Tài liệu đề và đáp án thi học sinh giỏi toán 7 các năm

PHÒNG GD & ĐT DUY XUYÊN ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2007 - 2008 MÔN: TOÁN 7 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (1,5đ) 52.69.10  65.23.153 a/ Rút gọn: 2 8 5 .6 .10  2.68.103 b/ Biết 14 + 24 + 34 + ... + 94 + 104 = 25333 Tính tổng S = 24 + 44 + 64 + ... + 184 + 204 Bài 2: (2,0đ) x  2y x  2y  Cho tỉ lệ thức 22 14 x a/ Tính tỉ số y b/ Tìm x, y biết x2 + y2 = 82 Bài 3: (3,0đ) x2  y 2 a/ Cho M = 3x  2 x 1 N = (x + 1)2 + (y - 2 )2 + 2008 Tính giá trị của M tại x, y thỏa mãn N đạt giá trị nhỏ nhất 1 2 b/ Cho A = 2x4y2 – 7x3y5 ; B =  x4y2 + 2x3y5 ; C = 5x3y5 Chứng tỏ rằng trong ba biểu thức A, B, C có ít nhất một biểu thức luôn có giá trị không âm với mọi x, y. c/ Tìm x  N biết 2x+1 + 2x+4 + 2x+5 = 26.52 Bài 4: (2,5đ) Cho ABC cân tại A (AB > AC). M là trung điểm AC. Đường thẳng vuông góc với AC tại M cắt BC tại P. Trên tia đối tia AP lấy điểm Q sao cho AQ = BP. a/ Chứng minh rằng: +/ �  BAC APC � +/ PC = QC b/ ABC cần thêm điều kiện gì để CQ  CP Bài 5: (1,0đ) Cho ABC có � = 300. Dựng bên ngoài tam giác đều BCD. A Chứng minh: AD2 = AB2 + AC2 *=*=*=*=*= Hết =*=*=*=*=* PHÒNG GD & ĐT DUY XUYÊN ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2008 - 2009 MÔN: TOÁN 7 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (1,5đ) Thực hiện phép tính sau một cách hợp lí: 45.95  69.30 a/ 11 6  84.312 3 3 3  1,5  1  11 12  4 b/ 5 5 5 5 0, 625  0,5   2,5   11 12 3 4 0,375  0,3  Bài 2: (3,0đ) a/ Cho hai đa thức P(x) = x2 + 2mx + m2 và Q(x) = x2 – (2m + 1)x + m2. Tìm m biết P(3) = Q(-2) b/ Tìm giá trị lớn nhất của M = 2009 - x  7 - (2m + 4)2008 c/ Tìm x biết x  2  x  4  5 Bài 3: (2,5đ) 1 1 1 1    ab bc ca 7 a b c   Tính S = bc a c a b a/ Cho a + b + c = 2009 và b/ Tổng các lũy thừa bậc ba của 3 số là -1009. Biết tỉ số của số thứ nhất với số thứ 2 4 hai là , giữa số thứ nhất với số thứ ba là . Tìm 3 số đó. 3 9 Bài 4: (2,0đ) Cho ABC có � < 900. Trên nữa mặt phẳng bờ AC không chứa B vẽ tia Ax A vuông góc với AC và lấy trên tia đó điểm E sao cho AE = AC. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C vẽ tia Ay vuông góc với AB và lấy trên đó điểm D sao cho AD = AB. a/ Chứng minh DC = BE và DC  BE. b/ Gọi N là trung điểm của DE. Trên tia đối của tia NA lấy điểm M sao cho NA = NM. Chứng minh AB = ME và ABC = EMA Bài 5: (1,0đ) Cho ABC vuông tại A, một đường thẳng d cắt hai cạnh AB và AC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng CD2 – CB2 = ED2 – EB2. *=*=*=*=*= Hết =*=*=*=*=* ĐÁP ÁN & BIỂU ĐIỂM 1/ 1,0đ 2a/ 0,5đ 2b/ 0,5đ 2c/ 0,5đ 2d/ 0,5đ 3a/ 0,75 đ 3b/ 0,75 đ 4a/ 1,0đ 4b/ 1,0đ 4c/ 1,0đ 5/ 1,0đ 2 .3  4 .9 5 .7  255.492 212.35  212.34 510.73  510.7 4   12 6 12 5  9 3 9 3 3 (22.3)6  84.35 (125.7)3  59.143 2 .3  2 .3 5 .7  5 .2 .7 212.34.(3  1) 510.73.(1  7) 212.34.2 510.73.( 6) 1 10 7  12 5    9 3    2 .3 .(3  1) 59.73.(1  23 ) 212.35.4 5 .7 .9 6 3 2 12 5 6 2 10 3 0,25đ 0,75đ (x – 1)3 = -8  x – 1 = -2  x = -1. Vậy x = -1 9  7 x  5 x  3 . ĐK x  0,25đ 0,25đ 9  7 x  5 x  3 3  5 9  7 x  3  5 x 0,25đ 12 x  12  x  1     (TMĐK) vậy x = 1 hoặc x = 3 x  3  2x  6 x  0 x - 3 x = 0. ĐK x ≥ 0  x ( x  3)  0   (TMĐK) x  9 x y z x  y  z 48   4  x  20; y  16; z  12 12x = 15y = 20z     5 4 3 12 12 0,25đ 0,5đ 0,5đ Vì a  Z+  4a  1 (mod 3)  4a + 2  0 (mod 3) Mà 4a + 2  0 (mod 2)  4a + 2 M6 Khi đó ta có 4a + a + b = 4a + 2 + a + 1 + b + 2007 – 2010 M6 Vậy với a, b  Z+ sao cho a + 1 và b + 2007 M6 thì 4a + a + b M6 Từ 6x2 + 5y2 = 74  6x2 ≤ 74  x2 ≤ 74/6 mà x  Z  x{0; 1; 4; 9} Mặt khác ta có x2 + 1 = 75 – 5x2 – 5y2 M5  x2 = 4 hoặc x2 = 9 Nếu x2 = 4  y2 = 10 (loại vì y  Z) Nếu x2 = 9  y2 = 4  (x, y)  {(3, 2); (3; -2); (-3; 2); (-3; -2)} 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ a c ac ca ac a ca c    .  .  b d b  d d b b d b d b d ( a  c).a (c  a ).c a 2  ac c 2  ac   2    đpcm (b  d ).b (d  b).d b  bd d 2  bd x x x y y y Ta có x  y  z  t  x  y  z  x  y ; x  y  z  t  x  y  t  x  y z z z t t t   ;   x y  z t y  z t z t x y  z t x z t z t  x x y zt y   z t  M        x y zt  x y x y   z t z t  Hay 1 < M < 2. Vậy M có giá trị không phải là số tự nhiên Ta có AB + BM = AM = AN = AC – NC  AB + BM = AC – BM  2BM = AC – AB  BM = (b – c):2 H A AM = AB + BM  AM = (b + c):2 Qua M kẻ HK // BC (H  AB; K  CD) MA2 = MH2 + HA2 M MC2 = MK2 + KC2 D K 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ B 0,5đ 0,25đ C  MA2 + MC2 = MH2 + HA2 + MK2 + KC2 MB2 = MH2 + HB2 MD2 = MK2 + DK2  MB2 + MD2 = MH2 + HB2 + MK2 + DK2 Ta có AH = DK; HB = KC  MA2 + MC2 = MB2 + MD2 PHÒNG GD & ĐT DUY XUYÊN ĐỀ CHÍNH THỨC 0,25đ 0,25đ 0,25đ ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2009 - 2010 MÔN: TOÁN 7 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (1,0đ) Thực hiện phép tính sau: 212.35  46.9 2  2 .3 2 6  8 .3 4 5  510.73  255.492  125.7  3  59.143 Bài 2: (2,0đ) Tìm các số x, y, z biết. a/ (x – 1)3 = -8 b/ 9  7 x  5x  3 c/ x - 3 x = 0 d/ 12x = 15y = 20z và x + y + z = 48 Bài 3: (1,5đ) a/ Với a, b là các số nguyên dương sao cho a + 1 và b + 2007 chia hết cho 6. Chứng minh rằng: 4a + a + b chia hết cho 6. b/ Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 6x2 + 5y2 = 74 Bài 4: (2,0đ) a c a 2  ac b 2  bd a/ Cho  . Chứng minh rằng: 2  b d c  ac d 2  bd b/ Cho x, y, z, t  N. Chứng minh rằng: x y z t    M= có giá trị không phải là số tự nhiên. x y z x yt y zt zt  x Bài 5: (3,0đ) Cho ABC có góc A nhọn. Về phía ngoài ABC vẽ BAD vuông cân tại A, CAE vuông cân tại A. Chứng minh: a/ DC = BE; DC  BE b/ BD2 + CE2 = BC2 + DE2 c/ Đường thẳng qua A vuông góc với DE cắt BC tại K. Chứng minh K là trung điểm của BC. � Bài 6: (0,5đ) Cho ABC nhọn với BAC = 600. Chứng minh rằng: BC2 = AB2 + AC2 – AB.AC *=*=*=*=*= Hết =*=*=*=*=* ĐÁP ÁN & BIỂU ĐIỂM 1/ 1,0đ 2a/ 0,5đ 2b/ 0,5đ 2c/ 0,5đ 2d/ 0,5đ 3a/ 0,75 đ 3b/ 0,75 đ 4a/ 1,0đ 4b/ 1,0đ 5a/ 1,0đ 5b/ 1,0đ 2 .3  4 .9 5 .7  255.492 212.35  212.34 510.73  510.7 4   12 6 12 5  9 3 9 3 3 (22.3)6  84.35 (125.7)3  59.143 2 .3  2 .3 5 .7  5 .2 .7 212.34.(3  1) 510.73.(1  7) 212.34.2 510.73.( 6) 1 10 7  12 5    9 3    2 .3 .(3  1) 59.73.(1  23 ) 212.35.4 5 .7 .9 6 3 2 12 5 6 2 10 3 (x – 1)3 = -8  x – 1 = -2  x = -1. Vậy x = -1 9  7 x  5 x  3 . ĐK x  9  7 x  5 x  3 3  5 9  7 x  3  5 x 12 x  12  x  1     (TMĐK) vậy x = 1 hoặc x = 3 x  3  2x  6 x  0 x - 3 x = 0. ĐK x ≥ 0  x ( x  3)  0   (TMĐK) x  9 x y z x  y  z 48   4  x  20; y  16; z  12 12x = 15y = 20z     5 4 3 12 12 Vì a  Z+  4a  1 (mod 3)  4a + 2  0 (mod 3) Mà 4a + 2  0 (mod 2)  4a + 2 M6 Khi đó ta có 4a + a + b = 4a + 2 + a + 1 + b + 2007 – 2010 M6 Vậy với a, b  Z+ sao cho a + 1 và b + 2007 M6 thì 4a + a + b M6 Từ 6x2 + 5y2 = 74  6x2 ≤ 74  x2 ≤ 74/6 mà x  Z  x{0; 1; 4; 9} Mặt khác ta có x2 + 1 = 75 – 5x2 – 5y2 M5  x2 = 4 hoặc x2 = 9 Nếu x2 = 4  y2 = 10 (loại vì y  Z) Nếu x2 = 9  y2 = 4  (x, y)  {(3, 2); (3; -2); (-3; 2); (-3; -2)} a c ac ca ac a ca c    .  .  b d b  d d b b d b d b d ( a  c).a (c  a ).c a 2  ac c 2  ac   2    đpcm (b  d ).b (d  b).d b  bd d 2  bd x x x y y y Ta có x  y  z  t  x  y  z  x  y ; x  y  z  t  x  y  t  x  y z z z t t t   ;   x y  z t y  z t z t x y  z t x z t z t  x x y zt y   z t  M        x y zt  x y x y   z t z t  Hay 1 < M < 2. Vậy M có giá trị không phải là số tự nhiên CM được ABE = ADC (c.g.c)  DC = BE CM được DC  BE Viết được CE2 = ME2 + MC2; DB2 = MD2 + MB2 ; DE2 = MD2 + ME2; BC2 = MB2 + MC2  BD2 + CE2 = MD2 + MB2 + ME2 + MC2; BC2 + DE2 = MD2 + MB2 + ME2 + MC2 0,25đ 0,75đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 5c/ 1,0đ 5/  BD2 + CE2 = BC2 + DE2 Trên tia AK lấy điểm P sao cho AP = DE CM được ADE = CPA  CP = AD  CP = AB � � CM được P  BAK ; �  PCK ABK �  CPK = BAK (g.c.g)  BK = KC  đpcm E Hình vẽ: 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ D A M B C K P 6/ Hình vẽ A 600 H C B 6/ 0,5đ Kẻ BH  AC AB � ABH Vì BAC  600  �  300  AH  (1) 0,25đ 2 Áp dụng định lý Pitago ta có: AB2=AH2+BH2 và BC2 = BH2 + HC2  BC2 = AB2 – AH2 + HC2  BC2 = AB2 – AH2 + (AC – AH)2  BC2 = AB2 – AH2 + AC2 – 2AC.AH + AH2  BC2 = AB2 + AC2 – 2AC.AH (2) Từ (1) & (2)  đpcm 0,25đ PHÒNG GD & ĐT DUY XUYÊN ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2010 - 2011 MÔN: TOÁN 7 Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: (2đ) Thực hiện phép tính sau một cách hợp lí: 1 1 1 3 3 3 3      3 7 13 . 4 16 64 256  5 1/ A = 2 2 2 1 1 1 8   1   3 7 13 4 16 64 2.522  9.521 5.(3.715  19.714 ) 2/ B = : 2510 716  3.715 Câu 2: (3đ) a/ Tính giá trị của biểu thức M = (2x – 1)(2y – 1) biết x + y = 10 và xy = 16 b/ Tìm x, y để biểu thức N = (x + 2)2010 + y  1 - 10 đạt giá trị nhỏ nhất. 5 c/ Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c, xác định a, b, c biết f(-2) = 0; f(2) = 0 và a là số lớn hơn c ba đơn vị Câu 3: (1,5đ) Cho 4 số nguyên dương a, b, c, d trong đó b là trung bình cộng của a và c đồng thời 1 1 1 1  a c     . Chứng minh  c 2 b d  b d Câu 4: (2,5đ) Cho ABC (AB < AC), qua trung điểm D của cạnh BC vẽ đường thẳng vuông góc với đường phân giác trong của góc A, nó cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại M và N. Qua B vẽ đường thẳng Bx song song với AC, Bx cắt MN tại E. a/ Chứng minh AMN và BME là những tam giác cân. b/ Chứng minh BM = CN c/ Tính AM và BM theo b và c biết AC = b và AB = c. Câu 5: (1,0đ) Cho một điểm M bất kì trong hình chữ nhật ABCD. Chứng minh: MA2 + MC2 = MB2 + MD2 *=*=*=*=*= Hết =*=*=*=*=* ĐÁP ÁN & BIỂU ĐIỂM 1a/ 1,5đ 1b/ 1,5đ 3 1 1 1  1 1 1   1     3 7 13 . 4  4 16 64   5 A= 1 1 1 1 1 1 8   2    1   4 16 64  3 7 13  1 3 5  .  1 2 4 8 521  2.5  9  5.714  3.7  19  : 10 B= 715  7  3  52  0,5đ 0,5đ 0,5đ 1 7 0,5đ = 5 :  35 2a/ 1,0đ 2b/ 1,0đ 2c/ 1,0đ 3/ 1,5đ M = (2x – 1)(2y – 1) = 4xy – 2x – 2y + 1 = 4xy – 2(x + y) + 1 M = 45 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 1 5 Lí luận (x + 2)2010 ≥ 0; y   0 0,25đ 0,5đ  N ≥ -10. GTNN của N là -10 Tìm được x = -2; y = 1/5 Ta có f(-2) = 0  4a – 2b + c = 0 f(2) = 0  4a + 2b + c = 0 và a – c = 3 4b = 0  b = 0 Từ 8a + 2c = 0 và a – c = 3  a = 3/5 ; c = -12/5 Vì b là trung bình cộng của a và c  b = (a + c)/2  2b = a + c Từ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 1 1 1 1  1 1 b  d      .  2bd  c(b  d ) c 2  b d  c 2 bd 0,5đ 0,25đ Thay 2b = a + c, ta có (a + c)d = c(b + d)  ad = bc  4/ 2,5đ a c  b d AMN cân (đ/c vừa là p/g) � BE // AC  BEM  � ANM � � BME ANM (AMN cân tại A) � �  BEM  BME  BME cân tại B 0,5đ 0,25đ A 0,5đ N B M 4b/ 0,75 đ BED = CND (g.c.g)  BE = NC  BM = NC (= BE) D C E 0,5đ 0,25đ 4c/ 1,0đ 5/ 1,0đ Ta có AB + BM = AM = AN = AC – NC  AB + BM = AC – BM  2BM = AC – AB  BM = (b – c):2 AM = AB + BM  AM = (b + c):2 H A Qua M kẻ HK // BC (H  AB; K  CD) 2 2 2 MA = MH + HA MC2 = MK2 + KC2 M  MA2 + MC2 = MH2 + HA2 + MK2 + KC2 MB2 = MH2 + HB2 MD2 = MK2 + DK2 D K 2 2 2 2 2 2  MB + MD = MH + HB + MK + DK Ta có AH = DK; HB = KC  MA2 + MC2 = MB2 + MD2 0,5đ 0,5đ B 0,25đ C 0,25đ 0,25đ 0,25đ