Tài liệu Luận văn bao đa cực và tập đa cực đầy trong cn

„I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M  NGUY™N THÀ HŒNG BAO A CÜC V€ TŠP A CÜC †Y TRONG Cn LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC Th¡i Nguy¶n  2016 „I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M  NGUY™N THÀ HŒNG BAO A CÜC V€ TŠP A CÜC †Y TRONG Cn Chuy¶n ng nh: GIƒI TCH M¢ sè: 60.46.01.02 LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc GS.TSKH NGUY™N QUANG DI›U Th¡i Nguy¶n  2016 i Líi cam oan Tæi xin cam oan r¬ng nëi dung tr¼nh b y trong luªn v«n n y l  trung thüc, khæng tròng l°p vîi c¡c · t i kh¡c v  c¡c thæng tin tr½ch d¨n trong luªn v«n ¢ ÷ñc ch¿ rã nguçn gèc. Th¡i Nguy¶n, th¡ng 4 n«m 2016 Ng÷íi vi¸t luªn v«n Nguy¹n Thà H¬ng ii Líi c£m ìn º ho n th nh ÷ñc luªn v«n, em luæn nhªn ÷ñc sü h÷îng d¨n v  gióp ï nhi»t t¼nh cõa GS.TSKH Nguy¹n Quang Di»u (¤i håc S÷ Ph¤m H  Nëi I). Em xin ch¥n th nh b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c ¸n th¦y v  xin gûi líi tri ¥n nh§t cõa em èi vîi nhúng i·u th¦y ¢ d nh cho em. Em xin ch¥n th nh c£m ìn Ban Gi¡m hi»u nh  tr÷íng, Ban Chõ nhi»m khoa to¡n, ban l¢nh ¤o pháng sau ¤i håc, quþ th¦y cæ gi£ng d¤y lîp Cao håc K22 (2015 - 2016) Tr÷íng ¤i håc S÷ Ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢ tªn t¼nh truy·n ¤t nhúng ki¸n thùc quþ b¡u công nh÷ t¤o i·u ki»n cho em ho n th nh khâa håc. Em xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh nh§t tîi gia ¼nh, b¤n b±, nhúng ng÷íi ¢ luæn ëng vi¶n, hé trñ v  t¤o måi i·u ki»n cho em trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v  thüc hi»n luªn v«n. Do n«ng lüc cán h¤n ch¸ n¶n khâa luªn khæng tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât, em r§t mong nhªn ÷ñc sü âng gâp þ ki¸n cõa c¡c th¦y cæ º luªn v«n ÷ñc ho n thi»n hìn. Th¡i Nguy¶n, th¡ng 4 n«m 2016 Ng÷íi vi¸t luªn v«n Nguy¹n Thà H¬ng iii Möc löc Líi cam oan i Líi c£m ìn ii Möc löc iii Mð ¦u 1 Ki¸n thùc chu©n bà 2 1 Ki¸n thùc chu©n bà 2 1.1 H m i·u háa d÷îi, a i·u háa d÷îi . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Mi·n gi£ lçi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Tªp a cüc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Bao a cüc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5 Dáng d÷ìng, âng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.6 To¡n tû MongeAmpere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.7 ë o i·u háa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 Bao a cüc v  tªp a cüc ¦y trong Cn 20 2.1 Tªp a cüc v  bao a cüc ¦y trong Cn . . . . . . . . . . . 20 2.2 Bao a cüc cõa ç thà trong Cn . . . . . . . . . . . . . . . 25 iv K¸t luªn chung 32 T i li»u tham kh£o 33 1 Mð ¦u H m a i·u háa d÷îi l  mët èi t÷ñng quan trång cõa gi£i t½ch phùc nhi·u bi¸n v  cõa lþ thuy¸t a th¸ và. Tªp cüc cõa mët h m a i·u háa d÷îi ÷ñc ành ngh¾a l  ph¦n m  tr¶n â h m b¬ng −∞. Do log, modun cõa mët h m ch¿nh h¼nh l  h m a i·u háa d÷îi n¶n tªp cüc cõa h m a i·u háa d÷îi (hay cán gåi l  tªp a cüc) l  mð rëng tü nhi¶n cõa kh¡i ni»m tªp gi£i t½ch. Nghi¶n cùu bao a cüc cõa mët tªp cüc ch½nh l  mæ t£ sü mð rëng c¡c tªp a cüc â công t÷ìng tü nh÷ mð rëng c¡c tªp gi£i t½ch. Luªn v«n tr¼nh b y l¤i mët sè k¸t qu£ cõa Nguy¹n Quang Di»u v  Ph¤m Ho ng Hi»p v· bao a cüc trong tr÷íng hñp nhi·u chi·u (Cn , n ≥ 2). Ngo i ki¸n thùc chu©n bà trong ch÷ìng I chõ y¸u v· kh¡i ni»m h m i·u háa d÷îi, a i·u háa d÷îi, mi·n gi£ lçi, dáng d÷ìng âng v  to¡n tû Monge - Ampere, trong ch÷ìng II chóng tæi tr¼nh b y c§u tróc cõa bao a cüc cõa ç thà mët h m ch¿nh h¼nh tr¶n ph¦n bò cõa mët tªp gi£i t½ch (ành lþ 2.1.3 v  ành lþ 2.2.1) v  mët k¸t qu£ têng qu¡t v· hñp cõa hai tªp a cüc ¦y trong nhúng mi·n kh¡c nhau công l  tªp a cüc ¦y tr¶n mët mi·n rëng hìn (ành lþ 2.1.1). 2 Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà 1.1 H m i·u háa d÷îi, a i·u háa d÷îi ành ngh¾a 1.1.1. Gi£ sû X l  khæng gian tæpæ. H m u : X → [−∞, +∞) gåi l  nûa li¶n töc tr¶n tr¶n X n¸u vîi méi α ∈ R tªp Xα = {x ∈ X : u(x) < α} l  mð trong X . ành ngh¾a 1.1.2. Gi£ sû D l  tªp mð trong C. H m u : D → [−∞, +∞) gåi l  i·u háa d÷îi tr¶n D n¸u nâ nûa li¶n töc tr¶n tr¶n D v  tho£ m¢n b§t ¯ng thùc d÷îi trung b¼nh tr¶n D, ngh¾a l  vîi måi ω ∈ D tçn t¤i ρ > 0 sao cho vîi måi 0 ≤ r ≤ ρ ta câ Z 2π 1 u(ω) ≤ u(ω + reit )dt. 2π 0 (1.1) Chó þ r¬ng vîi ành ngh¾a tr¶n th¼ h m çng nh§t −∞ tr¶n D ÷ñc xem l  h m i·u háa d÷îi tr¶n D. Ta kþ hi»u tªp c¡c h m i·u háa d÷îi tr¶n D l  SH(D). Sau ¥y l  v½ dö ¡ng chó þ v· h m i·u háa d÷îi. Bê · 1.1.3. N¸u f : D → C l  h m ch¿nh h¼nh tr¶n D i·u háa d÷îi tr¶n D. th¼ log |f | l  h m 3 Chùng minh. Tr÷íng hñp f ≡ 0 th¼ k¸t qu£ l  rã r ng. Gi£ sû f 6≡ 0 tr¶n D. Khi â rã r ng log |f | l  h m nûa li¶n töc tr¶n D. N¸u f (z0 ) 6= 0 th¼ chån δ > 0 sao cho f 6= 0 tr¶n B(z0 , δ) = {z ∈ D : |z − z0 | < δ}. Khi â log |f | l  h m i·u háa tr¶n B(z0 , δ) = {z ∈ D : |z − z0 | < δ} n¶n (1.1) ÷ñc thäa m¢n vîi d§u ¯ng thùc. Tr÷íng hñp f (z0 ) = 0. Khi â log |f (z0 )| = −∞ v  do â (1.1) luæn óng. ành lþ sau ¥y cho th§y t½nh i·u háa d÷îi l  b§t bi¸n qua ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh giúa c¡c tªp mð trong C. Gi£ sû f : D1 → D2 l  ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh giúa hai tªp mð trong C. N¸u u l  h m i·u háa d÷îi tr¶n D2 th¼ u ◦ f l  h m i·u háa d÷îi tr¶n D1. ành lþ 1.1.4. Chùng minh. V¼ t½nh i·u háa d÷îi l  t½nh àa ph÷ìng n¶n ch¿ c¦n chùng minh u ◦ f l  i·u háa d÷îi tr¶n méi mi·n co compact t÷ìng èi E1 b D1 . Gi£ sû E1 l  mi·n nh÷ vªy. Khi â E2 = f (E1 ) b D2 . Chån d¢y h m i·u háa trìn {un } ∈ C ∞ (E2 ) sao cho un & u tr¶n E2 . Ta câ ∆un ≥ 0 tr¶n E2 vîi måi n ≥ 1. Ta câ 0 ∆(un ◦ f ) = (∆(un ) ◦ f )|f |2 tr¶n D1 . Do â un ◦ f l  h m i·u háa d÷îi tr¶n E1 . Nh÷ng un ◦ f & u ◦ f tr¶n E1 n¶n u ◦ f l  h m i·u háa d÷îi tr¶n D1 v  ành lþ ÷ñc chùng minh. ành ngh¾a 1.1.5. Gi£ sû D ⊂ Cn l  tªp mð, u : D → [−∞, +∞) l  h m nûa li¶n töc tr¶n, khæng çng nh§t b¬ng −∞ tr¶n måi th nh ph¦n li¶n thæng cõa D. H m u gåi l  a i·u háa d÷îi tr¶n D n¸u vîi måi a ∈ D v  b ∈ Cn , h m λ 7−→ u(a + λb) l  i·u háa d÷îi ho°c b¬ng −∞ tr¶n måi 4 th nh ph¦n li¶n thæng cõa tªp {λ ∈ C : a + λb ∈ D}. Kþ hi»u P SH(D) l  tªp c¡c h m a i·u háa d÷îi trong D. Ta câ mët sè t½nh ch§t cõa h m a i·u háa d÷îi nh÷ sau: +) N¸u u ∈ P SH(D) th¼ eu ∈ P SH(D). +) N¸u u ∈ P SH(D), u ≥ 0 v  α ≥ 1 th¼ uα ∈ P SH(D). +) N¸u u1 , u2 l  c¡c h m khæng ¥m tr¶n tªp mð D ⊂ Cn v  log u1 , log u2 ∈ P SH(D) th¼ u1 , u2 ∈ P SH(D) v  log(u1 + u2 ) ∈ P SH(D). Gi£ sû u : X → [−∞, +∞) l  h m nûa li¶n töc tr¶n, khæng çng nh§t b¬ng −∞ tr¶n måi th nh ph¦n li¶n thæng cõa D ⊂ Cn. Khi â u ∈ P SH(D) khi v  ch¿ khi vîi måi a ∈ D, b ∈ Cn sao cho ành lþ 1.1.6. {a + λb : λ ∈ C, |λ| ≤ 1} ⊂ D ta câ 1 u(a) ≤ 2π Z 2π u(a + reiθ b)dθ := l(u, a, b). 0 Chùng minh. i·u ki»n c¦n: L  hiºn nhi¶n suy ra tø ành ngh¾a 1.1.5. i·u ki»n õ: Gi£ sû a ∈ D, b ∈ Cn v  x²t U = {λ ∈ C : a + λb ∈ D}. Khi â U l  tªp mð tr¶n C. °t v(λ) = u(a + λb), λ ∈ U . C¦n chùng minh v(λ) l  i·u háa d÷îi tr¶n U . Muèn vªy ch¿ c¦n chùng tä n¸u λ0 ∈ U tçn t¤i ρ > 0 sao cho 0 ≤ r < ρ th¼ 1 v(λ0 ) ≤ 2π Z 2π v(λ0 + reiθ )dθ. 0 Tø a + λ0 b ∈ U , n¸u câ ρ > 0 sao cho khi |λ| < ρ th¼ a + λ0 b + λb ∈ D. Vîi 0 ≤ r < ρ ta câ {a + λ0 b + λrb : |λ| ≤ 1} ⊂ D. Do â tø gi£ thi¸t Z 2π 1 u(a + λ0 b) ≤ u(a + λ0 b + rbeiθ )dθ. 2π 0 5 1 Vªy v(λ0 ) ≤ 2π Z 2π v(λ0 + reiθ )dθ, â l  i·u ph£i chùng minh. 0 ành ngh¾a 1.1.7. Gi£ sû D ⊂ Cn l  tªp mð v  E ⊂ D. H m cüc trà t÷ìng èi cõa E èi vîi D, ÷ñc k½ hi»u l  uE,D , v  ÷ñc x¡c ành bði cæng thùc uE,D (z) = sup{v(z) : v ∈ P SH(D), v ≤ −1 tr¶n D}, z ∈ D. ành ngh¾a 1.1.8. H m u∗E,D l  ch½nh qui hâa nûa li¶n töc tr¶n cõa uE,D . H m n y ÷ñc ành ngh¾a bði u∗E,D (z) = lim sup uE,D (ρ). ρ→z H m u∗E,D ∈ P SH(D) v  −1 ≤ u∗E,D ≤ 0, z ∈ D, u∗E,D (z) = −1 khi z ∈ E. ành lþ sau ¥y mæ t£ t½nh a i·u háa d÷îi cõa u qua ¤o h m theo ngh¾a suy rëng v  c¦n dòng cho vi»c chùng tä ddc u l  dáng d÷ìng âng song bªc (1,1). Gi£ sû D ⊂ Cn l  tªp mð v  u ∈ P SH(D). Khi â vîi måi b = (b1, b2, ..., bn) ∈ Cn ta câ ành lþ 1.1.9. n X ∂ 2u (z)bj bk ≥ 0 ∂z ∂z j k j,k=1 t¤i måi z ∈ D theo ngh¾a suy rëng, ngh¾a l  vîi måi ϕ ∈ C0∞(D), ϕ ≥ 0, Z u(z) < Lϕ(z)b, b) > dλ(z) ≥ 0 D ð â < Lϕ(z)b, b) >= n X ∂ 2u (z)bj bk ∂z ∂z j k j,k=1 6 l  d¤ng Levi cõa ϕ t¤i z . Ng÷ñc l¤i, n¸u z ∈ D, måi b = (b1 , b2 , ..., bn ) ∈ Cn , v ∈ L1loc (D) sao cho vîi måi n X ∂ 2u (z)bj bk ≥ 0 ∂z ∂z j k j,k=1 theo ngh¾a suy rëng th¼ h m u = ε→0 lim(v ∗ χε ) l  h m a i·u háa d÷îi tr¶n D v  b¬ng h¦u kh­p nìi tr¶n D. Chùng minh. Gi£ sû u ∈ P SH(D) v  °t uε = u ∗ χε. Khi â uε ∈ P SH(Dε ) ∩ C ∞ (Dε ). L§y ϕ ∈ C0∞ (D), ϕ ≥ 0 v  b = (b1 , b2 , ..., bn ) ∈ Cn . Tø ành lþ hëi tö bà ch°n Lebesgue còng vîi t½ch ph¥n tøng ph¦n ta câ Z Z u(z) < Lϕ(z)b, b) > dλ(z) = lim uε (z) < Lϕ(z)b, b) > dλ(z) ε→0 D D Z = lim ϕ(z) < Lϕ(z)b, b) > dλ(z) ≥ 0. ε→0 D Ng÷ñc l¤i, gi£ sû v ∈ L1loc (D). °t vε = v ∗ χε , ε > 0. Theo ành lþ Fubini, Hvε (z)(ω, ω) ≥ 0 vîi måi z ∈ Dε v  ω ∈ Cn . Do â vε ∈ P SH(Dε ) cho måi ε > 0. M°t kh¡c, vîi o < ε1 < ε2 v  z ∈ Dε2 ta câ vε2 = lim(v ∗ χε2 ) ∗ χδ (z) = lim(v ∗ χδ ) ∗ χε2 (z) δ→0 δ→0 ≥ lim(v ∗ χδ ) ∗ χε1 (z) = lim(v ∗ χε1 ) ∗ χδ (z) = vε1 (z). δ→0 δ→0 Vªy hå {vε (z)}ε>0 l  d¢y gi£m. °t u(z) = lim vε (z). Khi â u nûa li¶n töc tr¶n tr¶n D v  bði ành lþ hëi ε→0 tö ìn i»u v  t½nh a i·u háa d÷îi cõa vε tr¶n Dε k²o theo u ∈ P SH(D). Z M°t kh¡c, tø ành ngh¾a cõa t½ch chªp v  ¯ng thùc χε (ω)dλ(ω) = 1 suy ra hå {vε } hëi tö tîi v trong L1loc (D). Cn Vªy vε hëi tö h¦u kh­p nìi tîi v tr¶n D. Do â u = v h¦u kh­p nìi tr¶n D. 7 D÷îi ¥y l  mët sè k¸t qu£ li¶n quan tîi t½nh a i·u háa d÷îi khi qua d÷îi h¤n v  t½nh lçi cõa hå c¡c h m a i·u háa d÷îi. Gi£ sû D l  mët tªp mð trong Cn. (i) N¸u u, v ∈ P SH(D) th¼ max{u, v} ∈ P SH(D) v  n¸u α, β ≥ 0 th¼ αu + βv ∈ P SH(D), ngh¾a l  P SH(D) l  nân lçi. (ii) N¸u {uj }j≥1 ⊂ P SH(D) l  d¢y gi£m th¼ u = lim uj ho°c l  h m a i·u háa d÷îi tr¶n D ho°c u ≡ −∞. (iii) N¸u d¢y {uj } ⊂ P SH(D) l  d¢y hëi tö ·u tr¶n måi tªp compact cõa D tîi h m u : D → R th¼ u ∈ P SH(D). (iv) Gi£ sû {uα}α∈I ⊂ P SH(D) sao cho u = sup{uα : α ∈ I} l  bà ch°n tr¶n àa ph÷ìng, khi â ch½nh quy hâa nûa li¶n töc tr¶n u∗ ∈ P SH(D). ành lþ 1.1.10. Chùng minh. C¡c kh¯ng ành (i), (ii), (iii) suy ra tø ành ngh¾a 1.1.5 v  ành lþ hëi tö ìn i»u hay ành lþ qua giîi h¤n d÷îi d§u t½ch ph¥n trong tr÷íng hñp d¢y hëi tö ·u. Ta chùng minh (iv). Ch¿ c¦n chùng tä a ∈ D, b ∈ Cn sao cho {a + λb : λ ∈ C, |λ| ≤ 1} ⊂ D th¼ 1 u (a) ≤ 2π ∗ Z 2π u∗ (a + eiθ b)dθ. 0 D¹ th§y vîi måi z ∈ D, b ∈ Cn sao cho {z + λb, |λ| ≤ 1} ⊂ D ta câ Z 2π 1 u(z) ≤ u∗ (z + eiθ b)dθ. 2π 0 Vîi a ∈ D, chån d¢y {zn } ⊂ D sao cho zn → a v  u(zn ) → u∗ (a). Tø {z + λb, |λ| ≤ 1} ⊂ D n¶n vîi n õ lîn {zn + λb, |λ| ≤ 1} ⊂ D. Khi â Z 2π 1 u(zn ) ≤ u∗ (zn + eiθ b)dθ. 2π 0 8 Theo bê · Fatou ta câ Z 2π 1 u (a) = lim sup u(zn ) ≤ lim sup u∗ (zn + eiθ b)dθ 2π 0 n n Z 2π 1 u∗ (a + eiθ b)dθ. ≤ 2π 0 ∗ 1.2 Mi·n gi£ lçi 0 Ta ¢ bi¸t tªp D ⊂ Rn ÷ñc gåi l  lçi vîi måi x, x ∈ D th¼ 0 {tx + (1 − t)x } ∈ D vîi t ∈ (0, 1). Tø ành ngh¾a tr¶n, ta câ ành ngh¾a t÷ìng ÷ìng sau. ành ngh¾a 1.2.1. Mi·n D ⊂ Rn ÷ñc gåi l  mi·n lçi n¸u h m f (x) = − ln d(x, ∂D) l  h m lçi trong D, trong â d(x, ∂D) l  kho£ng c¡ch Ìclit tø iºm x ¸n bi¶n ∂D. Tø kh¡i ni»m mi·n lçi, n¸u thay c§u tróc thüc b¬ng c§u tróc phùc, ta câ kh¡i ni»m mi·n gi£ lçi. ành ngh¾a 1.2.2. Mi·n D ⊂ Cn ÷ñc gåi l  gi£ lçi, n¸u h m ϕ(x) = − ln d(z, ∂D), trong â d(z, ∂D) l  kho£ng c¡ch Ìclit tø iºm z ¸n bi¶n ∂D, l  h m a i·u háa d÷îi trong D. V½ dö 1.2.3. Tr¶n m°t ph¯ng C, mët mi·n tòy þ l  gi£ lçi. ành ngh¾a 1.2.4. Tªp mð bà ch°n D ⊂ Cn gåi l  si¶u lçi n¸u tçn t¤i h m a i·u háa d÷îi ¥m ρ tr¶n D m  ρ v²t c¤n D theo ngh¾a: vîi måi c < 0, tªp Dc = {z ∈ D : ρ(z) < c} b D. 9 Rã r ng n¸u ρ l  h m v²t c¤n èi vîi D th¼ lim ρ(z) = 0 vîi måi ω ∈ ∂D. z→ω Nhªn x²t 1.2.5. Måi mi·n si¶u lçi l  mi·n gi£ lçi. 1.3 Tªp a cüc ành ngh¾a 1.3.1. Tªp E ⊂ D ⊂ Cn ÷ñc gåi l  tªp a cüc trong D n¸u vîi måi a ∈ E , tçn t¤i l¥n cªn li¶n thæng Va ⊂ D v  h m u ∈ P SH(Va ), u 6≡ −∞ sao cho E ∩ Va ⊂ {z ∈ Va : u(z) = −∞}. Theo mët ành lþ cõa Josefson ta luæn t¼m ÷ñc u ∈ P SH(Cn ), u 6≡ −∞ sao cho u|E ≡ −∞. V½ dö ìn gi£n nh§t cõa tªp a cüc l  c¡c tªp gi£i t½ch cõa D. Gi£ sû D ⊂ Cn l  tªp mð v  E ⊂ D. Khi â c¡c ph¡t biºu sau ¥y l  t÷ìng ÷ìng: (i) u∗E,D (z) = 0 vîi måi z ∈ D. (ii) Tçn t¤i h m a i·u háa d÷îi ¥m v ∈ P SH(D) sao cho M»nh · 1.3.2. E ⊂ {z ∈ D : v(z) = −∞}. Chùng minh. (ii) ⇒ (i). Gi£ sû v tçn t¤i nh÷ trong (ii). Khi â vîi måi ε > 0 câ εv ≤ uE,D tr¶n D. Vªy uE,D = 0 h¦u kh­p nìi trong D. Do â u∗E,D (z) = 0 vîi måi z ∈ D. (i) ⇒ (ii). Gi£ sû u∗E,D (z) = 0 vîi måi z ∈ D. Do â u∗E,D = uE,D h¦u kh­p nìi n¶n câ a ∈ D sao cho uE,D (a) = 0. Do â vîi måi j ≥ 1, câ 1 vj ∈ P SH(D), vj ≤ 1, vj |E < −1 v  vj (a) > − j . °t 2 ∞ X v(z) = vj (z), z ∈ D. j=1 10 Khi â, c¡c têng ri¶ng uj (z) = j X vk (z) k=1 t¤o th nh mët d¢y gi£m c¡c h m a i·u háa d÷îi ¥m, hëi tö tr¶n D tîi v v  v(a) > −1. Vªy v l  h m a i·u háa d÷îi ¥m tr¶n D. Hìn núa, n¸u ∞ X z ∈ E th¼ v(z) ≤ −1 = −∞. Vªy E ⊂ {z ∈ D : v(z) = −∞}. j=1 N¸u D ⊂ Cn l  tªp mð v  u ∈ P SH(D) ∩ L∞loc(D). Khi â vîi måi tªp a cüc E ⊂ D ta câ M»nh · 1.3.3. Z (ddc u)n = 0. E Chùng minh. Tø ành ngh¾a tªp a cüc, vîi méi a ∈ E câ h¼nh c¦u B(a, r) ⊂ D v  h m v ∈ P SH(B(a, r)), v 6≡ −∞ v  E ∩ B(a, r) ⊂ {v = −∞}. N¸u ta chùng minh Z (ddc u)n = 0 E∩B(a,r) th¼ M»nh · 1.3.3 ÷ñc chùng minh. Do â câ thº coi D = B(a, R) v  E ⊂ v −1 (−∞) vîi v ∈ P SH − (D). Vîi méi 0 < r < R ta °t Ar = v −1 (−∞) ∩ B(a, r). Khi â n¸u chùng minh ÷ñc Z (ddc u)n = 0 Ar th¼ 0≤ Z c n (dd u) ≤ lim E r→R Z (ddc u)n = 0 Ar v  M»nh · 1.3.3 ÷ñc chùng minh. Nh÷ng Ar l  tªp d¤ng Gδ v¼ −1 v (−∞) = ∞ \ j=1 v −1 ([−∞, −j)) 11 v  do (ddc u)n l  ë o Borel ch½nh quy n¶n Z Z c n (dd u) = sup (ddc u)n , Ar K trong â sup l§y theo måi tªp con compact K cõa Ar . Nh÷ng K ⊂ Ar n¶n theo M»nh · 1.3.2, u∗K,D ≡ 0. Do â Z Cn (K, D) = (ddc u∗K,D )n = 0. K Nh÷ng u ∈ L∞ loc (D) n¶n Z (ddc u)n ≤ DCn (K, D) K vîi D l  h¬ng sè. Vªy Z (ddc u)n = 0 K M»nh · ÷ñc chùng minh. H» qu£ 1.3.4. Hñp ¸m ÷ñc c¡c tªp a cüc l  tªp a cüc. Chùng minh. Gi£ sû {Ej }j≥1 l  d¢y c¡c tªp a cüc cõa Cn v  E = S∞j=1 Ej . Gi£ sû a ∈ E v  B = B(a, 1) l  h¼nh c¦u t¥m a b¡n k½nh 1. Khi â E∩B = ∞ [ (Ej ∩ B) j=1 Theo ành lþ Josefson, vîi méi j câ h m ϕj ∈ P SH(Cn ) sao cho Ej ⊂ {ϕj = −∞}. Câ thº coi ϕ < 0 tr¶n B . Vªy Ej ∩ B ⊂ {ϕj = −∞}. Do â u∗Ej ∩B,B ≡ 0. Vªy u∗E∩B,B ≡ 0. Do M»nh · 1.3.2, câ h m v ∈ P SH(D) sao cho E ∩ B ⊂ {v = −∞}. Vªy E l  tªp a cüc. ành ngh¾a 1.3.5. N¸u E l  tªp a cüc v  chùa c£ mi·n D th¼ ta nâi E l  tªp a cüc ¦y trong D n·u tçn t¤i h m u ∈ P SH(D) sao cho u 6≡ −∞ v  u = −∞ tr¶n E . 12 1.4 Bao a cüc ành ngh¾a 1.4.1. Cho E l  mët tªp a cüc con cõa mi·n D. Khi â ∗ bao a cüc ED cõa E trong D ÷ñc x¡c ành bði ∗ ED = ∩{z ∈ D : u(z) = −∞, u ∈ P SH(D), u|E ≡ −∞}. ¥y câ thº coi l  tªp a cüc nhä nh§t chùa E . ành ngh¾a 1.4.2. Bao a cüc ¥m ED∗ cõa mët tªp a cüc E ⊂ D ÷ñc giîi thi»u bði Levenberg v  Poletsky trong [12] nh÷ sau: − ED = ∩{z ∈ D : u(z) = −∞, u ∈ P SH(D), u < 0, u|E ≡ −∞}. − ∗ ⊂ ED v  n¸u E l  tªp a cüc ¦y trong D th¼ Hiºn nhi¶n E ⊂ ED ∗ = E . K¸t qu£ d÷îi ¥y cõa Levenberg v  Polotsky thi¸t lªp mèi li¶n ED h» giúa bao a cüc v  bao a cüc ¥m. Cho D l  mët mi·n gi£ lçi trong Cn v  {Dj }j≥1 l  mët d¢y t«ng cõa mi·n compact t÷ìng èi vîi ∪Dj = D. Khi â vîi måi tªp a cüc con E cõa D ta câ: Bê · 1.4.3. ∗ ED = [ (E ∩ Dj )− Dj j≥1 °c bi»t n¸u D l  mi·n si¶u lçi v  bà ch°n th¼ tçn t¤i mët h m a i·u háa d÷îi ¥m v²t c¤n cõa D, khi â ED∗ = ED−. K¸t qu£ sau ¥y cõa Zeriahi (M»nh · (2.1)) trong [7]) mæ t£ tªp a cüc ¦y cõa mët tªp E trong sè c¡c bao a cüc cõa nâ. Cho tªp a cüc E l  tªp con cõa mi·n gi£ lçi D trong Cn. Khi â E l  tªp a cüc ¦y trong D n¸u ED∗ = E v  E l  tªp lo¤i Fσ v  Gδ . Bê · 1.4.4. 13 Düa v o h» qu£ cõa Bê · 1.4.3 v  1.4.4 ta câ: Gi£ sû D l  mët mi·n gi£ lçi trong Cn v  E ⊂ D l  mët tªp a cüc. Gi£ sû E l  tªp lo¤i Fσ v  Gδ v  E ∩ D0 l  tªp a cüc ¦y trong D0 vîi måi mi·n con compact t÷ìng èi D0 cõa D. Khi â E l  mët tªp a cüc ¦y trong D. Bê · 1.4.5. Chùng minh. L§y {Dj }j≥1 l  mët d¢y c¡c mi·n con compact t÷ìng èi S gi£ lçi cõa D sao cho D = Dj v  Dj b Dj+1 vîi måi j ≥ 1. V¼ E ∩ Dj j≥1 l  tªp a cüc ¦y trong Dj vîi måi j n¶n ta câ (E ∩ Dj )− Dj = E ∩ Dj , ∀j ≥ 1. ∗ = E . p döng Bê · 1.4.4 ta câ i·u ph£i chùng Tø Bê · 1.4.3 suy ra ED minh. Nhªn x²t 1.4.6. Bê · 1.4.5 l  sai n¸u khæng câ gi£ thi¸t D l  mi·n gi£ lçi. º th§y ÷ñc i·u n y, ta s³ x¥y düng tr¶n mët v½ dö tø [4]. Gi£ sû D := B(0, 3)\{(z1 , z2 ) : |z1 | = 1, |z2 | = 0}, E = {(z1 , z2 ) : |z1 | > 1, z2 = 0}, trong â B(0, 3) l  h¼nh c¦u trong C2 vîi b¡n k½nh b¬ng 3. Vîi j ≥ 1, x²t mi·n con sau ¥y cõa D, Dj := B(0, 3)\{(z1 , z2 ) : 1 − 1/j ≤ |z1 | ≤ 1 + 1/j, |z2 | ≤ 1/j}. 14 Khi â Dj = D1,j ∪ D2,j ∪ D3,j trong â D1,j := {(z1 , z2 ) ∈ B(0, 3) : |z1 | < 1 − 1/j}, D2,j := {(z1 , z2 ) ∈ B(0, 3) : 1 − 1/j ≤ |z1 | ≤ 1 + 1/j, |z2 | > 1/j}, D3,j := {(z1 , z2 ) ∈ B(0, 3) : 1 + 1/j < |z1 |}. Chó þ r¬ng E ∩ Dj = D3,j ∩ {(z1 , z2 ) : z2 = 0}. °t uj (z1 , z2 ) =    log |z2 | tr¶n D3,j ,   max(− log j, log |z2 |) tr¶n D1,j ∪ D2,j . Chó þ r¬ng uj l  h m a i·u háa d÷îi tr¶n Dj ,uj 6≡ −∞, ng÷ñc l¤i uj = −∞ tr¶n E ∩ Dj . Do â E ∩ Dj l  tªp a cüc ¦y trong Dj vîi måi S 0 0 j ≥ 1. Tø Dj = D suy ra E ∩ D l  tªp a cüc ¦y trong D vîi måi j≥1 0 mi·n con compact t÷ìng èi D cõa D. Ti¸p theo, gi£ sû u l  mët h m a i·u háa d÷îi tr¶n D thäa m¢n u ≡ −∞ tr¶n E . Ta kh¯ng ành r¬ng u(0, 0) = −∞. º câ i·u n y, cè ành A > 0, khi â câ mët sè ε > 0 õ nhä sao cho u(z1 , z2 ) < −A tr¶n {(z1 , z2 ) : |z1 | = 2, |z2 | = ε}. p döng nguy¶n lþ cüc ¤i ta câ u(0, 0) ≤ max u(0, z2 ) ≤ −A. Cho A → |z2 |=ε −∞ ta ÷ñc u(0, 0) = −∞, v¼ E khæng l  tªp a cüc ¦y trong D. Ta câ i·u ph£i chùng minh. (b) Mi·n D x¥y düng nh÷ tr¶n khæng câ bi¶n trìn, chóng tæi khæng bi¸t mët sè v½ dö t÷ìng tü câ thº ÷ñc x¥y düng trong lîp c¡c mi·n bà ch°n vîi bi¶n trìn trong Cn .