Tài liệu định lí krein – rutman và các mở rộng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Thái Nguyên Khang ĐỊNH LÍ KREIN - RUTMAN VÀ CÁC MỞ RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Thái Nguyên Khang ĐỊNH LÍ KREIN - RUTMAN VÀ CÁC MỞ RỘNG Chuyên ngành : Toán Giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. LÊ XUÂN TRƯỜNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 MỤC LỤC MỞ ĐẦU ....................................................................................................................1 Chương 1. ĐỊNH LÍ KREIN - RUTMAN CHO ÁNH XẠ DƯƠNG MẠNH ......3 1.1. Không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón ....................................................3 1.1.1. Nón và thứ tự sinh bởi nón .....................................................................3 1.1.2. Nón chuẩn ..............................................................................................4 1.1.3. Nón chính qui .........................................................................................5 1.1.4. Nón sinh .................................................................................................6 1.1.5. Nón liên hợp ...........................................................................................8 1.2. Ánh xạ tuyến tính dương và sự tồn tại vectơ riêng dương ..............................9 1.2.1. Giá trị riêng và vectơ riêng ....................................................................9 1.2.2. Phổ của ánh xạ tuyến tính ......................................................................9 1.2.3. Ánh xạ tuyến tính dương. .....................................................................10 1.3. Định lí Krein – Rutman .................................................................................13 Chương 2. ĐỊNH LÍ KREIN –RUTMAN CHO ÁNH XẠ u 0 – DƯƠNG ..........18 2.1. Ánh xạ u 0 – dương .........................................................................................18 2.2. Định lí Krien–Rutman cho ánh xạ u 0 – dương ..............................................19 Chương 3. ĐỊNH LÍ KREIN-RUTMAN CHO ÁNH XẠ THUẦN NHẤT DƯƠNG .... 26 3.1. Ánh xạ thuần nhất dương và Bán kính phổ mở rộng .....................................26 3.2. Mở rộng của khái niệm dương mạnh .............................................................31 3.3. Ánh xạ e - dương ...........................................................................................35 KẾT LUẬN ..............................................................................................................38 TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................39 BẢNG KÝ HIỆU ∗ : Tập hợp các số tự nhiên khác 0  : Tập hợp các số thực 1+ : Tập hợp các số thực không âm  : Tập hợp các số phức C[a ,b] : Không gian các hàm liên tục trên [ a, b ] với chuẩn x = sup f (t) a ≤t ≤b X* : Tập các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian X L(X, X) : Không gian các hàm tuyến tính liên tục L1 (Ω) : Không gian các hàm khả tích trên Ω Lp (Ω= ) {f : Ω → ; f đo được và p : Chuẩn trên không gian Banach X B(a, ρ) : Hình cầu mở tâm a bán kính ρ B(a, ρ) : Hình cầu đóng tâm a bán kính ρ ∂ C : Tập tất cả các điểm biên của C i ∏µ 0 j =µ 0 . µ1 . µ 2 ... µi } f ∈ L1 (Ω) , với 1 ≤ p < ∞ 1 MỞ ĐẦU Lý thuyết phương trình trong không gian có thứ tự ra đời từ những năm 1940 trong công trình mở đầu của M.Krein và A.Rutman, được phát triển và hoàn thiện cho đến ngày nay. Nó tìm được những ứng dụng rộng rãi và có giá trị trong nhiều lĩnh vực của khoa học và xã hội như trong Lý thuyết phương trình vi phân, Vật lý, Y - sinh học, Kinh tế học . . . Định lý Krein - Rutman về giá trị riêng, vectơ riêng của ánh xạ tuyến tính dương mạnh là định lý được tìm ra sớm nhất về mặt lý thuyết cũng như về mặt ứng dụng của lý thuyết này. Định lí này là mở rộng các kết quả riêng quan trọng sau đây: - Định lí Perron, được tìm ra năm 1907, khẳng định rằng “ Nếu A là một ma trận vuông có các số hạng là dương thì : 1) Bán kính phổ r(A) của A là số dương. 2) r(A) là giá trị riêng đơn của A. 3) Nếu λ ≠ r(A) là một giá trị riêng của A thì λ < r(A) . 4) Vectơ riêng v của A ứng với giá trị riêng r(A) có các toạ độ dương. 5) v là vectơ riêng dương duy nhất của A ( chính xác tới một thừa số ). - Định lí Jentseh, được chứng minh năm 1912, mở rộng các kết quả trên cho toán tử tích phân ϕ  ∫a K(t,s) ϕ(s)ds với hạch K(t,s) . b Vì sự quan trọng của nó mà định lý Krein - Rutman được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu và tìm các ứng dụng mới cho đến gần đây. Do đó việc tìm hiểu về định lý này cùng các mở rộng của nó là đề tài có ý nghĩa cho các học viên cao học chuyên ngành Toán giải tích. Mục tiêu của luận văn là giới thiệu định lí Krien – Rutman ban đầu với phép chứng minh dựa vào phương pháp hệ động lực và một vài mở rộng của định lí này, trong đó có kết quả mới tìm ra gần đây. 2 Luận văn có 3 chương : Chương1. Trình bày định lý Krein – Rutman bằng phương pháp hệ động học. Chương2. Trình bày mở rộng định lý Krein – Rutman cho ánh xạ u 0 – dương. Chương3. Trình bày mở rộng định lý Krein – Rutman cho ánh xạ thuần nhất dương. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Lê Xuân Trường, Khoa Toán Thống Kê - Đại học Kinh tế TP.HCM. Tôi xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến thầy. Tôi biết ơn sâu sắc PGS.TS Nguyễn Bích Huy, Khoa Toán-Tin, trường Đại học Sư Phạm TP.HCM, về sự giúp đỡ tận tình và sự chỉ bảo vô cùng quý báu của Thầy cho tôi trong nghiên cứu khoa học. Tôi kính gởi đến Ban Giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin, Bộ môn Toán Giải tích và Phòng Sau Đại Học của trường Đại học Sư phạm TP.HCM đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình học tập và thực hiện luận văn, những lời cám ơn chân thành và trân trọng. Tôi kính gởi đến Ban Giám Hiệu, Ban chấp hành công đoàn trường, tổ Toán - Tin trường THPT Nguyễn Huệ - Lagi - Bình Thuận, nơi tôi đang công tác, đã tạo điều kiện thuận lợi về vật chất cũng như tinh thần để tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ của một học viên, những lời cảm ơn sâu sắc và trân trọng. Tôi thành thật cảm ơn các Anh chị đồng nghiệp và người thân của tôi đã giúp đỡ tôi về mọi mặt. Cảm ơn gia đình đã luôn là nguồn động viên to lớn cho tôi trong suốt quá trình học tập cũng như thực hiện luận văn này. Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2012 Thái Nguyên Khang 3 Chương 1. ĐỊNH LÍ KREIN - RUTMAN CHO ÁNH XẠ DƯƠNG MẠNH 1.1. Không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón 1.1.1. Nón và thứ tự sinh bởi nón Định nghĩa 1.1.1 Cho X là không gian Banach trên trường số thực  . a) Tập K ⊂ X được gọi là nón nếu thỏa các điều kiện sau: H 1 : K là tập đóng, K ≠ ∅ , H 2 : K + K ⊂ K , λ K ⊂ K , ∀λ ≥ 0, H 3 : K  (− K) = {θ}. b) Nếu K là nón thì thứ tự trong X sinh bởi K được định bởi: x ≤ y ⇔ y − x ∈K . Mỗi x ∈K \ {θ} gọi là dương. Ví dụ i) K= [0, + ∞ ) là nón trong  . = ii) K {(x1 , x 2 ): x1 ≥ 0, x 2 ≥ 0} là nón trong 2 . Mệnh đề 1.1.1 Giả sử “ ≤ ” là thứ tự sinh bởi nón. Khi đó: a) Nếu x ≤ y thì x + z ≤ y + z , λ x ≤ λy, với mọi z∈ X , với mọi λ ≥ 0 . b) Nếu x n ≤ y n với mọi n ∈* và= lim x n x= , lim y n y thì x ≤ y . n →∞ n →∞ c) Nếu {x n } là dãy tăng, hội tụ về x thì x n ≤ x, với mọi n∈* . Chứng minh a) Ta có: ● ( y + z ) − ( x + z ) = y − x ∈ K , với z ∈ X nên x + z ≤ y + z. ● λy − λx = λ (y − x)∈K , vôùi λ ≥ 0 neân λx ≤ λy . 4 b) Từ x n ≤ y n , với mọi n ∈* suy ra rằng y n − x n ∈ K . Do đó (y n − x n ) → (y − x) ∈ K ( do tính chất đóng của K ).Vậy x ≤ y . c) Giả sử { x n } tăng. Khi đó x n ≤ x n+m (m, n ∈ * ), cho m → ∞ , ta được: x n ≤ x, với mọi n ∈ * . 1.1.2. Nón chuẩn Định nghĩa 1.1.2 Nón K gọi là nón chuẩn nếu tồn tại N > 0 sao cho θ≤ x ≤ y thì  x  ≤ N  y  . Ví dụ: Nón K= {f ∈ C[ 0,1] } : f ≥ θ là nón chuẩn trong C [0,1] . Chứng minh Lấy f, g ∈ K thỏa điều kiện θ ≤ f  g ≤ hay với t ∈ [0 ,1], ta có 0 ≤ f(t) ≤ g(t) suy ra Sup f (t) ≤ Sup g(t) hay  f  ≤  g  . t∈[ 0,1] t∈[ 0,1] Vậy K là nón chuẩn với hằng số N = 1. Mệnh đề 1.1.2 Cho K là nón chuẩn trong X. Khi đó: a) Nếu u ≤ v thì đoạn 〈 u , v〉 := {x ∈ X : u ≤ x ≤ v} bị chặn theo chuẩn. b) Nếu x n ≤ yn ≤ z n , với mọi n ∈* và = lim x n n →∞ a, = lim z n n →∞ a thì lim y n = a . n →∞ c) Nếu {x n } đơn điệu và có dãy con hội tụ về a thì lim x n = a . n →∞ Chứng minh a) Với mọi x ∈ 〈 u, v〉 ta có θ≤ x − u ≤ v − u và K là nón chuẩn nên  x − u  ≤ N  u − v  suy ra  x  ≤  u  + N  u − v  . Vậy 〈 u, v〉 bị chặn theo chuẩn. b) Ta có: θ≤ y n − x n ≤ z n − x n , với mọi n ∈* và K là nón chuẩn nên  y n − x n  ≤ N  z n − x n  , với mọi n ∈* . Mà lim  z n − x n  = 0 nên n →∞ lim  y n − x n  = 0 . Do đó lim y n =lim[(y n − x n ) + x n ] =0 + a . Vậy lim y n = a . n →∞ n →∞ n →∞ n →∞ 5 c) Giả sử {x n } tăng và lim x n = a . Vì x n   ≤ x n (n ∈ * cố định, khi k đủ lớn) nên k →∞ k k x n ≤ a , với mọi n ∈* . Cho ε > 0, chọn k 0 để  x n − a  < k0 ε thì ta có N ∀n ≥ n k ⇒ a − x n ≤ a − x n ⇒  a − x n  ≤ N  a − x n  < ε . 0 K0 k0 Vậy lim x n = a . n →∞ 1.1.3. Nón chính qui Định nghĩa 1.1.3 Nón K gọi là nón chính qui nếu mọi dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ. Ví dụ 1) Trong C[a= ,K ,b ] {x: x(t) ≥ 0, ∀t ∈ [a, b]} không là chính qui.  t −a  Vì ta có dãy x n (t) =   giảm và bị chặn dưới nhưng không hội tụ.  b−a  n 2) Trong Lp (Ω), (1 ≤ p < ∞) nón K = {x ∈ Lp (Ω):x(t) ≥ 0, h.k.n} là chính qui. Chứng minh Xét dãy {x n } ⊂ Lp thoả x n ≤ x n +1 ≤ u ∈ Lp . Coi x n (t) ≤ x n +1 (t) ≤ u(t), với mọi t ∈ Ω . Đặt x 0 (t) lim x n (t), t ∈ Ω = n →∞ Ta có: x 0 ∈ Lp ( x n (t) đo được nên x 0 đo được, ∫ x 0p (t)dµ ≤ ∫ u p (t)dµ < ∞ ) Ω Ω 1/p   x n −= x 0  ∫ (x 0 (t) − x n (t)) p dµ  Ω  → 0 ( vì (x 0 (t) − x n (t)) đơn điệu và hội tụ h.k.n về 0 ). Mệnh đề 1.1.3 Nếu K là nón chính qui thì K là nón chuẩn. Chứng minh Giả sử trái lại K không là nón chuẩn, ta có: Với mọi n∈* , tồn tại x n , y n : θ≤ x n ≤ y n ,  x n  > n 2  y n  . 6 Đặt u n = Vì 1 xn yn thì θ≤ u n ≤ v n ,=  u n  1,  v n  < 2 . = , vn n  xn   xn  ∞ ∞ n =1 n =1 ∑  vn  < ∞ nên tồn tại v : = ∑ vn . Xét dãy S n : = u 1 + u 2 + . . . + u n , ta có : • Sn ≤ v1 + v2 + . . . + vn ≤ ∞ ∑v n =1 • Sn − Sn= −1 n = v ⇒ (S n ) n bị chặn trên. u n ≥ θ (do u n ∈ K ) ⇒ (S n ) n tăng. Vậy (S n ) n tăng, bị chặn trên mà K là nón chính qui nên (S n ) n hội tụ. Do đó lim u n = 0 mâu thuẫn với  u n  = 1 ( n∈* ). n →∞ 1.1.4. Nón sinh Định nghĩa 1.1.4 Nón K gọi là nón sinh nếu X= K − K hay với mọi x ∈ X , tồn tại u , v ∈ K sao cho x= u − v . Ví dụ a) Nón các hàm không âm trong C(K), LP là nón sinh. b) Nếu nón K có điểm trong u 0 thì ta có tồn tại r > 0 sao cho : − r  x u 0 ≤ x ≤ r x u 0 , với mọi x ∈ X và K là nón sinh. Chứng minh Ta có u 0 ∈intK nên tồn tại    ρ > 0 : u 0 + B(θ, ρ) ⊂ K . Do đó u0 ± 1 1 ρ ρ x ∈B(u 0 , ρ) ⊂ K ⇒ u 0 ± x ∈K , ∀x ≠ θ ⇒ −  x  u 0 ≤ x ≤  x  u 0 . ρ ρ x x Đặt r = 1 , ta được − r  x  u 0 ≤ x ≤ r  x  u 0 và x = ( x + r  x  x 0 ) − r  x  x 0 ∈K − K . ρ Vậy K là nón sinh. Mệnh đề 1.1.4 Nếu K là nón sinh thì tồn tại M > 0 sao cho với mọi x ∈ X , tồn tại u, v∈K : x= u − v,  u  ≤ M  x ,  v  ≤ M  x  . 7 Chứng minh i) Đặt C = K  B(0,1) − K   B(0,1) , ta chứng minh tồn tại r > 0: C ⊃ B ( θ , r). ∞ Ta có X = U nC . Thật vậy, do K là nón sinh nên với mọi x ∈X thì tồn tại u, v ∈ K n =1 sao cho x = u − v . Do đó x ∈ nC với n ≥ max {  u  ,  v  }. Do định lí Baire nên tồn tại n 0 , G mở, G ≠ ∅ sao cho n 0C ⊃ G . Do C lồi , đối xứng nên C ⊃ 1 1 1 1 C − C suy ra C ⊃ G − G (mở, chứa θ ). 2 2 2n 0 2n 0 Do đó tồn tại r > 0 sao cho B(θ, r) ⊂ C . r B ⊂ C ( B := B(0,1) ) . 2 ii) Ta chứng minh : n 1 r r Lấy a ∈ B , ta xây dựng dãy {x n } thoả x n ∈ n C, n ∈ * , a − ∑ x k < n +1 . 2 2 2 k =1 Thật vậy, vì r 1 r 1 B ⊂ n C nên ∀x ∈ n B, ∀ε > 0, ∃y ∈ n C : x − y < ε n 2 2 2 2 Ta có : r 1 r a ∈ B ⇒ ∃x1 ∈ C: a − x1 < 2 , 2 2 2 a∈ r 1 r B ⇒ ∃x 2 ∈ 2 C: (a − x1 ) − x 2 < 3 2 2 2 2 Tiếp tục quá trình trên ta được dãy {x n } có tính chất đã nêu. Do x n ∈ Đặt u = 1 1 nên tồn tại : . C x = u − v , u , v ≤ u , v ∈ K n n n n n n n 2n 2n ∞ ∞ u , v ∑v ∑= n = n 1= n 1 ∞ n ( ∑u n =1 < +∞ nên n ∞ ∑u n =1 n hội tụ và u tồn tại, tương tự v tồn tại ). Ta có : u, v∈ K, u , v ≤ 1 , n a − ∑ xk < k =1 r 2 n +1 ⇒a= ∞ ∑ xn = ∞ ∞ ∑ u n − ∑ vn = u − v ∈ C . Vậy = n 1= n 1= n 1 r B ⊂ C. 2 8 iii) Với mọi x ≠ θ , ta có ⇒ r x r r r x r = nên ∈ B(θ,1) = B(θ, ) ⊂ C 2 x 2 2 x 2 2 r x r x ∈ C ⇒ ∃u / , v / ∈ K ∩ B(θ,1) : = u / − v/ 2 x 2 x ⇒ ∃u, v ∈ K : x =u − v, u , v ≤ Vậy số M = 2 2 2 đó u = x , trong = x u/ , v x v/ . r r r 2 là số cần tìm. r 1.1.5. Nón liên hợp Định nghĩa 1.1.5 Cho X là không gian Banach có thứ tự sinh bởi nón K . Khi đó K* = {f ∈ X * : f (x) ≥ 0, ∀x ∈ K} gọi là nón liên hợp của K . Mệnh đề 1.1.5 a) x 0 ∈ K ⇔ f (x 0 ) ≥ 0, ∀f ∈ K * . Chứng minh ⇒) Theo định nghĩa K * ta có f (x) ≥ 0,f ∈ X* , ∀x ∈ K . Do x 0 ∈ K nên f (x 0 ) ≥ 0 , ∀f ∈ K * . ⇐) Giả sử trái lại f (x 0 ) ≥ 0 , ∀f ∈ K * nhưng x 0 ∉ K . Do định lí tách tập lồi nên tồn tại f ∈ X* : f (x 0 ) < f (x), với mọi x ∈ K . Cố định x ∈ K , ta có f (x 0 ) < f (tx), với 1 mọi t > 0 hay f (x) > f (x 0 ) . Cho t → ∞ ta có f (x) ≥ 0 hay f ∈ K * . Ta có t f (x 0 ) < f (t.θ) =0 , điều này mâu thuẫn với giả thiết f (x 0 ) ≥ 0 , ∀f ∈ K * . b) Cho x ∈ K \ {θ} , khi đó tồn tại x * ∈ K * sao cho x * (x) > 0 . c) Cho int K ≠ ∅ . Nếu x 0 ∈ int K thì x * (x o ) > 0 , với mọi x * ∈ K * \ {θ} , và trong trường hợp x o ∈ ∂K thì tồn tại x * ∈ K * \ {θ} sao cho x * (x o ) = 0 . 9 1.2. Ánh xạ tuyến tính dương và sự tồn tại vectơ riêng dương 1.2.1. Giá trị riêng và vectơ riêng Cho X là một không gian vectơ và ϕ : X → X là một toán tử tuyến tính. Số λ được gọi là giá trị riêng của ϕ nếu tồn tại x ∈ X , x ≠ θ sao cho ϕ(x) = λx. Vectơ x được gọi là vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ của ϕ . • Ứng với một giá trị riêng có vô số vectơ riêng. • Với mọi vectơ riêng x của ϕ , V = < x > là một không gian con bất biến một chiều của ϕ . 1.2.2. Phổ của ánh xạ tuyến tính Cho X là không gian Banach trên trường  , A là ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào X . Định nghĩa i) λ ∈  gọi là giá trị chính qui của A nếu A − λI là song ánh từ X vào X. Tập các giá trị chính quy của A ký hiệu ρ(A) , gọi là tập giải của A. ii) Tập σ(A) =  \ ρ(A) gọi là phổ của A. Như vậy : λ ∈ σ(A) ⇔ A − λI không đơn ánh hoặc A − λI không toàn ánh. Nếu A − λI không đơn ánh thì số λ gọi là giá trị riêng của A. Khi đó : ke r(A − λI) gọi là không gian riêng của A. Mỗi x ∈ ke r(A − λI) \ {θ} hay (Ax = λx, x ≠ θ) gọi là vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng λ . iii) Số r(A) = sup { λ : λ ∈ σ(A)} gọi là bán kính phổ của A, với A là ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào X . Định lí Bán kính phổ của A được tính bởi r(A) = lim n A n . n →∞ Định lí (Phổ của ánh xạ compact) Giả sử X là không gian Banach với dim X = ∞ và A là ánh xạ tuyến tính compact. Khi đó ta có: 10 1) 0 ∈ σ(A) . 2) Mỗi λ ∈ σ(A) \ {0} là một giá trị riêng. 3) Chỉ xảy ra một trong cá khả năng sau : - hoặc σ(A) = {0} - hoặc σ(A) \ {0} hữu hạn - hoặc là một dãy tiến về 0. 1.2.3. Ánh xạ tuyến tính dương. Định nghĩa Cho X là không gian Banach có thứ tự sinh bởi nón K . a) Một ánh xạ tuyến tính A : X → X gọi là dương nếu với mọi x ≥ θ thì A(x) ≥ θ hay A(K) ⊂ K . b) Nếu A tuyến tính, dương thì A tăng ( x ≤ y ⇒ A(x) ≤ A(y) ) . 1.2.4. Sự tồn tại vectơ riêng dương Bổ đề 1.2.4 Cho u 0 ∉ − K và x ∈ K . Khi đó, tồn tại số cực đại t x ≥ 0 sao cho x ≥ t x u 0 (cực đại theo nghĩa nếu t ≥ 0 cũng thoả x ≥ t u 0 thì t ≤ t x ). Chứng minh Đặt T = {t ≥ 0 : x ≥ tu 0 } . Ta chứng minh T ≠ ∅ , bị chặn trên , đóng. T ≠ ∅ . Thật vậy, ta có x ∈ K ⇒ x ≥ θ ⇒ x ≥ 0.u 0 ⇒ 0 ∈ T . T bị chặn trên. Thật vậy giả sử T không bị chặn trên. Khi đó tồn tại t n → +∞ : x ≥ t n u 0 ⇒ θ ≥ u 0 ⇒ u 0 ∈ − K (vô lý). Vậy có số t x = sup T . T đóng. Thật vậy, xét t n → t, t n ∈ T hay t n ≥ 0 và x ≥ t n u 0 , cho n → ∞ ta được : x ≥ tu 0 và t ≥ 0 nên t ∈ T . Do T đóng nên t x ∈ T hay x ≥ t x u 0 . Vậy t x là số cần tìm. 11 Định lí 1.2.4 Giả sử các điều kiện sau thoả i) A: X → X là ánh xạ tuyến tính dương, compact. ii) Tồn tại phần tử u 0 ∈ K − K, u 0 ∉ − K và số α > 0 , p ∈ * thoả mãn A p (u 0 ) ≥ αu 0 . Khi đó A có trong K vectơ riêng với giá trị riêng tương ứng λ≥ α. p Chứng minh Giả sử u 0 = v − w ; v, w ∈ K, v ≠ θ . Với mỗi n ∈ * , xét ánh xạ v n . A n : K  B(θ,1) → K  B(θ,1) định bởi A n (x) = v A(x) + n A(x) + Lấy (x k ) k ⊂ K ∩ B thì {A(x k )} có dãy con hội tụ. Vậy {A n (x k )} có dãy con hội tụ hay A n compact, và do đó theo định lí Schauder A n có điểm bất động tức là ∃x n ∈ K ∩ B(θ,1) : A n (x n ) = xn 1, = ⇒ ∃x n ∈ K, x n = λn A(x) + v v : A(x n ) + = λn x n . n n Ta chứng minh λ n ≥ α . p Ta có λ n x= A(x n ) + n u v v nên x n ≥ ≥ 0 (do u 0= v − w ) . λn n λn n n Gọi t n là số lớn nhất thoả x n ≥ t n u 0 thì t n ≥ Ta có x n ≥ 1 > 0 và t n > 0 λn n 1 1 A(x n ) nên x n ≥ p A p (x n ) (dùng qui nạp tác động A lên 2 vế nhiều λn λ n lần ) ⇒ x n ≥ t α 1 p t α A (t n u 0 ) ≥ n p u 0 ⇒ t n ≥ n p ( do tính cực đại của t n ). p λn λ λ n Vậy λ n ≥ α . p n 12 Chứng minh (λ n ) n bị chặn. Ta có λ n ≥ α nên (λ n ) n bị chặn dưới. p Mặt khác, ta có: = λn A(x) + v ≤ A + v , với mọi n ∈ * nên (λ n ) n bị chặn trên. n { } Vậy (λ n ) n bị chặn, do đó tồn tại λ n : λ n → λ ≥ α . p k k { } ⊂ {x } , Ta có (x n ) n bị chặn (vì x n = 1 ), mà A compact nên tồn tại x n k n lim x n , x 0 ∈ K, x= 1 và ta có A(x 0 ) = λx 0 A(x n ) → y . Do đó tồn tại x= 0 : 0 k →∞ k (do qua giới hạn đẳng thức A(x n ) + k k v = λ n x n ). nk k k Vậy A có trong K vectơ riêng với giá trị riêng tương ứng λ ≥ α . p 13 1.3. Định lí Krein – Rutman Định nghĩa Cho X là không gian Banach có thứ tự sinh bởi nón C , với int C ≠ ∅ , và T: X → X là một toán tử tuyến tính. T được gọi là dương mạnh đối với C nếu thoả mãn H 4 : T ( C \ {θ} ) ⊂ int C . Định nhĩa 1.3.1 Cho X là không gian Banach có thứ tự sinh bởi nón C, với int C ≠ ∅ , T: X → X toán tử tuyến tính dương mạnh và S : ∑+ → ∑+ cảm sinh bởi T trên ∑+ = ∑  C, ∑= 1 }= , Su { x∈X: x = ∑ + , trong đó Tu , u ∈ ∑+ . S xác định như trên gọi là hệ động Tu lực. Định nghĩa 1.3.2 ( ) ω(u) =   Si u gọi là tập ω − giới hạn của u. k >1 i > k Ta có kết quả sau : Nếu v ∈ ω(u) thì ta có tồn tại duy nhất dãy con i k , k = 1, 2,... sao cho limSi u = v . k k →∞ Định lí 1.3.3 (Krein – Rutman) Cho X là không gian Banach có thứ tự sinh bởi nón C , int C ≠ ∅ và cho T : X → X là toán tử tuyến tính compact và dương mạnh. Khi đó : i) Bán kính phổ ρ(T) của T là dương. ii) ρ(T) là một giá trị riêng đơn của T. iii) Nếu µ ≠ ρ(T) là giá trị riêng của T thì µ < ρ(T) . iv) Vectơ riêng v tương ứng với ρ(T) , có thể lấy trong int C . v) v là vectơ riêng duy nhất của T trong C, chính xác đến một thừa số. Chứng minh Để chứng minh định lí này, ta cần hai bổ đề sau 14 Bổ đề 1.3.4 Cho u ∈ ∑+ và ω(u) là tập ω − giới hạn của u tương ứng với hệ động lực S : ∑+ → ∑+ Tu , với u ∈ ∑+ . Tu được xác định bởi S(u) = (1.1) Khi đó ω(u) ≠ ∅ . Chứng minh Thật vậy, đặt = e1 u,= ei +1 S(ei ), i ≥ 1 . Giả sử e1 ,e 2 ,... là độc lập tuyến tính. Từ (1.1) ta có : Tei = µi ei +1 với µi =Tei . (a) Chứng minh µi không dần tới 0 khi i → ∞ . Đặt ε1 =e1 , ε 2 =µ1e 2 − ce1 , εi +1 =Tεi , i = 2,3,.... H 4 dẫn đến là e 2 ∈ int C , do đó khi c nhỏ thì ε 2 ∈ C và từ H 4 ta có εi ∈ C, i =1, 2,3,.... . Điều đó dẫn đến nếu α i , i = 1, 2,... là một dãy các số dương và chuổi ∑ α εi i i là hội tụ thì tổng v = ∑ i αi εi là trong C vì C đóng và thoả mãn H 2 . Xét đặc biệt chuỗi tương ứng với α i+ = (2c)1−i , α i− = (2i − 1)(2c)1−i , i= 1, 2,... với c > 0 đủ nhỏ . Từ định nghĩa của εi , nếu giả sử µ 0 = 1 thì  i   i −1  εi +1= T i −1 (µ1e 2 − ce1 )= T i e1 − c T i −1e1=  ∏ µ j  ei +1 − c  ∏ µ j  ei , i = 1, 2,...  0   0  n −1 n ∑ α ε= ∑ (α i i 1 1  i −1   n −1  − c α ) µ e + α i ∏ i j n  ∏ µ j  en i +1   0   0  i −1 và do đó 1 ∑α ε = 2 n + i i n −1 ∑ 1 1 n −1 ∏µj 0 (2c) e + i −1 i ∏µ (2c) n −1 i −1 n ∑ α−i εi =− 1 1 2 n −1 ∑ 1 ∏µ 0 (2c) j 0 en , n −1 j e + i −1 i (2n − 1) ∏ µ 0 (2c) n −1 j en 15 Từ những điều này, ta thấy rằng nếu lim µi =0 thì chuổi i →∞ ∞ ∞ ∑ α± ε là hội tụ và i i 1 ∞ ∑ α− ε = −∑ α+ ε ≠ θ mâu thuẫn với H3 . i i i i 1 1 b) Từ (a) ta có dãy con µi và một số µ > 0 mà µi ≥ µ . Vì T compact, (ei )i bị chặn k k { } (do e= 1,i = 1, 2,... ) nên tồn tại dãy con ei sao cho T(ei ) → z , khi k → ∞ . i k Nói riêng lim Tei = lim µi= k →∞ k →∞ k k Tei i limS = u lim = ei +1 lim= k →∞ k →∞ k →∞ Tei k k k k k z ≥ µ và do đó z z ⇒ ∈ ω(u) . z z Vậy ω(u) ≠ ∅ . Bổ đề 1.3.5 Cho u ∈∑ + và v ∈ ω (u) . Khi đó v là điểm cố định của S và do đó là một vectơ riêng của T . Chứng minh Theo cách định nghĩa v ∈ ω (u) ta có tồn tại duy nhất dãy con i k , k = 1, 2, . . . sao cho limSi u = v . (1.2) k k →∞ Nếu v ≠ Sv , khi đó u ≠ Su và H 3 dẫn đến là u, Su và v, Sv là các cặp vectơ độc lập tuyến tính. Áp dụng (1.2) và   T i u   Tv  Tv   Su  −1 lim T i  Tu T lim Sv =   = =      i i k →∞ k →∞ T u Tu Tu        T u      k k k k ta thu được limSi = u γ v γ , γ∈  , (1.3) k k →∞ trong đó uγ = cosγ u + sin γ Su ;  cosγ u + sin γ Su   Tv  sin γ Sv  Tu  . vγ =  Tv   cosγ v + sin γ Sv   Tu  cosγ v + 16 Đặt Γ = {γ : v γ ∈ C} . Γ là tập khác rỗng vì v 0 = v∈ C và Γ là tập đóng vì C đóng. Ta chứng minh Γ là tập mở hay với mọi σ∈Γ , tồn tại ε > 0: B(σ , ε) ⊂ Γ . Thật vậy, lấy σ∈ Γ khi đó H 4 đưa đến Sv σ ∈int C và do đó từ (1.3) ta có Si +1u σ ∈ int C khi k ≥ K đối với một số nguyên K nào đó. Nhưng khi đó H 4 kéo theo k Si K +1 u σ ∈ int C và do đó tồn tại ε > 0 thỏa Si K +1 u γ ∈ int C, với mọi γ∈(σ − ε, σ + ε) . Từ (1.3) và H 4 ta có v γ ∈ C, với mọi γ∈(σ − ε, σ + ε) nên γ∈Γ . Do đó B(σ , ε) ⊂ Γ . Vậy Γ là tập mở, mà Γ là tập đóng nên Γ = . Điều này có nghĩa v γ và v γ+π = − v γ cả hai đều nằm trong C mâu thuẫn với H 3 . □ Từ Bổ đề 1.3.4 và Bổ đề 1.3.5, ta có tồn tại v ∈ ∑ thỏa mãn Sv = v hay + Tv = Tv v . Do đó v là vectơ riêng của T tương ứng với giá trị riêng dương λ = Tv . Ngoài ra v ∈ int C (do H 4 ). 1 là một vectơ riêng của T tương ứng với giá trị riêng µ thực. Giả sử w ≠ v, w = Khi đó, nếu α, β là các số thực sao cho α + β ≠ 0 , ta có µ αv + β   w αv + β w  λ .  = n αv + β w  µ   αv + β   w λ n  Sn   (1.4) Chứng minh µ ≠ λ . Giả sử trái lại µ = λ , ta có αv + βw là một vectơ riêng của T. Chứng minh αv + βw ∈ ∂C cho một sự lựa chọn thích hợp của α, β . Thật vậy , ta có : v ∈ int C ⇒ ∃r > 0: B(v, r) ⊂ int C , mà v + rw − v = r nên v + rw ∈ int C ⇒ − v + r / w ∈ −C \ {0} (với r / = − r ) ⇒ − v + r / w ∉ C (do H 3 ). Xét f :  2 → X định bởi f (α, β) = αv + βw , ta có f liên tục, và tồn tại (α1 , β1 ): f (α1 , β1 ) ∈ int C , tồn tại (α 2 , β2 ): f (α 2 , β2 ) ∉ C ⇒ f (α 2 , β2 ) ∈ X \ C . Ta chứng minh tồn tại (α, β): f (α, β) ∈ ∂C .