................................51 Hình 2.5 .......................................................................................................................52 Hình 2.6 .......................................................................................................................54 Hình 2.7 .......................................................................................................................55 Hình 2.8 .......................................................................................................................57 Hình 2.9 .......................................................................................................................58 Hình 2.10 .....................................................................................................................60 Hình 2.11 .....................................................................................................................62 Hình 2.12 .....................................................................................................................63 Hình 2.13 .....................................................................................................................64 Hình 2.14 .....................................................................................................................65 Hình 2.15 .....................................................................................................................66 Hình 2.16 .....................................................................................................................67 Hình 2.17 .....................................................................................................................68 Hình 2.18 .....................................................................................................................70 Hình 2.19 .....................................................................................................................71 Hình 2.20 .....................................................................................................................72 Hình 2.21 .....................................................................................................................72 Hình 2.22 .....................................................................................................................73 Hình 2.23 .....................................................................................................................74 Hình 2.24 .....................................................................................................................75 vi Hình 2.25 .....................................................................................................................76 Hình 2.26 .....................................................................................................................76 Hình 2.27 .....................................................................................................................77 Hình 2.28 .....................................................................................................................78 Hình 2.29 .....................................................................................................................78 Hình 2.30 .....................................................................................................................79 Hình 2.31 .....................................................................................................................82 Hình 2.32 .....................................................................................................................86 Hình 2.33 .....................................................................................................................87 Hình 2.34 .....................................................................................................................88 Hình 2.35 .....................................................................................................................90 Hình 2.36 .....................................................................................................................91 Hình 2.37 .....................................................................................................................93 Hình 3.1: Biểu đồ phân phối tần suất điểm tính theo % ..............................................97 vii MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Giáo dục Việt Nam đang tiến hành đổi mới căn bản, toàn diện từ mục tiêu giáo dục, nội dung đến phƣơng pháp, phƣơng tiện DH. Nâng cao chất lƣợng DH nói chung, chất lƣợng DH môn Toán nói riêng đang là một yêu cầu cấp bách đối với ngành giáo dục nƣớc ta hiện nay GV phải thiết kế các HĐ, tổ chức DH một cách thuận lợi đồng thời giúp HS nắm bắt, vận dụng đƣợc kiến thức trong thời gian ngắn nhất vào thực tiễn một cách có hiệu quả và do vậy đặt ra những yêu cầu cấp thiết trong việc nâng cao chất lƣợng và hiệu quả giảng dạy. Trong đó phƣơng pháp giảng dạy là một trong những yếu tố quyết định để GV và HS hoàn thành nhiệm vụ dạy và học của mình, nhằm đáp ứng những thay đổi nhanh chóng của khoa học, công nghệ, truyền thông. Toán học có liên quan chặt chẽ với thực tế và có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản xuất và đời sống xã hội hiện đại, nó thúc đẩy mạnh mẽ các quá trình tự động hóa sản xuất, trở thành công cụ thiết yếu cho mọi ngành khoa học và đƣợc coi là chìa khóa của sự phát triển. DH giải toán có vai trò quan trọng trong việc phát triển khả năng tƣ duy của HS, vì để giải bài toán HS phải suy luận phải tƣ duy, phải liên hệ với các bài toán khác để tìm ra lời giải; phải biết huy động kiến thức, biết chuyển đổi ngôn ngữ, biến đổi đối tƣợng. Mối liên hệ, dấu hiệu trong bài toán chỉ có thể đƣợc phát hiện thông qua quá trình phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, so sánh... Nguồn gốc sức mạnh của Toán học là ở tính chất trừu tƣợng cao độ của nó. Nhờ trừu tƣợng hoá mà Toán học đi sâu vào bản chất của nhiều sự vật, hiện tƣợng và có ứng dụng rộng rãi. Nhờ có khái quát hoá, xét tƣơng tự mà khả năng suy đoán và tƣởng tƣợng của HS đƣợc phát triển, và có những suy đoán có thể rất táo bạo, có căn cứ dựa trên những quy tắc, kinh nghiệm qua việc rèn luyện các thao tác tƣ duy. Cũng qua thao tác khái quát hoá và trừu tƣợng hoá mà tƣ duy độc lập, tƣ duy sáng tạo, tƣ duy phê phán của HS cũng đƣợc hình thành và phát triển. Bởi qua các thao tác tƣ duy đó HS tự mình phát hiện vấn đề, tự mình xác định đƣợc phƣơng hƣớng, tìm ra cách giải quyết và cũng tự mình kiểm tra, hoàn thiện kết quả đạt đƣợc của bản thân cũng nhƣ những ý nghĩ và tƣ tƣởng của ngƣời khác. Một mặt các em cũng phát hiện ra đƣợc những vấn đề mới, tìm ra hƣớng đi mới, tạo ra kết quả mới. 1 Bài tập toán học là một công cụ cần thiết giúp HS thực hiện các HĐ toán học trong và ngoài giờ lên lớp. Đã có nhiều công trình nghiên cứu các chức năng của bài tập toán. Trong các chức năng đƣợc nói đến, chức năng DH, chức năng phát triển, chức năng kiểm tra và chức năng giáo dục đƣợc khai thác nhiều trong DH. Thực chất HĐ giải toán là HĐ trung tâm trong học tập môn toán của HS. Thông qua số lƣợng và chất lƣợng hoàn thành công việc giải toán về căn bản có thể đánh giá đƣợc trình độ nhận thức môn toán của ngƣời học. Chính vì lẽ đó, bài tập toán tham gia vào mọi khâu của quá trình DH môn toán. Chƣơng “Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” có vai trò quan trọng trong môn Toán ở trƣờng THPT, đây là một nội dung luôn gắn với HS trong suốt quá trình học tập cũng nhƣ trong nhiều bài toán thực tế. Đã có nhiều công trình nghiên cứu về việc DH giải toán cho HS nhƣng đây vẫn là vấn đề cần đƣợc tiếp tục nghiên cứu cả về phƣơng diện lý luận và triển khai trong thực tiễn DH, vì vậy với tất cả những lý do trên tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn này là: “Dạy học giải toán chủ đề Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng cho học sinh Trung học phổ thông”. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu một số vấn đề về cơ sở lí luận và thực tiễn về DH giải toán, năng lực giải toán PPTĐ trong mặt phẳng cho HS THPT. Đề xuất các biện pháp sƣ phạm trong DH giải toán PPTĐ nhằm bồi dƣỡng năng lực giải toán góp phần nâng cao chất lƣợng DH môn Toán ở trƣờng phổ thông. 3. Đối tƣợng và khách thể nghiên cứu - Đối tƣợng nghiên cứu: Quá trình DH giải toán PPTĐ trong mặt phẳng ở trƣờng THPT. - Khách thể nghiên cứu: Các biện pháp bồi dƣỡng năng lực giải toán trong DH giải toán chủ đề PPTĐ trong mặt phẳng cho HS ở trƣờng THPT. 4. Giả thuyết khoa học Nếu xây dựng đƣợc các biện pháp sƣ phạm và sử dụng các biện pháp trong DH giải toán nói chung cũng nhƣ bồi dƣỡng năng lực giải toán PPTĐ trong mặt phẳng nói riêng trong quá trình DH sẽ góp phần nâng cao chất lƣợng DH môn toán và đổi mới phƣơng pháp DH trong giai đoạn hiện nay. 2 5. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu cơ sở lí luận có liên quan đến vấn đề DH giải toán, năng lực giải toán cho HS. - Nghiên cứu về nội dung chủ đề PPTĐ trong mặt phẳng trong chƣơng trình toán THPT. - Điều tra, khảo sát để làm rõ cơ sở thực tiễn về vấn đề DH giải toán, bồi dƣỡng năng lực giải toán cho HS ở trƣờng THPT hiện nay. - Đề xuất các biện pháp sƣ phạm bồi dƣỡng năng lực giải toán trong DH giải toán chủ đề PPTĐ trong mặt phẳng cho HS THPT. - Tổ chức thực nghiệm sƣ phạm để đánh giá tính khả thi, hiệu quả của các biện pháp sƣ phạm đã đề xuất. 6. Phƣơng pháp nghiên cứu - Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu về các vấn đề liên quan đến đề tài của luận văn. - Phƣơng pháp nghiên cứu thực tiễn: Khảo sát thực trạng việc DH nội dung PPTĐ trong mặt phẳng cho HS ở trƣờng THPT qua các hình thức dự giờ, quan sát, điều tra. - Phƣơng pháp thực nghiệm sƣ phạm: Tổ chức thực nghiệm sƣ phạm và xử lý số liệu thống kê để đánh giá kết quả định tính, định lƣợng. 7. Đóng góp của luận văn, kết quả đạt đƣợc - Góp phần làm sáng tỏ một số thành tố năng lực giải toán của HS. - Làm rõ vị trí, chức năng của bài tập toán. - Đề xuất những định hƣớng và các biện pháp sƣ phạm trong quá trình DH giải toán chủ đề PPTĐ trong mặt phẳng nhằm góp phần bồi dƣỡng năng lực giải toán cho HS. 8. Cấu trúc của luận văn Ngoài phần Mở đầu và Kết luận cùng Phụ lục, nội dung luận văn gồm ba chƣơng nhƣ sau: Chƣơng 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn. Chƣơng 2: Các biện pháp sƣ phạm bồi dƣỡng năng lực giải toán trong DH giải toán chủ đề PPTĐ trong mặt phẳng cho HS THPT Chƣơng 3: Thực nghiệm sƣ phạm. 3 Chƣơng 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Tổng quan lịch sử nghiên cứu vấn đề 1.1.1. Lịch sử nghiên cứu năng lực toán học Nhà Toán học Pháp H. Poincaré là một trong những ngƣời đầu tiên đề xƣớng việc nghiên cứu cấu trúc năng lực toán học của HS. Ông công nhận có tính đặc thù của các năng lực sáng tạo Toán học và đã chỉ ra những thành phần quan trọng nhất của chúng là trực giác Toán học. Trong các bài của Viện sĩ B.V. Gơnheđencô (dẫn theo [16, tr.15 viết về giáo dục học ở trƣờng phổ thông, ông đƣa ra các yêu cầu đối với tƣ duy Toán học của HS là: Năng lực nhìn thấy sự không r ràng của quá trình suy luận, thấy đƣợc sự thiếu sót của những điều cần thiết trong chứng minh; Sự cô đọng; Sự chính xác của các kí hiệu; Phân chia r tiến trình suy luận; Thói quen lí lẽ đầy đủ về logic. A.N. Kôlmôgôrôv (dẫn theo [20, tr.18]) xem xét năng lực toán học trên cơ sở 3 thành tố có liên quan đến: Năng lực biến đổi thành thạo các biểu thức chữ phức tạp, năng lực tìm kiếm các phƣơng pháp xa lạ với các qui tắc thông thƣờng để giải phƣơng trình; Trí tƣởng tƣợng hình học hay “trực giác hình học”; Nghệ thuật suy luận lôgíc đƣợc phân nhỏ hợp lí, tuần tự. V. A. Cruchetxki (dẫn theo [20, tr.24]) lại nhìn nhận dƣới góc độ thu nhận và xử lí thông tin đã phân chia năng lực Toán học bao gồm các thành tố cơ bản là: - Thu nhận thông tin toán học: Năng lực tri giác hình thức hóa tài liệu Toán học, năng lực nắm cấu trúc hình thức của bài toán; - Chế biến thông tin Toán học: Năng lực tƣ duy lôgic trong lĩnh vực các quan hệ số lƣợng và hình dạng không gian, hệ thống kí hiệu số và dấu. Năng lực tƣ duy bằng các kí hiệu Toán học; Năng lực khái quát hóa nhanh chóng và rộng các đối tƣợng, quan hệ Toán học và phép toán; Năng lực rút gọn quá trình suy luận Toán học và hệ thống các phép toán tƣơng ứng. Năng lực tƣ duy bằng cấu trúc rút gọn; Tính linh hoạt trong quá trình tƣ duy trong HĐ Toán học; Năng lực nhanh chóng và dễ dàng sửa sai lại phƣơng hƣớng của tiến trình tƣ duy thuận sang tiến trình tƣ duy đảo (trong suy luận Toán học); 4 - Lƣu trữ thông tin toán học: Trí nhớ Toán học (trí nhớ khái quát về hệ thống Toán học; đặc điểm về loại; sơ đồ suy luận và chứng minh; phƣơng pháp giải Toán; nguyên tắc đƣờng lối giải Toán); - Thành phần tổng hợp khái quát: khuynh hƣớng Toán học của trí tuệ. Theo hƣớng bồi dƣỡng năng lực Toán học cho HS trung học cơ sở, Trần Đình Châu tập trung vào bốn yếu tố của nó trong DH Số học [3, tr.38]. Nghiên cứu rèn luyện năng lực giải Toán, Lê Thống Nhất đã đi theo hƣớng tìm hiểu, phân loại các sai lầm và biện pháp sửa chữa cho HS THPT [12]... Từ những nghiên cứu trên, có thể thấy: Năng lực Toán học là những đặc điểm tâm lí về HĐ trí tuệ của HS, giúp họ nắm vững và vận dụng tƣơng đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc, những kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo trong môn Toán. Năng lực Toán học đƣợc hình thành, phát triển, thể hiện thông qua (và gắn liền với) các HĐ của HS nhằm giải quyết những nhiệm vụ học tập trong môn Toán: xây dựng và vận dụng khái niệm, chứng minh và vận dụng định lí, giải bài toán,… 1.1.2. Lịch sử hình thành Phương pháp tọa độ Theo [17], từ xa xƣa những ngƣời Ai Cập và La Mã cổ đại đã sử dụng PPTĐ trong việc trắc địa. Tiếp đó, ngƣời Hy Lạp đã sử dụng PPTĐ trong việc vẽ bản đồ. Đến thế kỉ thứ XVII, Réné Descartes và Pierre de Fermat đã đồng thời cống hiến cho khoa học một phƣơng pháp mới mới đó là PPTĐ. PPTĐ là cơ sở cho hình học giải tích do hai ông xây dựng nên. Một điều nói thêm rằng, khi Desargues và Pascal mở ra một lĩnh vực mới là hình học xạ ảnh thì hình học xạ ảnh khác với hình học giải tích do các ông Fermat và Descartes phát minh ra. Sự khác biệt đƣợc thể hiện nhƣ sau, hình học xạ ảnh là một nhánh của hình học nói chung còn hình học giải tích lại là một phương pháp của hình học. Việc ứng dụng PPTĐ trong không gian ba chiều đƣợc thực hiện vào cuối thế kỉ XVII và trong thế kỉ XVIII do công rất lớn của Clairot và Euler. Vào thế kỉ thứ XIX, do sự phát triển nhƣ vũ bão của các ngành kĩ thuật, đặc biệt là vật lý, toán học đã có nhiều bƣớc tiến mới nhƣ các khái niệm về vectơ, tenxơ,… đã xuất hiện trong hình học. Wessel (1745 – 1818), J. R. Argent (1768 – 1822), C.F. Gauss (1777 – 1855) có các công trình về lý thuyết số phức đã thiết lập 5 mối liên hệ giữa các phép toán số học trên các số phức với các phép toán hình học trên các vectơ trong không gian hai chiều. Vào thế kỉ thứ XIX, các ông W.R. Hamilton, A.F. Mobiles đã sử dụng khái niệm vectơ để nghiên cứu không gian ba chiều và nhiều chiều. Cuối thế kỉ thứ XIX, đầu thế kỉ thứ XX, phép tính vectơ đƣợc phát triển và ứng dụng rộng rãi. Xuất hiện các ngành mới nhƣ đại số vectơ, giải tích vectơ, lý thuyết trƣờng, lý thuyết tổng quát về không gian nhiều chiều. Các lý thuyết này có ứng dụng rất lớn trong vật lý hiện đại, chẳng hạn nhƣ thuyết tƣơng đối của Albert Einstein. Nói tóm lại, sự ra đời của vectơ và tọa độ đã góp phần không nhỏ trong việc thúc đẩy sự phát triển của toán học và ứng dụng của toán học trong các bài toán thực tế. 1.2. Dạy học giải toán 1.2.1. Vị trí chức năng của bài tập toán Ở trƣờng phổ thông, dạy toán là dạy HĐ toán học. Đối với HS có thể xem việc giải toán là HĐ chủ yếu của HĐ toán học. Các bài toán ở trƣờng phổ thông là một phƣơng tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế đƣợc trong việc giúp HS nắm vững tri thức, phát triển tƣ duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn. Thông qua giải bài tập, HS phải thực hiện những HĐ nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lí, quy tắc hay phƣơng pháp, những HĐ Toán học phức hợp, những HĐ trí tuệ phổ biến trong Toán học, những HĐ trí tuệ chung và những HĐ ngôn ngữ. HĐ giải bài tập Toán học là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích DH. Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc giải bài tập Toán học có vai trò quyết định đối với chất lƣợng DH môn Toán. Trong thực tiễn, bài tập toán đƣợc sử dụng với nhiều dụng ý khác nhau. Mỗi bài tập có thể đƣợc dùng để tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để làm việc với nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra... Tất nhiên, việc giải một bài tập cụ thể thƣờng không chỉ nhằm vào một dụng ý đơn nhất nào đó mà thƣờng bao hàm những ý đồ nhiều mặt đã nêu. HĐ học của HS liên hệ mật thiết với mục tiêu, nội dung và PPDH. Vai trò của bài tập Toán học đƣợc thể hiện trên ba bình diện sau: Thứ nhất, trên bình diện mục tiêu DH, bài tập Toán học ở trƣờng phổ thông là giá mang những HĐ mà việc thực hiện các HĐ đó thể hiện mức độ đạt mục tiêu. 6 Mặt khác, những bài tập lại thể hiện những chức năng khác nhau hƣớng đến việc thực hiện các mục tiêu DH môn Toán, cụ thể là: - Hình thành, củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những khâu khác nhau của quá trình DH, kể cả khả năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn. - Phát triển năng lực trí tuệ: rèn luyện những HĐ tƣ duy, hình thành những phẩm chất trí tuệ. - Bồi dƣỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chất đạo đức của ngƣời lao động mới. Thứ hai, trên bình diện nội dung DH, những bài tập Toán học là giá mang HĐ liên hệ với những nội dung nhất định, một phƣơng tiện cài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã đƣợc trình bày trong phần lí thuyết. Thứ ba, trên bình diện phương pháp DH, bài tập Toán học là giá mang HĐ để ngƣời học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục tiêu DH khác. Khai thác tốt các bài tập nhƣ vậy sẽ góp phần tổ chức cho HS học tập trong HĐ và bằng HĐ tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo đƣợc thực hiện độc lập hoặc trong giao lƣu [8, tr.388]. Theo Vũ Dƣơng Thụy [9], bài tập có các chức năng sau:  Chức năng dạy học: GV có thể dùng bài tập toán để hình thành, củng cố cho HS những tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình DH. Ví dụ 1.1. Để hình thành cho HS khái niệm của dãy số, GV có thể cho HS giải bài tập sau: Cho dãy số ( ) . Biểu diễn ( a Em có nhận xét gì về khoảng cách từ ) trên trục số. đến 0 khi n lớn? b Bắt đầu từ số hạng nào của dãy số thì khoẳng cách từ đến 0 nhỏ hơn 0,01? 0,001? Bằng việc giải bài tập này HS sẽ nhận ra 2 điều: - Khi n càng lớn thì khoảng cách từ đến 0 càng nhỏ, tức là càng dần đến 0 khi n càng lớn. - Ta luôn tìm đƣợc số n để khoảng cách | | nhỏ hơn một số dƣơng tùy ý cho trƣớc. Trên cơ sở đó, GV dẫn dắt HS vào khái niệm của dãy số. 7  Chức năng giáo dục: HĐ giải bài tập toán giúp HS hình thành thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, niềm tin khám phá và phẩm chất đạo đức. Trong quá trình giải bài tập HS phải thƣờng xuyên sử dụng các quy tắc, định lí, mệnh đề logic,... Các em dần làm quen với luận chứng, luận cứ khao học và lối tƣ duy khoa học. Việc giải các bài tập liên môn nhƣ ứng dụng Toán học vào giải các bài toán vật lí, hóa học, sinh học, địa lí... đã cho thấy đƣợc tầm quan trọng và ý nghĩa của môn toán, học tốt môn toán là nền tảng để học tốt các môn khoa học tự nhiên khác. Cũng chính vẽ đẹp của các bài tập toán học và những ứng dụng thực tiễn của nó sẽ tạo nên niềm hứng thú, niềm tin và lòng say mê học tập. Ví dụ 1.2. Để nhấn mạnh tầm quan trọng của việc phân biệt các hình hộp, GV có thể cho tình huống nhƣ sau: Một công ty A đến kí hợp đồng để công ti B sản xuất các hình hộp bằng kim loại quí với ba kích thƣớc là a, b, c cho trƣớc. Nhƣng do hợp đồng không ghi rõ là hình hộp gì, nên để “dạy” cho bên A một bài học, bên B đã sản xuất những hình hộp rất dẹt với 3 kích thƣớc nhƣ đã kí kết. Bên B không dùng đƣợc những sản phẩm này nhƣng vẫn phải thanh lí hợp đồng. Thiệt hại này của cơ quan là do khái niệm “hình hộp” trong văn bản kí kết.  Chức năng phát triển: Thông qua HĐ giải bài tập HS đƣợc phát triển năng lực tƣ duy và các thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất của tƣ duy khoa học. Các HĐ thƣờng xuyên diễn ra trong DH giải toán là: phân tích, so sánh, tổng hợp, khái quát hóa, trừu tƣợng hóa... Trong khi DH, GV nên tạo điều kiện cho HS đƣợc rèn luyện các HĐ trí tuệ. Cho HS thực hiện các thao tác phân tích và tổng hợp, phân tích trong khi đi tìm lời giải và tổng hợp để trình bày lời giải. Việc tìm nhiều lời giải cho một bài toán và phân tích, so sánh để tìm ra lời giải hay nhất là một HĐ phát huy đƣợc năng lực tƣ duy của HS, đó là một HĐ rất đáng lƣu ý trong DH. Ví dụ 1.3. Khi giải bài toán: “Chứng minh rằng nếu đã tìm ra đƣợc nhiều cách giải. Sau đây là một số cách giải: *Cách 1: Đặt thì ( . Ta có : )( ) 8 thì ”, các em Dấu “=” xảy ra khi Xét hiệu: *Cách 2: Từ ( ) ( Do đó : *Cách 3: Ta có ( ) ) ( *Cách 4: Ta có ( )( ) ) ( ) hay ( ) (2). Cộng (1) với (2 ta đƣợc : *Cách 5 : Không mất tính tổng quát ta giả sử Từ đó : ( )( , ta có : ) *Cách 6 : Giả sử . Từ giả thiết và do nên ta có: (vô lý). Vậy Sở dĩ tìm được nhiều cách giải như vậy là vì các em biết khai thác giả thiết theo nhiều cách khác nhau, có nhiều cách “nhìn’ khác nhau.  Chức năng kiểm tra: Bài tập là phƣơng tiện tốt để đánh giá mức độ, chất lƣợng, kết quả giảng dạy và học tập, đánh giá khả năng độc lập học toán và trình độ phát triển của HS. 1.2.2. Phân loại bài tập toán Ngƣời ta có thể phân loại bài tập toán theo nhiều cách khác nhau tùy thuộc vào mục đích khai thác của nó. Theo tài liệu bồi dƣỡng GV, phân chia theo cấp độ kiến thức thì bài tập đƣợc phân thành ba loại: bài tập nhận biết, bài tập thông hiểu và bài tập vận dụng.  Bài tập nhận biết: là loại bài tập chỉ yêu cầu HS nhớ khái niệm, định nghĩa, định lí, hệ quả... là giải đƣợc. Ví dụ 1.4. Tìm tâm và bán kính của đƣờng tròn  Bài tập thông hiểu: là loại bài tập yêu cầu HS phải hiểu đƣợc ý nghĩa, kí hiệu toán học trong định nghĩa, định lí, quy tắc, công thức mới giải đƣợc. Ví dụ 1.5. Viết phƣơng trình chính tắc của elip (E có tiêu điểm trùng với tiêu điểm của Hypebol (H): và ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của (H . 9