Tài liệu Luận văn liên phân số và đa thức trực giao

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRỊNH THỊ PHƯƠNG THANH LIÊN PHÂN SỐ VÀ ĐA THỨC TRỰC GIAO LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRỊNH THỊ PHƯƠNG THANH LIÊN PHÂN SỐ VÀ ĐA THỨC TRỰC GIAO LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH. HÀ HUY KHOÁI Thái Nguyên - 2017 3 Mục lục MỞ ĐẦU 6 Chương 1. Liên phân số 8 1.1 1.2 1.3 Liên phân số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.1 Liên phân số xuất hiện trong phép chia . . . . . . . 9 1.1.2 Liên phân số xuất hiện khi giải phương trình . . . . 11 1.1.3 Các định nghĩa cơ bản của liên phân số . . . . . . . 13 Một số công thức đẹp về liên phân số . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.1 Phép biến đổi của liên phân số . . . . . . . . . . . . 15 1.2.2 Hai chuỗi số đặc biệt và đồng nhất thức liên phân số 17 1.2.3 Liên phân số của arctan và π . . . . . . . . . . . . . 20 Ứng dụng của liên phân số trong lịch và âm nhạc . . . . . . 24 1.3.1 Liên phân số và lịch . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3.2 Piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Chương 2. Đa thức trực giao 2.1 2.2 31 Xấp xỉ Diophantus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.1.1 Xấp xỉ tốt và xấp xỉ tốt nhất . . . . . . . . . . . . . 31 2.1.2 Sự xấp xỉ và sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Liên phân số và đa thức trực giao . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.1 39 Ma trận trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2.2 Cầu phương Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.2.3 Phương pháp Sturm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.2.4 Tiếp cận Chebyshev của đa thức trực giao . . . . . . 45 2.2.5 Một số đa thức trực giao quan trọng . . . . . . . . . 45 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 5 Lời cảm ơn Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên và hoàn thành với sự hướng dẫn của GS.TSKH. Hà Huy Khoái (Trường Đại học Thăng Long, Hà Nội). Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn và tận tình giải đáp những thắc mắc của tác giả trong suốt quá trình làm luận văn. Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán–Tin, cùng các giảng viên đã tham gia giảng dạy, đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả học tập và nghiên cứu. Tác giả muốn gửi những lời cảm ơn tốt đẹp nhất tới tập thể lớp Cao học Toán khóa 9 (2015-2017) đã động viên và giúp đỡ tác giả rất nhiều trong suốt quá trình học tập. Nhân dịp này, tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Hải Phòng, Ban Giám hiệu và các đồng nghiệp Trường THCS Trần Phú, Quận Lê Chân, Thành phố Hải Phòng đã tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập và công tác của mình. Cuối cùng, tác giả muốn dành những lời cảm ơn đặc biệt nhất đến bố mẹ và đại gia đình đã luôn động viên và chia sẻ những khó khăn để tác giả hoàn thành tốt luận văn này. 6 Mở đầu Liên phân số (hay phân số liên tục - continued fractions) là một dạng biểu diễn các số thực dương, cả hữu tỷ và vô tỷ, dưới dạng một phân số nhiều tầng. Người ta đã tìm thấy rất nhiều ứng dụng đa dạng của liên phân số, chẳng hạn các ứng dụng trong các bài toán giải phương trình Pell hay xấp xỉ Diophantus. Trong Toán học, các đa thức trực giao (orthogonal polynomials) đóng một vai trò vô cùng quan trọng. Đồng thời, nó cũng là một công cụ rất hữu ích cho các ngành vật lý và kỹ thuật. Luận văn này có mục đích, thứ nhất là trình bày về liên phân số cùng các ứng dụng đơn giản của chúng trong nhiều biểu diễn liên quan đến arctan và số π, thứ hai, là nghiên cứu các ứng dụng liên phân số trong các đa thức trực giao. Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương: • Chương 1. Liên phân số. Trong chương này chúng tôi trình bày các kiến thức cơ sở về liên phân số, bao gồm các định nghĩa, tính chất cơ bản. Phần này cũng có mục tiêu giới thiệu một số đồng nhất thức đẹp về liên phân số của một số hàm và hằng số thường gặp như arctan và π. Sau đó chúng tôi sẽ thảo luận các ứng dụng của liên phân số trong lịch và âm nhạc. • Chương 2. Đa thức trực giao. Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày 7 về xấp xỉ Diophantus, liên phân số và đa thức trực giao, bao gồm cầu phương Gauss, phương pháp Sturm, tiếp cận Chebyshev của đa thức trực giao và cuối cùng là các đa thức trực giao quan trọng. Mặc dù đã rất cố gắng trong nghiên cứu đề tài và thực hiện luận văn, nhưng vì nhiều lý do khác nhau, chắc chắn luận văn này còn những khiếm khuyết nhất định. Tác giả kính mong những góp ý của các Thầy, Cô, các anh chị đồng nghiệp để luận văn này được hoàn thiện hơn. Thái Nguyên, ngày 20 tháng 5 năm 2017 Tác giả Trịnh Thị Phương Thanh 8 Chương 1 Liên phân số 1.1 Liên phân số Hiện nay có rất nhiều cách để viết một con số. Chúng ta có thể sử dụng các hệ cơ số khác nhau, phân số, số thập phân, logarithm, lũy thừa hoặc chỉ miêu tả bằng lời,. . . Mỗi cách sẽ thuận tiện và phục vụ từng mục đích của mỗi người. Để biểu biễn một số, liên phân số là một trong những công cụ trong sáng và đẹp nhất. Đầu tiên, ta sẽ đi chi tiết một chút vào khái niệm của liên phân số hay còn gọi là phân số liên tục (continued fractions). Ta bắt đầu bằng cách chỉ ra rằng các liên phân số thường xuất hiện một cách tự nhiên trong một phép chia dài và chúng ta thiết lập những định nghĩa cơ bản. Ví dụ, 4 π và π có thể viết dưới dạng các liên phân số như sau: 12 4 = 1+ π 12 , π = 3+ . 32 32 2+ 6+ 53 2+ 53 6+ 72 2+ 2+ ... 72 6+ 6+ ... Liên phân số bên trái được dựa theo Lord Brouncker (đồng thời là liên phân 9 số đầu tiên được ghi chép lại), và liên phân số bên phải thu được bởi Euler. Ta có công thức cho số e như sau: 1 2 = 1+ e = 2+ . 3 1 2+ 0+ 4 1 3+ 1+ 5 4+ 1 5+ ... 1+ 1 2+ 1 1+ 1 1+ 4+ ... Các liên phân số sẽ được thảo luận chi tiết về sau, cả ở khía cạnh toán học và khía cạnh ứng dụng trong thực tiễn. 1.1.1 Liên phân số xuất hiện trong phép chia Một cách thông thường để một liên phân số xuất hiện là từ những “phép chia lặp”. Ta xét các ví dụ sau đây: Ví dụ 1.1.1. Xét phép chia số 157 cho 68. Ta có thể viết là 157 21 = 2+ . 68 68 Nghịch đảo phân số 21 68 ta có 1 157 = 2 + 68 . 68 21 Xét số 68 21 , ta viết 68 5 1 = 3+ = 3 + 21 , 21 21 5 10 nên ta có thể viết 157 68 một cách đẹp hơn, 1 157 = 2+ 68 . 1 3+ Do 21 5 21 5 = 4 + 51 nên ta có thể viết 1 157 = 2+ 68 . (1.1) 1 3+ 1 4+ 5 Vì 5 là một số nguyên nên phép chia được dừng lại ở đây. Biểu thức bên phải trong (1.1) được gọi là một liên phân số hữu hạn đơn giản. Có nhiều cách để kí hiệu biểu thức này, trong luận văn ta sẽ dùng kí hiệu h2; 3, 4, 5i 1 để biểu diễn cho . 2+ 1 3+ 1 4+ 5 Như vậy, các liên phân số xuất hiện một cách tự nhiên từ việc viết các số hữu tỷ bằng cách lặp đi lặp lại các phép chia. Tất nhiên, 157 và 68 không phải là hai số đặc biệt, bằng cách lặp lại các phép chia như vậy, ta có thể biểu diễn số hữu tỷ a/b như một liên phân số hữu hạn đơn giản. Đây chính là Thuận toán Euclide. Mỗi cặp x0 > x1 của các số nguyên 11 dương sẽ sinh ra dãy x0 > x1 > x2 > . . . trong tập các số tự nhiên như sau x0 = b0 x1 + x2 , x1 = b1 x2 + x3 , (1.2) ..., xn−1 = bn xn . với b j ∈ N. Ta có thể viết lại dưới dạng chuẩn tắc 1 x0 = b0 + x1 . 1 b1 + 1 b2 + 1 b3 + b4 + . . . Ta sẽ kí hiệu đơn giản như dưới đây x0 1 1 1 = b0 + ... + bn x1 b1 + b2 + Do đó, tập R của các số thực có thể được tham số với dãy các tham số nguyên {bk }k≥0 , b0 ∈ Z và bk ∈ N nếu k ≥ 1. 1.1.2 Liên phân số xuất hiện khi giải phương trình Các liên phân số cũng xuất hiện một cách tự nhiên từ việc giải phương trình. Ta xét ví dụ sau. Ví dụ 1.1.2. Giả sử ta muốn tìm nghiệm dương x của phương trình x2 − x − 2 = 0. Ta thấy rằng 2 là nghiệm dương duy nhất của phương trình này. Mặt khác, viết x2 − x − 2 = 0 dưới dạng x2 = x + 2 và chia hai vế cho x, ta 12 nhận được x = 1+ 2 x hoặc, vì x = 2 nên 2 = 1+ 2 x Thay x trong mẫu số với x = 1 + 2x ta nhận được 2 2 = 1+ 2 1+ x Lặp lại nhiều lần, ta có thể viết 2 . 2 = 1+ 2 1+ 2 1+ ... 1+ 2 1+ x Lặp lại tới “vô hạn”, ta có 2 “2 = 1 + .” 2 1+ 2 1+ 2 1+ 1+ ... Đây là một công thức rất đáng chú ý cho số 2. Sau nay ta sẽ thấy, mỗi số nguyên đều có thể biểu diễn được thành liên phân số theo cách thức như vậy. Tuy nhiên, ta thấy dấu ngoặc kép biểu thị rằng ta vẫn chưa định nghĩa được vế bên phải. Sau ví dụ tiếp theo, ta sẽ thảo luận chi tiết về việc này. 13 Ví dụ 1.1.3. Xét biểu thức x2 − x − 1 = 0. Khi đó Φ = √ 1+ 5 2 được gọi là tỉ lệ vàng, là nghiệm dương duy nhất của phương trình bậc hai trên. Ta có Φ2 − Φ − 1 = 0, hay là Φ = 1 + Φ1 . Thay Φ trong mẫu số bởi 1 + Φ1 ta có 1 . Φ = 1+ 1 1+ Φ Lặp lại quá trình thay thế này đến “vô hạn”, ta viết 1 “Φ = 1 + .”. (1.3) 1 1+ 1 1+ 1 1+ 1.1.3 1+ ... Các định nghĩa cơ bản của liên phân số Một phân số được viết dưới dạng b1 a0 + . b2 a1 + b3 a2 + ... a3 + an−1 + bn an (1.4) 14 với ak và bk là số thực, được gọi là một liên phân số chuẩn tắc. Chú ý rằng nếu bm = 0 với một chỉ số m nào đó thì b1 a0 + b2 a1 + b1 = a0 + a2 + ... a2 + ... a3 + am−2 + an−1 + (1.5) b2 a1 + b3 . bn bm−1 am−1 an vì bm = 0 nên kết quả dưới bm cũng bằng 0. Liên phân số được gọi là liên phân số đơn giản nếu tất cả bk = 1 và ak là số nguyên với ak dương và k ≥ 1. Để biểu diễn một phân số như vậy, ta kí hiệu là a0 + b1 b2 b3 bn ... . + an a1 + a2 + a3 + Trong trường hợp liên phân số đơn giản, ta viết a0 + 1 1 1 1 = ha0 , a1 , a2 , . . . , an i. ... + an a1 + a2 + a3 + Nếu a0 = 0, nhiều tác giả viết ha1 , a2 , . . . , an i thay vì h0, a1 , a2 , . . . , an i. Bây giờ ta sẽ thảo luận về liên phân số vô hạn. Cho {an } và {bn } là dãy số thực và giả sử cn := a0 + b1 b2 b3 bn ... + an a1 + a2 + a3 + được xác định với mọi n. Ta gọi cn là hội tụ thứ n của liên phân số. Nếu giới hạn lim cn tồn tại, ta nói liên phân số vô hạn b1 a0 + hoặc b2 a1 + a2 + b3 a3 + . . . a0 + b1 b2 b3 ... a1 + a2 + a3 + (1.6) 15 hội tụ và có giá trị giới hạn là lim cn . Trong trường hợp của một liên phân số đơn giản (tức là bn = 1 và an là số nguyên với an dương, n ≥ 1) trong (1.6) ta sử dụng kí hiệu ha0 , a1 , a2 , . . . , i := lim ha0 , a1 , a2 , . . . , an i, n→∞ với điều kiện rằng vế phải tồn tại. Trong trường hợp khi có một số bm bị triệt tiêu, sự hội tụ của (1.6) trở nên dễ dàng bởi vì với n ≥ m, ta có cn = cm−1 . Do đó, trong trường hợp này a0 + b1 b2 b3 b1 b2 b3 bm−1 . . . = a0 + ... + am−1 a1 + a2 + a3 + a1 + a2 + a3 + hội tụ (một liên phân số như vậy được gọi là hữu hạn). Tuy nhiên, những vấn đề chung liên quan đến sự hội tụ thường không hiển nhiên. Chúng ta sẽ đi sâu vào sự hội tụ ở phần sau. 1.2 1.2.1 Một số công thức đẹp về liên phân số Phép biến đổi của liên phân số Phép biến đổi của liên phân số sẽ tiện lợi khi chuyển từ một liên phân số này sang một liên phân số kia. Ví dụ, cho ρ1 , ρ2 , và ρ3 là các số thực khác 0 và giả sử ta xác định được phân số hữu hạn b1 ξ = a0 + a1 + b2 a2 + b3 a3 16 trong đó ak và bk là số thực. Khi đó, nhân phần trên và phần dưới của phân số với ρ1 ta có b1 ρ1 ξ = a0 + ρ1 a1 + . ρ1 b2 a2 + b3 a3 Nhân phần trên và phần dưới của phân số với ρ1 b2 như là tử số bởi ρ2 ta có b1 ρ1 ξ = a0 + . ρ1 ρ2 b2 ρ1 a1 + ρ2 a2 + ρ2 b3 a3 Cuối cùng nhân phần trên và phần dưới của phân số với ρ2 b3 đóng vai trò là tử số bởi ρ3 ta có b1 ρ1 ξ = a0 + . ρ1 ρ2 b2 ρ1 a1 + ρ2 a2 + ρ2 ρ3 b3 ρ3 a3 Tóm lại a0 + b1 b2 b3 ρ1 b1 ρ1 ρ2 b2 ρ2 ρ3 b3 = a0 + . a1 + a2 + a3 ρ1 a1 + ρ2 a2 + ρ3 a3 Ta có định lí sau. Định lí 1.2.1 (Quy tắc biến đổi). Với bất kì số thực nào a1 , a2 , a3 , . . ., b1 , b2 , b3 , . . . và các hằng số khác không ρ1 , ρ2 , ρ3 , . . . ta có a0 + b1 b2 b3 bn ... + an a1 + a2 + a3 + 17 = a0 + ρ1 b1 ρ1 ρ2 b2 ρ2 ρ3 b3 ρn−1 ρn bn , ... + ρ1 a1 + ρ2 a2 + ρ3 a3 + ρn an theo nghĩa, khi vế trái được xác định, đồng nghĩa với vế phải cũng được xác định và đẳng thức xảy ra. Đặc biệt, nếu giới hạn khi n → ∞ ở vế trái được xác định thì giới hạn ở vế phải cũng được xác định, và b1 b2 b3 bn ... ... + an + a1 + a2 + a3 + ρ1 b1 ρ1 ρ2 b2 ρ2 ρ3 b3 ρn−1 ρn bn = a0 + ... ... + ρ1 a1 + ρ2 a2 + ρ3 a3 + ρn an + a0 + 1.2.2 Hai chuỗi số đặc biệt và đồng nhất thức liên phân số Cho α1 , α2 , α3 , . . . là các số thực bất kỳ với với αk 6= 0 và αk 6= αk−1 với mọi chỉ số k. Nhận thấy rằng 1 1 α2 − α1 − = = α1 α2 α1 α2 Vì 1 α1 α2 . α2 −α1 α1 (α2 − α1 ) + α12 α12 α1 α2 = = α1 + , α2 − α1 α2 − α1 α2 − α1 ta nhận được 1 1 1 − = . α1 α2 α + α12 1 α2 −α1 Ví dụ nhỏ này gợi ý cho ta chứng minh kết quả sau. Định lí 1.2.2. Giả sử α1 , α2 , α3 , . . . là các số thực bất kỳ với αk 6= 0 và 18 αk 6= αk−1 với mọi chỉ số k. Khi đó, với bất cứ n ∈ N, 1 n (−1)k−1 ∑ αk = k=1 . α12 α1 + α22 α2 − α1 + ... α3 − α2 + αn−1 + 2 αn−1 αn − αn−1 Đặc biệt, khi n → ∞, ta kết luận rằng n α12 α22 (−1)k−1 1 ∑ αk = α1 + α2 − α1 + α3 − α2 + . . . k=1 (1.7) chỉ cần một trong hai vế (do đó cả hai) có nghĩa. Chứng minh. Định lí này chắc chắn đúng cho các tổng thay phiên với n = 1 số hạng. Giả sử điều này đúng với n số hạng, ta sẽ chứng minh rằng định lí này cũng sẽ đúng với n + 1 số hạng. Ta có thể viết: n+1 1 1 (−1)n−1 (−1)n (−1)k−1 ∑ αk = α1 − α2 + . . . + αn + αn+1 k=1   1 1 1 1 n−1 = − + . . . + (−1) − α1 α2 αn αn+1   1 1 α − α n n+1 = − + . . . + (−1)n−1 α1 α2 αn αn+1 1 1 1 = − + . . . + (−1)n−1 αn αn+1 . α1 α2 α −α n+1 n Đây là một tổng của n số hạng. Giờ ta có thể áp dụng giả thiết quy nạp để kết luận n α12 (−1)k−1 1 ∑ αk = α1 + α2 − α1 + . . . + k=1 2 αn−1 . αn αn+1 − α n−1 αn+1 −αn (1.8) 19 Do αn αn+1 αn (αn+1 − αn ) + αn2 − αn−1 = − αn−1 αn+1 − αn αn+1 − αn αn2 , = αn − αn−1 + αn+1 − αn thay vào (1.8) ta có 2 αn−1 α12 (−1)k−1 1 . ∑ αk = α1 + α2 − α1 + . . . + αn2 α − α + k=1 n n−1 αn+1 −αn n+1 Điều này kết thúc phép chứng minh. Ví dụ 1.2.3. Ta biết rằng (−1)k−1 1 1 1 1 log 2 = ∑ = − + − +.... k 1 2 3 4 k=1 ∞ Đặt αk = k trong (1.7) ta có thể viết 1 12 22 32 ... log 2 = 1+ 1 + 1 + 1 + mà ta cũng có thể viết dưới dạng một đẳng thức đẹp đẽ như sau: 1 log 2 = . 12 1+ 22 1+ 32 1+ 42 1+ 1+ ... Sau đây là một đồng nhất thức thú vị. Giả sử α1 , α2 , α3 , . . . là các số thực khác không và 1. Nhận thấy rằng 1 1 α2 − 1 − = = α1 α1 α2 α1 α2 1 α1 α2 . α2 −1 20 Do đó α1 α2 α1 (α2 − 1) + α1 α1 = = α1 + , α2 − 1 α2 − 1 α2 − 1 ta nhận được 1 1 1 − = . 1 α1 α1 α2 α1 + α2α−1 Ta có thể tiếp tục đồng nhất thức theo cách mà ta đã làm để chứng minh Định lí 1.2.2 để có được kết quả sau đây. Định lí 1.2.4. Với mỗi dãy số thực α1 , α2 , α3 , . . . với αk 6= 0 và 1, ta có 1 n (−1)k−1 ∑ α1 · · · αk = k=1 . α1 α1 + α2 α2 − 1 + ... α3 − 1 + αn−1 + αn−1 αn − 1 Đặc biệt, khi n → ∞, ta kết luận rằng n (−1)k−1 1 α1 α2 αn−1 ∑ α1 · · · αk = α1 + α2 − 1 + α3 − 1 + . . . αn − 1 . . . , k=1 (1.9) chỉ cần một trong hai vế (do đó cả hai) có nghĩa. 1.2.3 Liên phân số của arctan và π Bây giờ chúng ta sẽ sử dụng các đồng nhất thức vừa nghiên cứu để suy ra một số liên phân số đáng chú ý. Ví dụ 1.2.5. Trước hết, do π 1 1 1 1 = − + − +..., 4 1 3 5 7