Tài liệu Luận văn tính minimax và tính cofinite của môđun đối đồng điều địa phương

„I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M o0o TR†N THÀ THU HO€I TNH MINIMAX V€ TNH COFINITE CÕA MÆUN ÈI ÇNG I—U ÀA PH×ÌNG LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC THI NGUY–N, N‹M 2018 „I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M o0o TR†N THÀ THU HO€I TNH MINIMAX V€ TNH COFINITE CÕA MÆUN ÈI ÇNG I—U ÀA PH×ÌNG Ng nh: ¤i sè v  lþ thuy¸t sè M¢ sè: 8 46 01 04 LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC C¡n bë h÷îng d¨n khoa håc: PGS.TS. Nguy¹n V«n Ho ng THI NGUY–N, N‹M 2018 i LÍI CAM OAN Tæi xin cam oan r¬ng c¡c k¸t qu£ nghi¶n cùu trong luªn v«n n y l  trung thüc v  khæng tròng l°p vîi c¡c · t i kh¡c. Tæi xin cam oan måi sü gióp ï cho vi»c thüc hi»n luªn v«n n y ¢ ÷ñc c£m ìn v  c¡c thæng tin tr½ch d¨n trong luªn v«n ¢ ÷ñc ch¿ rã nguçn gèc. Th¡i Nguy¶n, ng y 16 th¡ng 08 n«m 2018 T¡c gi£ Tr¦n Thà Thu Ho i X¡c nhªn cõa tr÷ðng khoa chuy¶n mæn X¡c nhªn cõa c¡n bë h÷îng d¨n khoa håc ii Líi c£m ìn Luªn v«n ÷ñc ho n th nh v o th¡ng 04/2018 d÷îi sü h÷îng d¨n cõa PGS. TS. Nguy¹n V«n Ho ng. Tæi xin ÷ñc b y tä láng k½nh trång v  bi¸t ìn s¥u s­c tîi th¦y, nhúng b i håc quþ gi¡ tø trang gi§y v  c£ nhúng b i håc trong cuëc sèng th¦y d¤y gióp tæi tü tin hìn v  tr÷ðng th nh hìn nhi·u. Tæi xin c£m ìn Pháng  o T¤o - ¤i håc S÷ Ph¤m Th¡i nguy¶n ¢ t¤o i·u ki»n º tæi ho n th nh sîm khâa håc. Tæi xin b y tä láng bi¸t ìn tîi t§t c£ c¡c th¦y cæ ð ¤i håc Th¡i Nguy¶n v  c¡c th¦y ð Vi»n to¡n vîi nhúng b i gi£ng ¦y nhi»t th nh v  t¥m huy¸t, xin c£m ìn c¡c th¦y cæ ¢ luæn quan t¥m v  gióp ï tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp, t¤o i·u ki»n cho tæi tham gia c¡c buêi seminar v  c¡c lîp håc ngo i ch÷ìng tr¼nh. Tæi xin c£m ìn t§t c£ c¡c anh, em v  b¤n b± ¢ ëng vi¶n gióp ï tæi nhi»t t¼nh trong qu¡ tr¼nh håc v  l m luªn v«n. Tæi xin ÷ñc gûi c£m ìn tîi t§t c£ th nh vi¶n trong gia ¼nh ¢ t¤o i·u ki»n cho tæi ÷ñc håc tªp, nghi¶n cùu v  ho n th nh luªn v«n. iii Möc löc Líi cam oan Líi c£m ìn Mð ¦u Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà 1.1 I¶an nguy¶n tè li¶n k¸t . . . . . . 1.2 Mæun Noether v  Mæun Artin . 1.3 Biºu di¹n thù c§p . . . . . . . . . 1.4 Mæun Ext . . . . . . . . . . . . . 1.5 Mæun èi çng i·u àa ph÷ìng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii iii 1 5 . 5 . 6 . 8 . 10 . 12 Ch÷ìng 2 Chi·u húu h¤n bªc 1 v  t½nh minimax cõa mæun èi çng i·u àa ph÷ìng 15 2.1 Mæun minimax v  mæun cofinite . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Chi·u húu h¤n bªc mët v  t½nh ch§t minimax . . . . . . . . . . . 19 Ch÷ìng 3 Chi·u húu h¤n bªc 2 v  t½nh Lasker y¸u 27 3.1 Mæun Lasker y¸u v  mæun cofinite . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2 Chi·u húu h¤n bªc hai v  t½nh ch§t Lasker y¸u . . . . . . . . . . 35 K¸t luªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 T i li»u tham kh£o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 iv Mð ¦u Cho R l  v nh giao ho¡n Noether (câ ìn và), I l  mët i¶an cõa R v  M l  R - mæun kh¡c 0. Vîi méi sè nguy¶n khæng ¥m i cho tr÷îc, ta câ mæun èi çng i·u àa ph÷ìng thù i cõa M èi vîi gi¡ l  i¶an I ÷ñc ành ngh¾a bði A. Grothendieck (xem [11] ho°c [8]) nh÷ sau: i n HIi (M ) = − lim → ExtR (R/I , M ). n≥1 C¡c t½nh ch§t cì b£n v· lîp mæun èi çng i·u àa ph÷ìng câ thº xem th¶m trong cuèn s¡ch [8]. Mët ành lþ quan trång trong èi çng i·u àa ph÷ìng l  "Nguy¶n lþ àa ph÷ìng - to n cöc cho chi·u húu h¤n cõa c¡c mæun èi çng i·u àa ph÷ìng" (xem [10, ành lþ 1] - b i b¡o cõa G. Faltings) ph¡t biºu: "Vîi mët i sè nguy¶n d÷ìng r ¢ cho, c¡c Rp-mæun HIR (Mp ) l  húu h¤n sinh vîi måi i ≤ r v  måi p ∈ Spec R n¸u v  ch¿ n¸u c¡c R-mæun HIi (M ) l  húu h¤n sinh vîi måi i ≤ r". Câ mët d¤ng tr¼nh b y kh¡c cho ph¡t biºu cõa nguy¶n lþ àa ph÷ìng to n cöc cõa Faltings m  ta quan t¥m ð ¥y, li¶n quan ¸n sü kh¡i qu¡t hâa chi·u húu h¤n fI (M ) cõa M èi vîi I , trong â p fI (M ) := inf{i ∈ N | HIi (M ) khæng l  húu h¤n sinh}, ð ¥y ta quy ÷îc r¬ng inf(∅) = ∞. Khi â q fI (M ) := inf{i ∈ N | I * 0 :R HIi (M ) } = inf{i ∈ N | I n HIi (M ) 6= 0 1 vîi måi n ∈ N}; (†) çng thíi lóc â nguy¶n lþ àa ph÷ìng - to n cöc cõa Faltings ÷ñc cho ð cæng thùc sau ¥y: fI (M ) = inf{fIRp (Mp ) | p ∈ Spec R} = inf{fIRp (Mp ) | p ∈ Supp(M/IM ) v  dim R/ p ≥ 0}, (xem [8, 9.6.2]). Nguy¶n lþ n y ch¿ ra mèi li¶n h» giúa ch¿ sè ¦u ti¶n m  c¡c mæun èi çng i·u àa ph÷ìng vîi gi¡ l  i¶an b§t k¼ khæng húu h¤n sinh v  ch¿ sè â cho c¡c mæun èi çng i·u khi chuyºn qua àa ph÷ìng hâa t¤i c¡c i¶an nguy¶n tè tr¶n v nh cì sð. N«m 2013, Bahmanpour-Naghipour-Sedghi (xem [4]) ¢ giîi thi»u kh¡i ni»m chi·u húu h¤n bªc n cõa M èi vîi I k½ hi»u l  fIn(M ), ÷ñc x¡c ành bði cæng thùc: fIn (M ) = inf{fIRp (Mp ) | p ∈ Supp(M/IM ) v  dim(R/ p) ≥ n}. (?) Chó þ r¬ng fIn(M ) l  sè nguy¶n d÷ìng ho°c l  ∞ v  ta câ fI0(M ) = fI (M ). Tø â mët c¥u häi tü nhi¶n ÷ñc °t ra l  t¼m hiºu t½nh ch§t cõa mæun èi çng i·u àa ph÷ìng vîi chi·u húu h¤n bªc 1, bªc 2 cõa M èi vîi I . Ch¯ng h¤n c¡c ph¡t biºu sau ¥y fI1 (M ) = inf{i ∈ N | HIi (M ) khæng l  minimax} v  fI2 (M ) = inf{i ∈ N | HIi (M ) khæng l  Lasker y¸u} câ óng hay khæng? K¸t qu£ ch½nh cõa Bahmanpour-Naghipour-Sedghi trong b i b¡o [4] l  tr£ líi cho hai c¥u häi tr¶n. Cö thº k¸t qu£ thù nh§t cõa hå ¢ chùng minh ÷ñc r¬ng sè nguy¶n i nhä nh§t º HIi (M ) khæng l  mæun minimax b¬ng vîi sè fI1(M ) (xem ành lþ 2.2.8); k¸t qu£ ch½nh thù hai cõa hå 2 l  ch¿ ra r¬ng sè nguy¶n i nhä nh§t sao cho HIi (M ) khæng l  mæun Lasker y¸u b¬ng vîi fI2(M ) khi R l  v nh nûa àa ph÷ìng (xem ành lþ 3.2.3). Cæng cö º hå chùng minh k¸t qu£ ch½nh thù nh§t n¶u tr¶n l  ành lþ sau ¥y: ành lþ 1. ([4, ành lþ 1.1]) Cho l  v nh Noether, I l  mët i¶an cõa R v  M l  mët R-mæun húu h¤n sinh. Khi â R-mæun HIi (M ) l  minimax v  I -cofinite vîi måi i < fI1(M ) v  HIf (M )(M ) khæng l  minimax. Hìn núa, vîi méi mæun con minimax N cõa HIf (M )(M ), th¼ R-mæun f (M ) HomR (R/I, HI (M )/N ) l  húu h¤n sinh. R 1 I 1 I 1 I Kh¡i ni»m mæun I -cofinite trong ành lþ tr¶n ÷ñc giîi thi»u bði R. Hartshorne n«m 1970 (xem [12]) v  ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau: R-mæun M ÷ñc gåi l  I -cofinite n¸u Supp(M ) ⊆ V (I) v  ExtiR(R/I, M ) l  húu h¤n sinh vîi måi i ≥ 0. Mët trong c¡c cæng cö º chùng minh k¸t qu£ ch½nh thù hai cõa Bahmanpour-Naghipour-Sedghi [4] l  ành lþ d÷îi ¥y: ành lþ 2. ([4, ành lþ 1.2]) Cho R l  v nh Noether, I l  i¶an cõa R, M l  mët R-mæun húu h¤n sinh v  t ≥ 1 l  mët sè nguy¶n sao cho c¡c R-mæun HI0 (M ), . . . , HIt−1 (M ) l  húu h¤n sinh àa ph÷ìng vîi måi p ∈ Supp(M/IM ) m  dim(R/p) > 1. Khi â, c¡c R-mæun HIi (M ) l  I -cofinite vîi måi i ≤ t v  R-mæun HomR(R/I, HIt (M )) l  húu h¤n sinh. Tø nhúng k¸t qu£ tr¶n Bahmanpour-Naghipour-Sedghi [4] ¢ ÷a ra c¡c h» qu£ cõa ành lþ 2, â l  mët sè mð rëng cho c¡c k¸t qu£ cõa BahmanpourNaghipour trong [7], Delfino-Marley trong [9] v  K. I. Yoshida trong [19] èi vîi mët v nh Noether tòy þ. 3 ành lþ 3. [4, ành lþ 1.3] Cho R l  mët v nh Noether, I l  i¶an cõa R, M l  R-mæun húu h¤n sinh sao cho dim(M/IM ) ≤ 1. Khi â R-mæun HIt (M ) l  I -cofinite vîi måi sè nguy¶n. Mët k¸t qu£ ch½nh kh¡c núa trong b i b¡o [4] â l : N¸u (R, m) l  v nh àa ph÷ìng Noether ¦y õ, I l  mët i¶an cõa R v  M l  R-mæun húu h¤n sinh. Khi â c¡c R-mæun ExtjR(R/I, HIi (M )) l  Lasker y¸u vîi måi i < fI3 (M ) v  vîi måi j ≥ 0. Hìn núa, vîi méi mæun con Lasker y¸u N cõa f (M ) f (M ) HI (M ), th¼ ta câ R-mæun HomR (R/I, HI (M )/N ) công l  Lasker y¸u (xem ành lþ 3.2.6). Tø c¡c k¸t qu£ nghi¶n cùu ¢ thu ÷ñc cõa Bahmanpour-NaghipourSedghi nh÷ tr¶n ¥y, ·u ÷a ¸n b i to¡n xem x²t vîi i·u ki»n n o º cho tªp hñp AssR(HIi (M )) l  húu h¤n khi i = fIj (M ) (ch¯ng h¤n vîi j = 1, 2, 3). Möc ½ch ch½nh cõa luªn v«n n y l  tr¼nh b y l¤i chi ti¸t c¡c k¸t qu£ nh÷ ¢ n¶u tr¶n, c¡c ki¸n thùc n y düa tr¶n b i b¡o ch½nh l  b i b¡o [4]: K. Bahmanpour, R. Naghipour and M. Sedghi, Minimaxness and Cofinite properties of local cohomology modules, Communications in Algebra, Vol. 41 (2013), Pp. 2799-2814. (DOI: 10. 1080/00927872.2012.662709). B¶n c¤nh â º vi»c tr¼nh b y ÷ñc ¦y õ v  rã þ hìn, luªn v«n tham kh£o th¶m nhi·u ki¸n thùc ð b i b¡o [5], [6], [7], [17],. . . ; v  c¡c cuèn s¡ch [8] v  [15]. Luªn v«n ÷ñc bè cöc l m ba ch÷ìng. Ch÷ìng 1 tr¼nh b y nhúng ki¸n thùc cì sð c¦n thi¸t º tr¼nh b y chùng minh c¡c nëi dung ch½nh cõa luªn v«n. Ch÷ìng 2 tr¼nh b y v· chi·u húu h¤n bªc 1 cõa mæun M èi vîi i¶an I trong mèi li¶n h» vîi t½nh ch§t minimax cõa mæun. Ch÷ìng 3 cõa luªn v«n tªp trung tr¼nh b y v· chi·u húu h¤n bªc 2 cõa M èi vîi i¶an I v  t½nh ch§t Lasker y¸u cõa mæun. 3 I 3 I 4 Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà Ð ch÷ìng n y ta luæn gi£ thi¸t R l  v nh giao ho¡n câ ìn và. C¡c ki¸n thùc ð ch÷ìng n y ÷ñc tr¼nh b y düa v o c¡c cuèn s¡ch [8] v  [15]. 1.1 I¶an nguy¶n tè li¶n k¸t ành ngh¾a 1.1.1 (I¶an nguy¶n tè li¶n k¸t). Cho M l  R-mæun, p l  i¶an nguy¶n tè cõa v nh R. Khi â p ÷ñc gåi l  i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t cõa M n¸u tçn t¤i mët ph¦n tû 0 6= x ∈ M sao cho AnnR(x) = p. Tªp hñp t§t c£ c¡c i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t cõa M ÷ñc k½ hi»u l  AssR(M ) ho°c Ass(M ). ành ngh¾a 1.1.2 (a t¤p cõa i¶an). Cho I l  mët i¶an cõa R, khi â a t¤p cõa I ÷ñc k½ hi»u l  V (I) ÷ñc ành ngh¾a bði V (I) = {p ∈ Spec(R) | I ⊆ p} . M»nh · 1.1.3. Cho M l  R-mæun v  I l  mët i¶an cõa R. Khi â ta câ i) AssR(0 :M I) = AssR(M ) ∩ V (I). ii) AssR(M/(0 :M I)) ⊆ AssR(M ). 5 iii) Cho N l  mët mæun con cõa R-mæun M . Khi â Ass(M ) ⊆ Ass(N ) ∪ Ass(M/N ). ành ngh¾a 1.1.4 (Tªp gi¡ cõa mæun). Cho M l  mët R-mæun. Ta °t SuppR (M ) = {p ∈ Spec(M ) | Mp 6= 0} . Khi â SuppR(M ) ÷ñc gåi l  tªp gi¡ cõa R-mæun M . M»nh · 1.1.5. i) Cho p ∈ Spec(R). Khi â p ∈ AssR(M ) n¸u v  ch¿ n¸u M câ mët mæun con ¯ng c§u vîi R/p. ii) Cho 0 → M 0 → M → M ” → 0 l  d¢y khîp c¡c R-mæun. Khi â SuppR (M 0 ) ⊆ SuppR (M ) = SuppR (M 0 ) ∪ SuppR (M ”). iii) AssR(M ) ⊆ SuppR(M ) v  n¸u R l  v nh Noether th¼ méi ph¦n tû cüc tiºu cõa tªp SuppR(M ) ·u thuëc v o tªp AssR(M ). iv) N¸u M l  R-mæun húu h¤n sinh tr¶n v nh Noether th¼ AssR(M ) l  tªp húu h¤n. Hìn núa AssR(M ) ⊆ V (AnnR(M )) v  méi ph¦n tû tèi tiºu cõa p V (AnnR (M )) ·u thuëc AssR (M ). V¼ th¸ AnnR (M ) l  giao cõa c¡c i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t cõa M . v) N¸u M l  R-mæun húu h¤n sinh th¼ V (AnnR (M )) = SuppR (M ). vi) N¸u I l  mët i¶an cõa mët v nh R th¼ SuppR(R/I) = V (I). 1.2 Mæun Noether v  Mæun Artin Mæun Noether l  mët trong nhúng lîp mæun cì b£n nh§t cõa ¤i sè giao ho¡n. Sau ¥y ta nh­c l¤i ành ngh¾a v  mët sè t½nh ch§t cõa nâ. 6 ành ngh¾a 1.2.1. Cho R l  mët v nh v  M l  mët R-mæun. Khi â c¡c m»nh · sau t÷ìng ÷ìng. i) (i·u ki»n húu h¤n sinh) Måi mæun con cõa M l  húu h¤n sinh; ii) (i·u ki»n d¢y t«ng hay a.c.c) N¸u N1, N2, . . . l  c¡c mæun con cõa M m  N1 ⊆ N2 ⊆ . . ., th¼ tçn t¤i m ≥ 1 sao cho Nn = Nm vîi måi n ≥ m; iii) (i·u ki»n tèi ¤i) Måi tªp kh¡c réng c¡c mæun con cõa M ·u câ ph¦n tû tèi ¤i. R-mæun M thäa m¢n mët trong c¡c i·u ki»n t÷ìng ÷ìng tr¶n gåi l  mæun Noether. M»nh · 1.2.2. i) Cho R l  v nh giao ho¡n câ ìn và v  d¢y khîp ng­n c¡c R-mæun 0 → M0 → M → M” → 0 Khi â M l  Noether n¸u v  ch¿ n¸u M 0 v  M ” l  Noether. ii) Méi R-mæun húu h¤n sinh tr¶n v nh Noether R l  mët R-mæun Noether. iii) N¸u M l  mët R-mæun Noether v  S l  mët tªp âng nh¥n cõa R th¼ S −1 M l  mët S −1 R-mæun Noether. Kh¡i ni»m èi ng¨u cõa mæun Noether ch½nh l  kh¡i ni»m mæun Artin. ành ngh¾a 1.2.3. Cho M l  mët R-mæun. Khi â c¡c m»nh · sau t÷ìng ÷ìng. i) (i·u ki»n d¢y gi£m hay d.c.c) N¸u N1, N2, . . . l  c¡c mæun con cõa M m  N1 ⊇ N2 ⊇ . . . th¼ tçn t¤i m ≥ 1 sao cho Nn = Nm vîi måi n ≥ m; ii) (i·u ki»n cüc tiºu) Måi tªp con kh¡c réng c¡c mæun con cõa M luæn câ ph¦n tû cüc tiºu. 7 R-mæun M thäa m¢n mët trong c¡c i·u ki»n t÷ìng ÷ìng tr¶n gåi l  mæun Artin. Ta nâi R l  v nh Artin n¸u nâ l  mët R-mæun Artin. Tùc l , R thäa m¢n i·u ki»n d.c.c tr¶n tªp c¡c i¶an ho°c thäa m¢n i·u ki»n måi tªp kh¡c réng c¡c i¶an cõa R ·u câ ph¦n tû cüc tiºu. Mët sè t½nh ch§t cõa mæun Artin. M»nh · 1.2.4. i) Cho R l  v nh giao ho¡n câ ìn và v  d¢y khîp ng­n c¡c R-mæun 0 → M0 → M → M” → 0 Khi â M l  Artin n¸u v  ch¿ n¸u M 0 v  M ” l  Artin. ii) Méi R-mæun húu h¤n sinh tr¶n v nh Artin R l  mët R-mæun Artin. iii) Méi i¶an nguy¶n tè trong mët v nh Artin R l  mët i¶an cüc ¤i. 1.3 Biºu di¹n thù c§p Lþ thuy¸t biºu di¹n thù c§p ÷ñc ÷a ra bði I. G. Macdonald xem nh÷ l  èi ng¨u vîi lþ thuy¸t ph¥n t½ch nguy¶n sì cho c¡c mæun Noether. Sau ¥y ta nh­c l¤i ành ngh¾a v  t½nh ch§t cõa biºu di¹n thù c§p. ành ngh¾a 1.3.1. i) Mët R-mæun M ÷ñc gåi l  mæun thù c§p n¸u thäa m¢n M 6= 0 v  vîi måi x ∈ R ph²p nh¥n bði x tr¶n M l  to n c§u ho°c lôy linh. Trong tr÷íng hñp n y tªp p = {x ∈ R | xnM = 0, vîi ∈ N} l  i¶an nguy¶n tè v  ta gåi M l  p-thù c§p. ii) Mët biºu di¹n thù c§p cõa M l  mët biºu di¹n M = N1 + N2 + . . . + Nn th nh têng húu h¤n c¡c mæun con pi-thù c§p Ni. N¸u M = 0 ho°c M câ mët 8 biºu di¹n thù c§p th¼ ta nâi M l  biºu di¹n ÷ñc. N¸u c¡c i¶an nguy¶n tè pi æi mët kh¡c nhau v  khæng câ h¤ng tû Ni n o thøa vîi måi i = 1, 2, . . . , n th¼ biºu di¹n n y ÷ñc gåi l  biºu di¹n thù c§p tèi tiºu (hay thu gån). iii) Måi biºu di¹n thù c§p cõa M ·u câ thº ÷a v· d¤ng tèi tiºu. Khi â tªp hñp {p1, . . . , p2} l  ëc lªp vîi vi»c chån biºu di¹n thù c§p tèi tiºu cõa M v  nâ ÷ñc gåi l  tªp c¡c i¶an nguy¶n tè g­n k¸t cõa M , k½ hi»u l  AttR(M ). C¡c h¤ng tû Ni ÷ñc gåi l  c¡c th nh ph¦n thù c§p cõa M vîi n = 1, . . . , n. M»nh · 1.3.2. i) Cho R l  v nh giao ho¡n Noether, M l  mët R-mæun biºu di¹n ÷ñc. Khi â M 6= 0 khi v  ch¿ khi AttR(M ) 6= ∅. Trong tr÷íng hñp n y tªp c¡c i¶an nguy¶n tè tèi tiºu cõa R chùa AnnR(M ) ch½nh l  tªp c¡c ph¦n tû tèi tiºu cõa AttR (M ). ii) Cho d¢y khîp sau c¡c R-mæun biºu di¹n ÷ñc 0 → M0 → M → M” → 0 Khi â ta câ AttR (M ”) ⊆ AttR (M ) ⊆ AttR (M 0 ) ∪ AttR (M ”). M»nh · 1.3.3. N¸u R-mæun M l  biºu di¹n ÷ñc th¼ tªp AttR(M ) ch¿ phö thuëc v o M m  khæng phö thuëc v o vi»c chån biºu di¹n thù c§p tèi tiºu cõa M . Cho p l  i¶an nguy¶n tè cõa R, khi â c¡c kh¯ng ành sau t÷ìng ÷ìng i) p ∈ Att(M ). ii) M câ mæun th÷ìng l  p-thù c§p. iii) M câ mæun th÷ìng Q sao cho √ Q = p. iv) M câ mæun th÷ìng Q sao cho AnnR(Q) = p. 9 1.4 Mæun Ext ành ngh¾a 1.4.1. i) (Mæun x¤ £nh) Mët R-mæun P ÷ñc gåi l  x¤ £nh n¸u vîi méi to n c§u f : M → N v  méi çng c§u g: P çng c§u h : P → M sao cho g = f h. → N, luæn tçn t¤i ii) (Gi£i x¤ £nh) Cho M l  mët R-mæun. Mët gi£i x¤ £nh cõa R-mæun M l  mët d¢y khîp f2 f1 f0 ϕ ... − → P2 − → P1 − → P0 → − M →0 trong â Pi l  c¡c R-mæun x¤ £nh vîi måi i ≥ 0. ành ngh¾a 1.4.2. i) (Mæun nëi x¤) Mët R-mæun E ÷ñc gåi l  nëi x¤ n¸u vîi måi ìn c§u f : N → M v  çng c§u g : N → E , luæn tçn t¤i çng c§u h : M → E sao cho g = hf . ii) (Gi£i nëi x¤) Mët gi£i nëi x¤ cõa R-mæun M l  mët d¢y khîp ϕ f0 f1 f2 0→M → − E0 − → E1 − → E2 − → ... trong â Ei l  c¡c R-mæun nëi x¤ vîi måi i ≥ 0. ành ngh¾a 1.4.3 (Mæun Ext). Cho N l  R-mæun. X²t h m tû ph£n bi¸n, khîp tr¡i Hom(−, N ). Cho M l  R-mæun, l§y mët gi£i x¤ £nh cõa M f2 f1 f0 ϕ ... − → P2 − → P1 − → P0 → − M → 0. T¡c ëng h m tû Hom(−, N ) v o d¢y khîp tr¶n ta câ èi phùc f∗ f∗ f∗ 0 1 2 → Hom(P1 , N ) − → Hom(P2 , N ) − → ... 0 → Hom(P0 , N ) − ∗ Khi â ExtiR(M, N ) = Ker fi∗/ Im fi−1 ÷ñc gåi l  mæun mð rëng thù i cõa M v  N . Mæun n y khæng phö thuëc v o vi»c lüa chån gi£i x¤ £nh cõa M . Ta x²t mët sè t½nh ch§t cõa mæun Ext. 10 M»nh · 1.4.4. Cho M , N l  c¡c R-mæun, c¡c i·u ki»n sau l  t÷ìng ÷ìng: i) M l  mæun x¤ £nh. ii) ExtiR(M, N ) = 0 vîi måi R-mæun N v  vîi måi i > 0. iii) Ext1R(M, N ) = 0 vîi måi R-mæun N . M»nh · 1.4.5. i) Ext0R(M, N ) ∼ = Hom(M, N ) vîi M , N l  c¡c R-mæun. ii) Cho M l  mæun x¤ £nh, N l  mæun b§t k¼ tr¶n R khi â ExtnR(M, N ) = 0 vîi måi n nguy¶n d÷ìng. iii) N¸u M , N l  R mæun húu h¤n sinh th¼ ExtiR(M, N ) công l  húu h¤n sinh vîi måi i ≥ 0. iv) Cho d¢y khîp ng­n 0 → N 0 → N → N ” → 0 khi â tçn t¤i d¢y khîp d i 0 → Hom(N 00 , M ) → Hom(N, M ) → Hom(N 0 , M ) → Ext1R (N 00 , M ) → → Ext1R (N, M ) → Ext1R (N 0 , M ) → Ext2R (N 00 , M ) → . . . trong â ExtnR(N 0, M ) → Extn+1 R (N ”, M ) l  çng c§u nèi vîi måi n ≥ 0. v) Cho d¢y khîp ng­n 0 → N 0 → N → N ” → 0 khi â tçn t¤i d¢y khîp d i 0 → Hom(M, N 0 ) → Hom(M, N ) → Hom(M, N ”) → Ext1R (M, N ”) → → Ext1R (M, N ) → Ext1R (M, N ”) → Ext2R (M, N 0 ) → . . . 0 trong â ExtnR(M, N ”) → Extn+1 R (M, N ) l  çng c§u nèi vîi måi n ≥ 0. 11 1.5 Mæun èi çng i·u àa ph÷ìng Mæun èi çng i·u àa ph÷ìng ÷ñc ành ngh¾a bði A. Grothendick v o kho£ng n«m 1960. Tr÷îc khi ¸n vîi mæun n y ta giîi thi»u v· h m tû a-xo­n. ành ngh¾a 1.5.1 (H m tû a-xo­n). Cho a l  i¶an cõa R, mæun con aS xo­n cõa R-mæun M ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau Γa(M ) = n≥1(0 :M an). N¸u h : M → N l  çng c§u c¡c R-mæun, khi â t¡c ëng h m tû Γa(h) v o çng c§u tr¶n ta ÷ñc çng c§u c£m sinh h∗ : Γa(M ) → Γa(N ) cho bði h∗ (m) = h(m). Khi â Γa (−) l  h m tû hi»p bi¸n, tuy¸n t½nh, khîp tr¡i tø ph¤m trò c¡c R-mæun ¸n ph¤m trò c¡c R-mæun. H m tû Γa(−) gåi l  h m tû a-xo­n. Sau ¥y l  mët sè t½nh ch§t cõa Γa(M ). M»nh · 1.5.2. i) Γ0(M ) = M v  ΓR(M ) = 0. ii) N¸u a ⊆ b th¼ Γb(M ) ⊆ Γa(M ). iii) Γa+b(M ) = Γa(M ) ∩ Γb(M ). iv) AssR(Γa(M )) = AssR(M ) ∩ V (a) vîi M l  R-mæun Noether. v) N¸u R l  Noether th¼ AssR(M/Γa(M )) = AssR(M ) \ V (a). ành ngh¾a 1.5.3 (Mæun èi çng i·u àa ph÷ìng). Cho M l  R-mæun b§t k¼, khi â luæn tçn t¤i gi£i nëi x¤ cõa M câ d¤ng d0 φ d1 d2 di−1 di 0→M → − E0 − → E1 − → E2 − → . . . −−→ E i − → .... T¡c ëng h m tû Γa(−) v o d¢y khîp tr¶n ta ÷ñc phùc sau d0 d1 d2 di−1 di di+1 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 → Γa (E 0 ) − → Γa (E 1 ) − → Γa (E 1 ) − → . . . −− → Γa (E i ) − → Γa (E i+1 ) −− → .... 12 Khi nâi Hai (M ) = Ker di∗/ Im di−1 ÷ñc gåi l  mæun èi çng i·u àa ph÷ìng ∗ thù i cõa M èi vîi i¶an a. M»nh · 1.5.4. Cho R l  v nh giao ho¡n Noether, I l  i¶an cõa R, M l  R-mæun. Khi â i) HI0(M ) ∼ = ΓI (M ). ii) N¸u M l  nëi x¤ th¼ HIi (M ) = 0 vîi måi i > 0. iii) N¸u 0 → M 0 → M → M ” → 0 l  d¢y khîp ng­n khi â vîi måi n ≥ 0 luæn tçn t¤i çng c§u nèi HIi (M ”) → HIi (M 0) sao cho d¢y sau l  khîp 0 → ΓI (M 0 ) → ΓI (M ) → ΓI (M ”) → HI1 (M 0 ) → HI1 (M ) → HI1 (M ”) → HI2 (M 0 ) → . . . M»nh · 1.5.5. Cho (R, m) l  v nh giao ho¡n àa ph÷ìng Noether, M l  R-mæun húu h¤n sinh. Khi â Hmi (M ) l  mæun Artin vîi måi i ≥ 0. Tr÷îc khi ¸n vîi t½nh tri»t ti¶u cõa mæun èi çng i·u àa ph÷ìng thæng qua chi·u mæun ta ¸n vîi ành ngh¾a chi·u cõa mæun. ành ngh¾a 1.5.6. i) Cho R l  mët v nh. Cªn tr¶n óng cõa ë d i c¡c d¢y i¶an nguy¶n tè cõa R ÷ñc gåi l  chi·u cõa R v  ÷ñc kþ hi»u l  dim R. ii) Cho M l  mët R mæun. Khi â chi·u Krull cõa M k½ hi»u l  dimR M , l  dim R/ Ann M n¸u M kh¡c khæng v  n¸u M l  mæun khæng th¼ ta quy ÷îc dim M = −1. M»nh · 1.5.7 (ành lþ tri»t ti¶u cõa Grothendieck). Cho R l  v nh giao ho¡n Noether, I l  i¶an cõa R v  M l  R-mæun. Khi â HIi (M ) = 0 vîi måi i > dimR M . 13 Ta x²t th¶m mët sè ki¸n thùc v· ë s¥u cõa mæun trong i¶an. ành ngh¾a 1.5.8 (ë s¥u cõa mæun trong mët i¶an). Cho R l  v nh Noether, l  mët i¶an cõa R v  M l  R-mæun húu h¤n sinh sao cho IM 6= M . ë d i cõa méi M -d¢y tèi ¤i trong I ÷ñc gåi l  ë s¥u cõa M trong i¶an I , k½ hi»u l  depthI (M ) ho°c depth(I, M ). Khi I = m l  i¶an tèi ¤i cõa v nh àa ph÷ìng (R, m), th¼ ta vi¸t depth(M ) thay cho depthm(M ). I M»nh · 1.5.9. i) Cho M l  mët mæun húu h¤n sinh tr¶n v nh àa ph÷ìng Noether (A, m) v  a ∈ m l  mët ph¦n tû khæng l  ÷îc cõa khæng trong M . Khi â depth(M/aM ) = depth(M ) − 1. ii) Cho M l  mët R-mæun húu h¤n sinh tr¶n v nh Noether v  I l  mët i¶an cõa R sao cho IM 6= M . Khi â ta câ depthI (M ) = min {n | ExtnR (R/I, M ) 6= 0} = min {n | HIn (M ) 6= 0} . 14 Ch÷ìng 2 Chi·u húu h¤n bªc 1 v  t½nh minimax cõa mæun èi çng i·u àa ph÷ìng Trong ch÷ìng n y ta luæn gi£ thi¸t R l  v nh giao ho¡n Noether câ ìn và, I l  i¶an cõa R. 2.1 Mæun minimax v  mæun cofinite ¦u ti¶n ta tr¼nh b y kh¡i ni»m mæun minimax ÷ñc giîi thi»u bði H. Zöschinger [20]. ành ngh¾a 2.1.1 (Mæun minimax). Mët R-mæun M ÷ñc gåi l  mæun minimax n¸u tçn t¤i mët mæun con húu h¤n sinh N cõa M sao cho mæun th÷ìng M/N l  mæun Artin. Nhªn x²t 2.1.2. Tø ành ngh¾a tr¶n ta th§y r¬ng lîp mæun minimax bao h m c£ lîp mæun Noether v  lîp mæun Artin. Thªt vªy, gi£ sû M l  Rmæun Noether, lóc â ta chån mæun con N l  M v  khi â mæun th÷ìng M/N ∼ = 0; trong tr÷íng hñp n y rã r ng N l  mæun con húu h¤n sinh cõa M thäa m¢n M/N l  mæun Artin; V¼ th¸ M l  R-mæun minimax. 15