Tài liệu định lý forelli đối với ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM THỊ LOAN ĐỊNH LÝ FORELLI ĐỐI VỚI ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH VÀO KHÔNG GIAN PHỨC Ngành: Toán giải tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Thị Tuyết Mai THÁI NGUYÊN - 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Thái nguyên, tháng 9 năm 2018 Người viết luận văn Phạm Thị Loan i LỜI CẢM ƠN Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của cô giáo T.S Nguyễn Thị Tuyết Mai. Nhân dịp này, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đối với cô. Em xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên cùng các thầy cô giáo đã tận tình giảng dạy chúng em suốt khóa học. Em chân thành cảm ơn gia đình, đồng nghiệp và bạn bè đã động viên khích lệ trong suốt quá trình hoàn thành, bảo vệ luận văn này. Thái Nguyên, tháng 9 năm 2018 Tác giả luận văn Phạm Thị Loan ii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN ................................................................................................... i LỜI CẢM ƠN ....................................................................................................... ii MỤC LỤC............................................................................................................ iii MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 1 Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .................................................................. 3 1.1 Hàm đa điều hòa dưới và tập đa cực ............................................................. 3 1.1.1 Hàm đa điều hòa dưới................................................................................. 3 1.2.2. Tập đa cực.................................................................................................. 4 1.2 Ánh xạ chỉnh hình.......................................................................................... 5 1.3 Không gian phức............................................................................................ 5 1.4. Không gian phức lồi chỉnh hình ................................................................... 7 1.5. Không gian phức có tính chất thác triển Hartogs ........................................ 7 1.6. Không gian K𝑎̈ hler phức .............................................................................. 9 1.6.1. Dạng Kä hler .............................................................................................. 9 1.6.2. Không gian Kä hler ................................................................................... 9 1.7 Không gian Stein ........................................................................................ 12 Chương 2: ĐỊNH LÝ FORELLI ĐỐI VỚI ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH VÀO KHÔNG GIAN PHỨC ....................................................................................... 16 2.1. Không gian phức có tính chất Forelli ......................................................... 16 2.2. Định lý Forelli đối với không gian phức kiểu Hartog ................................ 20 2.3. Định lý Forelli đối với đa tạp K𝑎̈ hler phức compact lồi chỉnh hình .......... 24 2.4. Định lý Forelli đối với đa tạp phức lồi chỉnh hình ..................................... 25 KẾT LUẬN ........................................................................................................ 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................. 32 iii MỞ ĐẦU Ánh xạ chỉnh hình vào các không gian phức từ lâu đã trở thành những hướng nghiên cứu quan trọng của giải tích phức. Hướng nghiên cứu này đã thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trên thế giới. Một số tác giả nổi tiếng như Đỗ Đức Thái, Nguyễn Thanh Vân, J. Sicial, Shiffman, T.Terada,... đã chứng minh được một số kết quả đẹp đẽ và sâu sắc về ánh xạ chỉnh hình vào các không gian phức. Những công trình đó đã thúc đẩy hướng nghiên cứu này phát triển mạnh mẽ. Ngày nay, nhiều nhà toán học trên thế giới vẫn quan tâm đến vấn đề trên bằng những cách tiếp cận khác nhau nhằm giải quyết được những bài toán cụ thể đặt ra trong lĩnh vực đó. Như chúng ta đã biết định lý cổ điển của Hartogs khẳng định rằng nếu một hàm giá trị phức 𝑓(𝑧1 , … , 𝑧𝑛 ) được xác định bởi 𝑧 = (𝑧1 , … , 𝑧𝑛 ) ∈ 𝑈 ⊂ ℂ𝑛 , (𝑛 ≥ 2) là hàm chỉnh hình tách, tức là chỉnh hình theo từng biến khi các biến khác nhau là cố định thì 𝑓 là chỉnh hình thực sự. Đây là một trong số những kết quả quan trọng của giải tích phức nhiều biến. Năm 1978, Forelli đã chứng minh được kết quả đáng chú ý sau đây: Nếu f là một hàm được xác định trong hình cầu đơn vị 𝔹𝑛 ⊂ ℂ𝑛 , chỉnh hình trên giao của 𝔹𝑛 với mỗi đường thẳng phức l đi qua điểm gốc và nếu f khả vi lớp 𝐶 ∞ trong lân cận của điểm gốc thì f chỉnh hình trong 𝔹𝑛 . Năm 2004 các tác giả Đỗ Đức Thái, Nguyễn Tài Thu, Phạm Ngọc Mai [14] đã nghiên cứu và đưa ra một số kết quả mở rộng của định lý Forelli đối với ánh xạ chỉnh hình vào các không gian phức. Mục đích của luận văn này là nghiên cứu trình bày lại một cách chi tiết, rõ ràng các kết quả nghiên cứu của Đỗ Đức Thái, Nguyễn Tài Thu, Phạm Ngọc Mai về định lý Forelli đối với ánh xạ chỉnh hình vào các không gian phức. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung của luận văn được trình bày trong 2 chương. 1 Trong chương 1 chúng tôi trình bày các kiến thức chuẩn bị để phục vụ cho việc trình bày nội dung chính của luận văn ở chương 2 bao gồm một số kiến thức cơ bản của giải tích phức như: ánh xạ chỉnh hình, không gian phức, không gian phức lồi chỉnh hình, không gian phức kiểu Hartogs, không gian K𝑎̈ hler phức, không gian Stein. Chương 2 là nội dung chính của luận văn. Trong chương này chúng tôi trình bày các định lý là mở rộng của định lý Forelli bao gồm.  Không gian phức có tính chất Forelli.  Định lý Forelli đối với không gian phức kiểu Hartogs.  Định lý Forelli đối với đa tạp K𝑎̈ hler phức compact lồi chỉnh hình.  Định lý Forelli đối với đa tạp phức lồi chỉnh hình. 2 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm đa điều hòa dưới và tập đa cực 1.1.1 Hàm đa điều hòa dưới Định nghĩa 1.1.1 [5] Giả sử D là một tập con mở trong ℝ𝑛 . Hàm 𝑢: 𝐷 → [−∞, ∞), 𝑢 ≠ −∞ trên mọi thành phần liên thông của D được gọi là điều hòa dưới trong D nếu u thỏa mãn hai điều kiện sau: i. Hàm u là nửa liên tục trên trong D, tức là tập {𝑧 ∈ 𝐷: 𝑢(𝑧) < 𝑠} là mở với mỗi số thực s. ii. Với mỗi tập con mở compact tương đối G của D, với mỗi hàm ℎ: 𝐺 → ℝ ̅ nếu 𝑢 ≤ ℎ trên 𝜕𝐺 thì 𝑢 ≤ ℎ trên G. điều hòa trong G và liên tục trên 𝐺: Định nghĩa 1.1.2 [5] Giả sử Ω là một tập con mở trong ℂ𝑛 . Hàm 𝜑: Ω → [−∞, ∞) được gọi là đa điều hòa dưới trong Ω nếu: i. 𝜑 là nửa liên tục trên trong Ω và 𝜑 ≠ −∞ trên mọi thành phần liên thông của Ω. ii. Với mỗi điểm 𝑧 0 ∈ Ω và mỗi đường thẳng phức 𝑙(𝜉) = 𝑧 0 + 𝑤. 𝜉 đi qua 𝑧0 (ở đó Ω ∈ ℂ𝑛 , 𝜉 ∈ ℂ), hạn chế 𝜑 lên đường thẳng này, tức là hàm 𝜑 ∘ 𝑙(𝜉) hoặc là điều hòa dưới ≡ −∞ trên mọi thành phần liên thông của tập mở {𝜉 ∈ ℂ: 𝑙(𝜉) ∈ Ω}. Ta có tiêu chuẩn đa điều hòa dưới như sau: Hàm 𝜑: Ω → [−∞, ∞) nửa liên tục trên trong miền Ω⊂ ℂ𝑛 là đa điều hòa dưới trong Ω khi và chỉ khi : với mỗi 𝑧0 ∈ Ω và mỗi 𝑤 ∈ ℂ𝑛 , tồn tại 𝑟0 = 𝑟0 (𝑧 0 , 𝑤) sao cho 𝜑(𝑧 0 ) ≤ 1 2𝜋 ∫ 𝜑(𝑧 0 2𝜋 0 + 𝑤𝑟𝑒 𝑖𝑡 )𝑑𝑡, với mọi 𝑟 < 𝑟0 . 3 Định nghĩa 1.1.3 Giả sử X là không gian phức. Một hàm đa điều hòa dưới trên X là hàm 𝜑: 𝑋 → [−∞, ∞) thỏa mãn : Với mỗi 𝑥 ∈ 𝑋 tồn tại lân cận 𝑈 của 𝑥 và một ánh xạ song chỉnh hình ℎ: 𝑈 → 𝑉, với 𝑉 là một không gian con phức đóng của một miền 𝐺 nào trong ℂ𝑛 , tồn tại một hàm đa điều hòa dưới 𝜑̃: 𝐺 → [−∞, ∞) sao cho 𝜑|𝑈 = 𝜑̃ ∘ ℎ. Để ý rằng định nghĩa trên không phụ thuộc vào việc chọn bản đồ địa phương. Formaess và Narasimha đã chứng minh rằng: Hàm nửa liên tục trên 𝜑: 𝑋 → [−∞, ∞) là đa điều hòa dưới khi và chỉ khi 𝜑 ∘ 𝑓 là điều hòa dưới hoặc 𝜑 ∘ 𝑓 ≡ −∞ với mọi ánh xạ chỉnh hình 𝑓: ∆→ 𝑋, trong đó ∆ là đĩa đơn vị mở trong ℂ. Ký hiệu PSH(X) là tập tất cả các hàm đa điều hòa dưới trên không gian phức X. 1.2.2. Tập đa cực Định nghĩa 1.2.2 Giả sử X là một không gian phức. Một tập 𝐸 ⊂ 𝑋 được gọi là đa cực (đa cực đầy) nếu với mỗi điểm 𝑎 ∈ 𝐸 tồn tại một lân cận 𝑉 của 𝑎 và một hàm đa điều hòa dưới 𝜑: 𝑉 → [−∞, ∞) sao cho 𝐸 ∩ 𝑉 ⊂ {𝑧 ∈ 𝑉: 𝜑(𝑧) = −∞} (𝐸 ∩ 𝑉 = {𝑧 ∈ 𝑉: 𝜑(𝑧) = −∞}). Định lý 1.2.2 (Định lý Josefson)[5] Nếu 𝐸 ⊂ ℂ𝑛 là tập đa cực thì tồn tại một hàm 𝑢 ∈ 𝑃𝑆𝐻(ℂ𝑛 ) sao cho 𝐸 ⊂ {𝑧 ∈ ℂ𝑛 : 𝑢(𝑧) = −∞}. Định lý này được mở rộng một cách tự nhiên lên các không gian Stein. Định lý 1.2.3 [5] Hợp đếm được của các tập đa cực là tập đa cực. 4 1.2 Ánh xạ chỉnh hình Định nghĩa 1.2.1 Giả sử X là một tập mở trong ℂn và 𝑓: 𝑋 → ℂ là một hàm số. Hàm f được gọi là khả vi phức tại 𝑥0 ∈ 𝑋 nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính λ: ℂn → ℂ sao cho |f(x0 + h) − f(x0 ) − λ(h)| = 0, |h|→0 |h| lim 1 trong đó ℎ = (ℎ1 , … , ℎ𝑛 ) ∈ ℂ và |ℎ| = (∑𝑛𝑖=1 |ℎ𝑖 |2 )2 ). 𝑛 Hàm f được gọi là chỉnh hình tại 𝑥0 ∈ 𝑋 nếu 𝑓 khả vi phức trong một lân cận nào đó của 𝑥0 . Hàm f được gọi là chỉnh hình trên X nếu f chỉnh hình tại mọi điểm thuộc X. Định nghĩa 1.2.2 Cho X là một tập mở trong ℂ𝑛 i. Một ánh xạ 𝑓: 𝑋 → ℂ𝑚 có thể viết dưới dạng 𝑓 = (𝑓1 , … , 𝑓𝑚 ), trong đó 𝑓𝑖 = 𝜋𝑖 ∘ 𝑓: 𝑋 → ℂ, 𝑖 = 1, … , 𝑚 là các hàm tọa độ. Khi đó 𝑓 được gọi là chỉnh hình trên 𝑋 nếu hàm 𝑓𝑖 chỉnh hình trên 𝑋 với mọi 𝑖 = 1, … , 𝑚. ii. Ánh xạ 𝑓: 𝑋 → 𝑓(𝑋) ⊂ ℂ𝑛 được gọi là song chỉnh hình nếu f là song ánh, chỉnh hình và 𝑓 −1 cũng là ánh xạ chỉnh hình. 1.3 Không gian phức Định nghĩa 1.3.1 Giả sử 𝑍 là đa tạp phức. Một không gian phức đóng 𝑋 là một tập con đóng của 𝑍 mà về mặt địa phương được xác định bởi hữu hạn các phương trình giải tích. Tức là, với 𝑥0 ∈ 𝑋 tồn tại một lân cận mở 𝑉 của x trong 𝑍 và hữu hạn các hàm chỉnh hình 𝜑1 , … , 𝜑𝑚 trên 𝑉 sao cho 𝑋 ∩ 𝑉 = {𝑥 ∈ 𝑉|𝜑𝑖 (𝑥) = 0, 𝑖 = 1,2, … , 𝑚}. 5 Định nghĩa 1.3.2 Giả sử X là một không gian phức trong đa tạp phức Z. - Một điểm 𝑎 ∈ 𝑋 được gọi là điểm chính quy của X nếu a có một lân cận U trong Z sao cho 𝑈 ∩ 𝑋 là đa tạp phức. Tập các điểm chính quy của X được kí hiệu là Xreg . - Một điểm 𝑎 ∈ 𝑋 được gọi là điểm kỳ dị của X nếu nó không là điểm chính quy. Tập các điểm kỳ dị của X được kí hiệu là 𝑋𝑠𝑖𝑛 . Định lý 1.3.1 Trong không gian phức X, tập các điểm chính quy 𝑋𝑟𝑒𝑔 là một đa tạp phức mở và tập các điểm kì dị 𝑋𝑠𝑖𝑛 là một không gian phức với 𝐼𝑛𝑡𝑋𝑠𝑖𝑛 = ∅. Định nghĩa 1.3.3 Giả sử X là một không gian con trong đa tạp phức 𝑍. Hàm 𝑓: 𝑋 → ℂ được gọi là chỉnh hình trên 𝑋 nếu với mỗi điểm 𝑥 ∈ 𝑋 tồn tại một lân cận 𝑈(𝑥) ⊂ 𝑍 và một hàm chỉnh hình 𝑓̂ trên 𝑈 sao cho 𝑓̂|𝑈∩𝑋 = 𝑓|𝑈∩𝑋 . Định nghĩa 1.3.4 Giả sử 𝑓: 𝑋 → 𝑌 là ánh xạ giữa hai không gian phức 𝑋 và 𝑌. 𝑓 được gọi là chỉnh hình nếu với mỗi hàm chỉnh hình 𝑔 trên một tập con mở 𝑉 của 𝑌, hàm hợp 𝑔 ∘ 𝑓 là hàm chỉnh hình trên 𝑓 −1 (𝑉). Kí hiệu Hol(X,Y) là tập các ánh xạ chỉnh hình từ 𝑋 vào 𝑌 được trang bị tô pô compact mở. Giả sử {𝑓𝑛 : 𝑋 → 𝑌} là dãy các ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian phức 𝑋, 𝑌. Nếu {𝑓𝑛 } hội tụ đều tới 𝑓 trong Hol(X,Y) thì 𝑓 là ánh xạ chỉnh hình. Định lý 1.3.2 (Định lý Hironaka về giải kỳ dị) Giả sử X là không gian phức. Khi đó, với mọi 𝑥 ∈ 𝑋 tồn tại lân cận mở U chứa x, tồn tại đa tạp giải tích M và ánh xạ chỉnh hình 𝜋: 𝑀 → 𝑈 lên U sao cho: i. 𝜋 là ánh xạ riêng. 6 Ngoài tập hợp các điểm kỳ dị S của X trong U thì 𝜋: 𝑀\𝜋 −1 (𝑆) → 𝑈\𝑆 ii. là ánh xạ song chỉnh hình. 1.4. Không gian phức lồi chỉnh hình Định nghĩa 1.4.1 Cho 𝑀 là không gian phức, 𝐾 là một tập compact trong 𝑀. Ký hiệu: ̂ = {𝑧 ∈ 𝑀: |𝑓(𝑧)| ≤ ‖𝑓‖𝐾 , với mọi hàm 𝑓 chỉnh hình trên 𝑀} 𝐾 ̂ được gọi là bao lồi chỉnh hình của 𝐾. 𝐾 Định nghĩa 1.4.2 Cho 𝑀 là không gian phức. Ta nói 𝑀 là không gian phức lồi chỉnh hình ̂ của 𝐾 là compact nếu với mọi tập compact 𝐾 trong 𝑀, bao lồi chỉnh hình 𝐾 trong 𝑀. Ví dụ 1.4.1 Mọi đa tạp lồi (hình học) trong ℂ𝑛 là không gian phức lồi chỉnh hình. Tính chất 1.4.1 1. Mọi đa tạp Stein là đa tạp lồi chỉnh hình. 2. Nếu M, N là các không gian lồi chỉnh hình thì 𝑀 × 𝑁 cũng là không gian lồi chỉnh hình. 3. Mọi không gian con phức của một không gian lồi chỉnh hình cũng là không gian lồi chỉnh hình. 1.5. Không gian phức có tính chất thác triển Hartogs [14] Định nghĩa 1.5.1 Cho r > 0 đặt ∆𝑟 = Δ(0,r) ={|𝑧| < 𝑟} ⊂ ℂ và Δ1 =Δ . Giả sử 𝑋 là một không gian phức chúng ta nói rằng 𝑋 có tính chất thác triển Hartogs (viết tắt X là (HEP)) nếu mọi ánh xạ chỉnh hình từ một miền Reimann 𝛺 trên một đa tạp Stein vào X đều có thể thác triển chỉnh hình tới 𝛺̂ là bao chỉnh hình của 𝛺. Kí hiệu H2(r) = {(𝑧1 , 𝑧2 ) ∈ ∆2 : |𝑧| < 𝑟 ℎ𝑜ặ𝑐 |𝑧| > 1 − 𝑟} (0 < r < 1). H2(r) là miền Hartogs 2 chiều. 7 Định lý 1.5.1 Không gian phức M có tính chất (HEP) khi và chỉ khi mọi ánh xạ chỉnh hình 𝑓: 𝐻2 (𝑟) → 𝑀 đều thác triển được thành ánh xạ chỉnh hình trên ∆2 . Ivashkovich và Shiffman đã chỉ ra rằng X có tính chất Hartogs nếu và chỉ nếu với mọi ánh xạ chỉnh hình f : H2(r)→X đều thác triển chỉnh hình trên Δ2. Lớp của các không gian phức có tính chất thác triển Hartogs là rất lớn. Fujimoto đã chứng tỏ rằng lớp của các không gian phức có tính chất thác triển Hartogs chứa lớp các không gian phức taut. Adachi, Suzuki và Yoshida đã chỉ ra rằng lớp này cũng chứa lớp các nhóm Lie phức. Shiffman cũng chứng minh được rằng lớp này chứa lớp các đa tạp phức Hecmit đầy với độ cong tiết diện chỉnh hình không dương. Đặc biệt, Ivaskovich đã chứng tỏ rằng một đa tạp K𝑎̈ hler phức lồi chỉnh hình có tính chất thác triển Hartogs nếu và chỉ nếu nó không chứa các đường cong hữu tỉ. Đỗ Đức Thái đã tổng quát hóa kết quả này của Ivaskovich đối với không gian K𝑎̈ hler phức lồi chỉnh hình. Định nghĩa 1.5.2 Giả sử M là một không gian phức. i) Một tập con mở A của M được gọi là kiểu Hartogs (kiểu H) nếu tồn tại một ánh xạ song chỉnh hình từ A vào tập con giải tích của một không gian phức có tính chất thác triển Hartogs. ii) Không gian M được gọi là không gian kiểu Hartogs nếu với mỗi p ∈ M tồn tại một lân cận Wp của p với rp >0 và một lân cận Sp của p kiểu (H). Sao cho với mỗi f ∈ Hol(Δ,M), nếu f(0)∈ Wp thì f(𝐴𝑟𝑝 ) ⊂ Sp. Lớp các không gian phức kiểu Hartogs là rộng hơn lớp không gian phức có tính chất thác triển Hartogs. Dễ thấy nó chứa các lớp các không gian phức có tính chất thác triển Hartogs và các không gian phức hyperbolic. 8 Tính chất 1.5.1 1. Nếu M, N là các không gian phức kiểu Hartogs thì M  N cũng là không gian phức kiểu Hartogs. 2. Mọi không gian phức con của một không gian phức kiểu Hartogs cũng là kiểu Hartogs. 1.6. Không gian K𝒂̈ hler phức 1.6.1. Dạng K𝒂̈ 𝒉𝒍𝒆𝒓[3] Định nghĩa 1.6.1. Giả sử 𝑋 là một không gian phức tổng quát, χ là một 𝐶 ∞ (𝑞, 𝑞)-dạng thực trên 𝑋. i) χ được gọi là 𝐶 ∞ (𝑞, 𝑞) - dạng dương nếu tồn tại một phủ mở 𝒰= {𝑈𝛼 } của X mà với mỗi α, phép nhúng 𝑗𝛼 : 𝑈𝛼 → 𝐺𝛼 nhúng Uα vào một miền con Gα trong ℂ𝑛𝛼 và một C ∞ dạng dương χα kiểu (𝑞, 𝑞) trên 𝐺𝛼 sao cho j∗α χα = χ|𝑈𝛼 . ii) Một 𝐶 ∞ (1,1)-dạng dương trên X được gọi là một dạng Hecmit trên X. iii) Một dạng Hecmit X được gọi là dạng K𝑎̈ hler nếu ở trong định nghĩa trên mọi χα đều là dạng đóng. 1.6.2. Không gian K𝒂̈ hler [11] Định nghĩa 1.6.2 Một không gian phức cùng với một dạng Kä hler trên nó được gọi là một không gian K𝑎̈ ℎ𝑙𝑒𝑟. Bổ đề 1.6.1 Giả sử X là một không gian phức và χ là 𝐶 ∞ dạng thực dương kiểu (q,q) trên X với 𝑞 > 0. Cho E là tập con của 𝐶𝑞 (𝑋) sao cho ⋃𝐴∈𝐸 |𝐴| chứa trong tập con compact của X. Khi đó E là bị chặn nếu và chỉ nếu tập {∫𝐴 𝜒: 𝐴 ∈ 𝐸} là bị chặn. 9 Ivaskovich đã chứng minh rằng một đa tạp K𝑎̈ ℎ𝑙𝑒𝑟 lồi chỉnh hình có tính chất thác triển Hartog nếu và chỉ nếu mọi ánh xạ chỉnh hình 𝜎: ℂ𝑃1 → 𝑋 là hằng. Dựa vào kết quả của Ivaskovich chúng ta có những tính chất của không gian K𝑎̈ hler lồi chỉnh hình sau đây. Định lý 1.6.2 Cho X là một không gian K𝑎̈ ℎ𝑙𝑒𝑟 lồi chỉnh hình. Khi đó, X có tính chất thác triển Hartog nếu và chỉ nếu mọi ánh xạ chỉnh hình 𝜎: ℂ𝑃1 → 𝑋 là hằng. Chứng minh. Cho 𝑀 = {𝑧 ∈ 𝑈 ⊂ ℂ2 : 𝜑(𝑧) = 0} là một siêu mặt giả lồi mạnh, trong đó U là một miền trong ℂ2 và 𝜑 là một 𝐶 2 - hàm trên 𝑈. Đặt 𝑈 + = {𝑧 ∈ 𝑈: 𝜑(𝑧) > 0}. Gọi 𝑓: 𝑈 + → 𝑋 là một ánh xạ chỉnh hình. Chúng ta có thể chứng minh được rằng f có thể thác triển thành ánh xạ chỉnh hình vào một lân cận của mỗi điểm thuộc vào 𝑈 + . Với mỗi 𝑛 ta đặt 𝐵𝑛 = {𝑧 ∈ ℂ2 : ‖𝑧‖ < 1⁄2}, 𝑈𝑛+ = 𝐵𝑛 ∩ 𝑈 + và đặt 𝐵 = ⋃𝑛 𝑓(𝑈𝑛+ ). Ta sẽ chứng minh rằng B chỉ chứa một điểm. Với mỗi 𝑧 ∈ 𝑈 + , đặ𝑡 ∆𝑛𝑧 = {𝑤: < 𝑤 − 𝑧, 𝑔𝑟𝑎𝑝 𝜑(𝑧) >= 0} ∩ 𝑈𝑛+ . Ta có các bổ đề sau: Bổ đề 1.6.2 Nếu 𝑈 + là đủ nhỏ thì sup{𝑉𝑜𝑙 𝑓(∆𝑛𝑧 ): 𝑧 ∈ 𝑈 + /2} < +∞. Bổ đề 1.6.3 Với mọi dãy {∆𝑛𝑧𝑗 } (n cố định) hội tụ đến ∆𝑛0 , tồn tại một dãy con {∆𝑛𝑧𝑗 } 𝑘 sao cho {𝑓(∆𝑛𝑧𝑗 } hội tụ đến tập giải tích A có chiều 1 trong Y với 𝜕𝐴 ⊂ 𝑓(𝜕∆𝑛0 ). 𝑘 Ngoài ra ánh xạ 𝑓|∆10\{0} vào X có thể thác triển thành một ánh xạ chỉnh hình vào ∆10 . 10 Vì vậy, theo Bổ đề 1.6.3, 𝐴 = 𝑓(∆10 ) ∪ ⋃∞ 𝑗=1 𝐵𝑗 , trong đó 𝐵𝑗 là các tập con giải tích compact trong 𝑋. Hiển nhiên ⋃∞ 𝑗=1 𝐵𝑗 chứa trong một tập compact trong 𝑋. Do đó tồn tại 𝑞 ∈ 𝑋 và một lân cận 𝑈 của 𝑞 sao cho 𝐵𝑗 ∩ 𝑈 ≠ ∅, 𝑣ớ𝑖 𝑚ỗ𝑖 𝑗 ≥ 1. Chúng ta có thể giả thiết rằng tồn tại ánh xạ phủ giải tích 𝜃 từ 𝑈 vào 𝐵𝑘 , trong đó 𝑘 = 𝑑𝑖𝑚𝑋 và 𝐵𝑘 = {𝑧 ∈ ℂ𝑘 : ‖𝑧‖ < 1} với 𝜃(𝑞) = 0. ̃𝑗 = 𝜃(𝐵𝑗 ). Theo Định lý ánh xạ riêng, 𝐵 ̃𝑗 là tập con giải tích của 𝐵𝑘 Đặt 𝐵 ̃𝑗 ≥ 𝑐. 𝜋, với mọi 𝑗 ≥ 1. với mọi 𝑗 ≥ 1. Do đó theo định lý Alexander, ta có 𝑉𝑜𝑙 𝐵 ̃ Điều này là không thể, vì 𝑉𝑜𝑙 (⋃∞ 𝑗=1 𝐵𝑗 )< +∞. Gọi 𝜌 là một metric xác định tô pô của 𝑋 và 𝑆 là một đường cong phức compact trong 𝑋. Đặt ∑(𝑠) = {𝑥1 , … , 𝑥𝑛 } và 𝜀 > 0 sao cho 𝐵(𝑥𝑗 , 𝜀) = {𝑥 ∈ 𝑋: 𝜌(𝑥, 𝑥𝑗 ) < 𝜀} là các lân cận rời nhau của 𝑥𝑗 . ̅̅̅𝜀 , 𝑌𝜀 = 𝑌\𝑈 ̅̅̅𝜀 . Đặt 𝑈𝜀 = ⋃𝑛𝑗=1 𝐵𝑗 (𝑥𝑗 , 𝜀), 𝑆𝜀 = 𝑆\𝑈 Chú ý rằng 𝑆𝜀 là một đa tạp Stein đóng trong 𝑌𝜀 . Do đó, tồn tại một lân cận Stein 𝑊𝜀 của 𝑆𝜀 trong 𝑌𝜀 . Đặt 𝑒: 𝑊𝜀 → ℂ𝑛 là một ánh xạ nhúng. Chúng ta có bổ đề tiếp theo. Bổ đề 1.6.4 ̅ → 𝑋 sao cho 3 Giả sử rằng, với mỗi 𝛿 > 0,tồn tại một đĩa giải tích 𝑓: 𝐷 điều kiện sau được thỏa mãn: i. ̅ )𝛿 𝑐ủ𝑎 𝑓(𝐷 ̅ ); 𝑆𝜀 chứa trong một 𝛿 −lân cận 𝑓(𝐷 ii. 𝑚𝑖𝑛{𝜌(𝑥, 𝑦): 𝑥 ∈ 𝑓(𝜕𝐷), 𝑦 ∈ 𝑆𝜀 } > 2𝛿; iii. ̅ ) ∩ 𝜕(𝑆𝜀 )𝛿 ⊂ (𝜕𝑆𝜀 )𝛿 . Khi đó 𝑆 ≅ 𝐶𝑃1 ; 𝑓(𝐷 Chứng minh. 11 Kí hiệu 𝜋: 𝑁 → 𝑒(𝑆𝜀 ) là phân thớ chuẩn tắc của 𝑒(𝑆𝜀 ) trong ℂ𝑛 . Khi đó, với 𝛿 > 0 đủ nhỏ, tồn tại một lân cận 𝑁𝛿 của 𝑒(𝑆𝜀 ) trong N và 𝑉𝛿 của 𝑒(𝑆𝜀 ) trong ℂ𝑛 và một ánh xạ song chỉnh hình 𝜑: 𝑁𝛿 → 𝑉𝛿 sao cho 𝜑|𝑒(𝑆𝜀 ) = 𝐼𝑑. Đặ𝑡 𝜋̃ = 𝜋 ∘ 𝜑 −1 : 𝑉𝛿 → 𝑒(𝑆𝜀 ). ̅ → 𝑋 sao cho Dễ thấy rằng 𝜋̃ 2 = 𝜋̃. Theo giả thiết, tồn tại một đĩa giải tích 𝑓: 𝐷 ̅ ) ⊃ 𝑆𝜀 , 𝑓(𝜕𝐷) ∩ 𝑒 −1 (𝑉𝛿 ) = ∅ và 𝑓(𝐷 ̅ ) ∩ 𝑒 −1 (𝜕𝑉𝛿 ) ⊂ 𝑒 −1 ∘ 𝜋̃ −1 (𝜕𝑒(𝑆𝜀 )). 𝑓(𝐷 Khi đó ánh xạ 𝑓(𝐷) ∩ 𝑒 −1 (𝑉𝛿 ) 𝜋→1 𝑆𝜀 , ở đó 𝜋1 = 𝑒 −1 ∘ 𝜋̃ ∘ 𝑒, là toàn ánh riêng. Từ đó suy ra 𝜋1 𝑓: 𝐺 = 𝑓 −1 [𝑓(𝐷) ∩ 𝑒 −1 (𝑉𝛿 )] → 𝑆𝜀 là một ánh xạ phủ giải tích. Do đó ta có 𝐻1 (𝑆, 𝑍) = 0 , tức là 𝑆 ≅ ℂ𝑃1. Từ Bổ đề 1.6.4, ta có Bổ đề 1.6.5 𝐵𝑗 là đường cong hữu tỉ với mọi 𝑗 ≥ 1. Theo các Bổ đề 1.6.3 và Bổ đề 1.6.5 Ta có, 𝑓: 𝑈 + → 𝑋 có thể thác triển thành ̅ + . Định lý được chứng minh. ∎ ánh xạ chỉnh hình trên một lân cận của 𝑈 1.7 Không gian Stein [4] Kí hiệu: 𝑋 𝒪 là bó các mầm hàm chỉnh hình trên đa tạp 𝑋. 𝒪 𝑋 vành các mầm hàm chỉnh hình trên 𝑋. Định nghĩa 1.7.1 Một không gian vành (𝑋, 𝑋 𝒪) được gọi là một không gian giải tích nếu với mọi 𝑥 ∈ 𝑋 có một lân cận U sao cho (𝑈,𝑋 𝒪)|U là đẳng cấu tới một không gian vành (𝑌,𝑌 𝒪), ở đó Y là một đa tạp con của một miền trong ℂ𝑛 ,𝑌 𝒪 = (𝑛 𝒪/ℱ|𝑌) ở đó ℱ là bó idean của Y. Định nghĩa 1.7.2 Cho (X, 𝒪) là một không gian giải tích. 12  X được gọi là lồi chỉnh hình nếu mọi tập compact K của X, ̂ 𝐾 là compact.  X được gọi là không gian Stein nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: a) X có một tô pô đếm được. b) X là lồi chỉnh hình. c) Cho 𝑥 ∈ 𝑋, có 𝑓1 , … , 𝑓𝑛 ∈ 𝒪𝑋 sao cho 𝑟𝑎𝑛𝑘𝑥 (𝑓1 , … , 𝑓𝑛 ) = 𝑑𝑖𝑚𝑡𝑥 𝑋. d) Cho 𝑥 ≠ 𝑦 ∈ 𝑋, có 𝑓 ∈ 𝒪𝑋 sao cho 𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(𝑦). Ví dụ 1.7.1 1. ℂ𝑛 rõ ràng là một không gian Stein. 2. 𝐶ho X là một không gian giải tích và (a), (b), (c) thỏa mãn (tức là không gian con giải tích của ℂ𝑛 ). Cho 𝑓1 , … , 𝑓𝑘 ∈ 𝒪𝑋 sao cho tập {𝑥 ∈ 𝑋; |𝑓𝑖 (𝑥)| ≤ 1}. là tập compact. Khi đó 𝐷 = {𝑥 ∈ 𝑋; |𝑓𝑖 (𝑥)| < 1} là không gian Stein. 3. Nếu X là một miền Reiman trên ℂ𝑛 thì bao chỉnh hình E(X) của nó là đa tạp Stein. 4. Mọi không gian giải tích một chiều không compact đều là không gian Stein. Định nghĩa 1.7.2 Cho (𝑋,𝑋 𝒪) là một không gian giải tích. Một miền Oka – Weil trên X là một tập mở compact tương đối W sao cho tồn tại một ánh xạ chỉnh hình 𝜑 được ̅ , và lấy giá trị trong ℂ𝑛 , sao cho 𝜑|𝑊 là một xác định trong một lân cận của 𝑊 ánh xạ song chỉnh hình từ W vào một đa tạp con đóng của ∆(0; 1) 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 ℂ𝑛 . Mệnh đề 1.7.1 Cho (𝑋,𝑋 𝒪) là một không gian giải tích Stein. Cho K là một tập con compact lồi chỉnh hình của X. Nếu U là lân cận của K, thì tồn tại một miền Oka ̅ ⊂ 𝑈. – Weil W, xác định bởi các hàm toàn cục, sao cho 𝐾 ⊂ 𝑊 ⊂ 𝑊 Định lý 1.7.1 Cho (𝑋,𝑋 𝒪) là một không gian Stein, và K là tập con lồi chỉnh hình của X. Khi đó tồn tại các hàm 𝑓1 , … , 𝑓𝑡 ∈ 𝒪𝑋 sao cho, nếu 𝒜 là đại số các đa thức 13 trong 𝑓1 , … , 𝑓𝑡 thì khi đó K là A-lồi. Hơn nữa 𝒜 là trù mật trong 𝒪(𝐾) (trong đó A là một đại số các hàm chỉnh hình trên X). Hệ quả 1.7.1 Cho (𝑋,𝑋 𝒪) là một không gian Stein và Y là một tập con mở của X. Khi đó các khẳng định sau là tương đương: 1. (𝑌,𝑋 𝒪|𝑌 ) là một không gian Stein, và 𝒪𝑋 là trù mật trong 𝒪𝑌 trên 𝑌; 2. Nếu 𝐾 là tập con compact của 𝑌, thì 𝐾(𝒪𝑌 , 𝑌) = 𝐾(𝒪𝑋 , 𝑋); 3. 𝑌 là 𝒪𝑋 − 𝑙ồ𝑖. Định lý 1.7.2 Giả sử (𝑋,𝑋 𝒪) là một không gian giải tích, và 𝑋 = ⋃ 𝑋𝑖 với 𝑋𝑖 ⊂ 𝑋𝑖+1 . Giả sử (𝑋𝑖 ,𝑋 𝒪|𝑋𝑖 ) là một không gian Stein và là 𝒪𝑋𝑖+1 - lồi. Khi đó X là một không gian Stein. Chứng minh. Trước tiên, chúng ta chứng minh rằng với mọi i, 𝒪𝑋 |𝑋𝑖 là trù mật trong 𝒪𝑋𝑖 . Gọi 𝐾0 là tập con compact của 𝑋𝑖 . Chọn các tập compact 𝐾𝑗 ⊂ 𝑋𝑖+𝑗 sao cho 𝐾𝑗+1 ⊃ 𝐾𝑗 ⊃ 𝐾0 , với mọi 𝑗 > 0 và 𝑋 = ⋃ 𝐾𝑗 . Với 𝑓0 ∈ 𝒪𝑋𝑖 . Bằng phương pháp quy nạp, chúng ta chọn một dãy {𝑓𝑗 } sao cho 𝑓𝑗 ∈ 𝒪𝑋𝑖+𝑗 và ‖𝑓𝑗 − 𝑓𝑗−1 ‖𝐾𝑗−1 < 2−𝑗 𝜀. Chọn 𝑓1 sao cho 𝑓1 ∈ 𝒪𝑋𝑖+1 và ‖𝑓1 − 𝑓‖𝐾0 < 𝜀⁄2. Nếu 𝑓1 , … , 𝑓𝑘 đã được chọn, vì 𝒪𝑋𝑖+𝑘+1 |𝑋𝑖+𝑘 là trù mật trong 𝑋𝑖+𝑘 , , tồn tại 𝑓𝑘+1 ∈ 𝒪𝑋𝑖+𝑘+1 sao cho ‖𝑓𝑘+1 − 𝑓𝑘 ‖𝐾𝑘 < 2−𝑘+1 𝜀. Bây giờ, dãy {𝑓𝑗 ; 𝑗 ≥ 𝑘} hội tụ đều trên 𝐾𝑘 . Vì vậy 𝑓 = 𝑙𝑖𝑚𝑓𝑗 là một hàm chỉnh hình hoàn toàn xác định trên 𝑋, và ‖𝑓 − 𝑓0 ‖𝐾 ≤ ∑∞ 𝑗=1 ‖𝑓𝑗 − 𝑓𝑗+1 ‖ < 𝜀. 14 Do đó, 𝑋 là lồi chỉnh hình với 𝐾 là một tập con compact của 𝑋. Tồn tại 𝑖 sao cho 𝐾 ⊂ 𝑋𝑖 . Khi đó 𝐾(𝒪𝑋𝑖 , 𝑋𝑖 ) là compact. Theo Hệ quả 1.7.1 𝐾 (𝒪𝑋𝑖+𝑗 , 𝑋𝑖+𝑗 ) = 𝐾(𝒪𝑋𝑖 , 𝑋𝑖 ), với mọi 𝑗 . Lấy 𝑦 ∈ 𝐾(𝒪𝑋 , 𝑋). Khi đó với mỗi 𝑗, 𝑦 ∈ 𝑋𝑖+𝑗 , vì vậy 𝑦 ∈ 𝐾(𝒪𝑋 , 𝑋𝑖+𝑗 ). Vì 𝒪𝑋 là trù mật trong 𝒪𝑋𝑖+𝑗 nên ta có 𝑦 ∈ 𝐾(𝒪𝑋𝑖+𝑗 , 𝑋𝑖+𝑗 ) = 𝐾(𝒪𝑋𝑖 , 𝑋𝑖 ). Vì vậy 𝐾(𝒪𝑋 , 𝑋) = 𝐾(𝒪𝑋𝑖 , 𝑋𝑖 ) là compact. Giả sử x, y là hai điểm phân biệt trong 𝑋. Tồn tại 𝑖 sao cho 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋𝑖 . Tồn tại 𝑓 ∈ 𝒪𝑋𝑖 sao cho 𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(𝑦). Vì vậy tồn tại 𝑓 ′ ∈ 𝒪𝑋 đủ gần 𝑓 sao cho 𝑓 ′ (𝑥) ≠ 𝑓 ′ (𝑦) Do đó 𝒪𝑋 là tách các điểm. Cho 𝑥 ∈ 𝑋𝑖, và 𝑧1 , … , 𝑧𝑛 là tọa độ địa phương trong lân cận U của x. Vì 𝑋𝑖, là không gian Stein, tồn tại các hàm 𝑓1 , … , 𝑓𝑛 ∈ 𝒪𝑋𝑖 sao cho ma trận (𝜕𝑓𝑖 |𝜕𝑧𝑗 )(𝑥) là không kì dị. Vì hàm 𝑓 → (𝜕𝑓𝑖 |𝜕𝑧𝑗 )(𝑥) là liên tục theo tô pô hội tụ đều trên 𝒪𝑋𝑖 , nếu 𝑔1 , … , 𝑔𝑛 là đủ gần 𝑓1 , … , 𝑓𝑛 , ma trận (𝜕𝑔𝑖 |𝜕𝑧𝑗 )(𝑥) cũng là không kì dị. Nếu chúng ta chọn 𝑔𝑖 ∈ 𝒪𝑋 , thì chúng xác định tọa độ địa phương tại 𝑥. Khi đó, vì 𝑋𝑖 là tách nên 𝑋 có một tô pô tách được. Do đó 𝑋 là không gian Stein.∎ 15 Chương 2 ĐỊNH LÝ FORELLI ĐỐI VỚI ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH VÀO KHÔNG GIAN PHỨC Trong chương này ta dùng một số kí hiệu như sau: Giả sử la là một đường thẳng phức qua điểm gốc của ℂ𝑛 . Khi đó trong ℂ𝑛 , tập la được cho bởi {𝑡(𝑎1 , … , 𝑎𝑛 ): 𝑡 ∈ ℂ}. Do đó ta có thể xét la như 1 điểm a = [𝑎1 : … : 𝑎𝑛 ] trong ℙ𝑛−1 (ℂ). Cho 𝑧 = (𝑧1 , . . . , 𝑧𝑛 ) ∈ ℂ𝑛 , đặt ‖𝑧‖ = (|𝑧1 |2 + ⋯ + |𝑧𝑛 |2 )1/2 . Với mỗi R >0 đặt 𝔹𝑛𝑟 = 𝔹𝑛 (0, 𝑅)={𝑧 ∈ ℂ𝑛 : ‖𝑧‖ < 𝑅}, 𝔹𝑛 = 𝔹1𝑛 . 2.1. Không gian phức có tính chất Forelli Định nghĩa 2.1.1 Cho M là một không gian phức. Ta nói rằng 𝑀 có tính chất Forelli đối với hình cầu đơn vị 𝔹𝑛 trong ℂ𝑛 (viết tắt M có tính chất (FP)) nếu điều kiện sau được thỏa mãn: Bất kì một ánh xạ 𝑓: 𝔹𝑛 → 𝑀 chỉnh hình trên giao của 𝔹𝑛 với mọi đường thẳng phức l đi qua điểm gốc, và f là khả vi lớp 𝐶 ∞ trong lân cận của điểm gốc, thì 𝑓 là chỉnh hình trong 𝔹𝑛 . Ví dụ 2.1.1 i) Mặt phẳng phức ℂ có tính chất Forelli. ii) Đỗ Đức Thái và Phạm Ngọc Mai [13] đã chỉ ra rằng mọi không gian phức kiểu Stein đều có tính chất Forelli. Bổ đề 2.1.1 [7] Cho M là một không gian phức, 𝑈, 𝑉 là tập mở trong ℂ𝑚 ,ℂ𝑛 tương ứng và K là tập compact liên thông trong ℂ𝑛 chứa V. Cho f: U× 𝑉→M là ánh xạ chỉnh 16