ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
PHẠM NGỌC SƠN
NGHIỆM SIÊU HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƢU
VÀ BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÉCTƠ
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2015
Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
PHẠM NGỌC SƠN
NGHIỆM SIÊU HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƢU
VÀ BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÉCTƠ
Chyên nghành: Toán Giải tích
Mã số: 60. 46. 01. 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS. Đỗ Văn Lƣu
THÁI NGUYÊN - 2015
Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
i
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi, dưới
sự hướng dẫn tận tình và chu đáo của PGS.TS. Đỗ Văn Lưu.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của
các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2015.
Tác giả
Phạm Ngọc Sơn
Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
ii
LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm
- Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Đỗ Văn Lưu. Qua
đây, tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn của
mình, PGS.TS Đỗ Văn Lưu, người thầy đã đưa ra đề tài và tận tình hướng
dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu. Đồng thời tôi xin trân trọng
bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô giáo trong Khoa Sau Đại học, Ban chủ
nhiệm Khoa Toán trường Đại học sư phạm Thái Nguyên, Đại học sư phạm Hà
Nội, Viện Toán học Việt Nam đã giảng dạy và giúp đỡ tôi hoàn thành luận
văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn Sở Văn hóa Thể thao và Du lịch, Sở Giáo dục
và đào tạo tỉnh Hòa Bình, trường Phổ thông Năng khiếu Thể dục Thể thao tỉnh
Hòa Bình, gia đình, các bạn bè đồng nghiệp và các thành viên trong lớp cao học
Toán K21b đã quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và
quá trình làm luận văn.
Do thời gian ngắn và khối lượng kiến thức lớn, chắc chắn bản luận văn
không thể tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo tận
tình của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp, tôi xin chân thành cảm ơn
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2015.
Tác giả
Phạm Ngọc Sơn
Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
iii
MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN................................................................................................ i
LỜI CẢM ƠN .................................................................................................... ii
MỤC LỤC .........................................................................................................iii
MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 1
1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................. 1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................. 1
3. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................. 1
4. Bố cục luận văn ............................................................................................... 2
Chƣơng 1 TÍNH CHẤT ĐẶC TRƢNG CỦA ĐIỂM SIÊU HỮU HIỆU
CỦA MỘT TẬP ĐÓNG .................................................................... 3
1.1 Một số kiến thức về giải tích Lipschitz ......................................................... 3
1.1.1. Định nghĩa ................................................................................................. 3
1.1.2 Định lí ......................................................................................................... 3
1.1.3. Định nghĩa ................................................................................................. 6
1.1.4. Định lí ........................................................................................................ 6
1.1.5. Ví dụ .......................................................................................................... 7
1.1.6. Định nghĩa ................................................................................................... 8
1.1.7. Định nghĩa ................................................................................................... 8
1.1.8. Định lí.......................................................................................................... 8
1.1.9. Định lí.......................................................................................................... 8
1.1.10. Định lí ........................................................................................................ 9
1.1.11. Định nghĩa ................................................................................................. 9
1.1.12 Định nghĩa .................................................................................................. 9
1.2 Điểm siêu hữu hiệu của một đóng ................................................................. 9
1.2.1.Định nghĩa .................................................................................................. 9
1.2.2. Định nghĩa ............................................................................................... 10
1.2.3. Định nghĩa ............................................................................................... 10
1.2.4. Định nghĩa ............................................................................................... 11
1.2.5. Định nghĩa ............................................................................................... 14
Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
iv
1.2.6. Định nghĩa ............................................................................................... 14
1.2.7. Định nghĩa ............................................................................................... 14
1.2.8. Định nghĩa ............................................................................................... 14
1.3 Các tính chất đặc trưng của điểm siêu hữu hiệu của một tập đóng ............. 15
1.3.1 Định lý ...................................................................................................... 15
1.3.2. Nhận xét ................................................................................................... 19
1.3.3. Ví dụ ........................................................................................................ 19
1.3.4. Định lý ..................................................................................................... 21
1.3.5. Nhận xét ................................................................................................... 22
1.3.6. Định lý ..................................................................................................... 22
Chƣơng 2 TÍNH CHẤT ĐẶC TRƢNG CỦA NGHIỆM SIÊU HỮU
HIỆU CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ ............................. 24
2.1 Kiến thức chuẩn bị ..................................................................................... 24
2.1.1. Định nghĩa ............................................................................................... 25
2.1.2. Định nghĩa ............................................................................................... 25
2.2 Các tính chất đặc trưng cho nghiệm siêu hữu hiệu của bài toán cân bằng
vectơ .................................................................................................. 26
2.2.1. Bổ đề ........................................................................................................ 26
2.2.2. Định lý ..................................................................................................... 26
2.2.3. Hệ quả ...................................................................................................... 28
2.2.4. Nhận xét ................................................................................................... 28
2.2.5. Mệnh đề ................................................................................................... 28
2.2.6. Định lý ..................................................................................................... 30
2.2.7. Hệ quả ...................................................................................................... 31
2.2.8. Định lý ..................................................................................................... 32
2.2.9. Định lý ..................................................................................................... 32
2.2.10. Hệ quả .................................................................................................... 32
2.2.11. Hệ quả .................................................................................................... 32
KẾT LUẬN....................................................................................................... 33
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................... 34
Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Bài toán cân bằng vectơ (VEP) được đưa vào nghiên cứu bởi Ansari,
Oettli và Schlager 3 và Bianchi, Hadjisavvas và Schaible 4 vào năm 1997.
Gần đây bài toán cân bằng vectơ được nghiên cứu rộng rãi, bởi vì nó
bao gồm nhiều bài toán khác, như các trường hợp đặc biệt như: bài toán bất
đẳng thức biến phân vectơ, bài toán tối ưu vectơ trong đó bao gồm tối ưu hóa
một tập, bài toán cân bằng Nash vectơ,...
Trong lý thuyết của bài toán cân bằng vectơ cũng như trong lý thuyết
tối ưu vectơ người ta thường xét các nghiệm hữu hiệu yếu, nghiệm hữu hiệu
Pareto, nghiệm hữu hiệu toàn cục, nghiệm hữu hiệu Henig và nghiệm siêu
hữu hiệu. Nghiệm siêu hữu hiệu có nhiều tính chất phong phú và được nhiều
nhà toán học quan tâm nghiên cứu. Zheng – Yang – Teo (2007) đã thiết lập
các tính chất đặc trưng cho điểm siêu hữu hiệu trong tối ưu vectơ. Gong
(2011) đã chứng minh điều kiện đủ và các tính chất đặc trưng cho nghiệm
siêu hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ. Đây là đề tài được nhiều tác giả
trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu. Chính vì thế mà tôi chọn đề tài: “
Nghiệm siêu hữu hiệu của bài toán tối ưu và bài toán cân bằng vectơ ”.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn trình bày các kết quả về các tính chất đặc trưng cho điểm
siêu hữu hiệu của một tập đóng của Zheng – Yang – Teo (2007) và các tính
chất đặc trưng cho nghiệm siêu hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ của
Gong (2001).
Sử dụng các kết quả của hai bài báo đó để viết luận văn.
3. Phƣơng pháp nghiên cứu
Sử dụng công cụ giải tích hàm, giải tích lồi và các kiến thức của lí
thuyết tối ưu.
Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
2
4. Bố cục luận văn
Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục
các tài liệu tham khảo.
Chƣơng 1. Tính chất đặc trƣng của điểm siêu hữu hiệu của một
tập đóng
Trình bày các tính chất đặc trưng của điểm siêu hữu hiệu của một tập
đóng trong không gian Banach của Zheng – Yang – Teo ([10], 2007) dưới
ngôn ngữ nón pháp tuyến Clarke, trong đó nón thứ tự không phải giả thiết có
cơ sở bị chặn. Chú ý rằng bài toán tối ưu hóa một tập là một trường hợp
riêng của bài toán cân bằng vectơ.
Chƣơng 2. Tính chất đặc trƣng của nghiệm siêu hữu hiệu của bài
toán cân bằng vectơ
Trình bày điều kiện đủ và tính chất đặc trưng cho nghiệm siêu hữu
hiệu của bài toán cân bằng vectơ trong không gian Banach của Gong ([7],
2001) bằng cách sử dụng định lí phạm trù Baire.
Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
3
Chƣơng 1
TÍNH CHẤT ĐẶC TRƢNG CỦA ĐIỂM SIÊU HỮU HIỆU
CỦA MỘT TẬP ĐÓNG
Trình bày các tính chất đặc trưng của điểm siêu hữu hiệu của một tập
đóng trong không gian Banach dưới ngôn ngữ nón pháp tuyến Clarke, trong
đó nón thứ tự không phải giả thiết có cơ sở bị chặn. Các kết quả trình bày
trong chương này là của Zheng – Yang – Teo ([10], 2007).
1.1 Một số kiến thức về giải tích Lipschitz
Giả sử X là một không gian Banach và X* là không gian đối ngẫu
của X và f là hàm Lipschitz địa phương tại x X .
1.1.1. Định nghĩa
Đạo hàm suy rộng của hàm f theo phương v X tại x , kí
hiệu là f0 x, v được xác định như sau:
f 0 x, v limsup
x x t 0
f ( y tv) ( x)
t
(1.1)
trong đó x X , t 0 .
1.1.2 Định lí
Giả sử f là hàm Lipschitz địa phương với hằng số Lipschitz K tại x .
Khi đó,
(i) Hàm v f 0 ( x, v) hữu hạn , thuần nhất dương, dưới cộng tính trên
X và
f 0 ( x; v) K v .
(ii) f 0 ( x, v) nửa liên tục trên theo x, v , f 0 x,. Lipschitz với hằng
số K trên X.
Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
4
(iii) f 0 ( x; v) ( f )0 (u, v) .
Chứng minh:
(i) Do f là Lipschitz địa phương tại với hằng số Lipschitz K, cho nên
tồn tại lân cận U của x sao cho với mọi y, z U ,
f ( y) f z K y z .
Do đó, từ (1.1) ta có
f 0 ( x, v) limsup
x x t 0
K tv
K v
t
bởi vì với t đủ nhỏ, y U thì y tv U . Từ đó suy ra tính chất hữu
hạn của hàm f 0 x,. . Với 0 , ta có
f 0 x, v limsup
yx t 0
= limsup
yx t 0
f ( y t v) f ( y )
t
f ( y t v) f ( y )
f 0 ( x, v) .
t
hàm f 0 x,. thuần nhất dương.
Bây giờ ta kiểm tra tính dưới cộng tính:
f 0 x, v limsup
yx t 0
limsup
yx t 0
f ( y tv t ) f ( y)
t
f ( y tv t ) f ( y tv)
f ( y tv) f ( y )
limsup
yx t 0
t
t
f 0 ( x, ) f 0 ( x, v).
Bởi vì y tv x khi y x và t 0 .
(ii) Lấy các dãy
xi
và
vi hội
tụ đến x và v tương ứng, với
i, yi , ti 0 sao cho
1
yi xi ti ,
i
Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
5
1 f ( yi ti vi ) f ( yi )
f 0 ( xi , vi )
i
ti
f ( yi ti v) f ( yi ) f ( yi tivi ) f ( yi tiv)
ti
ti
Để ý rằng
(1.2)
f ( yi ti vi ) f ( yi tiv)
K vi v với i đủ lớn. Khi đó, từ
ti
(1.2) ta có
limsup f 0 ( xi , vi ) f 0 ( x, v)
i
Do đó f 0 (.,.) nửa liên tục trên
Ta chứng minh trên X.
Với u, X , ta có
f ( y tv) f ( y) f ( y t) f ( y) K v t
f ( y tv) f ( y ) f ( y t ) f ( y )
K v
t
t
f 0 ( x, v) f 0 ( x, ) K v
(1.3)
Đổi vai trò của v và ta nhận được
f 0 ( x, ) f 0 ( x, v) K v .
(1.4)
Từ (1.3) và (1.4) ta suy ra f 0 ( x, v) f 0 ( x, ) K v .
Như vậy f 0 ( x,.) Lipschitz với hằng số K trên X .
(iii) Chứng minh
f 0 ( x, v) f ( x, v).
0
f ( x ' tv) f ( x ' )
( f )(u tv) ( f ) f (u )
f ( x, v) limsup
limsup
'
ux t 0
x x t 0
t
t
0
(đặt u x ' tv )
Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
6
( f )0 ( x, v) .
Định lý được chứng minh.
1.1.3. Định nghĩa
Gradien suy rộng của hàm f tại x , kí hiệu là f ( x) là tập hợp sau
đây trong X *
f ( x) : X * : f 0 ( x, u , u , u X ) .
Đây là khái niệm gradien suy rộng của F.H. Clarke
1.1.4. Định lí
Giả sử f là Lipschitz địa phương tại với hằng số Lipschitz K tại x .
Khi đó,
(i) f ( x) lồi compact yếu* trong X * và * K ( f ( x)) .
(ii) Với mọi v V ta có f 0 ( x, v) max , v : f ( x) .
Chứng minh:
Theo định lí 1.1.2 f 0 ( x,.) là hàm cộng tính, thuần nhất dương trên X .
Theo định lí Hahn-Banach, tồn tại hàm tuyến tính : X R sao cho
f 0 ( x, v ) , v
v X
f ( x) f ( x)
Ta sẽ chứng minh f ( x) lồi, lấy 1,2 f ( x),0 1. Khi đó,
f 0 ( x, u ) i , u
u X , i 1,2
f 0 ( x, u) f 0 ( x, u ) (1 ) f 0 ( x, u)
1, u (1 ) 2 , u
1 (1 ) 2 ,u
1 (1 )2 f ( x) f ( x) lồi.
Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
7
Bây giờ ta chứng minh f ( x) compact yếu* , với
f ( x), * K f ( x) B* (0, K )
trong đó B* (0, K ) là hình cầu đóng tâm 0 bán kính K , hình cầu
B* (0, K ) là compact yếu * (định lí Alaoglu), f ( x) là đóng yếu*.
(ii) Theo định nghĩa 1.1.3
max , v : f ( x) f 0 ( x, v) .
Giả sử tồn tại v0 sao cho
max , v0 : f ( x) f 0 ( x, v0 ) .
Theo định lí Hanh-Banach, tồn tại phiếm hàm tuyến tính thỏa mãn
, v f 0 ( x, v)
v X
, v0 f 0 ( x, v0 ).
f ( x) f 0 ( x, v0 )
, v0 f 0 ( x, v0 )
vô lí. Định lí được chứng minh.
1.1.5. Ví dụ
Xét trường hợp X R , f x x . Khi đó, f là hàm Lipschitz trên
R với hằng số Lipschitz K 1
Bây giờ, ta lấy x 0 . Khi đó,
f 0 x, v limsup
yx t 0
y tv y
v f ( x) R : v , v R 1 .
t
Tương tự, với v 0 , ta có 1. Do đó, 1.
Một cách tương tự, nếu x 0, f x 1 .
Xét trường hợp x 0
Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
8
f 0 0, v v f 0 R : v , v R
f 0 1,1 .
1.1.6. Định nghĩa
Ánh xạ đa trị được gọi là đóng, nếu Gr đóng trong X Y.
1.1.7. Định nghĩa
Ánh xạ đa trị được gọi là nửa liên tục trên tại x , nếu với 0, 0
sao cho
(x x BX ) ( X ) ( X ) BY
trong đó BX và BY là các hình cầu đơn vị mở trong X và Y.
1.1.8. Định lí
Giả sử f là hàm Lipschitz địa phương tại x . Ta có các khẳng định
sau đây:
(i) f ( x) f 0 ( x; v) , v (v X ) .
(ii) Giả sử các dãy xi X , i X * thỏa mãn
i f ( xi ) , xi hội tụ đến x , là điểm giới hạn của i theo tôpô yếu
* . Khi đó,
f ( x) (tức là ánh xạ đa trị f ( x) đóng yếu *).
(iii) f ( x) 0 yx B f ( y ) .
(iv) Nếu X hữu hạn chiều thì f là nửa liên tục trên tại x .
Nhắc lại: Cho hàm lồi f trên tập lồi mở U, ( f : U ) , dưới vi phân của
hàm lồi f tại x U được định nghĩa như sau:
c f ( X ) X * : f(X) f( X ) , X X , X U .
1.1.9. Định lí
Giả sử f là lồi trên U , Lipschitz địa phương tại x U . Khi đó,
Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
9
f ( x) c f ( x) ,
f 0 ( x, v) f '( x, v)
u X
trong đó f là gradient suy rộng của f , f '( x,.) là đạo hàm theo phương
f tại x .
1.1.10. Định lí
Giả sử f Lipschitz địa phương tại x , S là tập tùy ý trong R n có độ đo
Lebesgue bằng 0. Khi đó,
f x co lim f xi : xi x, xi S , xi f
(1.5)
trong đó co kí hiệu là bao lồi.
1.1.11. Định nghĩa
Vectơ v X được gọi là tiếp xúc với tập C nếu x C nếu
, x x 0
x C .
Định nghĩa 1.1.11 cho ta vectơ pháp tuyến theo nghĩa giải tích lồi.
1.1.12 Định nghĩa
Nón tiếp liên của tập hợp C tại x là
Kc x : v X : 0, t 0, , v tB saocho x t C .
1.2 Điểm siêu hữu hiệu của một đóng
Giả sử X là một không gian Banach và X* là không gian đối
ngẫu của X. Giả sử C là nón nhọn lồi đóng trong X xác định thứ tự bộ phận
C trong X:
x1 C x2 x2 x1 C .
1.2.1. Định nghĩa
Giả sử là một tập con đóng của X và a , a là một điểm hữu
hiệu Pareto của , kí hiệu a E , C , nếu
Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
10
x và x a C 0 x a 0 .
Theo Borwein và Zhuang 5 , ta có
1.2.2. Định nghĩa
Điểm a là điểm siêu hữu hiệu (superefficient point) của nếu tồn tại
một số thực M > 0 sao cho
cl cone( a) ( BX C ) MBX ,
trong đó BX là hình cầu đơn vị của X.
Nghiệm siêu hữu hiệu có nhiều tính chất phong phú và được nghiên
cứu rộng rãi.
Ký hiệu SE( ,C) là tập tất cả các điểm siêu hữu hiệu của . Ta biết
rằng a SE , C nếu và chỉ nếu tồn tại M > 0 sao cho
x , y X và x a C y x a M y .
(1.6)
Ta suy ra SE , C E , C .
1.2.3. Định nghĩa
a là một điểm siêu hữu hiệu địa phương của , ký hiệu
a SEL , C , nếu tồn tại 0 sao cho
a SE B a, ,C ,
trong đó B a, là hình cầu mở tâm a, bán kính .
Như vậy, a SEL , C nếu và chỉ nếu tồn tại hằng số M, 0 sao cho
x B a, , y X và x a C y x a M y .
(1.7)
Rõ ràng là SE , C SEL , C .
Khi lồi ta có SE , C SEL , C . Trong trường hợp không
lồi có lẽ thích hợp hơn là ta xét nghiệm siêu hữu hiệu địa phương. Nhiều kết
quả đã biết về nghiệm siêu hữu hiệu đòi hỏi giả thiết lồi. Chẳng hạn, với giả
Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
11
thiết là lồi và C có một cơ sở bị chặn, Borwein và Zhuang 5 chứng
minh rằng
a SE , C c* int C sao cho c* , a min c* , x : x ,
trong đó
C : x* X *: x* , c 0, c C .
Nón tiếp tuyến Clarke của tập X tại điểm x được xác định
như sau (xem [2]):
TC , x v X : xn ,x n x, tn 0, vn v sao cho x n +t nvv , n
Nón pháp tuyến Clarke của tại x được xác định bởi
NC , x x* X * : x* , x 0, v TC , x .
Như vậy,
.
Chú ý rằng T , x là nón khác rỗng, lồi, đóng; Nón
NC , x TC , x
C
NC , x là
nón khác rỗng, lồi, đóng yếu *.
Chú ý rằng khi là lồi
c* , a min c* , x : x c* Nc , a
(trong đó N c ( .,. ) ký hiệu nón pháp tuyến Clarke), kết quả Borwein
và Zhuang có thể viết lại như sau:
a SE , C x* N c , a sao cho 0 int C x* . (1.8)
1.2.4. Định nghĩa
Nón thứ tự C được gọi là có một cơ sở bị chặn nếu tồn tại một tập con
lồi bị chặn
C = t : t 0, và 0 cl (Θ).
Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
12
Ta biết rằng C là cơ sở bị chặn nếu và chỉ nếu int C Ø. Khi bỏ giả
thiết nón thứ tự có một cơ sở bị chặn, ta mở rộng được kết quả của Borwein
và Zhuang cho trường hợp bán dưới trơn (semi-subsmooth) tại a (khái
niệm này được định nghĩa ở dưới). Giả sử là bán dưới trơn tại a. Chúng ta
sẽ chứng minh rằng các mệnh đề sau tương đương:
(i) a SEL , C .
(ii) Tồn tại M, (0, ) sao cho
x a M y d x,
với bất kỳ
x, y B a, X
với
x a C y
trong đó d x, inf x u : u .
(iii) 0 int C N c , a .
Trong trường hợp lồi ta chứng minh các phát biểu sau là tương đương:
(i) a SEL , C .
(ii) a SE , C .
(iii) Tồn tại hằng số M > 0 sao cho
x a M y d x, với bất kỳ x, y X X với x a C y .
(iv) 0 int C N c , a .
Giả sử X là không gian Banach được trang bị thứ tự bộ phận bởi một
nón lồi đóng C. Với một tập con đóng A của X và a A, giả sử T A, a và
là nón tiếp liên của A tại a:
T A, a : {h X : tn 0, hn h với a tn hn A
ta biết rằng Tc A, a là một nón lồi đóng trong X còn T A, a là một
nón đóng có thể không lồi. Giả sử Nc A, a là nón pháp tuyến Clarke của A
tại a.
Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
13
Như vậy,
Tc A, a = h X : x* , h 0, x* Nc A,a .
Hàm f
(1.9)
được gọi là hàm chính thường nếu dom
f Ø và
f x x D .
Giả sử f : X R là hàm nửa liên tục dưới, chính thường và
c f x là dưới vi phân Clarke của f tại x (với f x ), tức là,
c f x := x* X * : x* , 1 Nc epi( f , x, f x ,
trong đó epi f : u, t X R : f u t (xem 1 ).
Nếu f là hàm Lipschitz địa phương trên không gian Banach X
( f : X R ), dưới vi phân Clarke của f tại x được xác định bởi
c f x x* X * : x* , u f 0 x, u , u X ,
trong đó f 0 x; u là đạo hàm suy rộng Clarke của f tại x theo
phương u:
f 0 x; u lim
yx
t 0
f ( y tu ) ( y)
.
t
Nếu f là hàm giá trị thực mở rộng, nửa liên tục dưới thì c f x là
tập con đóng yếu * trong X * , c f x có thể rỗng và có thể không compact.
Nếu f là hàm Lipschitz địa phương tại x với hằng số L thì c f x
khác rỗng, lồi, compact yếu * và
L ( c f x ).
Hơn nữa, với mọi v X , f 0 x, v max , v : c f x (xem [2]).
Nếu A và f là lồi, thì ta biết rằng
Nc A, a := x* X * : x* ,a x 0, x A
(1.10)
Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
14
và
c f x := x* X * : x* ,u x f u f x , u X .
(1.11)
1.2.5. Định nghĩa
Tập A là chính quy gần kề tại a nếu tồn tại , 0 sao cho
x1, x2 A B a, và xi* Nc A, xi BX * , i 1,2 , ta có
2
x2* x1* , x2 x1 x2 x1 .
Mới đây, Aussel, Daniilidis và Thibault đã đưa vào nghiên cứu khái
niệm dưới trơn (subsmoothness), bán dưới trơn (semi - subsmoothness).
1.2.6. Định nghĩa
Tập A là dưới trơn tại a A nếu với bất kỳ 0, 0
sao cho
x1, x2 A B a, và xi* Nc A, xi BX * , i 1,2 ,
ta có
x2* x1* , x2 x1 x2 x1 .
1.2.7. Định nghĩa
Tập A là bán dưới trơn tại a A nếu với bất kỳ 0, 0
sao cho
x A B a, , a* N c A, a BX * và x* Nc A, a BX * ,
ta có
x* a* , x a x a .
Rõ ràng là:
Tính lồi tính chính quy gần kề tính dưới trơn tính bán
dưới trơn.
1.2.8. Định nghĩa
Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
- Xem thêm -