Tài liệu Luận văn nghiên cứu ngưng tụ bose einstein hai thành phần trong không gian bị hạn chế.

LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận án này là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Trần Hữu Phát và PGS. TS. Nguyễn Văn Thụ. Các kết quả nghiên cứu của luận án là trung thực và không trùng khớp với bất kì công trình nào của tác giả khác. Hà Nội, ngày 01 tháng 5 năm 2019 Tác giả luận án Hoàng Văn Quyết i LỜI CẢM ƠN! Trước tiên, tác giả luận án xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với GS. TSKH. Trần Hữu Phát. Sự hướng dẫn tận tụy và những động viên khích lệ của thầy là nguồn động lực to lớn cho tác giả trong suốt quá trình hoàn thành chương trình đào tạo và làm luận án. Thầy mãi là tấm gương sáng về đạo đức, về tinh thần làm việc nghiêm túc, cống hiến hết mình vì khoa học để tác giả học tập và noi theo. Tác giả xin trân trọng cảm ơn PGS. TS. Nguyễn Văn Thụ, thầy đã tận tình hướng dẫn và cùng thảo luận giúp đỡ tác giả hoàn thành các tính toán quan trọng nhất trong luận án. Tác giả xin trân trọng cảm ơn PGS. TS. Nguyễn Thị Hà Loan người đã dẫn dắt tác giả đến với con đường nghiên cứu khoa học. Tác giả xin trân trọng cảm ơn TS. Phạm Thế Song đã nhiệt tình giúp đỡ, cùng thảo luận về luận án và các vấn đề nghiên cứu liên quan. Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng sau đại học, Khoa Vật LýTrường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tác giả hoàn thành chương trình đào tạo, hoàn thành luận án. Lời cảm ơn sau cùng, xin dành cho gia đình tác giả, những người đã dành cho tác giả tình yêu thương trọn vẹn, từng ngày chia sẻ, động viên tác giả vượt qua mọi khó khăn để hoàn thành luận án. Hà Nội, ngày 01 tháng 5 năm 2019 Tác giả luận án Hoàng Văn Quyết ii Mục lục Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Danh mục từ viết tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v Danh mục hình vẽ và bảng biểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii 1 Chương 1. Tổng quan và cơ sở lý thuyết về hệ ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần phân tách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.Tổng quan các nghiên cứu lý thuyết về hệ ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.Cơ sở lý thuyết và phương pháp dùng nghiên cứu hệ ngưng tụ Bose Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1. Phương trình Gross-Pitaevskii (GPE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.2. Hệ phương trình Gross-Pitaevskii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.3. Phương pháp gần đúng parabol kép(DPA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.4. Phương pháp gần đúng hydrodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Chương 2. Hệ thức tán sắc tại mặt phân cách của hệ ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.Hệ thức tán sắc tại mặt phân cách của hệ BEC hai thành trong không gian vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.Hệ thức tán sắc tại mặt phân cách của hệ BEC hai thành phần bị hạn chế bởi một tường cứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3.Hệ thức tán sắc tại mặt phân cách của hệ BEC hai thành phần bị hạn chế bởi hai tường cứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii 26 Chương 3. Các hiệu ứng kích thước hữu hạn trong hệ BEC hai thành phần bị giới hạn bởi một tường cứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.1.Điều kiện biên cho các thành phần ngưng tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2.Trạng thái cơ bản của hệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.3.Sức căng tại mặt phân cách và hiện tượng chuyển pha ướt của hệ trong tập hợp chính tắc lớn(GCE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Chương 4. Các hiệu ứng kích thước hữu hạn trong hệ BEC hai thành phần bị giới hạn bởi hai tường cứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.1.Trạng thái cơ bản của hệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.2.Sức căng tại mặt phân cách và một số hiệu ứng kích thước trong phân bố chính tắc lớn (GCE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.3.Sức căng tại mặt phân cách và một số hiệu ứng kích thước trong phân bố chính tắc (CE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Kết luận và kiến nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Danh sách các công trình công bố kết qủa nghiên cứu của luận . . .án 80 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv 81 Danh mục từ viết tắt Ký hiệu Tiếng Anh Tiếng Việt BEC Bose-Einstein condensate ngưng tụ Bose-Einstein two segregated Bose-Einstein ngưng tụ Bose-Einstein hai condensates thành phần phân tách CE Canonical ensemble tập hợp chính tắc GCE Grand canonical ensemble tập hợp chính tắc lớn BECs Double-parabola approxima- DPA gần đúng parabol kép tion Modified double-parabola ap- MDPA gần đúng parabol kép mở rộng proximation GP Gross-Pitaevskii Gross-Pitaevskii GPE(s) Gross-Pitaevskii equation(s) (hệ) phương trình Gross- trình Gross- Pitaevskii hệ Time-independent phương Gross- TIGPEs Pitaevskii không phụ thuộc Pitaevskii equations thời gian Tripple-parabola approxima- TPA gần đúng ba parabol tion MFA Mean-field approximation gần đúng trường trung bình HDA Hydrodynamic approach gần đúng hsydrodynamic v Danh sách hình vẽ 1 Hình vẽ mô phỏng hai ứng dụng của BECs (nguồn: inetrnet). . . . . . . . 2 1.1 Thế tương tác theo tham số trật tự φ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1 Cấu trúc hình học hệ BEC trong không gian vô hạn . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 Mặt phân cách được đặt tại z = z0 và tường cứng tại z = −h. . . . . . . . 22 2.3 Mặt phân cách được đặt tại z = z0 và tường cứng tại z = −h2 , z = h1 . . . 26 3.1 Cấu hình hệ BEC hai thành phần bị giam giữ bởi một tường cứng, tường cứng đặt tại z = −h0 . LAj là chiều dài xâm nhập của thành phần ngưng tụ j(j = 1, 2) trong miền ngưng tự j 0 (j 0 = 2, 1) 6= j. 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Hàm sóng của hệ ngưng tụ ở trạng thái cơ bản ứng với điều kiện biên √ Robin (c = 1/ 2) với h = 0. Đường nét liền ứng với nghiệm trong gần đúng DPA, đường nét đứt ứng với nghiệm giải số hệ phương trình GP. . . 39 3.3 Sự phụ thuộc của ` = f (K, ξ) theo 1/K tại ξ = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.4 Hàm sóng của thành phần 2 trong miền −h ≤ % ≤ ` tại K = 3, ξ = 1 và đường nét chấm ứng với c = 0 (điều kiện biên Neumann), đường nét gạch ứng với c = 1(điều kiện biên Robin), đường nét liền ứng với c = ∞ (điều kiện biên Dirichlet). 3.5 . . . . . . . 44 Sự phụ thuộc của sức căng mặt tại mặt phân cách trong GEC theo 1/K tại ξ = 1. Đường nét chấm, nét gạch và nét liền tương ứng với điều kiện biên Neumann, Robin và Dirichlet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.6 Làm ướt một phần, 0 < θ < π/2, (a, b...). Làm ướt hoàn toàn, θ = 0, (c) . . . . . . . 47 3.7 Đường chuyển pha ướt, đường nét liền (nét đứt) tương ứng với điều kiện biên Dirichlet (Robin). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 vi 4.1 Hai tường cứng tại z = h̃1 , z = −h̃2 , mặt phân cách z = L,và thành phần ngưng tụ 1(2) chiếm vùng z > L(z < L). LAj là chiều dài xâm nhập của thành phần ngưng tụ j(j = 1, 2) trong miền ngưng tự j 0 (j 0 = 2, 1) 6= j. 4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Trạng thái cơ bản của hệ với c1 = −1, c2 = 1, h1 = h2 = 10 đường màu xanh ứng với thành phần 2, màu đỏ ứng với thành phần 1, nét liền (nét đứt) ứng với nghiệm DPA (giải số hệ phương trình GP). . . . . . . . . . . 60 4.3 Sự phụ thuộc của γ̃12 vào kích thước của hệ d = 2h tại K = 3 and ξ = 1. Đường nét chấm, nét gạch và nét liền tương ứng tương ứng với điều kiện biên Neumann, Robin(c1 = −0, 5; c2 = 0, 5) và Dirichlet. 4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Sự phụ thuộc vào d = 2h của lực FGCE tại K = 1, 2, ξ = 1. Đường nét chấm, nét gạch và nét liền tương ứng với điều kiện biên Neumann, Robin (c1 = −0, 5; c2 = 0, 5) và Dirichlet. 4.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Lực FGCE phụ thuộc vào 1/K tại h = 5, ξ = 1. Đường nét chấm, nét gạch và nét liền tương ứng với điều kiện biên Neumann, Robin (c1 = −0, 5; c2 = 0, 5) và Dirichlet. 4.6 . 68 Hàm sóng của thành phần ngưng tụ 2 trong khoảng −h ≤ % ≤ ` và của thành phần 1 trong khoảng ` ≤ % ≤ h tại h = 10, K = 3, ξ = 1. Đường nét chấm, nét gạch và nét liền tương ứng với các điều kiện biên Neumann, Robin (c1 = −1, c2 = 1) và Dirichlet. 4.7 Sự phụ thuộc sức căng tại mặt phân cách trong GCE theo 1/K tại ξ = 1. Đường nét chấm, nét gạch và nét liền tương ứng với điều kiện biên Neumann, Robin và Dirichlet. 4.8 . 70 71 Sự phụ thuộc của sức căng mặt tại mặt phân cách trong CE theo 1/K tại ξ = 1. Đường nét chấm, nét gạch và nét liền tương ứng với điều kiện biên Neumann, Robin và Dirichlet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.9 Sự phụ thuộc của sức căng mặt tại mặt phân cách trong CE ứng với điều kiện biên Neumann theo kích thước của hệ d = 2h tại ξ = 1, K = 3. . 74 4.10 Sự phụ thuộc của lực Casimir - like FCE trong CE theo d tại ξ = 1, K = 1, 1. . . . . . 75 vii Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Ngưng tụ Bose-Einstein (BEC) là một trạng thái lượng tử vĩ mô, ở đó một số lượng lớn các hạt vi mô tập trung trong cùng một trạng thái lượng tử duy nhất như một đơn hạt khi nhiệt độ của hệ thấp hơn Tc nào đó. Hiện tượng này được dự đoán bởi Einstein vào năm 1925 [23] cho các nguyên tử với spin toàn phần có những giá trị nguyên. Dự đoán này dựa trên ý tưởng về một phân bố lượng tử cho các photon được đưa ra bởi Bose [16] trước đó một năm. Einstein sau đó mở rộng ý tưởng của Bose cho hệ hạt vật chất và chứng minh được rằng khi làm lạnh các nguyên tử boson đến nhiệt độ rất thấp thì hệ này tích tụ lại (hay ngưng tụ) trong trạng thái lượng tử ứng với năng lượng thấp nhất có thể và tạo nên trạng thái mới của vật chất gọi là BEC. Năm 1995 nhóm các nhà thực nghiệm ở đại học Colorado và viện công nghệ Massachusetts đã thành công khi tạo ra BEC của các nguyên tử (87 Rb, 23 Na, 7 Li) [1, 2, 17, 21, 42, 44]. Những kết quả thí nghiệm xác nhận sự tồn tại của BEC đã được ghi nhận bằng giải Nobel Vật lý năm 2001 trao cho E. A. Conell, C. E. Wieman và W. Ketterle [21]. Những nghiên cứu về lĩnh vực này thực sự bùng nổ sau khi các nhà thực nghiệm thành công trong việc tạo ra ngưng tụ BEC hai thành phần không trộn lẫn (BECs) [40, 57]. BEC là dạng vật chất lượng tử, sóng vật chất lượng tử có đặc tính quan trọng của laser, đó là tính kết hợp. Mặt khác phương pháp cộng hưởng Feshbach cho phép điều khiển được hầu hết các tham số quan trọng, chẳng 1 (a) (b) Hình 1: Hình vẽ mô phỏng hai ứng dụng của BECs (nguồn: inetrnet). hạn như cường độ tương tác giữa hai thành phần, nhằm tạo ra những trạng thái bất kỳ theo ý muốn [32]. Do đó BEC(s) là môi trường lý tưởng trong phòng thí nghiệm để có thể: •Mô phỏng các tính chất của hệ môi trường đông đặc mà chúng ta rất khó nghiên cứu được trong các vật liệu thực tế. •Kiểm chứng nhiều hiện tượng lượng tử khác nhau, chẳng hạn như sự hình thành các xoáy Abrikosov, các vách ngăn (domain wall) giữa hai thành phần, các trạng thái soliton, các đơn cực từ (monopole) [3, 6, 12, 20, 25, 26, 33, 41, 49, 58]. Trên hình 1 là ảnh mô phỏng cho hai ứng dụng quan trọng của BECs: tạo ra siêu photon (a) và đơn cực từ (b). •Nghiên cứu các hiện tượng lượng tử tương tự với các hiện tượng trong thủy động học cổ điển, chẳng hạn các hiện tượng không ổn định KenvinHelmholtz [51], không ổn định Rayleigh-Taylor [47], Richtmayer-Meshkov [7]... Ngoài ra các nghiên cứu về BEC đã đưa ra những ứng dụng rất quan trọng trong thực tế, ví dụ chế tạo ra Laser có bước sóng rất nhỏ cỡ 10−11 m, chíp điện tử cỡ nguyên tử, chế tạo một số loại xăng đặc biệt cho một số máy bay quân sự.. . . Chính vì những lí do trên, sự phát hiện ra BEC đã mở ra một giai đoạn phát triển như vũ bão cả lĩnh vực lý thuyết và thực nghiệm trong việc 2 nghiên cứu các hiệu ứng lượng tử. Việc nghiên cứu BEC hai thành phần là một vấn đề rất thời sự, hứa hẹn sẽ đưa ra một số tính chất vật lý mới, từ đó sẽ mở ra những hướng nghiên cứu mới trong vật lý lý thuyết, vật lý các môi trường đậm đặc và trong công nghệ chế tạo các linh kiện điện tử. Tuy nhiên, hầu hết các nghiên cứu về BECs mới chỉ diễn ra với hệ thống BECs trong không gian vô hạn và hệ BECs trong không gian hữu hạn với điều kiện biên Dirichlet, trong khi các thực nghiệm và các ứng dụng thực tế lại tiến hành trong không gian bị giới hạn với nhiều điều kiện biên khác nhau. Chính vì những lí do trên, chúng tôi đã quyết định chọn đề tài của luận án là "Nghiên cứu ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần trong không gian bị hạn chế ". Trong luận án này, trong khuôn khổ lý thuyết Gross-Pitaevskii (GP) chúng tôi sử dụng phương pháp gần đúng parabol kép (DPA), phương pháp gần đúng hydrodynamics (HDA) để nghiên cứu hệ BEC hai thành phần trong không gian bị hạn chế với các điều kiện biên khác nhau nhằm mục đích sẽ tìm ra một số hiệu ứng giới hạn mới, khảo sát sự ảnh hưởng của các điều kiện biên đến sự ổn định của hệ. 2. Mục đích nghiên cứu • Khảo sát ảnh hưởng của sự giới hạn không gian tới các tính chất vật lý của hệ BEC hai thành phần bị giới hạn bởi các tường cứng song song với mặt phân cách, ở trạng thái cân bằng với các điều kiện biên khác nhau. Từ đây tìm ra điều kiện biên khiến cho hệ ổn định và một số hiệu ứng vật lý mới. • Tìm ra hệ thức tán sắc tại mặt phân cách của hệ BEC hai thành phần bị giam giữ bởi các tường cứng song song với mặt phân cách. 3 3. Đối tượng, nhiệm vụ, phạm vi nghiên cứu 3.1. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Trong luận án chúng tôi thực hiện nghiên cứu trên đối tượng là hệ BEC hai thành phần. Các nghiên cứu của chúng tôi giới hạn trong phạm vi sau: - Hệ BECs trong không gian nửa vô hạn, tức là hệ bị giới hạn bởi một tường cứng. - Hệ BECs trong không gian hữu hạn tạo nên bởi hai tường cứng đặt cách nhau một khoảng nhất định. 3.2. Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hàm sóng của hệ ngưng tụ ở trạng thái cơ bản thoả mãn các điều kiện biên khác nhau tại các tường cứng bằng phương pháp gần đúng DPA và sau đó so sánh kết quả tìm được với kết quả tính số. - Xác định sức căng tại mặt phân cách giữa hai thành phần với các điều kiện biên khác nhau. - Khảo sát ảnh hưởng của điều kiện biên tại tường cứng đến các tính chất vật lý hệ từ đó tìm ra điều kiện biên khiến cho hệ ổn định. - Xác định sức căng bề mặt của ngưng tụ tại tường cứng. - Vẽ giản đồ chuyển pha ướt của ngưng tụ trên bề mặt tường cứng. - Chỉ ra ảnh hưởng của sự giới hạn không gian đối với các tính chất vật lý của hệ. - Nghiên cứu các kích thích bề mặt trên mặt phân cách của hệ BEC hai thành phần, trong đó tập trung vào việc tìm ra hệ thức tán sắc của sóng mao dẫn tại mặt phân cách. 4. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu về BEC(s) được thực hiện trong gần đúng trường trung bình. Trên cơ sở này, các nghiên cứu lý thuyết về BEC(s) được thực hiện 4 dựa vào - Hệ phương trình Gross-Pitaevskii phụ thuộc thời gian. - Hệ phương trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc thời gian. Do tính chất liên kết và phi tuyến của hệ các phương trình vi phân bậc hai mà chúng ta không có lời giải giải tích cho trường hợp tổng quát. Để khắc phục khó khăn này, trong luận án chúng tôi chủ yếu sử dụng hai phương pháp gần đúng cơ bản. Đó là - Phương pháp gần đúng parabol kép. - Phương pháp gần đúng hydrodynamics. 5. Đóng góp của luận án Luận án đóng góp những kết quả nghiên cứu mới về tính chất vật lý của hệ BECs bị giới hạn bởi các tường cứng, những đóng góp chính được trình bày trong phần Kết luận của luận án. 6. Cấu trúc của luận án Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các công trình liên quan đến luận án đã công bố và tài liệu tham khảo, phần nội dung của luận án gồm bốn chương. Chương 1. Tổng quan và cơ sở lý thuyết về hệ ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần phân tách. Chương 2. Hệ thức tán sắc tại mặt phân cách của hệ ngưng tụ BoseEinstein hai thành phần. Chương 3. Các hiệu ứng kích thước hữu hạn trong hệ BEC hai thành phần bị giới hạn bởi một tường cứng. Chương 4. Các hiệu ứng kích thước hữu hạn trong hệ BEC hai thành phần bị giới hạn bởi hai tường cứng. 5 Chương 1 Tổng quan và cơ sở lý thuyết về hệ ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần phân tách Chương này sẽ trình bày trình bày tổng quan các nghiên cứu về hệ BEC hai thành phần phân tách trong những năm vừa qua ở trong nước và trên thế giới; trình bày cơ sở lý thuyết và phương pháp dùng nghiên cứu hệ BEC hai thành phần phân tách. 6 1.1. Tổng quan các nghiên cứu lý thuyết về hệ ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần Ngưng tụ Bose - Einstein (BEC) được tiên đoán bằng lý thuyết bởi Bose và Einstein cách đây hơn 90 năm [16]. Thí nghiệm về BEC của khí boson siêu lạnh (87 Rb, 23 Na, 7 Li) được tạo ra sau đó 70 năm [1, 2, 17, 21, 42, 44]. Những kết quả thí nghiệm xác nhận sự tồn tại của BEC đã được ghi nhận bằng giải Nobel vật lý năm 2001 trao cho E. A. Conell , C. E. Wieman và W. Ketterle vì những thành tựu nghiên cứu thực nghiệm ngưng tụ khí loãng của các nguyên tử kiềm [21]. Kể từ đó, kỹ thuật thực nghiệm về khí siêu lạnh phát triển rất mạnh mẽ, người ta đã tạo ra được BEC từ hai thành phần khí khác nhau. Phương pháp cộng hưởng Feshbach cho phép điều khiển được hầu hết các tham số quan trọng, chẳng hạn như cường độ tương tác giữa hai thành phần, nhằm tạo ra những trạng thái bất kỳ theo ý muốn [32]. Nhờ đó, nhiều hiện tượng lượng tử trong hệ BECs như các bất ổn định, sự hình thành các xoáy (votex), các vách ngăn (domain wall) giữa hai thành phần, các trạng thái soliton, các đơn cực (monopole) [3, 6, 12, 20, 25, 26, 33, 41, 49, 58] đã được kiểm chứng bằng thực nghiệm, tạo động lực mạnh mẽ cho các nhà khoa học nghiên cứu về loại vật chất đặc biệt này. Bước phát triển cực kỳ quan trọng của nghiên cứu lý thuyết về BEC được đánh dấu bởi thành công của Gross và Pitaevskii trong việc thiết lập hệ phương trình Gross-Pitaevskii (GPEs) dựa trên gần đúng trường trung bình (MFA) [22,42,44]. GPE(s) cho thấy hàm sóng ngưng tụ thỏa mãn các phương trình thủy động lực học [42, 44]. Thực nghiệm cũng đã xác nhận BEC có những tính chất tương tự với chất lỏng lượng tử (4 He). Từ đây mở ra một hướng nghiên cứu mới đầy triển vọng đó là nghiên cứu các hiện tượng lượng tử của BEC tương tự với các hiện tượng đã biết trong thủy động lực học cổ điển, trong đó có sức căng bề mặt và chuyển pha ướt. Để nghiên cứu đặc tính vật lý của hệ BECs, việc quan trọng đầu tiên là phải tìm được hàm sóng của hệ hạt ở trạng thái ngưng tụ thông qua lời 7 giải của GPEs. Tuy nhiên, GPEs là hệ phương trình vi phân bậc hai phi tuyến tính liên kết nên việc tìm được lời giải chính xác cho tới nay vẫn còn là một thách thức, ta chỉ giải quyết được trong một số trường hợp đặc biệt [30], chủ yếu vẫn phải dựa vào tính số kết hợp với các phương pháp gần đúng [4, 5, 30, 59]. Bằng giải pháp tuyến tính hóa các tham số trật tự ở mỗi phía của mặt phân cách, Ao và Chui đã tìm được nghiệm gần đúng của GPEs cho hệ BECs, từ đó tính được sức căng mặt phân cách của hệ có số hạt xác định bị giam trong một giếng thế hữu hạn [4]. Trên cơ sở xem xét các giới hạn phân tách yếu và phân tách mạnh của BECs, Barankov đã tìm được lời giải cho GPEs và xác định được sức căng mặt phân cách của hệ theo hàm sóng ngưng tụ [5]. Hiện tượng ngưng tụ bị hấp thụ bởi một bức tường quang học (optical wall), hay còn gọi là chuyển pha ướt trong hệ BECs, được Indekeu và Schaeybroeck đề cập trong [30], sau đó tiếp tục phát triển dựa trên các tính toán về sức căng bề mặt trong lý thuyết GP của Schaeybroeck [48], các nghiên cứu này đã được hoàn thiện trong [31]. Phát triển ý tưởng tuyến tính hóa các tham số trật tự của Ao và Chui [4], Indekeu và các cộng sự đã xây dựng thành công phương pháp DPA [28], sau đó được mở rộng thành gần đúng ba parabol (TPA) [59], nhờ đó tìm được nghiệm giải tích gần đúng của GPEs. Từ đây, các tác giả đã tính toán một cách chi tiết về sức căng mặt phân cách, sức căng bề mặt của ngưng tụ tại tường cứng, dựa trên qui tắc Antonov để vẽ giản đồ chuyển pha ướt. So sánh với kết quả thu được từ các tính toán bằng lý thuyết GP cho thấy cấu hình ngưng tụ, sức căng mặt phân cách, giản đồ pha ướt trong DPA và TPA rất tiệm cận với kết quả tính số ở mọi trạng thái phân tách của hệ từ phân tách yếu (weak segregation) tới phân tách mạnh (strong segregation) [28, 59]. Để các nghiên cứu lý thuyết về BECs tiến gần với thực tế, các nhà khoa học đã đi nghiên cứu hệ BECs hai thành phần trong không gian bán vô hạn và hữu hạn [53–55] và đã thu được rất nhiều kết quả quan trọng 8 có ý nghĩa vật lý như: tại tường cứng sẽ xảy chuyển pha ướt từ dính ướt một phần sang dính ướt hoàn toàn, khi hệ bị giam giữ bởi hai tường cứng thì xuất hiện của lực Casimir-like và tùy thuộc vào khoảng cách giữa các tường mà lực này có thể là lực hút hoặc lực đẩy, sức căng mặt phân cách trong tập hợp chính tắc lớn (GCE) và tập hợp chính tắc (CE) không còn liên hệ với nhau như đối với hệ vô hạn. Bên cạnh những tính chất tĩnh nêu trên thì các tính chất động lực học, đặc biệt là động lực học mặt phân cách được chú ý đặc biệt bởi tính ứng dụng cao của nó trong các công nghệ hiện đại. Chỉ xét trường hợp hai thành phần hoàn toàn đối xứng, Mazet [37] chỉ ra rằng các sóng kích thích bề mặt có hai khả năng: sóng mao dẫn, ở đó năng lượng sóng tỉ lệ với vecto sóng dưới dạng ω ∝ k 3/2 hoặc một dạng kích thích khác với ω ∝ k 1/2 . Tương tự như vậy, Brankov [5] cũng chứng minh được rằng hệ thức tán sắc cho kích thích bề mặt của hệ BECs cũng có hai khả năng như trên, tức là tồn tại cả ω ∝ k 3/2 và ω ∝ k 1/2 . Gần đây nhất là công trình nghiên cứu Takahashi và cộng sự [50] đối với hệ BECs có kích thước tùy ý, hệ thức tán sắc khi kích thước hệ trở nên đủ lớn cũng có dạng của sóng mao dẫn...Bên cạnh hiệu ứng của sóng mao dẫn, các nghiên cứu cũng khảo sát các hiệu ứng khác như Kelvin-Helmholtz [51], Rayleigh-Taylor [47], Richtmayer-Meshkov [7]... Trên đây chúng tôi đã trình bày tổng quan những nghiên cứu lý thuyết về BECs trong và ngoài nước. Từ đây chúng tôi nhận thấy rằng có hai vấn đề rất thú vị mà chưa được nghiên cứu: • Khi hệ BECs bị giới hạn bởi các tường cứng thì với các điều kiện khác nhau tại tường sẽ ảnh hưởng thế nào đến các tính chất vật lý của hệ, điều kiện biên nào tại tường sẽ khiến cho hệ ổn định. • Các nghiên cứu về tính chất động tại mặt phân cách mới chủ yếu diễn ra với hệ vô hạn trong khi tất cả các thực nghiệm, ứng dụng thực tế lại tiến hành trong không gian bị giới hạn. Vì vậy trong luận án này chúng tôi sử dụng phương pháp gần đúng parabol kép (DPA), phương pháp gần đúng hydrodynamics (HDA) trong 9 khuôn khổ lý thuyết GP để đi nghiên cứu hệ BEC hai thành phần trong không gian bị hạn chế với các điều kiện biên khác nhau với mục tiêu sẽ tìm ra một số hiệu ứng giới hạn mới, khảo sát sự ảnh hưởng của các điều kiện biên đến sự ổn định của hệ và tìm ra điều kiện biên khiến cho hệ ổn định. 1.2. Cơ sở lý thuyết và phương pháp dùng nghiên cứu hệ ngưng tụ Bose - Einstein 1.2.1. Phương trình Gross-Pitaevskii (GPE) Để mô tả trạng thái ngưng tụ của hệ N hạt boson, ta thiết lập GPE R trong gần đúng trường trung bình (MFA) từ Lagrangian L = Ld~r V [42, 44]. Ở đây,  i~  ∗ ∗ Ψ ∂t Ψ − Ψ∂t Ψ − Hb , L= 2 (1.1) √ với Ψ = Ψ(~r, t) = N ϕ(~r, t) là hàm sóng của hệ hạt, ϕ(~r, t) là hàm sóng đơn hạt thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa, Hb = − ~2 ∗ 2 G Ψ ∇ Ψ + U (~x)|Ψ|2 + |Ψ|4 , 2m 2 (1.2) là mật độ Hamiltonian, U (~x) là mật độ thế ngoài, G = 4π ~2 a/m là cường độ tương tác giữa các hạt, a là độ dài tán xạ sóng s (s-wave scattering length) xác định kiểu tương tác giữa các hạt (a > 0 ứng với tương tác đẩy, a < 0 ứng với tương tác hút). R Tác dụng S của hệ được xác định bởi S = L dt. Trong phép biến đổi trường Ψ → Ψ + δΨ, tác dụng S cũng biến đổi S → S + δS . Các biến đổi δS này phải tuân theo nguyên lý tác dụng tối thiểu δψ = 0, biến đổi của tác dụng S gây nên bởi sự biến đổi của trường bằng 0. Từ đây ta có phương trình Euler-Lagrange  ∂L  ∂L − ∂ν = 0, (1.3) ∂Ψ ∂(∂ν Ψ) 10 với ν = (x, y, z, t). Sử dụng (1.3) tìm được phương trình ~2 2 ∇ Ψ + U (~x)Ψ + G|Ψ|2 Ψ i~∂t Ψ = − 2m (1.4) gọi là GPE phụ thuộc thời gian. Nếu biểu diễn hàm sóng của hệ hạt dưới dạng Ψ = ψ(~r)e−iµt/~ , ψ(~r) là hàm thực, thì (1.4) trở thành ~2 2 − ∇ ψ(~r) + U (~r)ψ(~r) + G|ψ(~r)|2 ψ(~r) = µψ(~r). 2m (1.5) Phương trình (1.5) có dạng của phương trình Schrödinger dừng, trong đó mật độ thế tác dụng lên các hạt là tổng của mật độ thế ngoài U (~x) và thành phần phi tuyến G|ψ(~r)|2 , được gọi là GPE không phụ thuộc thời gian. Lời giải của (1.5) cho chúng ta hàm sóng ở trạng thái cơ bản của hệ hạt boson. 1.2.2. Hệ phương trình Gross-Pitaevskii Bằng cách tương tự, ta có thể xây dựng hệ phương trình Gross-Pitaevskii cho hệ BEC hai thành phần. Hệ ngưng tụ BEC hai thành phần được mô tả bởi Lagrangian L và hàm tác dụng S dưới dạng [42], Z Z S(Ψ1 , Ψ2 ) = dtL = dtd~rL, (1.6) với hàm mật độ Lagrange trong gần đúng trường trung bình có dạng X i~ (Ψ∗j ∂t Ψj − Ψj ∂t Ψ∗j ) − E(Ψ1 , Ψ2 ). L(Ψ1 , Ψ2 ) = 2 j=1,2 Đại lượng E trong (1.7) được gọi là mật độ Hamilton, nó có dạng  X  ~2 g jj E = (Ψ1 , Ψ2 ) = |∇Ψj |2 + |Ψj |4 g12 |Ψ1 |2 |Ψ2 |2 , 2mj 2 j=1,2 (1.7) (1.8) ở đây, với thành phần j , Ψj = Ψj (~r, t) là hàm sóng, đóng vai trò của tham số trật tự; mj là khối lượng nguyên tử; gjj 0 = 2π ~2 ajj 0 (1/mj + 1/mj 0 ) > 0 11 là hằng số tương tác, chúng được xác định qua ajj 0 là độ dài tán xạ sóng s. Bằng cách thực hiện phép biến thiên Ψ∗j → Ψ∗j + δΨ∗j và cực tiểu hóa tác dụng S theo điều kiện δS/δΨ∗j ta thu được hệ phương trình GP phụ thuộc thời gian  ~2 2 2 2 ∇ + g11 |Ψ1 | + g12 |Ψ2 | Ψ1 , i~∂t Ψ1 = − 2m1   ~2 2 i~∂t Ψ2 = − ∇ + g22 |Ψ2 |2 + g12 |Ψ1 |2 Ψ2 . 2m2  (1.9a) (1.9b) Bây giờ ta viết hàm sóng dưới dạng Ψj (~r, t) = ψj (~r)e−iµj t/~ . (1.10) Thay (1.10) vào hệ (1.9) ta sẽ thu được hệ phương trình GP không phụ thuộc thời gian ~2 2 − ∇ ψ1 − µ1 ψ1 + g11 |ψ1 |2 ψ1 + g12 |ψ2 |2 ψ1 = 0, 2m1 ~2 2 ∇ ψ2 − µ2 ψ2 + g22 |ψ2 |2 ψ2 + g12 |ψ1 |2 ψ2 = 0. − 2m2 Lúc này thế năng tương tác của hệ có dạng i Xh gjj 2 4 VGP = −µj |ψj | + |ψj | + g12 |ψ1 |2 |ψ2 |2 . 2 j=1,2 (1.11a) (1.11b) (1.12) Khi các thành phần ngưng tụ được phân bố dọc theo phương Oz và có tính chất đối xứng tịnh tiến theo các phương Ox, Oy thì (1.11) được viết lại như sau ~2 2 − ∂z ψ1 − µ1 ψ1 + g11 |ψ1 |2 ψ1 + g12 |ψ2 |2 ψ1 = 0, 2m1 ~2 2 − ∂z ψ2 − µ2 ψ2 + g22 |ψ2 |2 ψ2 + g12 |ψ1 |2 ψ2 = 0. 2m2 12 (1.13a) (1.13b) Bây giờ chúng ta sẽ đưa các phương trình trên về dạng không thứ nguyên bằng cách đưa ra một số đại lượng sau: - Độ dài đặc trưng ξj = p ~ . 2mj gjj nj0 - Thời gian đặc trưng tj = ~/µj . - Hằng số tương tác K=√ g12 . g11 g22 Sử dụng các biến không thứ nguyên là tọa độ %j = z/ξj , thời gian τj = t/tj , √ hàm sóng rút gọn φj = ψj / nj0 với nj0 là mật độ khối của thành phần j thì hệ (1.13) có dạng −∂%21 φ1 − φ1 + |φ1 |2 φ1 + K|φ2 |2 φ1 = 0, (1.14a) −∂%22 φ2 − φ2 + |φ2 |2 φ2 + K|φ1 |2 φ2 = 0, (1.14b) và thế năng tương tác (1.12) được viết thành  X |φj |4 2 + K|φ1 |2 |φ2 |2 . ṼGP = −|φj | + 2 j=1,2 (1.15) Tùy thuộc vào giá trị của K mà có thể xảy ra 2 khả năng khác nhau: nếu K > 1 thì các thành phần không thể trộn lẫn vào nhau và ngược lại. Lưu ý rằng, để thực hiện các phép biến đổi trên chúng ta đã giới hạn khảo sát hệ ở trạng thái cân bằng pha, tức là áp suất của hai thành phần bằng nhau P1 = P1 với Pj = gjj n2j0 /2. Mặt khác chúng ta cũng đang xét hệ trong thống kê chính tắc lớn, tức là các thành phần ngưng tụ được nối với một bể nhiệt để chúng có thể trao đổi hạt với nhau, khi đó thế hóa của các thành phần ngưng tụ nhận giá trị không đổi µj = gjj nj0 . Tổng quát, ta không thể tìm được nghiệm giải tích của hệ (1.14). Tuy nhiên có ba trường hợp đặc biệt sau đây thì có thể tìm được nghiệm giải tích của hệ (1.14): 13