Tài liệu Luận văn hiều, số bội và tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ THANH MAI CHIỀU, SỐ BỘI VÀ TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ GẮN KẾT CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG VỚI GIÁ CỰC ĐẠI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ THANH MAI CHIỀU, SỐ BỘI VÀ TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ GẮN KẾT CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG VỚI GIÁ CỰC ĐẠI Ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 8.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Lê Thị Thanh Nhàn THÁI NGUYÊN - 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của GS. TS. Lê Thị Thanh Nhàn, các kết quả nghiên cứu là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Thái Nguyên, tháng 5 năm 2019 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Thanh Mai Xác nhận của khoa chuyên môn Xác nhận của người hướng dẫn khoa học GS. TS. Lê Thị Thanh Nhàn i LỜI CẢM ƠN Luận văn "Chiều, số bội và iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại" được thực hiện tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình, tận tụy của GS. TS. Lê Thị Thanh Nhàn. Tác giả xin bảy tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học của mình. Đồng thời, tác giả xin trân trọng cảm ơn tới TS. Trần Đỗ Minh Châu với sự giúp đỡ của cô trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái nguyên, Ban chủ nhiệm Khoa Toán cùng các thầy cô khoa Toán đã tham gia giảng dạy và tạo điều kiện tốt nhất để tác giả học tập và nghiên cứu. Nhân dịp này, tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình và bạn bè đã động viên giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình học tập. ii Mục lục Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Iđêan nguyên tố gắn kết, chiều, số bội cho môđun Artin 3 1.1. Tập các iđêan nguyên tố gắn kết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Chiều của môđun Artin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3. Số bội cho môđun Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Chương 2. Môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại . 16 2.1. Tính Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2. Chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3. Tập iđêan nguyên tố gắn kết. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4. Công thức bội liên kết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 iii MỞ ĐẦU Cho (R, m) là vành Noether địa phương và M là R-môđun hữu hạn sinh. Chiều Krull, tập iđêan nguyên tố liên kết, đa thức Hilbert-Samuel và số bội là các bất biến quan trọng của M trong nghiên cứu môđun này. Chúng có mối liên hệ chặt chẽ với nhau. Nếu kí hiệu chiều của M là d thì từ một kết quả quen thuộc SuppR (M ) = Var(AnnR M ) và min Var(AnnR M ) = min AssR (M ) ta tính được d thông qua tập iđêan nguyên tố liên kết của M. Hơn nữa, d cũng chính là bậc của đa thức Hilbert-Samuel. Số bội của M tương ứng với một iđêan m-nguyên sơ q của R bằng tích của d! với hệ số cao nhất của đa thức Hilbert-Samuel. Số bội còn được tính thông qua tập iđêan nguyên tố liên kết nhờ công thức liên kết cho số bội. Đối với mỗi R-môđun Artin A, nhìn chung công thức SuppR (A) = Var(AnnR A) không còn đúng. Thêm vào đó SuppR (A), nếu khác rỗng chỉ gồm iđêan cực đại. Vì thế chiều Krull và tập iđêan nguyên tố liên kết không có ý nghĩa trong nghiên cứu cấu trúc của môđun Artin A. Năm 1971, D. Kirby [11] đã chỉ ra rằng nếu I là iđêan của R sao cho `(0 :A I) hữu hạn thì `(0 :A I n ) là một đa thức khi n đủ lớn. Ông gọi đa thức này là đa thức Hilbert của môđun Artin A vì vai trò của nó đối với A tương tự như vai trò của đa thức Hilbert-Samuel đối với môđun hữu hạn sinh. Sau đó, R. N. Roberts [21] đã đưa ra khái niệm chiều Noether (lúc đầu ông gọi là chiều Krull nhưng kí hiệu là Kdim, chiều Noether là thuật ngữ do D. Kirby đổi lại để tránh nhầm lẫn với chiều Krull). Trong [21], ông đã chứng minh được chiều Noether của 1 môđun Artin A chính bằng bậc của đa thức Hilbert của A. Chính vì thế, chiều Noether là thích hợp nhất để đi đến định nghĩa hệ bội, hệ tham số cho môđun Artin và xây dựng công thức liên kết cho số bội của môđun Artin. Năm 1973, I. G. Macdonald [12] đã giới thiệu lý thuyết biểu diễn thứ cấp và đưa ra khái niệm iđêan nguyên tố gắn kết của một môđun. Đối với mỗi môđun Artin A, vai trò của tập tất cả các iđêan nguyên tố gắn kết hoàn toàn tương tự vai trò của tập iđêan nguyên tố liên kết đối với môđun hữu hạn sinh. Chú ý rằng, môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại Hmi (M ) luôn là Artin tại mọi cấp. Vì thế chiều Noether và tập iđêan nguyên tố gắn kết cũng như số bội có vai trò quan trọng trong nghiên cứu môđun đối đồng điều địa phương. Mục tiêu của luận văn là trình bày lại các kết quả gần đây của các tác giả M. Brodmann, N. T. Cường, L. T. Nhàn, T. N. An, P. H. Quý, T. Đ. M. Châu, . . . trong các bài báo [3], [7], [8], [17], [18], [19], . . . về chiều, tập iđêan nguyên tố gắn kết và số bội của các môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung luận văn được trình bày thành hai chương: Chương 1 trình bày các kết quả về tập iđêan nguyên tố gắn kết, chiều và số bội cho môđun Artin. Chương 2, chương chính của luận văn trình bày một số kết quả về chiều, tập iđêan nguyên tố gắn kết và công thức liên kết cho số bội của môđun đối đồng địa phương Artin với giá cực đại Hmi (M ). Thái Nguyên, tháng 4 năm 2019 2 Chương 1 Iđêan nguyên tố gắn kết, chiều, số bội cho môđun Artin Trong toàn bộ luận văn này, luôn giả thiết (R, m) là vành giao hoán Noether địa phương; M và R-môđun hữu hạn sinh chiều d, A là R-môđun Artin, N là R-môđun hữu hạn sinh tuỳ ý và L là R-môđun bất kì. Với mỗi iđêan I của R ta cũng kí hiệu Var(I) là tập các iđêan nguyên tố của R chứa I. Mục tiêu của chương này là trình bày một số kết quả về tập iđêan nguyên tố gắn kết, chiều, số bội cho môđun Artin. 1.1. Tập các iđêan nguyên tố gắn kết Tiết này dành để trình bày các tính chất của tập iđêan nguyên tố gắn kết của một môđun Artin dựa trên các tài liệu tham khảo của I. G. Macdonald [12], M. P. Brodmann và R. Y. Sharp [2]. Theo một nghĩa nào đó, tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Artin có vai trò tương tự như tập iđêan nguyên tố liên kết của môđun hữu hạn sinh. Vì thế, nó là một công cụ hữu hiệu trong nghiên cứu cấu trúc của các môđun Artin. Cơ sở để đi đến định nghĩa tập iđêan nguyên tố gắn kết là biểu diễn thứ cấp. 3 Định nghĩa 1.1.1. (i) Cho x ∈ R. Nếu tồn tại một số tự nhiên n sao cho xn L = 0 thì ta nói phép nhân bởi x trên L là luỹ linh. Nếu xL = L thì ta nói phép nhân bởi x trên L là toàn cấu. (ii) Ta nói L là môđun thứ cấp nếu L 6= 0 và với mỗi x ∈ R, phép nhân bởi x trên L hoặc là toàn cấu hoặc luỹ linh. Trong trường hợp này, tập tất cả các phần tử x ∈ R sao cho phép nhân bởi x trên L là luỹ linh là một √ iđêan nguyên tố của R, kí hiệu là p . Hơn nữa, AnnR L = p . Ta gọi L là p-thứ cấp. (iii) Mỗi cách viết L dưới dạng L = L1 + L2 + . . . + Ln , trong đó mỗi Li là pi -thứ cấp, được gọi là một biểu diễn thứ cấp của L. Biểu diễn thứ cấp này gọi là tối tiểu nếu các pi đôi một khác nhau và mỗi Li không thừa, tức là Li 6= L1 + . . . + Li−1 + Li+1 + . . . + Ln với mọi i = 1, . . . , n. Ta nói L là R-môđun biểu diễn được nếu nó có biểu diễn thứ cấp. Vì tổng của hữu hạn môđun con p-thứ cấp của L là p-thứ cấp nên mỗi biểu diễn thứ cấp đều có thể quy về tối tiểu. Định lý 1.1.2 (Định lý duy nhất thứ nhất). Giả sử L = L1 + . . . + Lr = L01 + . . . + L0s là hai biểu diễn thứ cấp tối tiểu của L, trong đó Li là pi -thứ cấp với i = 1, . . . , r và L0i là qi -thứ cấp với i = 1, . . . , s. Khi đó r = s và {p1 , . . . , pr } = {q1 , . . . , qs }. Định nghĩa 1.1.3. Giả sử L biểu diễn được. Theo Định lý duy nhất thứ nhất, tập {p1 , . . . , pn } chỉ phụ thuộc vào L mà không phụ thuộc vào biểu diễn thứ cấp tối tiểu của L. Ta gọi nó là tập các iđêan nguyên tố gắn kết của L và kí hiệu là AttR (L). Mỗi phần tử của AttR (L) là iđêan nguyên tố gắn kết của L. Nếu p là tối tiểu trong tập AttR (L) thì thành phần thứ cấp tương ứng gọi là thành phần thứ cấp cô lập của L. Nhận xét 1.1.4. Rõ ràng L là R-môđun biểu diễn được thì AttR (L) là hữu hạn. Hơn nữa, AttR (L) = ∅ nếu và chỉ nếu L = 0. 4 Định lý tiếp theo chỉ ra rằng các thành phần thứ cấp cô lập là duy nhất. Định lý 1.1.5 (Định lý duy nhất thứ hai). Giả sử L là biểu diễn được. Khi đó các thành phần thứ cấp cô lập của L không phụ thuộc vào biểu diễn thứ cấp tối tiểu của L. f g Định lý 1.1.6. Cho 0 → L0 → − L→ − L00 → 0 là dãy khớp các R-môđun biểu diễn được và các R-đồng cấu. Khi đó AttR (L00 ) ⊆ AttR (L) ⊆ AttR (L0 ) ∪ AttR (L00 ). Định lý sau đây cho thấy ứng dụng của biểu diễn thứ cấp trong nghiên cứu môđun Artin. Định lý 1.1.7. Mọi môđun Artin đều biểu diễn được. Sau đây là một số kết quả về tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Artin tương tự với các kết quả đã biết về tập iđêan nguyên tố liên kết của môđun hữu hạn sinh. Mệnh đề 1.1.8. Cho A là R-môđun Artin và r ∈ R. Khi đó S (i) rA = A nếu và chỉ nếu r ∈ R \ p∈AttR (A) p . √ T (ii) AnnR A = p∈AttR (A) p . Chứng minh. Nếu A = 0 thì AttR (A) = ∅ theo Nhận xét 1.1.4. Vì thế khẳng định (i) và (ii) luôn đúng. Giả sử A 6= 0 và A = L1 + . . . + Ln là một biểu diễn thứ cấp tối tiểu của A, trong đó mỗi Li là môđun con pi -thứ cấp của A. Khi đó AttR (A) = {p1 , . . . , pn }. (i) Giả sử r ∈ R \ S p∈AttR (A) p . Suy ra rLi = Li với mọi i = 1, . . . , n. Do đó rA = A. Ngược lại, nếu r ∈ pj , với j nào đó (1 ≤ j ≤ n) thì tồn tại 5 h ∈ N sao cho rh Lj = 0. Vì thế h h h h h r A = r L1 + . . . + r Lj−1 + r Lj+1 + . . . + r Ln ⊆ n X Li ⊂ A. i=1 i6=j Suy ra rA 6= A. (ii) Theo tính chất của tập linh hoá tử và căn của iđêan ta có v u n n q X p u
\ t AnnR A = AnnR AnnR (Li ) Li = i=1 = n \ \ pi = i=1 i=1 p. p∈AttR (A) Hệ quả 1.1.9. Cho (R, m) là vành địa phương và A là R-môđun Artin. Khi đó A có độ dài hữu hạn nếu và chỉ nếu AttR (A) ⊆ {m}. Chứng minh. (⇒) Giả sử `(A) < ∞. Khi đó tồn tại h ∈ N sao cho mh A = 0. Nếu A = 0 thì AttR (A) = ∅. Do đó AttR (A) ⊆ {m}. Giả sử A 6= 0. Ta sẽ chứng minh A là m-thứ cấp. Thật vậy, lấy r ∈ R. Nếu r ∈ m thì rh A = 0. Nếu r ∈ / m thì r khả nghịch. Suy ra rA = A. Do đó A là m-thứ cấp. Vì thế AttR (A) = {m}. Vậy AttR (A) ⊆ {m}. (⇐) Nếu AttR (A) ⊆ {m} thì theo Mệnh đề 1.1.8 (ii), √ AnnR A = m. Suy ra tồn tại h sao cho mh A = 0. Do đó A có độ dài hữu hạn. Chú ý rằng √ AnnR A = T p = p⊇AnnR A T p nên từ Mệnh đề p∈Var(AnnR A) 1.1.8 ta có kết quả sau. Mệnh đề 1.1.10. Cho A là R-môđun Artin. Khi đó (i) min AttR (A) = min Var(AnnR A). (ii) dim(R/AnnR A) = max{dim(R/ p) | p ∈ AttR (A)}. 6 Để chuyển tập iđêan nguyên tố gắn kết của R-môđun Artin A qua đồng cấu phẳng địa phương ta sử dụng công thức sau đây. Nhắc lại rằng, đồng cấu ϕ : R → S giữa các vành địa phương (R, m) và (S, n) được gọi là đồng cấu phẳng địa phương nếu S là R-môđun phẳng và ϕ(m) ⊆ n. Bổ đề 1.1.11. Cho A là một R-môđun Artin, (S, n) là vành Noether địa phương và ϕ : R → S là đồng cấu phẳng địa phương giữa các vành địa phương (R, m) và (S, n). Giả sử rằng dim(S/mS) = 0. Khi đó A ⊗R S là S -môđun Artin và AttR (A) = {ϕ−1 (P) | P ∈ AttS (A ⊗R S)}. Chứng minh. Trước hết, ta sử dụng tiêu chuẩn Melkersson [2, 7.1.2] để chứng minh A ⊗R S là một S -môđun Artin. Vì S là phẳng trên R và R/m là môđun biểu diễn hữu hạn nên theo [14, Định lý 7.11] ta có HomS (S/mS; A ⊗R S) ∼ = HomS (R/m ⊗R S; A ⊗R S) ∼ = HomR (R/m; A) ⊗R S. Vì HomR (R/m; A) ∼ = (0 :A m) nên HomR (R/m; A) là R-môđun có độ dài hữu hạn. Vì thế HomR (R/m; A) là R-môđun hữu hạn sinh. Suy ra HomR (R/m; A) ⊗R S là S -môđun hữu hạn sinh được triệt tiêu bởi mS. Do đó HomR (R/m; A)⊗R là S/mS -môđun hữu hạn sinh. Vì dim(S/mS) = 0 nên S/mS là vành Artin. Suy ra HomR (R/m; A) ⊗R S là S -môđun có độ dài hữu hạn. Chú ý rằng, với mỗi a ∈ A, môđun Ra có độ dài hữu hạn nên a bị triệt tiêu bởi một luỹ thừa nào đó của m. Vì thế A là m-xoắn. Suy ra A ⊗R S là mS -xoắn. Do đó A ⊗R S là S -môđun Artin. Giả sử A = A1 + . . . + An là biểu diễn thứ cấp tối tiểu của A, trong đó Ai là pi -thứ cấp với i = 1, . . . , n. Khi đó AttR (A) = {p1 , . . . , pn }. Vì S là R-đại số phẳng hoàn toàn nên theo [14, Định lý 7.5(i)] ϕ là đơn cấu. Vì thế 7 có thể xem R như là vành con của S và Ai ⊗R S có thể xem như là S -môđun con của A ⊗R S với mọi i = 1, . . . , n. Khi đó ta có A ⊗R S = (A1 ⊗R S) + . . . + (An ⊗R S). Với mỗi i = 1, . . . , n, chọn một biểu diễn thứ cấp tối tiểu Ai ⊗R S = Bi1 + . . .+Biki của S -môđun Ai ⊗R S, trong đó Bij là Pij -thứ cấp. Khi đó A⊗R S = Pn i=1 (Bi1 + . . . + Biki ) là biểu diễn thứ cấp của A ⊗R S. Bằng cách loại bỏ các thành phần thừa và đánh số lại, ta có thể giả sử tồn tại một số nguyên P ti ≤ ki với i = 1, . . . , n sao cho A ⊗R S = ni=1 (Bi1 + . . . + Biti ) là biểu diễn thứ cấp của A ⊗R S mà không có thành phần nào thừa. Nếu ti = 0 với i nào đó thì Ai ⊗R S = 0. Suy ra Ai = 0 do S là phẳng hoàn toàn trên R, mâu thuẫn với tính chất Ai là không thừa trong biểu diễn thứ cấp tối tiểu A = A1 +. . .+An . Vì thế ti ≥ 1 với mọi i = 1, . . . , n. Để khẳng định biểu diễn P thứ cấp A⊗R S = ni=1 (Bi1 +. . .+Biti ) là tối tiểu, ta còn phải chứng minh các Pij là đôi một phân biệt. Thật vậy, giả sử i ∈ {1, . . . , n} và x ∈ pi . Khi đó tồn tại m ∈ N sao cho xm Ai = 0. Suy ra xm (Ai ⊗R S) = 0 và do đó xm Bij = 0 với mọi j = 1, . . . , ti . Vì thế x ∈ Pij ∩ R với mọi j = 1, . . . , ti . Lấy x ∈ R \ pi thì xm Ai = Ai . Suy ra xm (Ai ⊗R S) = Ai ⊗R S với mọi m ∈ N. Nếu ϕ(x) ∈ Pij với j ∈ {1, . . . , ti } nào đó thì tồn tại m0 ∈ N sao cho ϕ(x)m0 Bij = 0. Do đó xm0 (Ai ⊗R S) 6= Ai ⊗R S, mâu thuẫn. Vì thế ϕ(x) ∈ / Pij với mọi j = 1, . . . , ti . Kéo theo pi = Pij ∩ R với mọi j = 1, . . . , ti . Do đó Pij là đôi một khác nhau. P Suy ra A ⊗R S = ni=1 (Bi1 + . . . + Biti ) là biểu diễn thứ cấp tối tiểu của A ⊗R S. Vì thế AttS (A ⊗R S) = {Pij | i = 1, . . . , n; j = 1, . . . , ti }. Vậy AttR (A) = {P ∩ R | P ∈ AttS (A ⊗R S)}. b là đồng cấu phẳng địa phương nên Vì đồng cấu tự nhiên f : R → R với mỗi R-môđun Artin A ta có công thức sau. 8 Hệ quả 1.1.12. AttR (A) = {P ∩ R | P ∈ AttRb (A)}. 1.2. Chiều của môđun Artin Cho A là R-môđun Artin. Khi đó SuppR (A) ⊆ {m}. Vì thế chiều Krull dim(R/ AnnR A) không phù hợp để đi đến một cách tự nhiên các khái niệm hệ bội, hệ tham số cho môđun Artin. Năm 1973, D. Kirby đã đưa ra kết quả về đa thức Hilbert-Samuel cho môđun Artin, tương tự với kết quả về đa thức Hilbert-Samuel cho môđun Noether. Kết quả được phát biểu như sau. Định lý 1.2.1. (Xem [11, Mệnh đề 2]) Cho A là R-môđun Artin và q là iđêan của R sao cho `(0 :A q) hữu hạn. Khi đó (0 :A qn ) có độ dài hữu hạn và `R (0 :A qn ) là một hàm đa thức với n đủ lớn. Đặt HqA (n) = `R (0 :A qn+1 ). Theo Định lý 1.2.1, HqA (n) là một hàm đa thức, nghĩa là tồn tại!các số nguyên s, g0 , g1 , . . . , gs , trong đó s ≥!0, sao s s X X n+i n+i A A cho Hq (n) = gi , với n đủ lớn. Đặt Pq (n) = gi . Ta i i i=0 i=0 A gọi Hq (n) là hàm Hilbert-Samuel của R-môđun Artin A và PqA (n) là đa thức Hilbert-Samuel ứng với iđêan q . Với kết quả này, D. Kirby đã nhận xét rằng sự tồn tại của đa thức Hilbert-Samuel của môđun Artin là một gợi ý để định nghĩa các khái niệm chiều và số bội cho môđun Artin. Năm 1974, R. N. Roberts [21] định nghĩa chiều Krull (kí hiệu là Kdim) cho môđun tùy ý và đưa ra một số kết quả về chiều Krull này cho môđun Artin. Ông cũng chỉ ra rằng chiều Kdim của môđun Artin A chính bằng bậc của đa thức Hilbert-Samuel của A. Để tránh nhầm lẫn với khái niệm chiều Krull của các môđun hữu hạn sinh, D. Kirby trong [11] đã đổi thuật ngữ của R. N. Roberts 9 thành chiều Noether. Sau đây, chúng tôi nhắc lại khái niệm chiều Noether cho môđun Artin theo thuật ngữ của D. Kirby. Chú ý rằng chiều Noether có thể định nghĩa cho một môđun tùy ý, không nhất thiết là môđun Artin. Định nghĩa 1.2.2. Chiều Noether của một R-môđun Artin A, kí hiệu bởi N-dimR A, được định nghĩa bằng quy nạp như sau. Nếu A = 0, thì đặt N-dimR A = −1. Cho số nguyên s ≥ 0, ta đặt N-dimR A = s nếu N-dimR A < s là sai và với mỗi dãy tăng các môđun con A0 ⊆ A1 ⊆ . . . của A, tồn tại một số tự nhiên n0 sao cho N-dimR (An+1 /An ) < s với mọi n ≥ n0 . Như vậy N-dimR A = 0 khi và chỉ khi A 6= 0 và A là Noether. Bổ đề sau cho ta tính chất của chiều Noether khi chuyển qua dãy khớp. Bổ đề 1.2.3. Nếu 0 → A0 → A → A00 → 0 là dãy khớp các R-môđun Artin thì N-dimR A = max{N-dimR A0 , N-dimR A00 }. Chứng minh. Ta có thể giả sử A0 là môđun con của A và A00 = A/A0 . Đặt max{N-dimR A0 , N-dimR A00 } = d. Rõ ràng ta có N-dimR A ≥ d. Nếu d = −1 thì A0 , A00 = 0 và do đó A = 0. Suy ra N-dimR A = −1. Nếu d = 0 thì A0 6= 0 hoặc A00 6= 0 và A0 , A00 là Noether. Do đó A 6= 0 cũng là Noether. Suy ra N-dimR A = 0. Cho d > 0. Nếu N-dimR A < d thì d ≤ N-dimR A < d, vô lý. Lấy A0 ⊆ A1 ⊆ . . . là một dãy tăng các môđun con của A. Khi đó ta có dãy tăng (A0 + A0 )/A0 ⊆ (A1 + A0 )/A0 ⊆ . . . các môđun con của A00 và dãy tăng A0 ∩ A0 ⊆ A1 ∩ A0 ⊆ . . . các môđun con của A0 . Xét dãy khớp 0 → An+1 ∩ (An + A0 )/An → An+1 /An → An+1 /An+1 ∩ (An + A0 ) → 0. 10 Vì N-dimR A00 ≤ d nên tồn tại n0 sao cho với mọi n ≥ n0 N-dimR (An+1 /(An+1 ∩ (An + A0 )))  = N-dimR ((An+1 + An + A0 ) (An + A0 ))  = N-dimR ((An+1 + A0 ) (An + A0 ))  = N-dimR ((An+1 + A0 )/A0 ) ((An + A0 )/A0 ) < d − 1. Vì N-dimR A0 ≤ d nên tồn tại n1 sao cho  N-dimR (An+1 ∩ (An + A0 )/An ) ≤ N-dimR (An+1 ∩ A0 An ∩ A0 ) < d − 1 với mọi n ≥ n1 . Do đó áp dụng giả thiết quy nạp cho dãy khớp trên ta có N-dimR (An+1 /An ) < d − 1 với mọi n ≤ n2 , trong đó n2 = max{n0 , n1 }. Theo định nghĩa chiều Noether ta suy ra N-dimR A = d. Định lý sau đây chứng tỏ rằng chiều Noether của A là bậc của đa thức Hilbert-Samuel của A, và cũng là số k bé nhất sao cho có k phần tử x1 , . . . , xk ∈ m để `R (0 :A (x1 , . . . , xk )R) < ∞. Đây là kết quả của R. N. Roberts trong [21]. Ký hiệu 1.2.4. Với mỗi R-môđun Artin A, kí hiệu t(A) = inf{t ∈ N | ∃x1 , . . . , xt ∈ m : `R (0 :A (x1 , . . . , xt )R) < ∞}. Nếu A = 0 thì ta đặt t(A) = −1. Định lý 1.2.5. (Xem [21, Định lý 6])Với mỗi R-môđun Artin A ta có N-dimR A = t(A) = deg HqA (n). Hệ quả 1.2.6. Cho x ∈ m. Khi đó N-dimR (0 :A x) ≥ N-dimR A − 1. Hơn nữa, nếu N-dimR A > 0 thì tồn tại x ∈ m để N-dimR (0 :A x) = N-dimR A − 1. 11 b a ∈ A. Gọi (rn )n∈N là dãy Côsi Cho A là R-môđun Artin và rb ∈ R, trong R đại diện cho lớp rb. Vì Ra có độ dài hữu hạn nên tồn tại số tự nhiên k sao cho mk a = 0. Chú ý rằng tồn tại n0 sao cho rn − rm ∈ mk với mọi m, n ≥ n0 . Suy ra rn a = rn0 a với mọi n ≥ n0 . Ta định nghĩa tích vô hướng b-môđun. Với cấu trúc này, rba = rn0 a. Khi đó A có cấu trúc tự nhiên như R một môđun con của A xét như R-môđun khi và chỉ khi nó là môđun con của b-môđun. Do đó A là R b-môđun Artin. Hơn nữa, chiều Noether A xét như R b là như nhau. của A trên R và R Bổ đề 1.2.7. Với mỗi R-môđun Artin A ta có N-dimR A = N-dimRb A. Kết quả sau đây chỉ ra mối quan hệ giữa N-dim A và dim(R/ AnnR A). Mệnh đề 1.2.8. (Xem [8, Mệnh đề 2.4])Các phát biểu sau là đúng. (i) N-dimR A = 0 nếu và chỉ nếu dim(R/ AnnR A) = 0. Trong trường hợp này A có độ dài hữu hạn và R/ AnnR A là vành Artin. (ii) N-dimR A ≤ dim(R/ AnnR A). Chứng minh. (i) Giả sử N-dimR A = 0. Suy ra A là R-môđun Noether và do đó `R (A) < ∞. Vì vậy, dim(R/ AnnR A) = 0. Ngược lại, giả sử dim(R/ AnnR A) = 0. Khi đó √ AnnR A = {m}. Vì thế, tồn tại n ∈ N sao cho mn ⊆ AnnR A. Suy ra mn A = 0. Vì thế ta có dãy A ⊇ mA ⊇ m2 A ⊇ . . . ⊇ mn−1 A ⊇ mn A = 0. Chú ý rằng với mọi i ta có m(mi A/mi+1 A) = 0. Vì thế mi A/mi+1 A có cấu trúc R/m-môđun Artin, và do đó mi A/mi+1 A là R/m-không gian véctơ hữu hạn chiều. Suy ra `R (mi A/mi+1 A) = dimR/m (mi A/mi+1 A) < ∞ với mọi 12 i. Vì thế `R (A) = n−1 X `R (mi A/mi+1 A) < ∞. Suy ra A Noether và do đó i=0 N-dim A = 0. (ii) Ta chứng minh điều này bằng quy nạp theo t = dim(R/ AnnR A). Nếu t = 0 thì theo (i) ta có N-dimR A = 0. Cho t > 0. Gọi p1 , . . . , pk là tất cả các iđêan nguyên tố của AttR (A) sao cho t = dim(R/ pi ). Chú ý rằng SuppR (A) ⊆ {m}. Vì t > 0 nên các iđêan nguyên tố pi 6= m, với mọi i = 1, . . . , k. Do đó dim(0 :A x) ≤ t − 1. Theo giả thiết quy nạp ta có N-dimR (0 :A x) ≤ t − 1. Vì thế theo Hệ quả 1.2.6 ta có N-dimR A ≤ t. Chú ý rằng tồn tại A sao cho N-dimR A < dim(R/ AnnR A) (xem Chương 2, Ví dụ 2.2.2). Vì vậy một câu hỏi tự nhiên là với điều kiện nào của vành R hoặc của môđun Artin A ta có N-dimR A = dim(R/ AnnR A)? Hệ quả 1.2.9. (Xem [8, Hệ quả 2.5]) Nếu (R, m) là vành địa phương đầy đủ thì N-dimR A = dim(R/ AnnR A). Cũng trong [8], các tác giả đã đưa ra điều kiện cho môđun Artin A để chiều Noether và chiều Krull của vành R/ AnnR A bằng nhau. Điều kiện đó là A thoả mãn tính chất (∗). Định nghĩa 1.2.10. (Xem [8, Định nghĩa 4.2]) Một R-môđun Artin A được gọi là thoả mãn tính chất (∗) nếu AnnR (0 :A p) = p với mọi p ∈ Var(AnnR A). Mệnh đề 1.2.11. Nếu A thoả mãn tính chất (∗) thì b Ann b A). N-dimR A = dim(R/ AnnR A) = dim(R/ R 13 1.3. Số bội cho môđun Artin Lý thuyết bội cho các môđun Noether đóng vai trò rất quan trọng trong đại số giao hoán và hình học đại số. Mục tiêu của tiết này là trình bày khái niệm và một số kết quả về số bội cho môđun Artin. Luôn giả thiết A là R-môđun Artin với N-dimR A = s. Định lý 1.2.5 dẫn chúng ta tới các khái niệm sau đây. Định nghĩa 1.3.1. Một hệ x = (x1 , . . . , xk ) các phần tử trong m được gọi là một hệ bội của A nếu `(0 :A xR) < ∞. Một hệ bội x = (x1 , . . . , xk ) của A được gọi là hệ tham số của A nếu k = s. Hệ các phần tử (x1 , . . . , xi ) trong m với i ≤ s được gọi là một phần hệ tham số của A nếu chúng ta có thể bổ sung được s − i phần tử xi+1 , . . . , xs trong m sao cho (x1 , . . . , xk ) là một hệ tham số của A. Ta có thể dễ dàng suy ra từ Định lý 1.2.5 rằng một hệ các phần tử (x1 , . . . , xi ) trong m là một hệ tham số của A khi và chỉ khi N-dim(0 :A (x1 , . . . , xi )R) = s − i. Mệnh đề 1.3.2. (Xem [7, 2.10, 2.11]). Các phát biểu sau là đúng. (i) Mỗi hệ bội của A là hệ bội của mọi môđun con của nó. (ii) Nếu (x1 , . . . , xk ) là một hệ bội của A và xi A = 0 với một số i nào đó thì x1 , . . . , xi−1 , xi+1 , . . . , xk cũng là một hệ bội của A. (iii) Nếu 0 → A0 → A → A00 → 0 là một dãy khớp các R-môđun Artin thì x là một hệ bội của A nếu và chỉ nếu nó là một hệ bội của A0 và A00 . Định nghĩa 1.3.3. Giả sử x = (x1 , . . . , xk ) là một hệ bội của A. Bội hình thức của A tương ứng với hệ bội x, kí hiệu là e0 (x, A), được định nghĩa bằng quy nạp như sau: Với k = 0, nghĩa là `R (A) < ∞, ta đặt e0 (∅, A) = `R (A). 14 Với k > 0, theo Mệnh đề 1.3.2 thì y = (x2 , . . . , xk ) là một hệ bội của (0 :A x1 R) và A/x1 A. Do đó theo giả thiết quy nạp, ta có các số e0 (y; (0 :A x1 R)), e0 (y; A/x1 A) đã được định nghĩa. Vì thế ta đặt e0 (x, A) = e0 (y; (0 :A x1 R)) − e0 (y; A/x1 A). Mệnh đề 1.3.4. Các phát biểu sau là đúng. (i) Nếu x = (x1 , . . . , xk ) là một hệ bội của A thì e0 (x, A) > 0 nếu và chỉ nếu k = s = N-dimR A.   s X n+i  gi là (ii) Giả sử x là một hệ tham số của A và PqA (n) = i i=0 đa thức Hilbert-Samuel của A. Khi đó e0 (x, A) = gs . Cho q là iđêan của R sao cho `(0 :A q) < ∞. Dựa vào kết quả về đa thức Hilbert-Samuel của D. Kirby ta có thể định nghĩa số bội của môđun Artin A ứng với iđêan q như sau. Theo Định lý 1.2.1, tồn tại đa thức PqA (n) bậc s sao cho với n đủ lớn ta có HqA (n) = PqA (n), trong đó HqA (n) = `(0 :A qn+1 ). Chú ý rằng, theo Mệnh đề 1.3.2, tồn tại các số e00 (q, A) > 0; e01 (q, A), . . . , e0s (q, A) sao cho PqA (n) = e00 (q, A) n+s s ! ! n+s−1 + e01 (q, A) + . . . + e0s (q, A). s−1 Hệ số e00 (q, A) gọi là số bội của A ứng với iđêan q . Nếu x = (x1 , . . . , xs ) là hệ tham số của A và q = (x1 , . . . , xs ) thì e00 (q, A) = e0 (x, A). 15