Tài liệu đề và đáp án thi học sinh giỏi toán 7 lệ thuỷ

®Ò kiÓm tra m«n to¸n líp 7 PHßNG GD lÖ thuû Häc sinh giái - n¨m häc 2006 - 2007 (Thêi gian lµm bµi 120 phót) 1. (2,0 ®) T×m x biÕt: a) x3  125 b) x  x  1 c) x 2  x 2. (1,5 ®) Cho c¸c sè hò tØ: x a c ac ; ( a, b, c, d  � b > 0, d > 0). ; y ; z b d bd Chøng minh r»ng nÕu x < y th× x < z < y. 3. (1,5 ®) Cho bèn sè a, b, c, d sao cho a + b + c + d  0. BiÕt bc d c  d  a d a b a b c     k tÝnh gi¸ trÞ cña k. a b c d 4. (2,0 ®) C¶ ba vßi níc cïng ch¶y vµo mét bÓ. NÕu vßi thø nhÊt vµ vßi thø hai cïng ch¶y trong 6 giê th× ®Çy trong 5 giê th× ®Çy giê th× ®Çy 3 bÓ. NÕu vßi thø thø hai vµ vßi thø ba cïng ch¶y 5 7 bÓ. NÕu vßi thø thø ba vµ vßi thø nhÊt cïng ch¶y trong 9 12 3 bÓ. Hái nÕu c¶ ba vßi cïng ch¶y th× bao l©u bÓ sÏ ®Çy níc. 4 5. (3,0 ®) Cho tam gi¸c ABC, trung truyÕn AM. VÏ ra phÝa ngoµi cña tam gi¸c nµy c¸c tam gi¸c vu«ng c©n ë A lµ ABD vµ ACE. a) Trªn tia ®èi cña tia MA lÊy ®iÓm F sao cho MF = AM. Chøng minh gãc ABF b»ng gãc DAE. b) Chøng minh DE = 2AM. híng dÉn chÊm m«n to¸n líp 7 PHßNG GD lÖ thuû C©u 1.(2,0 ®) Häc sinh giái - n¨m häc 2006 - 2007 a) x3  125 x 3   5  x = -5 3 Néi dung §iÓm 0,5 b)Víi x  0 th× x = x + 1 kh«ng cã x tho· m·n. Víi x < 0 th× -x = x + 1 hay –x – x = 1 -2x = 1  x  2.(1,5 ®) 1 2 c)Víi x = 0 , ®¼ng thøc ®óng. Víi x  0, chia c¶ hai vÕ cho x, ta cã x = 1. VËy x= 0; x= 1. V× a c  nªn ad < bc (1). b d XÐt tÝch a(b + c) = ab + ad (2) b(a + c) = ba + bc (3) Tõ (1) , (2) vµ (3) suy ra a(b + c) < b(a + c) do ®ã a ac (4).  b bd ac c  (5). bd d a ac c KÕt hîp (4) vµ (5) ta ®îc   . b bd d T¬ng tù ta cã 3.(1,5 ®) 4.(2,0 ®) 0,5 0,75     0,75    0,25 0,5 Céng thªm 1 vµo mçi tØ sè ta cã: bcd cd a d a b a bc 1  1  1  1 a b c d bc d a cd  ab d abc a bc d    a b c d V× a + b + c + d  0 nªn a = b = c = d. 3a Suy ra k   3 . a 5 1 Trong 1 giê vßi 1 vµ vßi 2 ch¶y ®îc: : 6  (bÓ). 6 10 7 7 Trong 1 giê vßi 2 vµ vßi 3 ch¶y ®îc: : 5  (bÓ). 12 60 3 1 Trong 1 giê vßi 3 vµ vßi 1 ch¶y ®îc: : 9  (bÓ). 4 12 1 7 1 3 Trong 2 giê c¶ ba vßi ch¶y ®îc:    bÓ. 10 60 12 10 3 3 Trong 1 giê c¶ ba vßi ch¶y ®îc: : 2  bÓ. 10 20 NÕu c¶ ba vßi cïng ch¶y ®Çy bÓ sÏ mÊt thêi gian: 1: 5.(3,0 ®) 0,25 3 20 giê = 6 giê 40 phót.  20 3 §¸p sè: 6 giê 40 phót. -Gi¶ thiÕt, kÕt luËn, h×nh vÏ ®óng: 1,0 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 e 0,25 d a b 0,25 0,25 m c f a)C/m  AMC =  FMB (c-g-c) � �  CAM  BFM  AC // BF. Do ®ã �  BAC  1800 (1) ABF � � � � � Vµ DAE  BAC  1800 (Do DAB  EAC  1800 - GT) (2) So s¸nh (1) vµ (2) ta cã: �  DAE . ABF � b) C/m  ABF =  DAE (c-g-c)  AF = OE. Ta cã AF = 2AM nªn DE = 2AM 0,5 0,25 1,0 0,25 0,25 *Lu ý: +HS lµm c¸ch gi¶i kh¸c ®óng vÉn cho ®iÓm tèi ®a. +§iÓm sè toµn bµi lµm trßn ®Õn ch÷ sè thËp ph©n thø nhÊt.