Tài liệu định thức trên vành giao hoán và định thức dieudonne

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH An Thị Thúy Nga ĐỊNH THỨC TRÊN VÀNH GIAO HOÁN VÀ ĐỊNH THỨC DIEUDONNE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH An Thị Thúy Nga ĐỊNH THỨC TRÊN VÀNH GIAO HOÁN VÀ ĐỊNH THỨC DIEUDONNE Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS BÙI XUÂN HẢI Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS. Bùi Xuân Hải - người thầy đã tận tình giúp đỡ và hướng dẫn tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thiện luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn Quý thầy cô của Trường, Phòng Sau đại học, Khoa Toán học, bộ môn Đại số - Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh và Trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP. Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy chúng tôi trong suốt khóa học và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện luận văn này. Qua đây, tôi cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến gia đình, người thân và bạn bè đã giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và thực hiện luận văn. TP. HCM, ngày 27 tháng 9 năm 2013 An Thị Thúy Nga 1 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 1 MỤC LỤC .................................................................................................................... 2 BẢNG KÍ HIỆU........................................................................................................... 3 MỞ ĐẦU....................................................................................................................... 4 CHƯƠNG 1: ĐỊNH THỨC TRÊN VÀNH GIAO HOÁN ...................................... 5 1.1. Một số khái niệm cơ bản .............................................................................................5 1.2. Định nghĩa định thức trên vành giao hoán ................................................................6 1.3. Một số tính chất của định thức trên vành giao hoán ................................................6 1.4. Một số định lý khai triển định thức trên vành giao hoán ........................................8 1.5. Điều kiện để ma trận trong vành giao hoán khả nghịch ........................................12 1.6. Một số phương pháp tính định thức trên vành giao hoán .....................................13 1.6.1. Phương pháp dùng định nghĩa...............................................................................13 1.6.2. Phương pháp khai triển .........................................................................................14 1.6.3. Phương pháp biến đổi định thức về dạng tam giác ...............................................15 1.6.4. Phương pháp quy nạp ............................................................................................15 1.7. Hệ phương trình tuyến tính trên vành giao hoán ...................................................16 CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC DIEUDONNE ............................................................ 22 2.1. Một số khái niệm cơ bản ...........................................................................................22 2.2. Định nghĩa định thức Dieudonne .............................................................................26 2.3. Một số tính chất của định thức Dieudonne..............................................................26 2.4. Sự tồn tại của định thức Dieudonne .........................................................................29 2.5. Một số kết quả suy từ định nghĩa và tính chất của định thức Dieudonne ............32 2.6. Một số phương pháp tính định thức Dieudonne .....................................................36 2.6.1. Phương pháp 1 .......................................................................................................36 2.6.2. Phương pháp 2 .......................................................................................................36 2.7. So sánh định thức trên vành giao hoán và định thức Dieudonne .........................37 2.7.1. Một số tính chất giống nhau giữa hai định thức ....................................................37 2.7.2. Một số tính chất khác nhau giữa hai định thức .....................................................38 KẾT LUẬN ................................................................................................................ 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 41 2 BẢNG KÍ HIỆU a, b = {a, a + 1, a + 2,..., b} , trong đó a, b ∈  và a < b R* - Nhóm nhân của vành R AT - Ma trận chuyển vị của ma trận A Mn ( R ) - Vành ma trận vuông cấp n trên vành R GLn ( R ) - Nhóm tuyến tính tổng quát bậc n trên vành R En ( R ) - Nhóm tuyến tính sơ cấp bậc n trên vành R [ a, b] = a−1b−1ab - Giao hoán tử của các phần tử [ H , K ] - Nhóm con của a và b trong nhóm G G sinh ra bởi tất cả các giao hoán tử dạng [ a, b ] với a ∈ H , b ∈ K ( H , K là các tập con khác rỗng của G 3 MỞ ĐẦU Đại số tuyến tính nói chung và Lý thuyết định thức nói riêng được xây dựng trên trường. Trường là cấu trúc trọn vẹn nhất nên việc xây dựng định thức trên đó có nhiều kết quả đa dạng và phong phú. Tuy nhiên nếu thay đổi trường bằng một cấu trúc đại số khác, mà cụ thể là vành giao hoán có đơn vị và vành chia thì kết quả đã biết còn đúng, hay được thay đổi như thế nào. Mặt khác, định thức trên vành giao hoán được nghiên cứu dựa trên tính giao hoán của phép nhân giữa các phần tử. Còn đối với định thức Dieudonne nghiên cứu trên vành chia. Sự khác biệt của vành giao hoán và vành chia dẫn đến sự khác biệt của hai định thức trên. Trên đây là một số lý do chúng tôi chọn đề tài “Định thức trên vành giao hoán và định thức Dieudonne” để nghiên cứu và tìm hiểu. Luận văn sẽ tổng hợp, trình bày Lý thuyết định thức trên vành giao hoán và định thức Dieudonne, sau đó so sánh những điểm giống và khác nhau giữa hai định thức này. Bố cục luận văn được chia làm 2 chương: Chương 1 - Định thức trên vành giao hoán Chương 2 - Định thức Dieudonne Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên luận văn này không tránh khỏi những thiếu sót, mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn. Xin chân thành cảm ơn. 4 CHƯƠNG 1: ĐỊNH THỨC TRÊN VÀNH GIAO HOÁN 1.1. Một số khái niệm cơ bản Định nghĩa 1.1.1. Xét X = {1, 2,.., n} với n là số nguyên dương. Đặt Sn là tập hợp các song ánh từ X vào X . Ta định nghĩa 1) Mỗi phần tử s ∈ Sn được gọi là một phép hoán vị bậc n hay một phép thế bậc n và được biểu diễn bởi ma trận loại 2 × n  1 2 ... n  s= ,  s (1) s ( 2 ) ... s ( n )    trong đó ở dòng thứ nhất, các phần tử của X được sắp xếp theo một thứ tự nào đó (thường là 1, 2,…, n), dòng thứ hai gồm ảnh của dòng thứ nhất qua song ánh s . 2) Với mỗi số nguyên k ≥ 2, phép hoán vị s ∈ Sn được gọi là k - chu trình có chiều dài k nếu tồn tại các phần tử phân biệt i1 , i2 ,..., ik ∈ X sao cho = s ( i1 ) i2= s ( ik −1 ) ik= ; s ( i2 ) i3 ;...;= ; s ( ik ) i1 và s ( j ) = j với mọi j ∉ {ik , i2 ,..., ik } . Khi đó ta viết s = ( i1 i2 ...i k ) . Hai chu trình s = ( i1 i2 ... ik ) và t = ( j1 j2 ... jl ) được gọi là rời nhau nếu ∅. {i , i ,..., i } ∩ { j , j ,..., j } = 1 2 k 1 2 l Mỗi 2 - chu trình được gọi là một chuyển vị. Như vậy, mỗi chuyển vị có dạng s = ( i j ) với 1 ≤ i ≠ j ≤ n. Định lý 1.1.2. Mọi phép hoán vị đều được phân tích thành tích các chu trình rời nhau. Cách phân tích duy nhất, sai khác một sự đổi chỗ các chu trình. Bổ đề 1.1.3. Mọi chu trình được phân tích thành tích các chuyển vị. Cách phân tích không duy nhất. Định lý 1.1.4. Mọi phép hoán vị đều được phân tích thành tích các chuyển vị. Cách phân tích không duy nhất nhưng tính chẵn lẻ của số các chuyển vị là duy nhất. Chú ý 1.1.5. Xét phép hoán vị s . Gọi k là số chuyển vị trong phân tích s thành tích các chuyển vị. Đặt 5 sgn ( s ) = ( −1) k . Theo Định lý 1.1.4, sgn ( s ) không phụ thuộc vào cách phân tích s . - Nếu sgn ( s ) = 1 thì s được phân tích dưới dạng tích của một số chẵn các chuyển vị. Ta nói s là một hoán vị chẵn. - Nếu sgn ( s ) = −1 thì s được phân tích dưới dạng tích của một số lẻ các chuyển vị. Ta nói s là một hoán vị lẻ. - Với các phép hoán vị s và t, ta có ( ) sgn s −1 = sgn ( s ) và sgn= ( st ) sgn ( s ) ⋅ sgn ( t ) . - Với s là một k - chu trình, ta có sgn ( s ) = ( −1) k −1 . Ví dụ 1.1.6. Xét hoán vị s = (1 3 6 )( 2 8 5 10 9 ) . Ta có s = (1 3)(1 6 )( 2 9 )( 2 10 )( 2 5 )( 2 8 ) . Vậy s được phân tích dưới dạng tích của 6 chuyển vị nên sgn ( s ) = 1, do đó s là hoán chẵn. 1.2. Định nghĩa định thức trên vành giao hoán Xét R là vành giao hoán, có đơn vị. Định nghĩa 1.2.1. Cho R là vành giao hoán, có đơn vị. Cho A  aij  là ma trận vuông cấp n trên R . Định thức của ma trận A trên R , được kí hiệu là detA hay A và xác định bởi detA   sgn s a1s1a2s2 ...ansn . s Sn 1.3. Một số tính chất của định thức trên vành giao hoán Tính chất 1.3.1. Cho A là ma trận vuông cấp n trên R và AT là ma trận chuyển vị của ma trận A . Khi đó detAT  detA . Chứng minh. Giả sử A  aij  và AT  bij  thì bij  a ji , i, j  1, n . Khi đó ta có 6 detAT   sgn s b1s1b2s2 ...bnsn s Sn   sgn s as11as22 ...asnn s Sn   s 1 Sn sgn s 1 a1s11a2s12 ...ans1n   sgn t a1t1a2 t2 ...antn t Sn  detA Tính chất 1.3.2. Trong định thức nếu đổi chỗ hai dòng cho nhau thì định thức đổi dấu. Chứng minh. Đặt A  aij  , giả sử trong ma trận A đổi dòng i và dòng j 1  i, j  n   ta được ma trận mới A  aij . Khi đó detA   sgn s a1s1 ...aisi ....a js j ....ansn s Sn =  sgn s a s Sn 1s 1 ...a jsi ....ais j ....ansn . Với mỗi s  Sn , đặt t  Sn sao cho t i  s  j   t  j   s i  t k   s k  , k  i, j.  Khi đó, sgn t   sgn s  và a1s1 ...a jsi ...ais j ...ansn  a1t1 ...aiti ...a jt j ...antn . Do đó detA    sgn t a1t1 ...aiti ...a jt j ...antn t Sn  -  sgn t a1t1 ...aiti ...a jt j ...antn t Sn  - detA. Tính chất 1.3.3. Nếu ma trận vuông A có hai dòng bằng nhau thì detA  0. Tính chất 1.3.4. Cho ma trận vuông A  aij  cấp n trên R. Nếu nhân vào dòng thứ i của ma trận A với k  R thì định thức của ma trận nhận được bằng định thức của A nhân với k . 7 Chứng minh. Giả sử trong ma trận A tất cả các hệ số của dòng i được nhân lên k   lần, còn các dòng khác giữ nguyên ta nhận được ma trận mới A  aij . Khi đó detA   sgn s a1s1 ...aisi ....ansn s Sn   sgn s a 1s 1 s Sn   ... kaisi ....ansn  k  sgn s a1s1 ...aisi ....ansn s Sn  kdetA. Hệ quả 1.3.5. Nếu ma trận vuông A có một dòng bằng bội k  R của một dòng khác thì detA  0 . Tính chất 1.3.6. Cho ma trận vuông A  aij  cấp n trên R và giả sử dòng thứ i i  1, n của A có tính chất aij  bij  cij với bij , cij  R . Khi đó, ta có a11 ... a12 ... detA  bi1  ci1 ... bi 2  ci 2 ... an1 an 2 ... a11 ... a12 ... ... a1n ... ... a11 ... a12 ... ... a1n ... ... ... bin  cin  bi1 ... ... ... bi 2 ... ... bin  ci1 ... ... ... ci 2 ... ... cin a1n ... ... ... an1 an 2 ... ann  ann detB ... ... an1 an 2 ... ann  detC Chứng minh. detA   sgn s a1s1 ...aisi ...ansn s Sn   sgn s a s Sn 1s 1   ... bisi  cisi ...ansn   sgn s a1s1 ...bisi ...ansn   sgn s a1s1 ...cisi ...ansn s Sn s Sn  detB  detC Tính chất 1.3.7. Nếu cộng vào một dòng nào đó của ma trận vuông A một bội k  R của một dòng khác thì định thức của nó không đổi. Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.3.3 và tính chất 1.3.4 1.4. Một số định lý khai triển định thức trên vành giao hoán Định nghĩa 1.4.1. Cho A  aij  là ma trận vuông cấp n trên R. Với mỗi i, j ta gọi i j Aij  1 8 detA i; j  là phần bù đại số của hệ số aij , trong đó A i; j  là ma trận vuông cấp n 1 có được từ A bằng cách xóa dòng i, cột j. Định nghĩa 1.4.2. Cho A  aij  là ma trận vuông cấp n trên R. Với mỗi bộ k số i1 , i2 ,..., ik  và  j1 , j2 ,..., jk  , thỏa 1  i1  i2  ...  ik  n và 1  j1  j2  ...  jk  n, ta gọi M ai1 j1 ai1 j2 ... ai1 jk ai2 j1 ai2 j2 ... ai2 jk ... ... aik j1 aik j2 ... ... ... aik jk là định thức con cấp k của A sinh bởi các dòng i1 , i2 ,..., ik và các cột j1 , j2 ,.., jk . i1 ...ik  j1 ... jk Ta gọi M   1 detA i1 ,..., ik ; j1 ,..., jk  là phần bù đại số của M , trong đó A i1 ,..., ik ; j1 ,..., jk  là ma trận có từ A bằng cách xóa các dòng i1 , i2 ,..., ik và các cột j1 , j2 ,.., jk . Bổ đề 1.4.3. Cho A  aij  là ma trận vuông cấp n trên R. Nếu tồn tại i, j sao cho aik  0 với mọi k  j thì detA  aij Aij , trong đó Aij là phần bù đại số của aij . Chứng minh. Do aik  0 với mọi k  j nên detA   sgn s a a 1s 1 2 s 2 s Sn ; s i j ...ansn . Với mỗi s thỏa s i  j , đặt t  asb , trong đó a  n... j  1 j  và b  i i  1 ...n . n j Khi đó, sgn a   1 ni và sgn b   1 nên sgn t   sgn a  sgn s  sgn b  2 n -i - j  -1 i j  1 i j  1 Và đồng thời 9 sgn s  sgn s  sgn s . t n  asb n  as i  a  j   n nên có có thể xem như t  Sn1 và phép tương ứng s  t là một tương ứng 11 giữa s  Sn s i  j và Sn1 . Hơn nữa, với mỗi k  1, n 1 , ta có Nếu k  i thì t k   asb k   a s k  nên khi σ ( k ) < j; σ ( k ) τ (k) =  σ ( k ) − 1 khi σ ( k ) > j. Nếu k  i thì t k   asb k   a s k 1 nên khi σ ( k + 1) < j; σ ( k + 1) τ (k) =  σ ( k + 1) − 1 khi σ ( k + 1) > j. = B A= Do đó nếu đặt ( i; j) ( bkl ) thì a1σ(1) a 2σ( 2) ...a nσ( n ) = a ijb1τ(1) ...b n −1τ( n −1) . Suy ra detA   sgn s a  a 1s 1 2 s 2 s Sn ; s i j  1 i j t Sn1 i j  1 i j  1 aij ...ansn sgn t aij b1t1 ...bn1tn1  sgn t b t Sn1 1t1 ...bn1tn1 aij detB  aij Aij Định lý 1.4.4. Cho A  aij  là ma trận vuông cấp n trên R . Với mỗi i, j gọi Aij là phần bù đại số của aij . Ta có i) Công thức khai triển detA theo dòng thứ i : n detA   aik A ik . k=1 ii) Công thức khai triển detA theo cột thứ j : n detA   akj A kj . k=1 Chứng minh. i) Với mỗi k ∈1, n đặt 10  a11   ... Bk =  0   ...  a  n1 ... a1( k −1) a1k a1( k +1) ... ... ... a ik ... 0 ... a nk ... ... 0 ... ... ... a n ( k −1) a n ( k +1) ... a1n   ... ...  ... 0  .  ... ...  ... a nn  Khi đó, theo tính chất 1.3.6 ta có n detA   det  Bk . k=1 Mặt khác, theo Bổ đề 1.4.2 có det  Bk   aik Aik nên n detA   aik Aik . k=1 ii) Với mỗi k ∈1, n đặt ... 0  a11  .... 0  ...  a ( k −1)1 ... 0  Bk =  a k1 ... a kj a  ( k +1)1 ... 0  ... ... 0  ... 0  a n1 ... a1n   ... ...  ... a ( k −1)n   ... a kn  . ... a ( k +1)n  ... ...   ... a nn  Khi đó, theo tính chất 1.3.6 ta có n detA   det  Bk . k=1 Mặt khác, theo Bổ đề 1.4.2 có det  Bk   akj Akj nên n detA   akj Akj . k=1 Hệ quả 1.4.5. Cho A  aij  là ma trận tam giác trên (dưới) trong R. Khi đó detA bằng tích các phần tử nằm trên đường chéo chính của A . Định lý 1.4.6. (Định lý Laplace ). Cho A = ( a ij ) là ma trận vuông cấp n trên R. Khi đó, với k dòng cho trước, định thức của A bằng tổng tất cả các tích của định thức con cấp k lấy ra từ k dòng đó với phần bù đại số của nó, nghĩa là i) với mỗi 1 ≤ i1 < i 2 < ... < i k ≤ n , ta có 11 n  detA  M . M , 1 j1 ... jk n ii) với mỗi 1 ≤ j1 < j2 < ... < jk ≤ n , ta có n detA   M . M , 1i1 ...ik n trong đó M là định thức con cấp k của A sinh bởi các dòng i1 , i 2 ,..., i k và các cột j1 , j2 ,..., jk và M′ là phần bù đại số của M. Định lý 1.4.7. Cho A và B là hai ma trận vuông cùng cấp trên R . Khi đó det ( AB = ) detA ⋅ detB. 1.5. Điều kiện để ma trận trong vành giao hoán khả nghịch Định nghĩa 1.5.1. Cho A là ma trận vuông cấp n trên R. Ma trận A được gọi là khả nghịch nếu tồn tại ma trận B vuông cấp n trên R sao cho AB = BA = In . Định lý 1.5.2. Cho A  aij  là ma trận vuông cấp n trên R và đặt B  bij    Aij  , trong T đó Aij là phần phụ đại số của phần tử aij . Khi đó ta có i) AB  BA  detA.I n . ii) Ma trận A khả nghịch khi và chỉ khi định thức của A khả nghịch. Chứng minh. i) Đặt AB = ( cij ) , ta có c= ij n ∑a k =1 b= ai1b1 j + ai 2 b2 j + ... + ain bnj ik kj = ai1 A j1 + ai 2 A j 2 + ... + ain A jn = ai1 ( −1) j +1 detA ( j;1) + ai 2 ( −1) j+2 detA ( j; 2 ) + ... + ain ( −1) j+n detA ( j; n ) . Nếu i = j thì c= ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + ... + ain A= detA. ij in Nếu i ≠ j thì ta thay dòng thứ j trong A bằng dòng thứ i ta nhận được ma trận A′ 12  a11   ...  ai1  = hay A  ...  a j1   ... a  n1 a12 ... ai 2 ... aj2 ... an 2 ... a1n   ... ...  ... ain   = ... ...  ⇒ A′ ... a jn   ... ...  ... ann   a11   ...  ai1   ...  ai1   ...   an1 a12 ... ai 2 ... ai 2 ... an 2 ... a1n   ... ...  ... ain   ... ...  . ... ain   ... ...  ... ann  Trong A′ nếu ta xóa dòng j cột k thì ta nhận được ma trận bằng ma trận thu được từ A bằng cách xóa dòng j cột k , nghĩa là A′ ( j; k ) = A ( j; k ) . Khi đó ta có cij= ai1 ( −1) j +1 det A′ ( j;1) + ai 2 ( −1) j+2 det A′ ( j; 2 ) + ... + ain ( −1) j+n det A′ ( j; n ) = det A′ = 0. Vậy ta có cij det A  0 khi i = j = ∀i, j 1, n . khi i ≠ j Suy ra AB = ( detA ) .I n . Tương tự, ta cũng chứng minh được BA = ( detA ) .I n . Vậy AB = BA = ( detA ) .I n . ii) Giả sử A là ma trận khả nghịch. Khi đó tồn tại ma trận B vuông cấp n sao cho AB = BA = In , = .detB detB = .detA 1 . Do đó detA khả nghịch. suy ra detA = BA = ( detA ) .I n với B = ( Aij ) Ngược lại, nếu detA khả nghịch mà theo i) ta có AB T thì suy ra −1 ( detA )−1 .B  = A= detA ) .B  A I n . (     Vậy ma trận A khả nghịch. 1.6. Một số phương pháp tính định thức trên vành giao hoán 1.6.1. Phương pháp dùng định nghĩa Để tính định thức của ma trận vuông A = (aij ) cấp n ta dùng định nghĩa detA   sgn s a1s1a2s2 ...ansn . s Sn 13 Tuy nhiên, phương pháp này chỉ nên áp dụng đối với định thức cấp 2, cấp 3 còn dùng để tính định thức cấp n, ( n ≥ 4 ) thì không đơn giản. Ví dụ 1.6.1. Tính định thức của ma trận a a  a) A   11 12  a21 a22  Ta có S2 = { Id; (1 2 )} nên detA  sgn s1  a1s11a2s12  sgn s 2  a1s2 1a2s2 2  a11a22  a12 a21 .  a11  b) B  a21  a31 a12 a22 a32 a13   a23   a33  Ta có S3 = {s1 , s 2 , s3 , s 4 , s5 , s6 } , trong đó s1  Id , s 2  1 2 3 , s3  1 3 2 , s 4  1 3 , s5  2 3 , s 6  1 2 Do đó detB   sgn si  a1s 1a2s 2a3s 3 i si S3 i i = a11a22 a33  a12 a23 a31  a13 a32 a21  a13 a22 a31  a11a23 a32  a12 a21a33 1.6.2. Phương pháp khai triển Để tính định thức của ma trận vuông A cấp n , ta dùng công thức khai triển theo dòng thứ i hay cột thứ j , thường chọn dòng hay cột có nhiều phần tử 0. Ví dụ 1.6.2. Tính định thức 1 2 D = 3 1 0 0 2 0 2 3 1 0 3 0 2 3 0 4+ 4 = 1. ( −1) 0 3 0 (Khai triển định thức theo dòng thứ 4) 4 2 1 4 0 0 2 1 1 3+ 3 2 = 0 3 = 0 2. ( −1) (Khai triển định thức theo cột thứ 1) 3 0 2 1 4 = 2 ( 2.0 − 1.3) = −6 . 14 1.6.3. Phương pháp biến đổi định thức về dạng tam giác Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng (cột) của ma trận và các tính chất của định thức biến đổi định thức về dạng tam giác. Khi đó, định thức cuối cùng bằng tích các phần tử nằm trên đường chéo chính. Ví dụ 1.6.3. Tính định thức 1 2 3 −1 0 0 D = −1 −2 0 ... ... ... −1 −2 −3 ... ... ... ... ... n 0 0 . ... 0 Cộng dòng 1 vào các dòng 2, 3,…, n ta được 1 0 = D 0 ... 2 2 0 ... 3 3 3 ... 0 0 0 ... n ... n = .2.3...n n! . ... n 1= ... ... ... n 1.6.4. Phương pháp quy nạp Áp dụng các tính chất của định thức, biến đổi, khai triển định thức theo dòng hoặc theo cột để biểu diễn định thức cần tính qua các định thức cấp bé hơn nhưng có cùng dạng. Từ đó ta sẽ nhận được công thức truy hồi. Sử dụng công thức truy hồi và tính trực tiếp các định thức cùng dạng cấp 1, cấp 2,…, để suy ra định thức cần tính. Ví dụ 1.6.4. Tính định thức sau 5 3 0 2 Dn = 0 ... 0 5 2 ... 0 3 5 ... 0 0 ... 0 ... 3 ... ... ... 0 ... 0 0 0 0 ... 2 0 0 ... 5 Khai triển theo hàng 1 ta được: Dn = 5Dn −1 − 6 Dn − 2 = 2 Dn −1 + 3Dn −1 − 2.3Dn − 2 . Khi đó ta có Dn − 2 Dn −1 = 3Dn −1 − 2.3.Dn − 2 = 3 ( Dn −1 − 2 Dn − 2 ) = ... = 3n − 2 ( D2 − 2 D1 ) . 15 2 Dn −1 − 2.3.Dn − 2 = 2 ( Dn −1 − 3Dn − 2 ) = ... = 2n − 2 ( D2 − 3D1 ) . Hoặc Dn − 3Dn−1 = 5 3 2 5 Mà= D2 = 19 và D1 = 5 . Do đó có  Dn − 2 Dn −1 = 3n − 2 (19 − 2.5 ) = 3n − 2.9 = 3n  n−2 n−2 n  Dn − 3Dn −1 = 2 (19 − 3.5 ) = 2 .4 = 2 3n +1 3Dn − 6 Dn −1 = Suy ra  2n +1 2 Dn − 6 Dn −1 = 3n +1 − 2n +1. = Do đó D n 1.7. Hệ phương trình tuyến tính trên vành giao hoán Định nghĩa 1.7.1. Một hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình, n ẩn số là một hệ có dạng b1 a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = a x + a x + ... + a x = b2  21 1 22 2 2n n  ........................................... am1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn = bm (1.1) trong đó = i 1,= m, j 1, n : • aij , bi ∈ R, với • x1 , x2 ,..., xn : • các hệ số; các ẩn số nhận giá trị trong R; Mỗi bộ số ( x1 , x2 ,..., xn ) = ( a1 , a2 ,..., an ) thỏa tất cả các phương trình trong (1.1) được gọi là một nghiệm của hệ (1.1). Khi hệ có nghiệm ta còn nói hệ tương thích. Định nghĩa 1.7.2. Ma trận A =  a11   a21 aij =  ... m× n   am1 ( ) a12 a22 ... am 2 ... a1n   ... a2 n  ... ...   ... amn  được gọi là ma trận hệ số của hệ (1.1).  b1    b Ma trận B =  2  được gọi là ma trận các hệ số tự do của hệ       bm  16 (1.1) Ma trận (  a11  a A B ==  21 ...  a  m1 a12 a22 ) ... am 2 ... a1n ... a2 n ... ... ... amn b1   b2  ...   bm  được gọi là ma trận bổ sung (hay ma trận mở rộng) của hệ (1.1). Khi đó, hệ (1.1) được viết dưới dạng ma trận AX = B, (1.2)  x1    x trong đó X =  2  là ma trận cột các ẩn số.       xn  Định nghĩa 1.7.3. Hệ (1.1) gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất nếu b= b2= ...= bm= 0. 1 Hệ (1.1) là hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất nếu tồn tại j ∈1, m sao cho b j ≠ 0. Nhận xét 1.7.4. Một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất bất kỳ luôn luôn có nghiệm vì nó nhận ( 0, 0,..., 0 ) làm một nghiệm, gọi là nghiệm tầm thường. Định nghĩa 1.7.5. Cho Q là tập hợp các phần tử thuộc R và a là một phần tử của R . Khi đó, a gọi là linh hóa tử của Q nếu tích của a với mọi phần tử của Q bằng 0. Nhận xét 1.7.6. Nếu Q chỉ chứa đúng một phần tử 0 thì mỗi phần tử của R là một linh hóa tử của Q. Nếu R là vành không có ước của 0 thì tập hợp Q các phần tử của R có một linh hóa tử khác 0 khi và chỉ khi Q chứa đúng một phần tử 0. Định nghĩa 1.7.7. Cho ma trận A = ( aij ) trong vành Mn ( R ) . Ma trận A có hạng bằng 0, kí hiệu là rank ( A ) = 0 nếu tập hợp tất cả các phần tử aij của A có linh hóa tử khác 0. Ma trận A có hạng r > 0, kí hiệu rank ( A ) = r nếu r là số nguyên dương lớn nhất sao cho tập hợp tất cả các định thức con cấp r của A không có linh hóa tử khác 0. Định lý 1.7.8. Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 17 n x ∑a= j =1 ij j , i 1, m 0= (1.3) Hệ (1.3) có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi hạng của ma trận hệ số nhỏ hơn n. Chứng minh. Đặt A = ( aij ) . Giả sử hệ (1.3) có nghiệm không tầm thường ( c1 , c2 ,..., cn ) với ck ≠ 0, ta chứng minh rank ( A ) < n. Với m < n thì điều khẳng định hiển nhiên đúng, do đó ta có thể giả sử m ≥ n. Gọi D là định thức cấp n gồm n dòng đầu tiên của ma trận A. Từ giả thiết trên ta có n c ∑ a= j =1 ij j 0= , i 1, m (1.4) Nhân 2 vế của các phương trình thứ i, i = 1, n trong hệ (1.4) tương ứng với phần bù đại số Aik của aik trong D ta có  a11c1 A1k + a12 c2 A1k + ... + a1n cn A1k = 0  0  a21c1 A2 k + a22 c2 A2 k + ... + a2 n cn A2 k =  ........................................................  a c A + a c A + ... + a c A = 0 n 2 2 nk nn n nk  n1 1 nk (1.5) Cộng vế với vế của các đẳng thức trong hệ (1.5) ta được c1 ( a11 A1k + a21 A2 k + ... + an1 Ank ) + c2 ( a12 A1k + a22 A2 k + ... + an 2 Ank ) + ... + 0 ck ( a1k A1k + a2 k A2 k + ... + ank Ank ) + .... + cn ( a1n A1k + a2 n A2 k + ... + ann Ank ) = Trong D lần lượt thay cột thứ k bởi cột thứ i, i = 1, n ta có a11 A1k + a21 A2 k + ... + an1 Ank = 0; a12 A2 k + a22 A2 k + ... + an 2 Ank = 0;  a1k A1k + a2 k A2 k + ... + ank Ank = D;  a1n A1k + a2 n A2 k + ... + ann Ank = 0 18 (1.6)