ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
GIAO THỨC TRỤC GIAO VÀ ỨNG DỤNG TRONG TOÁN PHỔ THÔNG
PHẠM VĂN CHINH
THÁI NGUYÊN 2015
i
Mục lục
Lời cảm ơn
iii
Lời cam đoan
iv
Tóm tắt nội dung
v
Danh sách ký hiệu
vi
Mở đầu
1
1 Cơ sở lý thuyết
1.1 Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . .
1.2 Không gian tuyến tính định chuẩn, không gian có
vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Không gian các hàm liên tục . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Trực giao hóa Gram-Schmidt . . . . . . .
1.3.2 Đa thức với hệ số thực . . . . . . . . . . .
1.4 Đa thức trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Đa thức Legendre . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Đa thức Chebyshev loại I . . . . . . . . .
1.4.3 Đa thức Chebyshev loại II . . . . . . . . .
1.4.4 Đa thức Hermite . . . . . . . . . . . . . .
1.4.5 Đa thức lượng giác . . . . . . . . . . . . .
2
2
. . .
tích
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
2
4
7
7
8
9
10
10
12
13
2 Giải một số bài toán
15
2.1 Giải một số bài toán cao cấp . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Giải một số bài toán sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . 27
ii
Kết luận và đề nghị
34
Tài liệu tham khảo
35
iii
Lời cảm ơn
Trong suốt quá trình làm luận văn, tôi luôn nhận được sự hướng
dẫn và giúp đỡ của TS.Nguyễn Văn Minh. Thầy đã giành nhiều thời
gian chỉ bảo rất tận tình hướng dẫn và giải đáp các thắc mắc của tôi
trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi xin chân thành bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc đến Thầy.
Tôi cũng xin cảm ơn các quý thầy, cô Khoa Toán-Tin và phòng Đào
tạo của Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, viện Toán
học, cũng như các thầy cô đã tham gia giảng dạy khóa cao học 2013
- 2015, lời cảm ơn sâu sắc nhất về công lao dạy dỗ mang đến cho tôi
nhiều kiến thức bổ ích không chỉ trong khoa học mà còn cả trong cuộc
sống. Tôi xin chân thành cảm ơn các bạn học viên lớp Cao học toán
K7Q và bạn bè đồng môn đã giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập
tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên và trong quá
trình hoàn thiện luận văn thạc sĩ.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình. Nhờ có gia đình là chỗ dựa vững
chắc về vật chất và tinh thần cho tôi trong suốt quá trình học cao học
và làm luận văn Thạc sĩ.
Thái Nguyên, ngày 10 tháng 4 năm 2015
Học viên
Phạm Văn Chinh
iv
Lời cam đoan
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn
Văn Minh. Tôi xin cam đoan các kết quả được trình bày trong luận
văn là do tôi tự làm, không sao chép các luận văn đã được công bố
trước đó.
Thái Nguyên, ngày 10 tháng 4 năm 2015
Học viên
Phạm Văn Chinh
v
TÓM TẮT NỘI DUNG
Ứng dụng Toán Cao cấp để nghiên cứu Toán sơ cấp là vấn đề người
ta vẫn làm. Vì Toán cao cấp ở mức độ khái quát cao hơn rất nhiều
so với Toán sơ cấp. Đề tài này cũng theo tư tưởng như đã nói ở trên,
nhưng ở phạm vi hẹp hơn. Trong đề tài này chúng tôi xét một lớp
hàm tương đối đặc biệt, đó là Đa Thức Trực Giao. Ngoài đa thức theo
nghĩa thông thường, trong luận văn này chúng ta xét cả các đa thức
lượng giác, vì đa thức lượng giác cũng là hệ hàm trực giao đầy đủ.
Đa thức trực giao là đa thức có tính chất trực giao. Đa thức trực giao
là một hệ đầy đủ, theo nghĩa là mọi hàm liên tục đều có thể khai
triển thành chuỗi Fourier theo hệ hàm trực giao, còn gọi là khai triển
Fourier mở rộng.
Đa thức trực giao ngoài những tính chất chung của đa thức, nó còn
có một số tính chất riêng, trong đó có những tính chất sơ cấp. Luận
văn này của chúng tôi cố gắng khai thác tính sơ cấp trong hệ đa thức
trực giao. Trình bày và giải một số bài toán sơ cấp có liên quan tới đa
thực trực giao.
vi
Danh sách ký hiệu
Trong toàn luận văn, ta dùng những ký hiệu với các ý nghĩa xác
định trong bảng dưới đây:
hu, vi
||.||
C[a; b]
Pn (x); Qn (x)
Tích vô hướng của hai vector u và v
Chuẩn của vector
Tập hợp các hàm liên tục trên đoạn [a,b]
Đa thức có bậc n, biến x
1
Mở đầu
Lớp các hàm đa thức trực giao có một vị trí khá đặc biệt trong toán
học, nó không chỉ là đối tượng nghiên cứu của Đại số cao cấp, của
Giải tích mà còn được nghiên cứu trong Giải tích số. Vì đa thức trực
giao là hệ đầy đủ trong không gian các hàm liên tục, cho nên nó là cơ
sở trực chuẩn của không gian này. Mọi hàm liên tục đều có thể khai
triển một cách duy nhất thành chuỗi Fourier theo hệ hàm trực giao.
Các hệ đa thức trực giao có những tính chất khá thú vị, chẳng hạn
như mỗi hệ đa thức trực giao đều là nghiệm của phương trình vi phân
tuyến tính cấp 2; ba đa thực trực giao liên tiếp trong một hệ thỏa
mãn phương trình sai phân tuyến tính cấp 2; đa thức trực giao cấp n
có đúng n nghiệm thực, các nghiệm của đa thức cấp n và cấp n − 1
xen kẽ nhau...
Bản thân hệ đa thức trực giao là đối tượng của Toán cao cấp, nhưng
bên cạnh đó chúng cũng có một số tính chất có tính sơ cấp. Luận văn
này chúng tôi có gắng khai thác những tính chất thuộc về toán cao
cấp nhưng có thể sơ cấp hóa được và khai thác một số tính chất sơ
cấp của chúng.
Ngoài các mục Mở đầu, Kết luận và một vài mục có tính chất hành
chính, Luận văn có hai chương chính, đó là chương 1 và chương 2:
Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị. Chương này nhắc
lại một số phần căn bản của Đại số cao cấp, Đại số tuyến tính và Giải
tích.
Chương 2, tình bày một số ví dụ, bài toán có nội dung liên quan tới
đa thức trực giao.
2
Chương 1
Cơ sở lý thuyết
1.1
Một số kiến thức chuẩn bị
1.2
Không gian tuyến tính định chuẩn, không gian có tích
vô hướng
Ta nói không gian V được xác định một cấu trúc chuẩn, nếu với
mọi vector x ∈ V , luôn luôn xác định một số ||x||, gọi là chuẩn của x,
thỏa mãn 4 tính chất sau:
1. ||x|| ≥ 0
2. ||x|| = 0 ⇐⇒ x = θ
3. ||tx|| = |t|.||x||
4. ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||
Trong một không gian có thể có nhiều chuẩn khác nhau, và ta có khái
niệm về hai chuẩn tương đương như sau:
Định nghĩa 1.1. Hai chuẩn ||x||1 và ||x||2 được gọi là tương đương,
nếu tồn tại hai hằng số dương c1 , c2 sao cho
c1 ||x||1 ≤ ||x||2 ≤ c2 ||x||1
Trong không gian hữu hạn chiều mọi chuẩn đều tương đương. Chuẩn
trong Rn được xác định:
n
X
1/p
p
||x||p =
|xi |
, với 1 ≤ p ≤ +∞
i=1
3
Gán p các số khác nhau, ta được các chuẩn. Ba chuẩn thường dùng
là:
n
P
1. Với p=1, ta có chuẩn ||x||1 =
|xi |
i=1
2. Với p=2, ta có chuẩn ||x||2 =
p
x21 + x22 + ... + x2n
3. Với p = +∞, ta có chuẩn ||x||∞ = max |x1 |, |x2 |, ..., |xn |
Trong chương trình hình học ta đã biết về tích vô hướng của hai vector;
ở đây ta suy rộng khái niệm đó cho vector tổng quát:
Định nghĩa 1.2. Cho V là không gian vector, x, y là hai vector của
V . Tích vô hướng của hai vector là một số thực, ký hiệu là hx, yi, thỏa
mãn các tính chất sau, gọi là các tiên đề về tích vô hướng:
1. hx, yi = hy, xi;
2. hx, xi ≥ 0, ∀x ∈ V , hx, xi = 0 ⇐⇒ x = θ;
3. hax + by, z)i = hax, zi + hby, zi, ∀x, y ∈ V; ∀a, b ∈ R
Không gian vector có trang bị tích vô hướng gọi là không gian có
tích vô hướng. Không gian V hữu hạn chiều có tích vô hướng gọi là
không gian Euclid, ký hiệu là Rn . Không gian V vô hạn chiều có tích
vô hướng gọi là không gian tiền Hilbert, không gian tiền Hilbert đầy
đủ gọi là không gian Hilbert, ký hiệu là H. Mọi không gian có tích vô
p
hướng là không gian định chuẩn, với chuẩn là ||x|| = hx, xi. Không
gian có tích vô hướng có bất đẳng thức quan trọng, đó là bất đẳng
thức Cauchy- Bunyakovsky:
|hx, yi| ≤ ||x||.||y||
|hx, yi| = ||x||.||y|| ⇐⇒ ∃t ∈ R sao cho x = ty hoặc y = tx
Hai vector x, y là trực giao, khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng
bằng 0:
x⊥y ⇐⇒ hx, yi = 0
Ví dụ 1.1. Trong không gian Rn , với x = (x1 , x2 , ..., xn ), y = (y1 , y2 , ..., yn ).
Khi đó những biểu thức sau là tích vô hướng:
4
1. hx, yi = x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn
2. hx, yi = c1 x1 y1 + c2 x2 y2 + ... + cn xn yn ,
với c1 > 0, c2 > 0, ..., cn > 0 là những hằng số .
1.3
Không gian các hàm liên tục
Như ta đã biết, tập hợp các hàm liên tục C[a; b] là không gian vector
Hilbert. Ở đây ta sử dụng tích vô hướng tích phân
Zb
hf (x), g(x)i =
f (x).g(x).dx
a
Ta cũng có chuẩn của các vector hàm này:
v
u b
uZ
p
u
||f || = hf (x), f (x)i = t f (x)2 .dx
a
Bất đẳng thức Cauchy-Bunyakovsky trong không gian C[a; b]:
v
v
u b
u b
b
Z
uZ
uZ
u
u
| f (x)g(x)dx| ≤ t f 2 (x).t g 2 (x)
a
a
a
Bất đẳng thức trên có thể viết lại theo cách khác:
||hf, gi|| ≤ ||f ||.||g||
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hai hàm f (x) và g(x) phụ thuộc
tuyến tính, đó là tồn tại hằng số c sao cho
f (x) = c.g(x) hoặc g(x) = cf (x)
Định nghĩa 1.3. Hai hàm f (x) và g(x) được gọi là trực giao, nếu
tích vô hướng của chúng bằng 0
Zb
hf (x), g(x)i =
f (x).g(x)dx = 0
a
5
Định nghĩa 1.4. Hệ hàm S = {ϕ0 (x), ϕ1 (x), ..., ϕn (x), ...} được gọi
là hệ trực giao, nếu hai hàm bất kỳ trong hệ đó trực giao
hϕi (x), ϕj (x)i = 0 với i 6= j
Hệ S được gọi là trực chuẩn nếu hệ S là hệ trực giao và chuẩn của
mỗi vector hàm bằng 1
hϕi (x), ϕj (x)i = δij
Hệ hàm trực giao đặc biệt thuận lợi khi khai triển hàm f (x) theo
họ S, tức là ta phải tìm các hệ số c0 , c1 , ...cn , ... sao cho hàm f (x) viết
được dưới dạng
f (x) = c0 ϕ0 (x) + c1 ϕ1 (x) + ... + cn ϕn (x) + ...
(1.1)
Để xác định các hệ số cn , ta nhân cả hai vế đẳng thức (1.1) với ϕn (x),
do tính trực giao của hệ S, vế phải chỉ còn 1 số hạng
f (x)ϕn (x) = cn ϕn (x).ϕn (x)
rồi lấy tích phân trên đoạn [a, b] hai vế, từ đó ta có
1
cn =
||ϕn ||2
Zb
f (x)ϕn (x)dx
(1.2)
a
Biểu diễn hàm f (x) dưới dạng (1.1) với các hệ số được tính theo (1.2)
gọi là khai triển Fouriers hàm f (x) theo hệ trực giao S Ngoài khái
niệm trực giao như đã nói ở trên, chúng ta còn sử dụng khái niệm trực
giao với trọng số ρ(x) , nếu với hai hàm bất kỳ ϕm (x), ϕn (x) của hệ
S thỏa mãn điều kiện
Zb
ϕm (x)ϕn (x)ρ(x)dx = 0
a
ở đây ρ(x) là hàm cố định, liên tục trong khoảng (a, b). Khi ρ(x) ≡ 1
ta nhận được định nghĩa trực giao thông thường. Vấn đề khai triển
Fouriers hàm f (x) theo hệ trực giao có trọng số, cũng tương tự như
6
trên, hàm f (x) khai triển dưới dạng
f (x) = c00 ϕ0 (x) + c01 ϕ1 (x) + ... + c0n ϕn (x) + ...
(1.3)
với các hệ số Fouriers được tính theo công thức
1
c0n = 2
dn
Zb
f (x)ϕn (x)ρ(x)dx
(1.4)
a
với dn được tính theo công thức
v
u b
uZ
u
dn = t ϕ2 (x)ρ(x)dx
a
Ví dụ 1.2. Ta ký hiệu Pn là không gian các đa thức có bậc không quá
n, với p(x) = p0 + p1 x + ... + pn xn ; q(x) = q0 + q1 x + ... + qn xn , ta cũng
có các tích vô hướng sau:
1. hp, qi = p0 q0 + p1 q1 + p2 q2 + ... + pn qn
2. hp, qi = c0 p0 q0 + c1 p1 q1 + c2 p2 q2 + ... + cn pn qn , với c0 >, c1 >
0, ..., cn > 0
Rb
3. hp, qi = a p(x)q(x)dx, với a, b là hai hằng số cho trước a 0, ∀x ∈ H, ∃n, sao cho ||
n
X
ci fi − x|| < ε
i=0
Trong không gian Hilbert, các mệnh đề sau tương đương:
∞
P
Ví dụ 1.3. 1. x = hxi , fi ifi , ∀x ∈ H
i=1
s
2. ||x|| =
∞
P
|hxi , fi i|
i=1
3. Hệ S là đầy đủ.
4. Nếu x trực giao với mọi fi ∈ S thì x = θ
7
1.3.1
Trực giao hóa Gram-Schmidt
Định lý 1.1. Giả sử V là không gian có tích vô hướng, S = {u1 , u2 , ..., um }
là một họ vector độc lập tuyến tính của V . Ta có thể thay S bằng họ
trực chuẩn S 0 = {v1 , v2 , ...vm } sao cho spanSk = spanSk0 , k = 1, ...m
ở đây S = {u1 , u2 , ...uk }; S 0 = {v1 , v2 , ...vk }
Bước 1. chọn v1 = ||uu11 ||
Bước 2. Tìm v2 sao cho S20 = {v1 , v2 } trực chuẩn. Muốn vậy, ta đặt
w2 = u2 + tv1 , chọn t sao cho
hw2 , v1 i = 0, tức là hu2 + tv1 , v1 i = 0
hu2 , v1 i + thv1 , v1 i = 0
Hay là t = − hu||v21,v||12i = −hu2 , v1 i
⇒ w2 = u2 − hu2 , v1 i
v2 =
w2
u2 − hu2 , v1 iv1
=
||w2 || ||u2 − hu2 , v1 iv1 ||
0
Bước 3. Giả sử ta đã xây được họ trực chuẩn Sk−1
= {v1 , v2 , ..., vk−1 }
ta xây dựng vector vk , muốn vậy, ta đặt:
wk = uk + t1 v1 + t2 v2 + ... + tk−1 vk−1 , ta cần xác định t1 , t2 , ...tk−1 sao
cho hwk , vj i = 0, j = 1, 2, .., k − 1 Từ đó suy ra: tj = −huk , vj , j =
1, 2, .., k − 1. Cuối cùng ta có:
vk =
1.3.2
uk − huk , v1 iv1 − ... − huk , vk−1 uk−1
||uk − huk , v1 iv1 − ... − huk , vk−1 uk−1 ||
Đa thức với hệ số thực
Lớp các đa thức có những tính chất tốt như: liên tục và khả vi vô
hạn lần trên toàn trục số; đạo hàm của đa thức là đa thức; nguyên
hàm của đa thức cũng là đa thức; tổng hai đa thức, tích hai đa thức
là đa thức; tích của đa thức với một số là đa thức; thay biến x bởi
x = at + b ta được đa thức với biến t cùng bậc với đa thức biến x.
Định nghĩa 1.5. Giả sử pn (x) là đa thức bậc n; số x0 được gọi là
nghiệm của pn (x0 ) = 0
8
Định lý 1.2 (Định lý Bezou). Điều kiện cần và đủ đế số x0 là nghiệm
của đa thức pn (x) là pn (x) chia hết cho đa thức (x − x0 ), hay nói khác
đi là đa thức pn (x) viết được dưới dạng pn (x) = (x − x0 )qn−1 (x).
Định lý 1.3. Giả sử pn (x) là đa thức bậc n, khi đó các mệnh đề sau
đây là tương đương:
1. x0 là nghiệm bội cấp m của pn (x)
2. Đa thức pn (x) viết được dưới dạng pn (x) = (x − x0 )m .qn−m (x),
trong đó x0 không là nghiệm của đa thức qn−m (x)
(m−1)
3. pn (x0 ) = p0n (x0 ) = p00n (x0 ) = ... = pn
(m)
(x0 ) = 0; pn (x0 ) 6= 0
Định lý 1.4. Đa thức bậc n, với hệ số thực, luôn có n nghiệm phức,
kể cả bội
1.4
Đa thức trực giao
Trong ví dụ (1.2) hệ hàm S = {1, x, x2 , ..., xn−1 } là một cơ sở của
không gian Pn (x) nhưng không là cơ sở trực chuẩn. Có thể áp dụng
quá trình trực giao hóa Gram-Smidt ở trên, với trọng số khác nhau,
với khoảng lấy tích phân khác nhau, ta sẽ thu được những họ đa thức
trực giao khác nhau.
Người ta cũng đã chứng minh được các tính chất chung nhất của đa
thức trực giao trên đoạn [a, b] với trọng số ρ(x)
1. Mỗi đa thức trực giao bậc n có đúng n nghiệm thực trên đoạn
[a, b]
2. Nghiệm của đa thức trực giao Qn−1 (x) và Qn (x) xen kẽ nhau,
nghĩa là trong (n − 1) khoảng nghiệm của đa thức Qn (x), mỗi
khoảng có đúng 1 nghiệm của đa thức Qn−1 (x).
3. Mỗi đa thức trực giao Qn (x) thỏa mãn công thức truy hồi
an,n+1 Qn+1 (x) + an,n (1 − x)Qn (x) + an−1,n Qn−1 (x) = 0
9
1.4.1
Đa thức Legendre
Các đa thức Legendre thu được bằng cách trực giao hóa GramSmidt hệ hàm
1, x, x2 , ...xn , ... trên đoạn [−1, 1]
với trọng số là ρ(x) = 1
1. Một số đa thức Legendre
n Ln (x)
0 L0 (x) = 1
1 L1 (x) = x
3x2 − 1
2 L2 (x) =
2
5x3 − 3x
3 L3 (x) =
2
35x4 − 30x2 + 3
4 L4 (x) =
8
63x5 − 70x3 + 15x
5 L5 (x) =
8
231x6 − 315x4 + 105x2 − 5
6 L6 (x) =
16
2. Công thức Rodrigue
1 dn
Ln (x) = n
[(x2 − 1)n ]; n ∈ N
n
2 n! dx
3. Công thức truy hồi
(n + 1)Ln+1 (x) − (2n + 1)xLn (x) + nLn−1 (x) = 0
x2 − 1 d
Ln (x) = xLn (x) − Ln−1 (x)
n dx
d
(2n + 1)Ln (x) =
[Ln+1 (x) − Ln−1 (x)]
dx
4. Phương trình vi phân
d
dLn
[(1 − x2 )
] + n(n + 1)Ln (x) = 0
dx
dx
r
1/2
R1 2
=
5. Chuẩn ||Ln (x)|| =
Ln (x)dx
−1
2
2n + 1
Ln (1) = 1; Ln (−1) = (−1)n ; L2n+1 (0) = 0; L0n (1) =
n(n + 1)
2
10
6. Tính trực giao
R1
Lm (x)Ln (x)dx =
−1
2
n
δm
2n + 1
7. Tính đối xứng
Ln (−x) = (−1)n Ln (x); Đa thức Legendre là hàm chẵn, nếu n là
số chẵn; là hàm lẻ, nếu n là số lẻ.
1.4.2
Đa thức Chebyshev loại I
Ký hiệu là Tn (x); a = −1; b = 1; trọng số ρ(x) =
√ 1
1−x2
1. Biểu thức dạng lượng giác
Tn (x) = cos (n.arccosx); Tn (cos (α)) = cos (n.α);
T2n+1 sin (α) = (−1)n . sin (2n + 1)α
2. Công thức truy hồi
T0 (x) = 1; T1 (x) = x; Tn+1 (x) = 2xTn (x) − Tn−1 (x)
3. Phương trình vi phân
(1 − x2 )Tn00 (x) − xTn0 (x) + n2 Tn (x) = 0
4. Chuẩn
||T0 || =
√
π; ||Tn || =
Z1
−1
1.4.3
1/2 r π
1
2
√
Tn (x)dx
,n > 0
=
2
1 − x2
Đa thức Chebyshev loại II
Ký hiêu Un (x)
1. Biểu thức dạng lượng giác
sin (n + 1)x
Un (cos x) =
sin x
2. Công thức truy hồi
U0 (x) = 1; U1 (x) = 2x; Un+1 (x) = 2xUn (x) − Un−1 (x)
3. Phương trình vi phân
(1 − x2 )Tn00 (x) − 3xTn0 (x) + n(n + 2)Tn (x) = 0
11
1. Hàm hợp
Tn (Tm (x)) = Tm (Tn (x)) = Tm.n (x)
2. Dạng phương trình Pell
2
Tn2 (x) − (x2 − 1)Un−1
(x) = 1
√
√
Tn (x) + x2 − 1Un−1 (x) = (x + x2 − 1)n
3. Công thức đổi biến
Tn (1 − 2x2 ) = (−1)n T2n (x)
xUn (1 − 2x2 ) = (−1)n U2n+1 (x)
4. Nghiệm
Cả hai loại đa thức Chebyshev bậc n luôn có n nghiệm thực phân
biêt, các nghiệm này phân bố trong đoạn [−1, 1] (tính chất chung
i
π)); i =
của đa thức trực giao). Ta có Tn (cos( π2 (2i−1))) = 0; Un (cos( n+1
1...n
5. Cực trị
Cả hai loại đa thức Chebyshev đều đạt cực trị tại hai đầu mút.
Tn (1) = 1; T (−1) = (−1)n ; Un+1 = n + 1; Un (−1) = (−1)n (n + 1)
6. Đạo hàm
Tn0 (x) = nUn−1 (x)
(n + 1)Tn+1 (x) − xUn
Un0 (x) =
x2 − 1
nTn (x) − xUn−1
(n + 1)Tn (x) − Un
Tn00 (x) = n
=
n
x2 − 1
x2 − 1
4
2
n −n
Tn00 (1) =
3
n4 − n2
Tn00 (−1) = (−1)n
3
7. Tích phân
R
Tn+1 (x)
Un (x)dx =
n
+1
R
1 Tn+1 (x) Tn−1 (x) nTn+1 (x) xTn (x)
Tn (x)dx =
−
=
−
2 n+1
n−1
n2 − 1
n−1
12
0 với i 6= j
R
dx
= π với i = j = 0
Ti (x)Tj (x) √
1 − x2
π
2(với i = j 6= 0
√
R
0 với i 6= j
Ui (x)Uj (x) 1 − x2 dx = π
2 với i = j 6= 0
8. Một số đa thức Chebyshev
n
0
1
2
3
4
5
6
1.4.4
Tn (x)
T0 (x) = 1
T1 (x) = x
T2 (x) = x2 − 1
T3 (x) = 4x3 − 3x
T4 (x) = 8x4 − 8x2 + 1
T5 (x) = 16x5 − 20x3 + 5x
T6 (x) = 32x6 − 48x4 + 18x2 − 1
Un (x)
U0 (x) = 1
U1 (x) = x
U2 (x) = 4x2 − 1
U3 (x) = 8x3 − 4x
U4 (x) = 16x4 − 12x2 + 1
U5 (x) = 32x5 − 32x3 + 6x
U6 (x) = 64x6 − 80x4 + 24x2 − 1
Đa thức Hermite
2
2
2
a = −∞; b = +∞; ρ(x) = e−x ; Hn (x) = (−1)n ex (e−x )(n)
1. Biểu thức
2
2
Hn (x) = (−1)n ex (e−x )(n)
2. Công thức truy hồi
Hn+1 (x) − 2xHn (x) + 2xHn−1 (x) = 0
3. Phương trình vi phân
Hn00 (x) − 2xHn0 (x) + 2xHn (x) = 0
(1.5)
13
4. Chuẩn
v
u Z+∞
q
u
√
u
2
||Hn || = t e−x Hn2 (x)dx = 2n n! π
−∞
Chú ý 1.1. Đa thức Hermite còn có cách xác định khác:
2
ex /2 −x2 /2 (n)
Hn (x) =
(e
)
n!
1. Trọng số p(x) = e−x
2. Chuẩn
2
(1.6)
/2
v
s√
u Z+∞
u
2π
u
||Hn || = t e−x2 Hn2 (x)dx =
n!
−∞
1.4.5
Đa thức lượng giác
Ở trên ta đã xét hệ các đa thức B1 = {1, x, x2 , ..., xn , ...}. Trực giao
hóa hệ B1 bằng các tích vô hướng với trọng số khác nhau trên những
đoạn khác nhau, ta được các hệ đa thức trực giao khác nhau, như
hệ hàm trực giao Legendre, hệ hàm trực giao Chebyshev,...Các hệ đa
thức này gọi chung là các đa thức đại số. Ngoài các hệ đa thức đại
số nói trên, còn một hệ hàm trực giao đầy đủ khác, đóng vai trò rất
quan trọng trong toán học, đó là hệ đa thức lượng giác:
S = {1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, ..., cos nx, sin nx, ....}
là hệ hàm trực giao và đầy đủ trên đoạn [−π, π] Một số tính chất của
hệ đa thức lượng giác
1. Tính trực giao. Hệ S là hệ trực giao trên đoạn [−π, π], thật vậy:
Zπ
sin (mx) cos (nx)dx = 0, ∀m, n ∈ N
−π
Zπ
sin mx sin nxdx = 0, ∀m, n ∈ N, m 6= n
−π
- Xem thêm -