Tài liệu đề thi học sinh giỏi toán 7

phßng GD vµ §T phï yªn Trêng THCS Vâ ThÞ S¸u §Ò thi chän häc sinh giái cÊp trêng líp 7- n¨m häc 2010- 2011 M«n: To¸n §Ò dù bÞ Thêi gian: 120 phót (Kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) Bµi 1: Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 1 1 1 1 0,125     0, 2 5 7  2 3 A= 3 3 3 3 0,375    0,5  5 7 4 10 1 1 1 1    ....  100 B= 2 3 4 99 98 97 1    ....  1 2 3 99 Bµi 2: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc sau khi x thay ®æi: B = x  2  3 x Bµi 3: Chøng minh r»ng: a) 106 - 57 chia hÕt cho 59 b) 3135. 229 - 3136. 36 chia hÕt cho 7 Bµi 4: T×m c¸c sè h÷u tØ d¬ng x, y, z biÕt: 1 x  1 1 y 1 z 1 2 1 3 Bµi 5: Cho tam gi¸c c©n ABC cã AB = AC. Trªn tia ®èi cña c¸c tia BA vµ CA lÊy hai ®iÓm D vµ E, sao cho BD = CE a) Chøng minh DE // BC b) Tõ D kÎ DM vu«ng gãc víi BC, tõ E kÎ EN vu«ng gãc víi BC. Chøng minh DM = EN c) Chøng minh tam gi¸c AMN lµ tam gi¸c c©n. d) Tõ B vµ C kÎ c¸c ®êng vu«ng gãc víi AM vµ AN chóng c¾t nhau t¹i I. Chøng minh AI lµ tia ph©n gi¸c chung cña 2 gãc BAC vµ MAN phßng GD vµ §T phï yªn Trêng THCS Vâ ThÞ S¸u k× thi chän häc sinh giái cÊp trêng líp 7- n¨m häc 2010- 2011 M«n: To¸n §¸p ¸n vµ thang ®iÓm Bµi C¸ch gi¶i §iÓm TP §iÓm toµn bµi A= = = = 1 2 1 1 1 1 0,125     0, 2 5 7  2 3 3 3 3 3 0,375    0,5  5 7 4 10 1 1 1 1 1 1     8 5 7  2 3 5 3 3 3 3 3 3     8 5 7 4 6 10 1 1 1  1 1 1 2      8 5 7   4 6 10  1 1 3  1 1 1  3    3    8 5 7   4 6 10  1 2  1 3 3 1 1 1 1    ....  100 B= 2 3 4 99 98 97 1    ....  1 2 3 99 1 1 1 1    ...  2 3 4 100 = 100  1 100  2 100  3 100  99    ...  1 2 3 99 1 1 1 1    ...  2 3 4 100 = 100 100 100 100   1 2 3 99      ...         ...   2 3 99   1 2 3 99   1 1 1 1 1    ...  2 3 4 100 = 1  1 1 100  100    ...    99 99  2 3 1 1 1 1    ...  = 2 3 14 1 1001   1  100    ...   99  2 3 1 1 1 1    ...  2 3 4 100 = 1 1  1 1 100    ...    99 100  2 3 1 = 100 Ta xÐt c¸c trêng hîp: + NÕu x < 2  x - 2 < 0 ; 3 - x > 0 Do ®ã: x  2  ( x  2) ; 3  x  3  x  B = - (x - 2) + 3 - x = -2x + 5 V× x < 2 nªn -x > -2. Do ®ã: B = -2x + 5 > (-2).2 + 5 Hay B > 1  B nhá nhÊt b»ng 2 + NÕu 2  x  3  x - 2  0 ; 3 - x  0  B = x - 2 + 3 - x = 1. 1 1 0,25 1 6 1 0,5 0,5 0,5 0,25 2,5 0,75 0,75 VËy B = 1 + NÕu x > 3  x - 2 > 0 ; 3 - x < 0  B = x - 2 - (3 - x) = 2x - 5 V× x > 3 nªn B = 2x - 5 > 2. 3 - 5 Hay B > 1. VËy B nhá nhÊt b»ng 2 Tõ 3 trêng hîp trªn ta ®îc B ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng 1 khi 0,75 0,25 2 x 3 3 a) 106 - 57 = (2.5)6 - 57 = 26.56 - 57 = 56.(26 - 5) = 56. 59 M59 b) 3135. 229 - 3136. 36 = 3135. 229 - 3136 (1 + 35) = 3135. 229 - 3136 - 3136. 35 = 3135. (229 - 313) - 3136. 35 = 3135. (-14) - 3136. 35 = 7. (-2. 3135 - 3136. 5) M7 0,5 1,5 1 BiÕn ®æi vÕ ph¶i thµnh d¹ng t¬ng tù vÕ tr¸i: 4 5 1 1 2 1 3  1 0,75 3 4 1 1 1 1      7 3 1 1 7 7 1 1 1 4 1 4 4 1 3 3 1 0,25 Suy ra x = 1 ; y = 1 ; z = 3 ABC: AB = AC; BD = CE GT (Dtia ®èi BA; Etia ®èi CA) a) DE // BC b) DMBC; ENBC. Chøng minh: DM = EN KL c)AMN c©n d) BHAM; CKAN; BH CK = I. Chøng minh: AI lµ tia ph©n gi¸c chung cña vµ 9 A M H B C K N I D E Chøng minh: a) Ta cã: AB = AC (gt) vµ BD = CE (gt)  AD = AE  ADE cã AD = AE nªn lµ tam gi¸c c©n. Hai tam gi¸c c©n ABC vµ ADE cã chung gãc ë ®Ønh A nªn c¸c gãc ë ®¸y b»ng nhau: �  � mµ � ; � ABC ADE lµ 2 gãc ®ång ABC ADE vÞ  DE // BC. b)  ABC c©n t¹i A: �  � ABC ACB � Mµ MBD  � (®èi ®Ønh) ABC � � NCE ACB (®èi ®Ønh)  � � MBD  NCE XÐt 2 tam gi¸c vu«ng DMB vµ ENC cã: � � MBD  NCE (CM trªn) BD = CE (gt) Nªn DMB = ENC (C¹nh huyÒn- gãc nhän)  DM = EN (2 c¹nh t¬ng øng) c) XÐt AMD vµ ANE cã: AD = AE (CM c©u a)) � ADM  � AEN (Do DMB = ENC : CM c©u b)) DM = EN (CM c©u b)) VËy AMD = ANE (c - g - c). 0,5 0,5 1 0,5 1 0,25 1 0,5 0,25 Suy ra: AM = AN. Tam gi¸c AMN c©n t¹i A. � � d) AMD = ANE (CM c©u c)) nªn HAB  KAC XÐt 2 tam gi¸c vu«ng: HAB vµ KAC cã: � � HAB  KAC AB = AC (gt) Nªn HAB = KAC (C¹nh huyÒn- gãc nhän)  AH = AK MÆt kh¸c: XÐt 2 tam gi¸c vu«ng AIH vµ AIK cã: AI: C¹nh chung AH = AK (CM trªn)  AHI  AKI (C¹nh huyÒn- c¹nh gãc vu«ng) � � Do ®ã: IAH  IAK � � � � L¹i cã: HAB  KAC nªn IAB  IAC � � VËy AI lµ tia ph©n gi¸c chung cña BAC vµ MAN 1 1 0,5 0,5 0,5