Tài liệu Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của nửa nhóm không giãn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– PHẠM TRUNG HẢO HIỆU CHỈNH BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA NỬA NHÓM KHÔNG GIÃN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, 5/2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– PHẠM TRUNG HẢO HIỆU CHỈNH BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA NỬA NHÓM KHÔNG GIÃN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN PGS.TS. NGUYỄN THỊ THU THỦY THÁI NGUYÊN, 5/2018 iii Mục lục Bảng ký hiệu 1 Mở đầu 2 Chương 1. Nửa nhóm không giãn và bất đẳng thức biến phân 1.1 Nửa nhóm không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Không gian Banach lồi đều . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 1.1.3 1.2 5 Nửa nhóm không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Giới hạn Banach và tính chất . . . . . . . . . . . . 13 Bất đẳng thức biến phân và một số bài toán liên quan . . 14 1.2.1 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach 14 1.2.2 Một số bài toán liên quan . . . . . . . . . . . . . . 16 Chương 2. Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của nửa nhóm không giãn 2.1 Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung 19 của nửa nhóm không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.1 Bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 2.3 2.1.2 Sự tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov . . . . . . . . 20 2.2.1 Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.2 2.2.3 Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Phương pháp hiệu chỉnh lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3.1 Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 iv 2.3.2 Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3.3 Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 1 Bảng ký hiệu H không gian Hilbert thực X X∗ không gian Banach không gian đối ngẫu của X SX R mặt cầu đơn vị của X tập các số thực R+ ∅ tập các số thực không âm tập rỗng ∀x với mọi x D(A) R(A) miền xác định của toán tử A miền ảnh của toán tử A A−1 I toán tử ngược của toán tử A toán tử đồng nhất C[a, b] lp , 1 ≤ p < ∞ không gian các hàm liên tục trên đoạn [a, b] không gian các dãy số khả tổng bậc p l∞ Lp [a, b], 1 ≤ p < ∞ không gian các dãy số bị chặn không gian các hàm khả tích bậc p trên đoạn [a, b] d(x, C) lim supn→∞ xn khoảng cách từ phần tử x đến tập hợp C giới hạn trên của dãy số {xn } lim inf n→∞ xn giới hạn dưới của dãy số {xn } xn → x0 xn * x0 dãy {xn } hội tụ mạnh về x0 dãy {xn } hội tụ yếu về x0 J j ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị Fix(T ) c tập điểm bất động của ánh xạ T không gian các dãy số hội tụ 2 Mở đầu Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian vô hạn chiều đã được nhà toán học người Italia là G. Stampacchia và các đồng sự đưa ra đầu tiên vào năm 1960 (xem [16]) trong khi nghiên cứu các bài toán biên tự do. Từ đó các phương pháp bất đẳng thức biến phân vô hạn chiều đã được sử dụng rộng rãi và hiệu quả trong các phương trình vật lý toán. Bất đẳng thức biến phân có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực kinh tế, kỹ thuật, vận trù học v.v. . . . Vì vai trò quan trọng của bất đẳng thức biến phân trong lý thuyết toán học cũng như trong ứng dụng thực tế nên nó luôn là một đề tài thời sự, được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu. Bất đẳng thức biến phân loại đơn điệu, nói chung, thuộc lớp bài toán đặt không chỉnh theo nghĩa Hadamard, nghĩa là bài toán (khi dữ kiện thay đổi nhỏ) hoặc không tồn tại nghiệm, hoặc nghiệm không duy nhất hoặc nghiệm không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu. Những người có công đặt nền móng cho lý thuyết bài toán đặt không chỉnh là các nhà toán học A.N. Tikhonov (1963) [14], M.M. Lavrentiev (1967) [11] và V.K. Ivanov (1978) [10] v.v. . . . Do tính không ổn định của bài toán đặt không chỉnh nên việc giải số của nó gặp nhiều khó khăn. Lý do là một sai số nhỏ trong dữ kiện của bài toán có thể dẫn đến sai số bất kỳ trong lời giải. Để giải loại bài toán này ta phải sử dụng các phương pháp giải ổn định sao cho khi sai số của dữ kiện càng nhỏ thì nghiệm xấp xỉ tìm được càng gần với nghiệm đúng của bài toán ban đầu. Một trong những phương pháp được sử dụng rộng rãi và khá hiệu quả đó là 3 phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov. Kể từ năm 1963 khi A.N. Tikhonov [14] đưa ra phương pháp hiệu chỉnh nổi tiếng, gọi là phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, thì lý thuyết bài toán đặt không chỉnh được phát triển hết sức sôi động và có mặt ở hầu hết các bài toán thực tế. Trên cơ sở ý tưởng hiệu chỉnh của A.N. Tikhonov, F. Browder, Ya.I. Alber, I.P. Ryazansteva, O.A. Liskovets v.v. . . đã phát triển các phương pháp hiệu chỉnh mới cho lớp bài toán bất đẳng thức biến phân loại đơn điệu từ không gian Hilbert sang không gian Banach, từ bài toán tuyến tính sang bài toán phi tuyến, từ bài toán đơn trị sang bài toán đa trị v.v. . . . (xem [4], [8], [12] và các tài liệu được trích dẫn trong đó). Đề tài luận văn trình bày hai phương pháp hiệu chỉnh giải bất đẳng thức biến phân trên tập ràng buộc là tập điểm bất động chung của nửa nhóm ánh xạ không giãn trong không gian Banach trong bài báo [13] của Nguyễn Thị Thu Thủy và các đồng tác giả công bố năm 2017. Nội dung của đề tài được trình bày trong hai chương. Chương 1 với tiêu đề "Nửa nhóm không giãn và bất đẳng thức biến phân", trình bày một số khái niệm và tính chất của không gian Banach, ánh xạ không giãn, nửa nhóm ánh xạ không giãn và bài toán bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu. Chương 2 với tiêu đề "Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của nửa nhóm không giãn", trình bày hai phương pháp hiệu chỉnh giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của nửa nhóm ánh xạ không giãn, trình bày các định lý hội tụ mạnh của hai phương pháp cùng hai ví dụ minh họa. Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên. Trong quá trình học tập và thực hiện luận văn này, Trường Đại học Khoa học đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả học tập, nghiên cứu. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến các thầy, cô trong khoa Toán - Tin, trong Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên. Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Nguyễn Thị Thu Thủy - Người đã tận tình hướng dẫn tác giả 4 hoàn thành luận văn này. Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu trường THPT Ân Thi, Hưng Yên và tập thể các thầy cô giáo trong tổ Toán Tin của Trường đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trong thời gian tác giả tham gia học cao học. Thái Nguyên, tháng 5 năm 2018 Tác giả luận văn Phạm Trung Hảo 5 Chương 1 Nửa nhóm không giãn và bất đẳng thức biến phân Chương này trình bày một số khái niệm và tính chất của không gian Banach; ánh xạ j-đơn điệu, ánh không giãn, nửa nhóm ánh xạ không giãn, giới hạn Banach, bất đẳng thức biến phân và một số bài toán liên quan đến bất đẳng thức biến phân. Các kiến thức của chương này được tham khảo từ các tài liệu [1], [2], [3] và các tài liệu được trích dẫn trong đó. 1.1 Nửa nhóm không giãn Mục này trình bày các định nghĩa, ví dụ về không gian Banach lồi đều có chuẩn khả vi Gâteaux đều; định nghĩa, ví dụ về ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của không gian Banach, tính chất của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc; định nghĩa, ví dụ về ánh xạ j-đơn điệu, nửa nhóm ánh xạ không giãn trong không gian Banach; định nghĩa giới hạn Banach và tính chất. 1.1.1 Không gian Banach lồi đều Cho X là một không gian Banach thực, X ∗ là không gian đối ngẫu của X và hx, x∗ i là ký hiệu giá trị của x∗ ∈ X ∗ tại x ∈ X. Ký hiệu 2X là một họ các tập con khác rỗng của X. Ký hiệu SX := {x ∈ X : kxk = 1} là mặt cầu đơn vị của không gian Banach X. 6 Định nghĩa 1.1.1 Không gian Banach X được gọi là lồi chặt nếu với mọi x, y ∈ SX , x 6= y ta có k(1 − λ)x + λyk < 1 với mọi λ ∈ (0, 1). Chú ý 1.1.2 Định nghĩa 1.1.1 có thể được phát biểu dưới dạng tương đương: Không gian Banach X được gọi là lồi chặt nếu với mọi x, y ∈ SX , x 6= y thì x + y 2 < 1. Ví dụ 1.1.3 Không gian Hilbert H là một không gian lồi chặt. Thật vậy, từ đẳng thức hình bình hành
kx + yk2 + kx − yk2 = 2 kxk2 + kyk2 , suy ra với mọi x, y ∈ SH , x 6= y ta có  1 x + y 2 1  1 2 2 = kxk + kyk − kx − yk2 = 1 − kx − yk2 < 1. 2 2 4 4 Định nghĩa 1.1.4 Không gian Banach X được gọi là một không gian lồi đều nếu với mọi ε > 0, với mọi x, y ∈ X thỏa mãn kxk ≤ 1, kyk ≤ 1, kx − yk ≥ ε, tồn tại δ = δ(ε) > 0 sao cho x + y 2 ≤ 1 − δ. Ví dụ 1.1.5 Không gian Hilbert H là một không gian lồi đều. Thật vậy, từ đẳng thức hình bình hành
kx + yk2 + kx − yk2 = 2 kxk2 + kyk2 , với kxk ≤ 1, kyk ≤ 1, x 6= y và kx − yk ≥ ε ta có kx + yk2 ≤ 4 − ε2 . Từ đây suy ra x + y 2 ≤ 1 − δ(ε), với δ(ε) = 1 − p 1 − ε2 /4. 7 Định nghĩa 1.1.6 Không gian Banach X được gọi là (i) có chuẩn khả vi Gâteaux (hay không gian trơn) nếu với mỗi y ∈ SX giới hạn kx + tyk − kxk lim t→0 t tồn tại với x ∈ SX , ký hiệu là hy, 5kxki và 5kxk được gọi là đạo hàm Gâteaux của chuẩn; (ii) có chuẩn khả vi Gâteaux đều nếu giới hạn trên đạt được đều với mọi x ∈ SX . Ví dụ 1.1.7 Các không gian lp , Lp [a, b] (1 < p < ∞) là các không gian Banach trơn. Định nghĩa 1.1.8 Cho X là một không gian Banach, hàm số ρX : R+ −→ R+ được gọi là mô đun trơn của X nếu n kx + yk + kx − yk o ρX (t) = sup − 1 : kxk = 1, kyk = t 2 n kx + tyk + kx − tyk o = sup − 1 : kxk = 1, kyk = 1 , 2 t > 0. Định nghĩa 1.1.9 Không gian Banach X được gọi là trơn đều nếu ρX (t) = 0. t→0 t ρX (0) = lim Ví dụ 1.1.10 Không gian lp (1 < p ≤ 2) là không gian trơn đều. Thật vậy, 1 ρlp (t) (1 + tp ) p − 1 lim = lim = 0. t→0 t→0 t t Định nghĩa 1.1.11 Không gian Banach X được gọi là q-trơn đều, q > 1, nếu tồn tại số c > 0 sao cho ρX (t) ≤ ctq , t ∈ [0; +∞) . Sau đây ta trình bày khái niệm về ánh xạ j-đơn điệu. 8 ∗ Định nghĩa 1.1.12 Ánh xạ Jq : X → 2X , q > 1 (nói chung là đa trị) xác định bởi  Jq x = uq ∈ X ∗ : hx, uq i = kxkkuq k, kuq k = kxkq−1 , được gọi là ánh xạ đối ngẫu tổng quát của không gian Banach X. Khi q = 2, ánh xạ J2 được ký hiệu là J và được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của X. Tức là  Jx = u ∈ X ∗ : hx, ui = kxkkuk, kuk = kxk . Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc tồn tại trong mọi không gian Banach X. Ví dụ 1.1.13 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc trong không gian Hilbert H là ánh xạ đơn vị I. ∗ Định nghĩa 1.1.14 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J : X → 2X của không gian Banach X được gọi là (i) liên tục yếu theo dãy nếu J đơn trị và với mọi dãy {xn } ⊂ X hội tụ yếu đến x (xn * x) thì Jxn hội tụ yếu đến Jx (Jxn * Jx) theo tôpô yếu∗ trong X ∗ . (ii) liên tục mạnh-yếu∗ nếu J đơn trị và với mọi dãy {xn } hội tụ mạnh đến x (xn → x) thì Jxn hội tụ yếu đến Jx (Jxn * Jx) theo tôpô yếu∗ trong X ∗ . Nhận xét 1.1.15 Không gian lp , 1 < p < ∞, có ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc liên tục yếu theo dãy. Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc trong không gian Lp [a, b], 1 < p < ∞, không thỏa mãn tính chất này. Tính đơn trị của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc có mối liên hệ với tính khả vi của chuẩn của không gian Banach như khẳng định trong định lý sau đây. Định lý 1.1.16 (xem [3]) Cho X là không gian Banach với ánh xạ đối ∗ ngẫu chuẩn tắc J : X → 2X . Khi đó các khẳng định sau là tương đương: (i) X là không gian trơn; 9 (ii) J là đơn trị; (iii) Chuẩn của X là khả vi Gâteaux với 5kxk = kxk−1 Jx. Chú ý 1.1.17 Ta dùng ký hiệu j để chỉ ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị. Định lý 1.1.18 (xem [3]) Cho X là không gian Banach có chuẩn khả vi Gâteaux đều. Khi đó ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j : X → X ∗ là liên tục đều mạnh-yếu∗ trên mọi tập con bị chặn trong X. Bổ đề 1.1.19 (xem [19]) Cho số thực q > 1 và X là không gian Banach thực trơn. Khi đó các khẳng định sau là tương đương: (i) X là không gian q-trơn đều. (ii) Tồn tại một hằng số Cq > 0 sao cho với mọi x, y ∈ X, bất đẳng thức sau đây thỏa mãn: kx + ykq ≤ kxkq + qhy, jq (x)i + Cq kykq . Chú ý 1.1.20 Hằng số Cq trong Bổ đề 1.1.19 được gọi là hằng số q-trơn đều của không gian Banach X. 1.1.2 Nửa nhóm không giãn Cho X là một không gian Banach, T : X → X là một ánh xạ. Tập hợp tất cả các điểm bất động của ánh xạ T được ký hiệu là Fix(T ) = {x ∈ X | T x = x} . Ví dụ 1.1.21 Xét ánh xạ T : R → R, T x = x. Do mọi số thực x đều thỏa mãn T x = x nên Fix(T ) = R. Ví dụ 1.1.22 Xét ánh xạ T : R → R, T x = x2 + 1. Do không tồn tại x thỏa mãn x2 + 1 = x nên Fix(T ) = ∅. Ví dụ 1.1.23 Xét ánh xạ T : R → R, T x = x2 + 2x. Do x2 + 2x = x tương đương với x = 0 hoặc x = −1 nên Fix(T ) = {0; −1}. 10 Định nghĩa 1.1.24 Cho C là một tập con khác rỗng của không gian Banach X. (i) Ánh xạ T : C → X được gọi là ánh xạ L-liên tục Lipschitz nếu tồn tại hằng số L > 0 sao cho kT x − T yk ≤ Lkx − yk ∀x, y ∈ C. (1.1) (ii) Trong (1.1), nếu L ∈ (0, 1) thì T được gọi là ánh xạ co; nếu L = 1 thì T được gọi là ánh xạ không giãn. Ví dụ 1.1.25 Ánh xạ A : R → R, Ax = 2x không phải là một ánh xạ không giãn vì tồn tại x = 1, y = 2 thỏa mãn |Ax − Ay| = 3 > |x − y| = 1. Ví dụ 1.1.26 Ánh xạ A : R → R, Ax = x là một ánh xạ không giãn vì với mọi x, y ∈ R, |Ax − Ay| = |x − y|. Định nghĩa 1.1.27 Ánh xạ A : (D(A) = X) → X được gọi là giả co nếu kAx − Ayk ≤ kx − yk2 + k(I − A)x − (I − A)yk2 , ∀x, y ∈ D(A) trong đó I là ánh xạ đồng nhất. Định nghĩa 1.1.28 Ánh xạ A : X → X được gọi là γ-giả co chặt nếu với mỗi x, y ∈ D(A), tồn tại j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho hAx − Ay, j(x − y)i ≤ kx − yk2 − γkx − y − (Ax − Ay)k2 với mỗi γ ∈ (0, 1). Định nghĩa 1.1.29 Ánh xạ A : X → X được gọi là (i) η-j-đơn điệu mạnh nếu tồn tại hằng số η > 0 sao cho với mọi x, y ∈ D(A), ta có hAx − Ay, j(x − y)i ≥ ηkx − yk2 ; 11 (ii) j-đơn điệu nếu với mọi x, y ∈ D(A), ta có hAx − Ay, j(x − y)i ≥ 0. Bổ đề 1.1.30 (xem [7]) Cho X là không gian Banach trơn và A : X → X là ánh xạ η-j-đơn điệu mạnh và γ-giả co chặt với η + γ > 1. Khi đó, p (i) Ánh xạ I − A là ánh xạ co với hệ số co là (1 − η)/γ. (ii) Với mọi λ ∈ (0, 1), I − λA là ánh xạ co với hệ số co là 1 − λτ , trong p đó τ = 1 − (1 − η)/γ ∈ (0, 1). Định nghĩa 1.1.31 Cho C là một tập con lồi đóng và khác rỗng của không gian Banach X. Tập hợp {T (s) : s ≥ 0} được gọi là một nửa nhóm ánh xạ không giãn (hay nửa nhóm không giãn) trên C nếu nó thỏa mãn: (i) Với mỗi s > 0, T (s) là một ánh xạ không giãn trên C; (ii) T (0)x = x với mọi x ∈ C; (iii) T (s1 + s2 ) = T (s1 ) ◦ T (s2 ) với mọi s1 , s2 > 0; (iv) Với mỗi x ∈ C, ánh xạ T (·)x từ (0, ∞) vào C là liên tục. Ta ký hiệu F = ∩t≥0 Fix(T (s)) là tập điểm bất động chung của nửa nhóm không giãn {T (s) : s ≥ 0}. Ví dụ 1.1.32 Cho ánh xạ T (t) : R → R xác định bởi T (t)x = 2−t x, x ∈ R. Khi đó {T (t) : t ≥ 0} là một nửa nhóm ánh xạ không giãn trên R với tập điểm bất động chung F = {0}. Thật vậy, với t > 0, với mọi x 6= y ta có |T (t)x − T (t)y| = 2−t |x − y| < |x − y|, nên T (t)x = 2−t x là ánh xạ không giãn. Hiển nhiên các điều kiện (ii) và (iv) của Định nghĩa 1.1.31 thỏa mãn. Mặt khác, T (t + s)x = 2−t−s x = 2−t (2−s x), nên điều kiện (iii) cũng được thỏa mãn. 12 Cuối cùng, với mọi t ≥ 0, T (t)x = x tương đương với 2−t x = x, hay x = 0. Suy ra tập điểm bất động chung của nửa nhóm ánh xạ không giãn này là F = {0}. Ví dụ 1.1.33 Cho ánh xạ T (t) : R3 → R3 xác định như sau    cos t − sin t 0 x1    T (t)x =  sin t cos t 0 x2  , 0 0 1 x3 ở đây t cố định và x = (x1 , x2 , x3 )T ∈ R3 . Khi đó {T (t) : t ≥ 0} là một nửa nhóm ánh xạ không giãn trên R3 với tập điểm bất động chung F = {x ∈ R3 : x = (0, 0, x3 )T }. Thật vậy, với mọi t ≥ 0 và x, y ∈ R3 ta có T (t)x = (x1 cos t − x2 sin t, x1 sin t + x2 cos t, x3 )T và T (t)y = (y1 cos t − y2 sin t, y1 sin t + y2 cos t, y3 )T . Suy ra kT (t)x − T (t)yk = kx − yk = p (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + (x3 − y3 )2 . Như vậy T (t) là ánh xạ không giãn và điều kiện (i) thỏa mãn. Ta thấy      1 0 0 x1 x1      T (0)x = 0 1 0 x2  = x2  0 0 1 x3 x3 với mọi x ∈ R3 , do đó điều kiện (ii) thỏa mãn. Với mọi t1 , t2 ≥ 0, ta có  x1 cos t2 − x2 sin t2   T (t1 ) ◦ T (t2 )x = T (t1 ) x1 sin t2 + x2 cos t2  x3    cos(t1 + t2 ) − sin(t1 + t2 ) 0 x1    =  sin(t1 + t2 ) cos(t1 + t2 ) 0 x2  = T (t1 + t2 )x. 0 0 1 x3 Do đó điều kiện (iii) thỏa mãn. Dễ thấy điều kiện (iv) thỏa mãn. 13 Lại có, T (t)x = x với mọi t ≥ 0 khi và chỉ khi (x1 cos t − x2 sin t, x1 sin t + x2 cos t, x3 )T = (x1 , x2 , x3 )T với mọi t ≥ 0. Điều này tương đương với x1 = x2 = 0. Do đó tập điểm bất động chung là F = {x ∈ R3 : x = (0, 0, x3 )T }. Bổ đề 1.1.34 (xem [9]) Cho C là tập con khác rỗng, bị chặn, lồi và đóng trong không gian Banach lồi đều X. Cho {T (s) : s ≥ 0} là nửa nhóm ánh xạ không giãn trên C. Khi đó, với bất kì r > 0 và h ≥ 0,   Z t Z t 1 1 = 0, lim sup T (s)yds − T (s)yds T (h) t→∞ y∈C∩Br t 0 t 0 ở đây Br = {x ∈ X : kxk ≤ r}. 1.1.3 Giới hạn Banach và tính chất Xét không gian các dãy số bị chặn: `∞ = {x = (x1 , x2 , . . .) : sup |xn | < ∞}. n Định nghĩa 1.1.35 Phiếm hàm µ : `∞ → R được gọi là giới hạn Banach nếu (i) µ là tuyến tính, tức là µ(x + y) = µ(x) + µ(y) và µ(cx) = cµ(x) với mọi x, y ∈ `∞ với c là hằng số. (ii) µ là ánh xạ dương, tức là µ(x) ≥ 0 với mọi x ∈ `∞ sao cho xn ≥ 0 với mọi n ∈ N. (iii) kµk = µ(1, 1, . . .) = 1. (iv) µ(x1 , x2 , . . .) = µ(x2 , x3 , . . .) với mỗi x = (x1 , x2 , . . .) ∈ `∞ . Ta viết µ(xn ) thay cho µ(x1 , x2 , . . . , xn , . . .). Sự tồn tại của giới hạn Banach được bảo đảm nhờ Định lý Hahn–Banach. Định lý 1.1.36 (xem [3]) Luôn tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục µ trên `∞ sao cho kµk = µ(1) = 1 và µ(xn ) = µ(xn+1 ) với mỗi x = (x1 , x2 , . . .) ∈ `∞ . 14 Một số tính chất của giới hạn Banach µ được công bố dưới đây. Mệnh đề 1.1.37 (xem [3]) Cho µ là giới hạn Banach. Khi đó lim inf xn ≤ µ(xn ) ≤ lim sup xn n→∞ n→∞ với mỗi x = (x1 , x2 , . . .) ∈ `∞ . Hơn nữa, nếu xn → a, thì µ(xn ) = a. Bổ đề 1.1.38 (xem [17]) Cho C là tập con lồi trong không gian Banach X có chuẩn khả vi Gâteaux đều. Giả sử {xn } là dãy bị chặn trong X, z là một điểm trong C và µ là giới hạn Banach. Khi đó, µkxn − zk2 = min µkxn − uk2 u∈C khi và chỉ khi µhu − z, j(xn − z)i ≤ 0 với mọi u ∈ C. Giới hạn Banach là một mở rộng của khái niệm giới hạn thông thường. Tức là, với mọi x = {xn } ∈ c, thì µ(x) = `(x) = limn→∞ xn với mọi giới hạn Banach µ. Tuy nhiên, tồn tại những dãy không hội tụ nhưng lại có giới hạn Banach. Chẳng hạn xét ví dụ sau. Ví dụ 1.1.39 Lấy dãy x = (1, 0, 1, 0, . . .) ∈ `∞ . Khi đó (x1 , x2 , . . . , xn , . . .) + (x2 , x3 , . . . , xn+1 , . . .) = (1, 1, 1, . . .), suy ra µ(xn ) + µ(xn+1 ) = µ(1) = 1 ∀µ. Sử dụng điều kiện (iv) trong Định nghĩa 1.1.35, ta có µ(xn ) = 1/2. 1.2 Bất đẳng thức biến phân và một số bài toán liên quan 1.2.1 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach Cho X là không gian Banach, C là một tập con lồi đóng của X và j : X → X ∗ là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị của X. Trong phần này ta giả thiết ánh xạ A : X → X là ánh xạ đơn trị. Bài toán bất đẳng 15 thức biến phân j-đơn điệu trong không gian Banach X trên tập lồi C, ký hiệu là VI∗ (A, C), được phát biểu như sau: Tìm x0 ∈ C thỏa mãn: hAx0 , j(x − x0 )i ≥ 0 ∀x ∈ C. (1.2) Định nghĩa 1.2.1 Ánh xạ QC : X → C được gọi là phép co rút không giãn theo tia từ không gian Banach X lên tập con lồi đóng C của X nếu QC thỏa mãn: (i) QC là phép co rút trên C, tức là Q2C = QC ; (ii) QC là ánh xạ không giãn; (iii) QC là ánh xạ theo tia, tức là với mọi 0 < t < ∞ QC (QC (x) + t(x − QC (x))) = QC (x). Tập C được gọi là tập co rút không giãn theo tia nếu tồn tại phép co rút không giãn theo tia QC từ X lên C. Bổ đề 1.2.2 (xem [3]) Mọi tập con C lồi đóng của không gian Banach lồi đều X đều là tập co rút của X, tức là tồn tại phép co rút từ X lên C. Bổ đề 1.2.3 (xem [15]) Cho C là tập con khác rỗng, lồi, đóng của không gian Banach trơn X và QC : X → C là phép co rút từ X lên C. Khi đó, các phát biểu sau là tương đương: (i) QC là ánh xạ không giãn theo tia. (ii) hx − QC (x), j(y − QC (x))i ≤ 0 với mọi x ∈ X, y ∈ C. Chú ý 1.2.4 (i) Khi X là không gian Hilbert H, ánh xạ QC chính là phép chiếu mêtric PC từ H lên C. (ii) Nếu C là tập con khác rỗng, lồi đóng của không gian Hilbert H thì phép chiếu mêtric PC : H → C là phép co rút không giãn theo tia từ H lên C. Tuy nhiên điều này không còn đúng trong không gian Banach. Từ Bổ đề 1.2.3 ta có kết quả về mối quan hệ của bất đẳng thức biến phân (1.2) với bài toán điểm bất động trong không gian Banach trơn. 16 Mệnh đề 1.2.5 (xem [6]) Cho C là tập con khác rỗng, lồi, đóng của không gian Banach trơn X. Khi đó bất đẳng thức biến phân (1.2) tương đương với phương trình điểm bất động: p∗ = QC (I − λA)p∗ , λ > 0, (1.3) tức là VI∗ (A, C) = Fix(QC (I − λA)). Chứng minh. Theo Bổ đề 1.2.3, ta có p∗ ∈ Fix(QC (I − λA)) khi và chỉ khi h(p∗ − λAp∗ ) − p∗ , j(x − p∗ )i ≤ 0 ⇔ h−λAp∗ , j(x − p∗ )i ≤ 0 với mọi x ∈ C và λ > 0. Do λ > 0 nên ta suy ra x0 ∈ VI∗ (A, C). Mệnh đề được chứng minh. 2 Do sự tương đương của bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach trơn với bài toán điểm bất động mà nhiều phương pháp giải bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach cũng được xây dựng dựa vào các phương pháp xấp xỉ điểm bất động. 1.2.2 Một số bài toán liên quan Nếu X là không gian hữu hạn chiều Rn , bài toán bất đẳng thức biến phân (1.2) có dạng: hF (x), y − xi ≥ 0 ∀y ∈ C, (1.4) ở đây C là một tập con lồi đóng khác rỗng trong Rn và F : C → Rn là một ánh xạ liên tục. Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian hữu hạn chiều có mối liên hệ với nhiều bài toán như bài toán cực trị, bài toán điểm bất động, bài toán bù v.v. . . Cho C là tập con lồi đóng trong không gian Rn và f : C → R là hàm số khả vi liên tục trên C. Bài toán cực trị (optimization problem) được phát biểu như sau: Tìm x ∈ C sao cho: f (x) = minf (y). y∈C (1.5)