ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
PHẠM THỊ NGÂN
VÀNH CÁC SỐ NGUYÊN ĐẠI SỐ
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - 2016
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
PHẠM THỊ NGÂN
VÀNH CÁC SỐ NGUYÊN ĐẠI SỐ
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số:
60 46 01 13
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. NÔNG QUỐC CHINH
Thái Nguyên - 2016
i
Mục lục
Mục lục
i
Lời cảm ơn
ii
Mở đầu
1
1
Một số kiến thức chuẩn bị
2
1.1
Nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Vành và trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3
Đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.4
Nhóm Abel tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2
Vành số nguyên đại số trên trường số
13
2.1
Số đại số và số nguyên đại số . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.2
Các trường số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.3
Nhân tử hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2.4
Các iđêan trong vành các số nguyên đại số . . . . . . . . . .
41
Kết luận
53
Tài liệu tham khảo
54
ii
Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học
Thái Nguyên. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc với PGS.TS. Nông Quốc
Chinh, đã trực tiếp hướng dẫn tận tình và động viên tác giả trong suốt thời
gian nghiên cứu vừa qua.
Xin chân thành cảm ơn tới các thầy, cô giáo trong Khoa Toán - Tin, Phòng
Đào tạo, các bạn học viên lớp Cao học Toán K7C trường Đại học Khoa học
- Đại học Thái Nguyên, và các bạn đồng nghiệp đã tạo điều kiện thuận lợi,
động viên tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường.
Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người thân
luôn khuyến khích, động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và làm luận
văn.
Thái Nguyên, 2016
Phạm Thị Ngân
Học viên Cao học Toán K7C,
Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên
1
Mở đầu
Số học luôn được mệnh danh là nữ hoàng của toán học, bởi trong nó chứa
đựng nhiều vẻ đẹp của tư duy logic. Số nguyên đại số là lĩnh vực được nhiều
nhà toán học dành nhiều thời gian nghiên cứu. Việc nghiên cứu các tính chất
của các số nguyên đại số luôn là một đề tài hấp dẫn đối với những người yêu
toán xưa và nay. Vì những lý do như vậy nên chúng tôi chọn "Vành các số
nguyên đại số" làm đối tượng nghiên cứu trong luận văn của mình.
Ngoài phần mở đầu và tài liệu tham khảo, luận văn gồm 2 chương với nội
dung chính như sau.
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị. Chương này trình bày các kiến thức
cơ bản có liên quan cần sử dụng cho luận văn như: Các khái niệm vành, iđêan,
iđêan chính, iđêan nguyên tố, iđêan tối đại, vành nhân tử hóa, vành Euclid;
Đa thức, đa thức đối xứng, đa thức bất khả quy; Nhóm Abel tự do ...
Chương 2: Vành số nguyên đại số trên trường số. Nội dung chương 2 trình
bày khái niệm, tính chất và các iđêan trong vành OK các số nguyên đại số.
Thái Nguyên, ngày 18 tháng 05 năm 2016
Phạm Thị Ngân
Email:
[email protected]
2
Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1
Nhóm
Định nghĩa 1.1.1. Cho tập X với phép toán nhân. Ta nói (X, .) (gọi tắt là X)
là:
(i) một nửa nhóm nếu phép toán nhân kết hợp trên X (X 6= ∅);
(ii) một vị nhóm nếu phép toán nhân kết hợp trên X và phép toán có phần
tử đơn vị trên X.
Một nửa nhóm được gọi là giao hoán hay Abel nếu phép toán tương ứng
giao hoán.
Định nghĩa 1.1.2. Nhóm là một vị nhóm mà mọi phần tử đều có phần tử
nghịch đảo. Nói cách khác, tập G khác rỗng với phép toán nhân được gọi là
một nhóm nếu các tính chất sau được thỏa mãn:
(G1 ) Với mọi x, y, z ∈ G, (xy)z = x(yz);
(G2 ) Tồn tại e ∈ G sao cho với mọi x ∈ G, ex = xe = x;
(G3 ) Với mọi x ∈ G, tồn tại x−1 ∈ G sao cho xx−1 = x−1 x = e.
Nếu phép toán trên G là phép toán cộng thì các tính chất trên trở thành:
(G1 ) Với mọi x, y, z ∈ G, (x + y) + z = x + (y + z);
(G2 ) Tồn tại e ∈ G sao cho với mọi x ∈ G, 0 + x = x + 0 = x;
(G3 ) Với mọi x ∈ G, tồn tại −x ∈ G sao cho x + (−x) = (−x) + x = 0.
3
Trường hợp phép toán trên nhóm G giao hoán thì ta nói G là nhóm giao
hoán hay nhóm Abel.
Nhóm G được gọi là nhóm hữu hạn khi tập hợp G hữu hạn. Khi đó số
phần tử của G được gọi là chỉ số của nhóm G. Nếu nhóm G không hữu hạn
thì ta nói G là nhóm vô hạn.
Định nghĩa 1.1.3. Nhóm con H của nhóm G là một tập con ổn định của nhóm
G sao cho cùng với phép toán cảm sinh H là một nhóm. Ký hiệu H ≤ G để
chỉ H là một nhóm con của G.
Định lí 1.1.4. Cho H là một tập con khác rỗng của nhóm (G, .). Các mệnh
đề sau tương đương:
(i) H ≤ G;
(ii) Với mọi x, y ∈ H, xy ∈ H và x−1 ∈ H;
(iii) Với mọi x, y ∈ H, x−1 y ∈ H.
Định nghĩa 1.1.5. Cho S là một tập con của nhóm G. Nhóm con sinh bởi S
là nhóm con nhỏ nhất của G chứa S và được kí hiệu là hSi. Tập S được gọi
là tập sinh của nhóm hSi. Nếu S hữu hạn S = {x1 , x2 , . . . , xn } thì ta nói hSi
là nhóm hữu hạn sinh với các phần tử sinh x1 , . . . , xn mà ta thường kí hiệu
nhóm là hx1 , . . . , xn i.
1.2
Vành và trường
Định nghĩa 1.2.1. Vành là một tập R cùng với hai phép toán cộng và nhân
thỏa mãn các tính chất sau:
(R1 ) (R, +) là nhóm Abel;
(R2 ) (R, .) là nửa nhóm;
(R3 ) Phép nhân phân phối đối với phép cộng, nghĩa là với mọi x, y, z ∈ R,
4
ta có
x(y + z) = xy + xz;
(y + z)x = yx + zx.
Phần tử đơn vị của phép cộng được gọi là phần tử không, ký hiệu là 0;
phần tử nghịch đảo của phần tử x ∈ R là phần tử đối của x ký hiệu là −x.
Nếu phép nhân giao hoán thì ta nói vành R giao hoán; nếu phép nhân có phần
tử đơn vị thì vành R được gọi là vành có đơn vị. Phần tử đơn vị được ký hiệu
là e hay 1.
Định nghĩa 1.2.2. Cho R là một vành.
(i) Tập con A khác rỗng của R được gọi là một vành con của R nếu A
ổn định đối với hai phép toán trong vành R và A cùng với hai phép toán cảm
sinh là một vành.
(ii) Vành con I của R được gọi là một iđêan trái (tương ứng iđêan phải)
của R nếu với mọi r ∈ R và x ∈ I ta có rx ∈ I (tương ứng xr ∈ I). Ta nói I
là một iđêan của R nếu I vừa là iđêan trái vừa là iđêan phải của R.
Định lí 1.2.3 (Đặc trưng của vành con). Cho A là một tập con khác rỗng của
vành R. Các mệnh đề sau là tương đương:
(i) A là một vành con của R;
(ii) Với mọi x, y ∈ A, x + y ∈ A, xy ∈ A, −x ∈ A;
(iii) Với mọi x, y ∈ A, x − y ∈ A và xy ∈ A.
Định lí 1.2.4 (Đặc trưng của iđêan). Cho I là một tập con khác rỗng của vành
R. Các mệnh đề sau là tương đương:
(i) I là một iđêan của R;
(ii) Với mọi x, y ∈ I và r ∈ R, x + y ∈ I, −x ∈ I, rx ∈ I và xr ∈ I;
(iii) Với mọi x, y ∈ I và r ∈ R, x − y ∈ I, xr ∈ I và rx ∈ I.
5
Định nghĩa 1.2.5. Cho S là một tập con khác rỗng của vành R. Ta định nghĩa:
(i) Giao của tất cả các vành con của R có chứa S là vành con sinh bởi S.
(ii) Giao của tất cả các iđêan của R có chứa S là iđêan sinh bởi S, ký
hiệu là hSi.
Định nghĩa 1.2.6. Cho S là một tập con của vành R và I = hSi. Ta nói I
được sinh ra bởi S và S là tập sinh của I. Nếu S hữu hạn thì ta nói I hữu hạn
sinh. Đặc biệt, nếu S = {a} thì ta viết I = hai, gọi là iđêan chính sinh bởi a.
Định nghĩa 1.2.7. Cho R là vành giao hoán, có đơn vị 1.
1) Iđêan P của R được gọi là iđêan nguyên tố nếu P 6= R và từ ab ∈ P
suy ra a ∈ P hoặc b ∈ P với mọi a, b ∈ R.
2) Iđêan M được gọi là iđêan tối đại của R nếu M 6= R và nếu với bất kỳ
iđêan B của R thỏa mãn M ⊂ B ⊂ R thì B = R hoặc B = M .
Định nghĩa 1.2.8. (i) Cho R là một vành giao hoán. Phần tử x ∈ R\{0} được
gọi là ước của 0 nếu tồn tại y ∈ R\{0} sao cho xy = 0.
(ii) Một vành giao hoán, có đơn vị, có nhiều hơn một phần tử và không có
ước của không được gọi là miền nguyên.
(iii) Một vành giao hoán, có đơn vị, có nhiều hơn một phần tử trong đó
một phần tử khác không đều khả nghịch được gọi là một trường.
Định lí 1.2.9. (i) Mọi trường đều là miền nguyên.
(ii) Mọi miền nguyên hữu hạn đều là trường.
Định nghĩa 1.2.10. Cho R là một trường và I là một tập con khác rỗng, ổn
định đối với hai phép toán trong R. Ta nói I là một trường con của R nếu I
với hai phép toán cảm sinh từ R cũng là một trường.
Định lí 1.2.11 (Đặc trưng của trường con). Cho R là một trường và I là tập
con của R có chứa ít nhất hai phần tử. Các mệnh đề sau tương đương:
6
(i) I là một trường con của R;
(ii) Với mọi x, y ∈ I, x + y ∈ I, xy ∈ I, −x ∈ I và hơn nữa, nếu x 6= 0
thì x−1 ∈ I;
(iii) Với mọi x, y ∈ I, x − y ∈ I và hơn nữa, nếu x 6= 0 thì x−1 y ∈ I.
Một hàm Euclid φ trên miền nguyên R là hàm φ : R\{0} → Z với các
tính chất
• φ(a) ≥ 0 với mọi a ∈ R, a 6= 0, và
• nếu a, b ∈ R với a 6= 0 thì a|b hoặc tồn tại c ∈ R với φ(b − ac) < φ(a).
Một miền nguyên R là một miền Euclid nếu tồn tại một hàm Euclid trên
R.
Bổ đề 1.2.12. Giả sử R là một miền Euclid. Khi đó mỗi iđêan trong R là
iđêan chính.
1.3
Đa thức
Cho R là một vành (giao hoán) có đơn vị là 1, kí hiệu R[X] là vành đa
thức biến X với các hệ số trong R. Nếu f = a0 + a1 X + a2 X 2 + · · · + an X n
với an 6= 0 thì n là bậc của f , an là hạng tử cao nhất của f và an X n là số
hạng cao nhất của f . Bậc của f kí hiệu là deg(f ). Một đa thức được gọi là
đa thức monic nếu hệ số cao nhất bằng 1.
Nhận xét 1.3.1. Nếu R là một miền nguyên thì deg(f g) = deg(f ) + deg(g),
trong đó f và g là hai đa thức khác không trong R[X]. Đặc biệt f g 6= 0 và do
vậy R[X] cũng là một miền nguyên.
Mệnh đề 1.3.2 (Thuật toán chia). Cho K là một trường và f, g ∈ K[X] với
g 6= 0. Khi đó, tồn tại duy nhất các đa thức q, r ∈ K[X] sao cho
7
• f = gq + r và
• r = 0 hoặc deg(r) < deg(g).
Giả sử f, g ∈ K[X]. Ta nói rằng f chia hết g (hay g chia hết cho f ) nếu
.
g = f h với h ∈ K[X] và kí hiệu là g .. f hay f | g.
Mệnh đề 1.3.3 (Ước chung lớn nhất). Cho K là một trường và f, g là các đa
thức khác không của K[X]. Khi đó, tồn tại duy nhất một đa thức monic h sao
cho
• h | f và h | g
• nếu q ∈ K[X] và q | f và q | g thì q | h.
Ngoài ra, tồn tại u, v ∈ K[X] sao cho h = uf + vg.
Định nghĩa 1.3.4. Giả sử K là một trường và f ∈ K[X] có bậc dương, f
được gọi là đa thức bất khả quy trên K nếu không tồn tại g, h ∈ K[X] với
deg(g), deg(h) < deg(f ) sao chof = gh
Định lí 1.3.5 (Sự phân tích duy nhất). Cho K là một trường và f ∈ K[X] là
một đa thức monic bậc dương. Khi đó, tồn tại duy nhất các đa thức monic bất
khả quy p1 , p2 , . . . , pk ∈ K[X] trên K sao cho f = p1 p2 . . . pk . Ngoài ra pj
là xác định duy nhất nếu không kể đến thứ tự các nhân tử.
Định nghĩa 1.3.6. Cho R là một vành, ta kí hiệu R[X1 , . . . , Xn ] là vành các
đa thức n biến X1 , . . . , Xn với hệ số trong R. Đa thức f (X1 , . . . , Xn ) ∈
R[X1 , . . . , Xn ] được gọi là đa thức đối xứng nếu
f (X1 , . . . , Xn ) = f (Xσ(1) , . . . , Xσ(n) )
với mọi σ ∈ Sn , ở đây Sn là tập các phép thế bậc n.
8
Ví dụ 1.3.7. Khi n = 3 thì đa thức
f1 (X1 , X2 , X3 ) = X12 X2 + X12 X3 + X22 X1 + X22 X3 + X32 X1 + X32 X2
là đối xứng vì
f1 (X1 , X2 , X3 ) = f1 (X1 , X3 , X2 ) = f1 (X2 , X1 , X3 )
=f1 (X2 , X3 , X1 ) = f1 (X3 , X1 , X2 ) = f1 (X3 , X2 , X1 ).
Đa thức
f2 (X1 , X2 , X3 ) = X12 X2 + X22 X3 + X32 X1
không đối xứng vì mặc dù f2 (X1 , X2 , X3 ) = f2 (X2 , X3 , X1 ) = f2 (X3 , X1 , X2 )
nhưng
f2 (X1 , X3 , X2 ) = X12 X3 + X32 X2 + X22 X1 6= f2 (X1 , X2 , X3 ).
Định nghĩa 1.3.8. Các đa thức sau được gọi là đa thức đối xứng sơ cấp hay
đa thức đối xứng cơ bản
e1 (X1 , X2 , . . . , Xn ) = X1 + X1 + · · · + Xn ,
e2 (X1 , X2 , . . . , Xn ) = X1 X2 + X1 X3 + · · · + X1 Xn + X2 X3 + · · · + Xn−1 Xn
...
en (X1 , X2 , . . . , Xn ) = X1 X2 . . . Xn .
Định lí 1.3.9 (Newton). [4] Giả sử R là một vành và f ∈ R[X1 , . . . , Xn ] là
một đa thức đối xứng. Khi đó, tồn tại đa thức g ∈ R[X1 , . . . , Xn ] với tính chất
f (X1 , . . . , Xn ) = g(Y1 , . . . , Yn )
trong đó Yr = er (X1 , . . . , Xn ) là đa thức đối xứng cơ bản với mọi r =
1, 2, . . . , n.
9
1.4
Nhóm Abel tự do
Trong mục này các nhóm được viết với phép cộng, ta kí hiệu phần tử trung
lập mỗi nhóm là 0 và phần tử đối của u là −u.
Xét tập Zn = {(u1 , . . . , un )| ui ∈ Z với i = 1, . . . , n} với phép toán
(u1 , . . . , un ) + (v1 , . . . , vn ) = (u1 + v1 , . . . , un + vn ). Ta có Zn là một nhóm
với phép cộng xác định như trên.
Nhóm G được gọi là nhóm Abel tự do hạng n nếu nó đẳng cấu với Zn .
Điều này có nghĩa là G có một cơ sở nguyên hay Z - cơ sở: tồn tại một dãy
u1 , . . . , un các phần tử của G sao cho mỗi phần tử của G đều biểu diễn duy
nhất dưới dạng a1 u1 + · · · + an un với a1 , . . . , an ∈ Z.
Hạng của nhóm Abel tự do là hoàn toàn xác định. Mỗi nhóm Abel G có
một nhóm con 2G = {u + u : u ∈ G} và khi G là nhóm Abel tự do hạng n
thì |G : 2G| = 2n .
Mệnh đề 1.4.1. [4] Giả sử G là một nhóm Abel tự do hạng n và H là một
nhóm con của G. Khi đó H là nhóm Abel tự do hạng m trong đó m ≤ n.
Chứng minh. Ta giả sử G = Zn . Ta định nghĩa các nhóm con khác nhau
H1 , . . . , Hn của H. Giả sử H1 = H và với j > 1 đặt
Hj = {(0, . . . , 0, cj , cj+1 , . . . , cn ) : cj , cj+1 , . . . , cn ∈ Z} ∩ H.
Khi đó Hj là tập các véctơ của H mà j − 1 phần tử đầu tiên bằng 0. Ta cũng
đặt
Kj = {cj : (0, . . . , 0, cj , cj+1 , . . . , cn ) ∈ HJ }
với mỗi j. Nghĩa là Kj là tập của phần tử thứ j của các véctơ trong Hj . Dễ
thấy Hj là một nhóm con của H và suy ra Kj là một nhóm con của Z. Khi
đó Jj = Zbj = {abj : a ∈ Z} với một vài bj ∈ Z. Ta định nghĩa các véctơ
10
u1 , . . . , un ∈ H như sau. Nếu bj = 0 thì uj là véctơ không, nếu không uj là
véctơ bất kì trong Hj mà phần tử thứ j là bj . Ta chứng minh {uj }, uj 6= 0 lập
thành một cơ sở nguyên của H. Ta thấy rằng H là Abel tự do hạng m, trong
đó m là số uj khác không và do vậy m ≤ n.
Đầu tiên ta chứng tỏ mỗi phần tử của H có dạng
n
P
aj uj với uj ∈ Z. Lưu
j=1
ý rằng nếu v = (0, . . . , 0, cj , . . . , cn ) ∈ Hj khi đó cj = aj bj với aj ∈ Z và
do vậy v − aj uj ∈ Hj+1 nếu j < n và v − aj uj = 0 nếu j = n. Bắt đầu với
v ∈ H = H1 bất kỳ. Khi đó, tồn tại a1 ∈ Z với v − a1 u1 ∈ H2 . Khi đó, tồn tại
a2 ∈ Z với v − a1 u1 − a2 u2 ∈ H3 , . . . . Cuối cùng ta tìm được a1 , . . . , an ∈ Z
n
P
với v − a1 u1 − a2 u2 − · · · − an un = 0 sao cho v =
aj uj . Trong tổng này
j=1
ta có thể loại bỏ các phần tử uj bằng không, do vậy mỗi v ∈ H là một tổ hợp
tuyến tính với các hệ số nguyên của uj khác không.
Bây giờ ta chứng minh duy nhất. Định nghĩa ma trận U vuông cấp n với
dòng thứ j là uj . Giả sử ujk là phần tử đặc trưng. Khi đó U là một ma trận
tam giác trên: ujk = 0 khi k < j. Ta có ujj = bj và dòng thứ j của ma
trận U bằng không khi ujj = 0. Để chứng minh H là nhóm Abel tự do ta
n
P
aj uj xác định duy nhất aj với mỗi j trong đó uj
cần chứng tỏ rằng v =
j=1
khác không. Ta tiếp tục quy nạp trên j; giả sử rằng ak mà k < j với uk 6= 0
j−1
P
là xác định duy nhất bởi v. Khi đó v xác định duy nhất
ak uk và do vậy
k=1
v−
j−1
P
k=1
ak uk = aj vj +
n
P
aj vj . Nhưng phần tử thứ j của véctơ này là aj bj
r=j+1
và bj = 0 là xác định aj duy nhất.
Ví dụ 1.4.2. Giả sử n = 3 và
H = {(r, s, t) ∈ Z3 : 3r + 5s + 7t = 0 và s là số chẵn}.
Dễ kiểm tra được rằng H là một nhóm con của Z3 . Đương nhiên H1 = H
và ta thấy (1, −2, 1) ∈ H1 . Suy ra K1 = Z và ta có thể lấy b1 = 1 và
11
u1 = (1, −2, 1). Bây giờ
H1 = {(0, s, t) ∈ Z3 : 5s + 7t = 0 và s chẵn}.
Nếu (0, s, t) ∈ H2 thì s chẵn và 5s = −7t ≡ 0 (mod 7). Suy ra s ≡
0 (mod 7) và do vậy s chia hết cho 14. Do đó K2 ⊆ 14Z. Nhưng vì (0, 14, −10) ∈
H2 , khi đó K2 = 14Z và ta có thể lấy b2 = 14 và u2 = (0, 14, −10). Cuối
cùng
H3 = {(0, 0, t) ∈ Z3 : 7t = 0} = {(0, 0, 0)}
sao cho b3 = 0 và u3 = (0, 0, 0). Suy ra H có hạng 2 và mỗi phần tử của H
có thể viết duy nhất là a1 u1 + a2 u2 với a1 , a2 ∈ Z.
Ví dụ v = (19, 4, −11) ∈ H. Ta có v = au1 + vu2 , so sánh tọa độ đầu
tiên ta có 19 = a1 để a2 u2 = v − 19a1 = (0, 42, −30). Do đó a2 = 3 để
v = 19u1 + 3u2 .
Mệnh đề 1.4.3. [4] Giả sử U là một ma trận vuông cấp n với các hệ số
nguyên. Các dòng của U lập thành một cơ sở nguyên của nhóm con H của
Zn nếu và chỉ nếu det(U ) 6= 0. Trong trường hợp này H có hạng n và |Zn :
H| = | det(U )|.
Bổ đề 1.4.4. [4] Giả sử H có hạng m là nhóm con của Zn với m < n. Khi
đó H có chỉ số hữu hạn trong Zn .
Định nghĩa 1.4.5. Định thức Vandermonde cho các biến X1 , X2 , . . . , Xn
được định nghĩa là
1
1
1
X1
X2
X3
V (X1 , X2 , . . . , Xn ) = X12
X22
X32
..
..
..
.
.
.
n−1
X2n−1 X3n−1
X 1
...
...
...
...
...
1
Xn
2 .
Xn
..
.
n−1
Xn
12
Mệnh đề 1.4.6. [4] Với các biến X1 , X2 , . . . , Xn , ta có
V (X1 , X2 , . . . , Xn ) =
Y
1≤j≤k≤n
(Xk − Xj ).
13
Chương 2
Vành số nguyên đại số trên trường số
2.1
Số đại số và số nguyên đại số
Định nghĩa 2.1.1. (i) Phần tử α ∈ C là một số đại số nếu f (α) = 0 với
f ∈ Q[X] là đa thức monic.
(ii) Phần tử β ∈ C là một số nguyên đại số nếu g(β) = 0 với g ∈ Z[X] là
đa thức monic .
Kí hiệu A và B lần lượt là tập các số đại số và số nguyên đại số. Dễ thấy
B ⊆ A, Z ⊆ B và Q ⊆ A.
Bổ đề 2.1.2. [4] Giả sử α ∈ A. Khi đó, tồn tại β ∈ B và m ∈ Z khác không
sao cho α = β/m.
Chứng minh. Vì α ∈ A nên tồn tại một đa thức monic f ∈ Q[X] sao cho
f (α) = 0. Giả sử m là tích của các mẫu số của các hệ số của f . Khi đó
n
P
g = mf ∈ Z[X]. Viết g =
aj X j . Khi đó an = m. Ta có h(X) =
g=0
mn−1 g(X/m) =
n
P
mn−1+j aj X j là đa thức monic với các hệ số nguyên. Ta
j=0
cũng có h(mα) = mn−1 g(α) = 0. Do đó β = mα ∈ B và α = β/m.
Mệnh đề 2.1.3. Giả sử α ∈ A. Khi đó, tồn tại duy nhất đa thức monic f ∈
Q[X] có bậc nhỏ nhất sao cho f (α) = 0. Đa thức f này có tính chất rằng
nếu g ∈ Q[X] thỏa mãn g(α) = 0 thì f | g.
14
Chứng minh. Vì α ∈ A nên tồn tại đa thức monic trên Q nhận α làm nghiệm,
trong những đa thức này ta luôn chọn được f là đa thức có bậc nhỏ nhất. Ta
sẽ chỉ ra f là duy nhất. Giả sử h ∈ Q[X] là một đa thức khác không và
deg(h) < deg(f ) sao cho h(α) = 0, khi đó h1 = a−1 h là một đa thức monic,
ở đây a là hệ số cao nhất của h. Do deg(h) < deg(g) nên deg(h1 ) < deg(f )
và h1 (α) = a−1 h(α) = 0, điều này trái với việc chọn f . Nếu f1 là đa thức
monic có cùng bậc với f và thỏa mãn các điều kiện giống như f thì h = f −f1
phải là đa thức khác không vì nếu không thì h(α) = 0 và deg(h) < deg(g),
điều này là mâu thuẫn. Vậy f là duy nhất.
Tiếp theo, giả sử g ∈ Q[X] và g(α) = 0. Theo Mệnh đề 1.3.2 thì g =
qf + h trong đó q, h ∈ Q[X]. Suy ra h(α) = g(α) − f (α)q(α) = 0, do đó
h = 0, suy ra g = qf hay f | g.
Định nghĩa 2.1.4. Đa thức monnic f có bậc nhỏ nhất nhận α làm nghiệm
được gọi là đa thức tối tiểu của α và gọi bậc của f là bậc của α.
Bổ đề 2.1.5. Giả sử f là đa thức tối tiểu của α ∈ A. Khi đó f bất khả quy
trên Q.
Chứng minh. Chứng minh bằng phản chứng. Giả sử ngược lại rằng f khả
quy trên Q, tức là f = gh, trong đó g, h ∈ Q[X] là các đa thức monic bậc
nhỏ hơn bậc của f . Khi đó 0 = f (α) = g(α)h(α), do vậy g(α) = 0 hoặc
h(α) = 0. Giả sử g(α) = 0. Khi đó theo Mệnh đề 2.1.3 ta có f | g, suy ra
deg(g) ≥ deg(f ), điều này vô lý vì deg(g) < deg(f ). Suy ra điều giả sử là
sai, vậy f bất khả quy trên Q.
Định lí 2.1.6. Cho α ∈ A có đa thức tối tiểu là f . Ta có α ∈ B khi và chỉ khi
f ∈ Z[X].
Chứng minh. Giả sử α ∈ A có đa thức tối tiểu f , suy ra f (α) = 0. Nếu
f ∈ Z[X] thì α ∈ B.
15
Ngược lại, giả sử α ∈ B ta chỉ ra f ∈ Z[X]. Thật vậy, do α ∈ A nên
f (α) = 0 và f ∈ Q[X], lại vì α ∈ B nên tồn tại g ∈ Z[X] là đa thức monic
sao cho g(α) = 0, do đó f | g, theo Mệnh đề 2.1.3 thì f ∈ Z[X].
Định nghĩa 2.1.7. Đa thức khác không f ∈ Z[X] là đa thức nguyên bản nếu
ước chung lớn nhất của tất cả các hệ số của nó bằng 1. Nói cách khác, f là đa
thức nguyên bản nếu không tồn tại số nguyên tố nào chia hết tất cả các hệ số
của nó.
Bổ đề 2.1.8 (Bổ đề Gauss). Giả sử f, g ∈ Z[X] là các đa thức nguyên bản.
Khi đó f g cũng là một đa thức nguyên bản.
Chứng minh. Giả sử
f (X) = a0 + a1 X + a2 X 2 + · · · + am X m
và
g(X) = b0 + b1 X + b2 X 2 + · · · + bn X n .
là các đa thức nguyên bản. Ta chứng minh f g nguyên bản, tức là phải chỉ ra
không tồn tại số nguyên tố p chia hết tất cả các hệ số của f g. Giả sử p là số
nguyên tố chia hết tất cả các hệ số của f g. Do f, g nguyên bản nên tồn tại ít
nhất một hệ số của f và một hệ số của g sao cho hệ số đó không chia hết cho
p, giả sử ar và bs lần lượt là các hệ số đầu tiên của f và g không chia hết cho
p. Khi đó p | ai với i < r và p | bj với j < s. Hệ số của X r+s trong f g là
cr+s =
X
ai bj .
i+j=r+s
Tổng này chứa các số hạng ar bs mà không chia hết cho p. Các số hạng aj bj
khác của nó chia hết cho p vì i < r hoặc j < s. Do đó cr+s không chia hết
cho p. Điều này mâu thuẫn, vì vậy f g là đa thức nguyên bản.
16
Nhận xét 2.1.9. (i) Nếu 0 6= f ∈ Z[X] và a là ước chung lớn nhất của các hệ
số của f . Khi đó ta có thể viết f = af1 , trong đó f1 là đa thức nguyên bản.
(ii) Cho 0 6= g ∈ Q[X]. Khi đó bg ∈ Z[X], trong đó b là số nguyên dương
và b là tích của các mẫu số của các hệ số của f . Khi đó ta có thể viết bg = cg1 ,
trong đó c là ước chung lớn nhất của tất cả các hệ số của bg, khi đó g1 là đa
thức nguyên bản. Do đó g = (c/b)g1 , trong đó q1 là đa thức nguyên bản trong
Z[X] và c/b là một số hữu tỷ dương. Vì vậy, ta có thể viết 0 6= g ∈ Z[X] bất
kỳ thành g = rg1 với r ∈ Q, r > 0 và g1 ∈ Z[X] là đa thức nguyên bản, r
được xác định duy nhất. Nếu đặt s = 1/r, ta thấy rằng tồn tại một số hửu tỷ
dương s để sg là một phần tử nguyên bản của Z[X].
Mệnh đề 2.1.10. Cho f, g là các đa thức monic với f ∈ Z[X] và g ∈ Q[X].
Khi đó, nếu g | f thì g ∈ Z[X].
Chứng minh. Giả sử g | f , khi đó tồn tại h ∈ Q[X] sao cho f = gh. Khi đó
h là đa thức monic vì f, g là các đa thức monic. Theo nhận xét trên tồn tại các
số hữu tỷ dương r và s với rg và sh các đa thức nguyên bản của Z[X]. Do các
hệ số cao nhất của rg và sh lần lượt là r và s nên suy ra r, s ∈ Z. Theo Bổ
đề Gauss, (rg)(sh) = (rs)f là đa thức nguyên bản. Nhưng vì f ∈ Z[X] nên
các hệ số của (rs)f chia hết cho rs. Do đó rs = 1 (vì rs là một số nguyên
dương) và do vậy r = s = 1 (vì r và s là các số nguyên dương). Do đó
g = rg ∈ Z[X].
Mệnh đề 2.1.11 (Tiêu chuẩn Eisenstein). Cho p là một số nguyên tố và
n
f (X) = X +
n−1
X
aj X j ∈ Z[X].
j=0
Nếu p | aj với 0 ≤ j < n và p2 - a0 thì f bất khả quy trên Q.
Chứng minh. Giả sử f khả quy trên Q. Khi đó f = gh trong đó g, h ∈ Q[X];