Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Giáo dục - Đào tạo Cao đẳng - Đại học Một số dạng luật số lớn cho dãy và mảng các biến ngẫu nhiên trong không gian tổ ...

Tài liệu Một số dạng luật số lớn cho dãy và mảng các biến ngẫu nhiên trong không gian tổ hợp lồi

.PDF
92
466
113

Mô tả:

i LỜI CAM ĐOAN Luận án này được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn của GS. TS. Nguyễn Văn Quảng. Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả được trình bày trong luận án là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được ai công bố trước đó. Tác giả Phạm Trí Nguyễn ii LỜI CẢM ƠN Luận án này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS. TS. Nguyễn Văn Quảng. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy-người đã đặt bài toán, hướng dẫn, giúp đỡ tận tình và chu đáo trong suốt quá trình tác giả học tập và thực hiện luận án. Tác giả xin cảm ơn TS. Dương Xuân Giáp và ThS. Nguyễn Trần Thuận về những thảo luận và góp ý trong quá trình học tập và nghiên cứu đề tài luận án. Trong quá trình hoàn thành luận án, tác giả đã nhận được sự động viên và quan tâm của PGS. TS. Nguyễn Thành Quang, TS. Nguyễn Trung Hòa, TS. Nguyễn Thị Thế, PGS. TS. Lê Văn Thành, PGS. TS. Kiều Phương Chi, TS. Nguyễn Thanh Diệu, TS. Võ Thị Hồng Vân, TS. Lê Hồng Sơn, TS. Nguyễn Văn Huấn cùng các thầy, cô và bạn bè đồng nghiệp. Tác giả xin chân thành cảm ơn về những sự giúp đỡ quý báu đó. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn tới Viện Sư phạm Tự nhiên và Phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Vinh về sự hỗ trợ và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả học tập và hoàn thành luận án. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn tới Trường Đại học Điện lực, nơi tác giả đang công tác và giảng dạy, đã hỗ trợ và tạo điều kiện cho tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận án. Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình và những người bạn thân thiết đã luôn động viên và khích lệ tác giả trong suốt quá trình học tập và công tác. Phạm Trí Nguyễn iii MỤC LỤC Một số ký hiệu thường dùng trong luận án 1 Mở đầu 2 Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị 1.1. Không gian tổ hợp lồi 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2. Biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian tổ hợp lồi . . . . 17 1.3. Biến ngẫu nhiên mờ trong không gian tổ hợp lồi . . . . . . . . 24 Chương 2. Một số dạng luật số lớn cho dãy và mảng tam giác các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian tổ hợp lồi 30 2.1. Luật mạnh số lớn đối với dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc đôi một theo khối nhận giá trị trong không gian tổ hợp lồi . . . . . 30 2.2. Sự hội tụ đầy đủ và luật mạnh số lớn đối với mảng tam giác các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian tổ hợp lồi . . . . . . 43 Chương 3. Một số dạng luật số lớn cho dãy, mảng tam giác và mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên mờ trong không gian tổ hợp lồi 52 3.1. Khái niệm CUI (α, α+ )-từng mức và Cesàro CUI bậc r (α, α+ )từng mức đối với họ các biến ngẫu nhiên mờ trong không gian tổ hợp lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.2. Sự hội tụ đầy đủ và luật mạnh số lớn đối với mảng tam giác các biến ngẫu nhiên mờ trong không gian tổ hợp lồi . . . . . . . . . . . 55 3.3. Luật mạnh số lớn đối với mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên mờ trong không gian tổ hợp lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.4. Sự hội tụ theo trung bình và luật yếu số lớn đối với dãy các biến ngẫu nhiên mờ trong không gian tổ hợp lồi . . . . . . . . . . . . . 72 iv Kết luận chung và kiến nghị 81 Danh mục các công trình liên quan trực tiếp đến luận án 83 Tài liệu tham khảo 84 1 MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN N N0 R (X, d) [., .] c(X) dH coA coA clA (Ω, A, P ) BX Bc(X) F(X) K(X) I I{A} card{A} CUI m∨n m∧n log+ a kxku0 kAk{u0 } a+ a− 2 Tập hợp các số nguyên dương Tập hợp các số nguyên không âm Tập hợp các số thực Không gian metric đầy đủ khả ly Phép toán tổ hợp lồi Không gian các tập con compact khác rỗng của X Metric Hausdorff Bao lồi của tập A, với A ⊂ X Bao lồi đóng của tập A, với A ⊂ X Bao đóng của tập A, với A ⊂ X Không gian xác suất σ -đại số Borel của X σ -đại số Borel của c(X) Không gian các tập mờ v trên X thỏa mãn: v là nửa liên tục trên, sup v = 1 và supp v là tập compact trong X Miền khả lồi của X Tập chỉ số bất kỳ nào đó Hàm chỉ tiêu của tập A Số phần tử của tập A Compact khả tích đều Giá trị lớn nhất của hai số thực m và n Giá trị nhỏ nhất của hai số thực m và n lôgarit cơ số 2 của a ∨ 1, với a ∈ R Giá trị kxku0 := d(x, u0 ), với x ∈ X, u0 ∈ K(X) Giá trị kAk{u0 } := dH (A, {u0 }), với A ∈ c(X), u0 ∈ K(X) Giá trị a+ := max{a, 0}, với a ∈ R Giá trị a− := max{−a, 0}, với a ∈ R Kết thúc chứng minh. 2 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài 1.1. Trong mấy thập kỷ gần đây, một số kết quả về các định lý giới hạn dạng luật số lớn đối với họ các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian metric đã được một số tác giả nghiên cứu và thiết lập. Năm 1992, Herer [12] đưa ra khái niệm kỳ vọng của biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian metric đầy đủ và khả ly (X, d) có độ cong âm. Từ đó, Herer chứng minh luật mạnh số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối. Năm 1997, sử dụng định nghĩa của Herer trong [12] về kỳ vọng của biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong X, bằng phương pháp xấp xỉ bởi dãy các biến ngẫu nhiên rời rạc, Fitte [8] đã chứng minh định lý ergodic và luật mạnh số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên khả tích. Một số định lý giới hạn đối với martingale nhận giá trị trong không gian metric cũng được thiết lập trong các công trình của Herer [12, 13] và Sturm [35]. Năm 2006, Terán và Molchanov [40] đưa ra khái niệm về không gian tổ hợp lồi, đó là không gian metric mà trên đó được trang bị phép toán tổ hợp lồi. Từ đó Terán và Molchanov đã xây dựng định nghĩa về kỳ vọng của biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian tổ hợp lồi và thu được luật mạnh số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên độc lập đôi một cùng phân phối. Như vậy, việc nghiên cứu các định lý giới hạn dạng luật số lớn cho các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian metric đang là vấn đề có tính thời sự của lý thuyết xác suất. 1.2. Các định lý giới hạn dạng luật số lớn và sự hội tụ đầy đủ cũng được nghiên cứu cho mảng hai chiều và mảng tam giác các biến ngẫu nhiên. Có thể tìm thấy các kết quả cơ bản nhất của lĩnh vực này trong cuốn sách chuyên khảo của Klesov [21]. Chú ý rằng, khi mở rộng các định lý giới 3 hạn cho dãy các biến ngẫu nhiên sang trường hợp mảng thì các kết quả và phương pháp sử dụng cho dãy không phải lúc nào cũng áp dụng được cho mảng. Do đó, các kết quả nghiên cứu đối với các định lý giới hạn cho mảng hai chiều và mảng tam giác các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian metric là vấn đề thú vị và có nhiều ý nghĩa. 1.3. Khi nghiên cứu các định lý giới hạn dạng luật số lớn, người ta thường xét đến điều kiện độc lập của các biến ngẫu nhiên. Một hướng nghiên cứu về các định lý giới hạn nói chung và các định lý giới hạn dạng luật số lớn nói riêng là thay thế điều kiện độc lập bởi các điều kiện yếu hơn như độc lập đôi một, m-phụ thuộc theo khối, m-phụ thuộc đôi một theo khối. Đây là một hướng nghiên cứu đáng được quan tâm. 1.4. Nghiên cứu các định lý giới hạn cho các biến ngẫu nhiên mờ rất quan trọng cả về lý thuyết và thực tiễn. Về mặt thực tiễn, lý thuyết về các biến ngẫu nhiên mờ đã được nghiên cứu rộng rãi và được áp dụng cho các lĩnh vực như công nghệ thông tin, xử lý hình ảnh, kỹ thuật điều khiển và một số lĩnh vực khác. Theo quan điểm lý thuyết, nhiều vấn đề trong lý thuyết về biến ngẫu nhiên mờ liên quan đến lý thuyết xác suất cổ điển. Một số định lý giới hạn trong lý thuyết xác suất cổ điển đã được mở rộng sang các biến ngẫu nhiên mờ. Đặc biệt, luật số lớn đối với các biến ngẫu nhiên mờ đã được nhiều tác giả nghiên cứu. Chẳng hạn, Colubi [6] thiết lập luật mạnh số lớn cho các biến ngẫu nhiên mờ độc lập cùng phân phối trong không gian Rd . Proske và Puri [28] chứng minh luật mạnh số lớn cho các biến ngẫu nhiên mờ độc lập cùng phân phối trong không gian Banach. Inoue [17] thu được luật mạnh số lớn cho tổng các biến ngẫu nhiên mờ độc lập thỏa mãn điều kiện "tight", kết quả của Inoue mở rộng kết quả của Taylor và Inoue [37] cho các tập ngẫu nhiên. Gần đây, Kim [20] đã thiết lập luật yếu số lớn cho tổng có trọng số các biến ngẫu nhiên mờ trong không gian Banach thực khả ly. Vì vậy, nghiên cứu các định lý giới hạn 4 dạng luật số lớn cho các biến ngẫu nhiên mờ trong không gian metric là hướng nghiên cứu có nhiều ý nghĩa và giá trị. Với các lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án của mình là: “Một số dạng luật số lớn cho dãy và mảng các biến ngẫu nhiên trong không gian tổ hợp lồi”. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận án là thiết lập luật mạnh số lớn đối với dãy các biến ngẫu nhiên và mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên mờ trong không gian tổ hợp lồi, thiết lập sự hội tụ đầy đủ và luật mạnh số lớn đối với mảng tam giác các biến ngẫu nhiên và mảng tam giác các biến ngẫu nhiên mờ, sự hội tụ theo trung bình và luật yếu số lớn đối với dãy các biến ngẫu nhiên mờ trong không gian tổ hợp lồi dưới các giả thiết khác nhau. 3. Đối tượng nghiên cứu - Luật mạnh số lớn đối với dãy các biến ngẫu nhiên, mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên mờ. - Sự hội tụ đầy đủ và luật mạnh số lớn đối với mảng tam giác các biến ngẫu nhiên, mảng tam giác các biến ngẫu nhiên mờ. - Sự hội tụ theo trung bình và luật yếu số lớn đối với dãy các biến ngẫu nhiên mờ. 4. Phạm vi nghiên cứu Luận án tập trung nghiên cứu một số dạng hội tụ của dãy và mảng tam giác các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian tổ hợp lồi; dãy, mảng tam giác và mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên mờ trong không gian tổ hợp lồi. Các dạng hội tụ được xét đến là hội tụ hầu chắc chắn, hội tụ đầy đủ, hội tụ theo trung bình và hội tụ theo xác suất. 5 5. Phương pháp nghiên cứu Chúng tôi sử dụng phối hợp các phương pháp của xác suất và công cụ của giải tích như: phương pháp xấp xỉ, phương pháp chặt cụt, sử dụng các tính chất của tập compact... 6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Luận án góp phần làm phong phú thêm các kết quả và sự hiểu biết cho hướng nghiên cứu về các định lý giới hạn nói chung và các định lý giới hạn đối với các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian metric. Luận án có thể là tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học và nghiên cứu sinh chuyên ngành Lý thuyết xác suất và Thống kê toán học. 7. Tổng quan và cấu trúc luận án 7.1. Tổng quan về luận án Năm 1987, Móricz [27] đưa ra khái niệm m-phụ thuộc theo khối đối với dãy các biến ngẫu nhiên và mở rộng luật mạnh số lớn Kolmogorov sang trường hợp m-phụ thuộc theo khối. Cụ thể, Móricz đã chứng minh rằng: Với m là một số nguyên không âm, giả sử {Xn : n > 1} là dãy các biến ngẫu nhiên thoả mãn EXn = 0 và EXn2 < ∞ với mọi n, đồng thời với mỗi số nguyên k > 0 thì các họ {Xn : 2k 6 n 6 i} và {Xn : j 6 n < 2k+1 } là độc lập nếu j − i > m. Khi đó điều kiện ∞ X EX 2 n n=1 n2 <∞ kéo theo luật mạnh số lớn n 1X lim Xi = 0 h.c.c. n→∞ n i=1 Khái niệm về sự hội tụ đầy đủ đối với dãy các biến ngẫu nhiên được Hsu và Robbins [14] đưa ra năm 1947: Dãy {Xn : n > 1} các biến ngẫu 6 nhiên được gọi là hội tụ đầy đủ đến hằng số θ, nếu với mọi ε > 0, thì ∞ X P (|Xn − θ| > ε) < ∞. n=1 Từ Bổ đề Borel-Cantelli, ta suy ra rằng, nếu dãy {Xn : n > 1} hội tụ đầy đủ đến hằng số θ, thì Xn → θ hầu chắc chắn. Sự hội tụ đầy đủ sau đó đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu. Chẳng hạn: Hu, Móricz và Taylor [15] thiết lập sự hội tụ đầy đủ cho mảng tam giác các biến ngẫu nhiên độc lập theo hàng. Gut [11] mở rộng và tổng quát hoá kết quả của Hu, Móricz và Taylor. Baek và Park [1] thiết lập một số kết quả về sự hội tụ đầy đủ cho tổng có trọng số của mảng hai chiều và mảng tam giác các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm theo hàng. Khi xem xét các kết quả nêu trên trong không gian Banach, Taylor [36], Hu, Rosalsky, Szynal và Volodin [16] cũng đã thiết lập được một số kết quả quan trọng về sự hội tụ đầy đủ. Bằng cách áp dụng các kết quả của Hu, Móricz và Taylor [15], Fu và Zhang [9] đã thu được một số kết quả về luật mạnh số lớn và sự hội tụ đầy đủ cho mảng tam giác các biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập compact và các biến ngẫu nhiên mờ độc lập theo hàng trong không gian Banach khả ly. Năm 2006, Terán và Molchanov [40] đưa ra khái niệm về không gian tổ hợp lồi, đó là không gian metric mà trên đó được trang bị phép toán tổ hợp lồi. Không gian tổ hợp lồi không chỉ rộng hơn không gian Banach mà còn rộng hơn không gian các tập con compact khác rỗng của không gian Banach. Trong [40], Terán và Molchanov đã nêu lên các tính chất cơ bản của không gian tổ hợp lồi và định nghĩa kỳ vọng của biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian tổ hợp lồi. Từ đó, các tác giả đã mở rộng luật mạnh số lớn của Etemadi [7] cho dãy các biến ngẫu nhiên độc lập đôi một cùng phân phối sang không gian tổ hợp lồi. Tiếp tục hướng nghiên cứu của mình về xác suất trên không gian tổ hợp lồi, Terán và Molchanov trong [41] đã chứng tỏ rằng nếu (X, d) là 7 không gian tổ hợp lồi thì không gian F(X) các hàm nửa liên tục trên v : X → [0; 1] có giá là tập compact trong X cùng với các metric d∞ , dp và phép toán tổ hợp lồi cảm sinh bởi phép toán tổ hợp lồi trên X cũng là không gian tổ hợp lồi. Cũng trong [41], Terán và Molchanov đã thiết lập luật mạnh số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên mờ độc lập đôi một cùng phân phối trong không gian tổ hợp lồi. Sử dụng định nghĩa về không gian tổ hợp lồi của Terán và Molchanov trong [40], Quảng và Thuận trong [33] đã thiết lập một số luật mạnh số lớn cho mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian tổ hợp lồi dưới các giả thiết khác nhau. Trong luận án này, sử dụng định nghĩa về không gian tổ hợp lồi của Terán và Molchanov trong [40], chúng tôi thiết lập các định lý giới hạn dạng luật mạnh số lớn, sự hội tụ đầy đủ, sự hội tụ theo trung bình và luật yếu số lớn cho dãy và mảng các biến ngẫu nhiên và các biến ngẫu nhiên mờ trong không gian tổ hợp lồi. Đầu tiên, chúng tôi trình bày các khái niệm và các tính chất cơ bản của không gian tổ hợp lồi. Tiếp theo chúng tôi trình bày khái niệm compact khả tích đều và compact khả tích đều theo nghĩa Cesàro bậc r > 0 cho một họ các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian tổ hợp lồi, các khái niệm này mở rộng các khái niệm tương ứng từ không gian Banach sang không gian metric. Chúng tôi thiết lập được luật mạnh số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian tổ hợp lồi thỏa mãn điều kiện: m-phụ thuộc đôi một theo khối và compact khả tích đều theo nghĩa Cesàro, hoặc m-phụ thuộc theo khối và cùng phân phối. Chúng tôi cũng thiết lập được sự hội tụ đầy đủ và luật mạnh số lớn cho mảng tam giác các biến ngẫu nhiên độc lập theo hàng và compact khả tích đều nhận giá trị trong không gian tổ hợp lồi. Đối với mảng tam giác các biến ngẫu nhiên mờ trong không gian tổ hợp lồi, chúng tôi thiết lập được sự hội tụ đầy đủ và luật mạnh số lớn cho các biến ngẫu nhiên mờ độc lập theo hàng và compact khả tích đều (α, α+ )-từng mức. 8 Đối với mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên mờ trong không gian tổ hợp lồi, chúng tôi thiết lập được luật mạnh số lớn cho các biến ngẫu nhiên mờ thỏa mãn điều kiện: độc lập và compact khả tích đều (α, α+ )-từng mức, hoặc độc lập đôi một và cùng phân phối. Cuối cùng, chúng tôi thiết lập các điều kiện cần và đủ cho sự hội tụ theo trung bình và luật yếu số lớn đối với dãy các biến ngẫu nhiên mờ. Sự hội tụ của các biến ngẫu nhiên mờ trong luận án này được xét theo metric d∞ . 7.2. Cấu trúc của luận án Ngoài các phần Một số ký hiệu thường dùng trong luận án, Mở đầu, Kết luận chung và kiến nghị, Danh mục các công trình liên quan trực tiếp đến luận án và Tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận án được trình bày trong ba chương. Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản về không gian tổ hợp lồi và biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian tổ hợp lồi. Bố cục của Chương 1 như sau. Mục 1.1 trình bày khái niệm không gian tổ hợp lồi, một số ví dụ về không gian tổ hợp lồi, các tính chất cơ bản của không gian tổ hợp lồi. Mục 1.2 trình bày về biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian tổ hợp lồi, định nghĩa kỳ vọng và tính khả tích của biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian tổ hợp lồi, các dạng hội tụ hầu chắc chắn, hội tụ đầy đủ, hội tụ theo trung bình và hội tụ theo xác suất đối với dãy và mảng các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian tổ hợp lồi, khái niệm compact khả tích đều và compact khả tích đều theo nghĩa Cesàro bậc r > 0 của họ các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian tổ hợp lồi. Mục 1.3 trình bày về một số khái niệm và tính chất cơ bản của biến ngẫu nhiên mờ trong không gian tổ hợp lồi. Các kiến thức của Chương 1 được dùng để thiết lập các kết quả chính của các chương tiếp theo. Chương 2 trình bày về một số định lý giới hạn dạng luật số lớn đối với dãy và mảng tam giác các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian 9 tổ hợp lồi. Mục 2.1 trình bày về luật mạnh số lớn đối với dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc đôi một theo khối nhận giá trị trong không gian tổ hợp lồi. Mục 2.2 trình bày về sự hội tụ đầy đủ và luật mạnh số lớn đối với mảng tam giác các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian tổ hợp lồi. Các kết quả chính của Chương 2 là các định lý 2.1.2, 2.1.3, 2.1.5, 2.1.6, 2.2.2. Chương 3 được dành để nghiên cứu về một số định lý giới hạn dạng luật số lớn đối với dãy, mảng tam giác và mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên mờ trong không gian tổ hợp lồi. Mục 3.1 trình bày về khái niệm CUI (α, α+ )-từng mức và Cesàro CUI bậc r (α, α+ )-từng mức đối với họ các biến ngẫu nhiên mờ trong không gian tổ hợp lồi. Mục 3.2 trình bày về sự hội tụ đầy đủ và luật mạnh số lớn đối với mảng tam giác các biến ngẫu nhiên mờ trong không gian tổ hợp lồi. Mục 3.3 trình bày về luật mạnh số lớn đối với mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên mờ trong không gian tổ hợp lồi. Mục 3.4 trình bày về sự hội tụ theo trung bình và luật yếu số lớn đối với dãy các biến ngẫu nhiên mờ trong không gian tổ hợp lồi. Các kết quả chính của Chương 3 là các định lý 3.2.1, 3.3.4, 3.3.7, 3.4.2, 3.4.3, 3.4.5. Các kết quả chính của luận án đã được trình bày tại Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ 8 (Trường Sĩ quan Thông tin, Nha Trang, 1014/08/2013), Hội nghị toàn quốc lần thứ 5: “Xác suất - Thống kê: nghiên cứu, ứng dụng và giảng dạy” (Đại học Sư phạm Đà Nẵng, 23-25/05/2015), Seminar của Bộ môn Xác suất thống kê và Toán ứng dụng thuộc Viện Sư phạm Tự nhiên-Trường Đại học Vinh (từ năm 2012 đến năm 2016). Các kết quả chính của luận án đã được công bố trên các tạp chí: Fuzzy Sets and Systems, Statistics and Probability Letters và Applications of Mathematics. 10 CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm và tính chất cơ bản về không gian tổ hợp lồi, một số ví dụ về không gian tổ hợp lồi, khái niệm và các tính chất cơ bản về biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian tổ hợp lồi và biến ngẫu nhiên mờ trong không gian tổ hợp lồi. Chúng tôi trình bày khái niệm compact khả tích đều và compact khả tích đều theo nghĩa Cesàro bậc r > 0 đối với họ các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian tổ hợp lồi. Nội dung chính của chương được viết dựa trên các bài báo [33], [40], [41], [46]. 1.1. Không gian tổ hợp lồi Trong suốt luận án này, nếu không nói gì thêm, chúng ta luôn giả thiết (Ω, A, P ) là không gian xác suất đầy đủ, (X, d) là không gian metric đầy đủ và khả ly, BX là σ -đại số Borel trên X. Ký hiệu c(X) là không gian tất cả các tập con compact khác rỗng của X. Ký hiệu N là tập hợp các số nguyên dương, N0 là tập hợp các số nguyên không âm và R là tập hợp các số thực. Với hai số thực m và n, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của chúng tương ứng được ký hiệu bởi m ∨ n và m ∧ n. Với mỗi a ∈ R, lôgarit cơ số 2 của a ∨ 1 được ký hiệu là log+ a. Ta ký hiệu C là hằng số (0 < C < ∞) mà nó không nhất thiết phải giống nhau ở mỗi lần xuất hiện. Trên không gian metric (X, d), ta xác định phép toán tổ hợp lồi như 11 sau: Với mọi n > 2, các số λ1 , ..., λn > 0 thoả mãn Pn i=1 λi = 1 và các phần tử u1 , ..., un ∈ X, phép toán cho kết quả là một phần tử thuộc X và được ký hiệu là [λi , ui ]ni=1 hoặc [λ1 , u1 ; ...; λn , un ]. Giả thiết rằng [1, u] = u với mọi u ∈ X, đồng thời năm tiên đề sau được thoả mãn • Tiên đề 1: (Tính giao hoán) [λi , ui ]ni=1 = [λσ(i) , uσ(i) ]ni=1 với mọi hoán vị σ của {1, ..., n}; • Tiên đề 2: (Tính kết hợp) λ n+j 2 [λi , ui ]n+2 i=1 = [λ1 , u1 ; ...; λn , un ; λn+1 + λn+2 , [ λn+1 +λn+2 , un+j ]j=1 ]; • Tiên đề 3: (Tính liên tục) Nếu u, v ∈ X và λ(k) → λ ∈ (0; 1) khi k → ∞, thì [λ(k) , u; 1 − λ(k) , v] → [λ, u; 1 − λ, v]; • Tiên đề 4: (Tính chất độ cong âm) Với mọi u1 , u2 , v1 , v2 ∈ X và λ ∈ (0; 1), thì d([λ, u1 ; 1 − λ, u2 ], [λ, v1 ; 1 − λ, v2 ]) 6 λd(u1 , v1 ) + (1 − λ)d(u2 , v2 ); • Tiên đề 5: (Sự lồi hoá) Với mỗi u ∈ X, tồn tại giới hạn lim [n−1 , u]ni=1 , n→∞ giới hạn này được ký hiệu là KX u (hoặc Ku nếu không sợ nhầm lẫn) và K được gọi là toán tử lồi hoá. 1.1.1 Định nghĩa. ([40, trang 878]) Không gian metric (X, d) trang bị phép toán tổ hợp lồi thoả mãn năm tiên đề nêu trên được gọi là không gian tổ hợp lồi. 1.1.2 Nhận xét. Bằng phương pháp quy nạp và Tiên đề 2, ta có thể mở rộng Tiên đề 3 và Tiên đề 4 cho tổ hợp lồi của n phần tử thuộc X (n > 3). Chú ý rằng, trong trường hợp tổng quát, nói chung Ku và u là không đồng nhất. Phần tử u ∈ X được gọi là phần tử khả lồi của X nếu với mọi P n > 2 và mọi λ1 , ..., λn > 0 thoả mãn ni=1 λi = 1, thì u = [λi , u]ni=1 . 12 [40, Mệnh đề 3.2] đã chỉ ra rằng tập ảnh K(X) trùng với họ các phần tử khả lồi của X, do đó ta gọi không gian con K(X) là miền khả lồi của X. Nếu K(X) = X, thì X được gọi là không gian khả lồi. Các bổ đề và mệnh đề cơ bản dưới đây của không gian tổ hợp lồi (X, d) được suy ra từ năm tiên đề nêu trên (chi tiết chứng minh xem trong [40]). Các bổ đề và mệnh đề này thường được sử dụng trong phép chứng minh của các kết quả ở các chương sau. Bổ đề đầu tiên được suy ra từ Tiên đề 1 và Tiên đề 2, bổ đề này chỉ ra rằng tập con của tập các chỉ số trong phép toán tổ hợp lồi có thể đổi thứ tự và nhóm lại. 1.1.3 Bổ đề. ([40, Bổ đề 2.1]) Với mọi u11 , ..., umn ∈ X và α1 , ..., αm > 0, P Pn β1 , ..., βn > 0, sao cho m i=1 αi = j=1 βj = 1, ta có i=m,j=n [αi , [βj , uij ]nj=1 ]m i=1 = [αi βj , uij ]i=1,j=1 . Bổ đề tiếp theo được suy ra từ Tiên đề 3 và Tiên đề 4. 1.1.4 Bổ đề. ([40, Bổ đề 2.2]) Phép toán tổ hợp lồi là liên tục đối với 2n biến của nó. Nghĩa là: (k) (k) (a) Với mọi u1 , ..., un ∈ X và λ1 , ..., λn > 0 thoả mãn (k) Nếu λi (k) i=1 λi Pn = 1. → λi ∈ (0; 1) khi k → ∞, thì (k) [λi , ui ]ni=1 → [λi , ui ]ni=1 . (b) Với mọi λ1 , ..., λn > 0 thoả mãn (k) Nếu ui Pn i=1 λi (k) (k) = 1 và mọi u1 , ..., un ∈ X. → ui khi k → ∞, thì (k) [λi , ui ]ni=1 → [λi , ui ]ni=1 . 1.1.5 Mệnh đề. ([40, Mệnh đề 3.1]) Toán tử lồi hoá K là tuyến tính theo P nghĩa với mọi u1 , ..., un ∈ X và λ1 , ..., λn > 0 thoả mãn ni=1 λi = 1, thì K([λj , uj ]nj=1 ) = [λj , Kuj ]nj=1 . 13 Hai hệ quả dưới đây được suy ra từ tính tuyến tính của toán tử K và tính khả lồi của miền K(X). 1.1.6 Hệ quả. ([40, Hệ quả 3.3]) Với mọi n > 2, u ∈ X và mọi λ1 , ..., λn P > 0 thoả mãn ni=1 λi = 1, ta có K([λj , u]nj=1 ) = Ku = [λj , Ku]nj=1 . 1.1.7 Hệ quả. ([40, Hệ quả 3.4]) K là toán tử luỹ đẳng trên X. Mệnh đề dưới đây thiết lập một biến thể của luật phân phối đối với các phần tử khả lồi của X. 1.1.8 Mệnh đề. ([40, Mệnh đề 3.5]) Với mọi λ1 , λ2 , λ3 > 0 thoả mãn λ1 + λ2 + λ3 = 1 và u, v ∈ X, thì [λ1 , u; λ2 , Kv; λ3 , Kv] = [λ1 u; (λ2 + λ3 ), Kv]. 1.1.9 Mệnh đề. ([40, Mệnh đề 3.6]) Toán tử K là không giãn đối với metric d theo nghĩa với mọi u, v ∈ X, thì d(Ku, Kv) 6 d(u, v). 1.1.10 Nhận xét. ([45, trang 2]) Cho dãy số thực {λk : k > 1} ⊂ (0; 1), λk → 0 khi k → ∞, và u, v ∈ X. Theo Tiên đề 4 và Tính chất 1.1.6, ta có d([λk , Ku; 1 − λk , Kv], Kv) = d([λk , Ku; 1 − λk , Kv], [λk , Kv; 1 − λk , Kv]) 6 λk d(Ku, Kv) → 0 khi k → ∞. Từ đó suy ra [λk , Ku; 1 − λk , Kv] → Kv khi k → ∞. Nhận xét trên cho phép chúng ta mở rộng các trọng số λi từ (0; 1) vào [0; 1] đối với các phần tử trong K(X), điều đó có nghĩa là ta có thể định nghĩa: [λi , ui ]i∈I = [λi , ui ]i∈J với J = {i ∈ I : λi > 0}, 14 trong đó λi ∈ [0; 1], ui ∈ K(X) và P i∈J λi = P i∈I λi = 1. Tập A ⊂ X được gọi là lồi nếu [λi , ui ]ni=1 ∈ A với mọi ui ∈ A và mọi P {λi : 1 6 i 6 n, n > 1} ⊂ (0; 1) thoả mãn ni=1 λi = 1. Với A ⊂ X, ta ký hiệu coA là bao lồi của A, đó là tập lồi nhỏ nhất chứa A, và coA là bao lồi đóng của A. 1.1.11 Định lý. ([40, Định lý 6.2]) Nếu (X, d) là không gian tổ hợp lồi thì c(X) với phép toán tổ hợp lồi cho bởi [λi , Ai ]ni=1 = {[λi , ui ]ni=1 : ui ∈ Ai , với mọi i} và metric Hausdorff dH  dH (A, B) = max  sup inf d(a, b), sup inf d(b, a) b∈B a∈A a∈A b∈B cũng là không gian tổ hợp lồi với toán tử lồi hoá Kc(X) được xác định bởi Kc(X) A = coKX A = co{KX u : u ∈ A}. Do không gian (X, d) đầy đủ và khả ly nên (c(X), dH ) cũng là không gian đầy đủ và khả ly. Sau đây, ta sẽ đưa ra một số ví dụ về không gian tổ hợp lồi, các ví dụ này được trình bày chi tiết trong [40]. 1.1.12 Ví dụ. Giả sử (X, k.k) là không gian Banach. Khi đó (X, d) với d là metric cảm sinh bởi chuẩn là không gian tổ hợp lồi với phép toán tổ hợp lồi [λi , ui ]ni=1 = n X λi ui , i=1 trong đó λ1 , ..., λn > 0 thoả mãn Pn i=1 λi = 1 và các phần tử u1 , ..., un ∈ X. Toán tử lồi hoá K chính là toán tử đồng nhất trên X. 1.1.13 Ví dụ. Giả sử (X, k.k) là không gian Banach, ký hiệu dH là metric Hausdorff trên c(X). Phép cộng Minkowski và nhân vô hướng trên c(X) 15 được định nghĩa bởi A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B}, λA = {λa : λ ∈ R, a ∈ A}. Khi đó c(X) không phải là không gian tuyến tính đối với phép cộng và phép nhân vô hướng nêu trên, tuy nhiên (c(X), dH ) là không gian tổ hợp lồi với phép toán tổ hợp lồi [λi , Ai ]ni=1 = n X λi Ai i=1 và toán tử lồi hoá Kc(X) A = coA, với A ∈ c(X). 1.1.14 Ví dụ. Giả sử (X, k.k) là không gian tuyến tính định chuẩn. Ta định nghĩa phép toán tổ hợp lồi như sau n X n [λi , ui ]i=1 = λpi ui , p > 1. i=1 Khi đó X là không gian tổ hợp lồi và toán tử lồi hoá K thoả mãn Ku = 0 với mọi u ∈ X. 1.1.15 Ví dụ. Giả sử X = [0; ∞) với khoảng cách Euclide. Ta định nghĩa phép toán tổ hợp lồi như sau [λi , ui ]ni=1 = max{λi ui : 1 6 i 6 n}. Khi đó X là không gian tổ hợp lồi đầy đủ khả ly và toán tử lồi hoá K thoả mãn Ku = 0 với mọi u ∈ X. Ngoài ra, với u > 0 thì co{u} = (0; u]. Do đó, tập đơn tử {u} không phải là tập lồi trừ khi u = 0 và bao lồi của một tập compact có thể không phải là tập đóng. 1.1.16 Bổ đề. ([33, Bổ đề 3.3]) Giả sử {ai , bi : 1 6 i 6 n} ⊂ [0; 1] thỏa P P mãn ni=1 ai = ni=1 bi = 1. Khi đó với mọi x1 , ..., xn ∈ X, u0 ∈ K(X), ta có bất đẳng thức sau đúng d([ai , Kxi ]ni=1 , [bi , Kxi ]ni=1 ) 6 n X i=1 |ai − bi |d(xi , u0 ) (1.1.1) 16 Chú ý rằng, bất đẳng thức (1.1.1) không đúng trong trường hợp tổng quát khi các phần tử trong tổ hợp lồi ở vế trái không phải là các phần tử khả lồi. Điều này được thể hiện thông qua ví dụ dưới đây ([45, Ví dụ 1]). 1.1.17 Ví dụ. Giả sử (X, k.k) là không gian Banach, ta xét phép toán tổ hợp lồi 2 [λi , xi ]ni=1 = n X λ2i xi . i=1 Khi đó theo Ví dụ 1.1.14 thì (X, k.k,2 [., .]) là không gian tổ hợp lồi. Với 0 6= x, y ∈ X, ta có d 2      16x y 4x 9y + − + [4/5, x; 1/5, y], [2/5, x; 3/5, y] = 25 25 25 25 12x 8y = 25 − 25 . 2 Chọn y = −x/2, ta được 12x 8y 16kxk 25 − 25 = 25 . Mặt khác 4 2 1 3 − .kxk + − .kyk = 3kxk < 16kxk . 5 5 5 5 5 25 Vậy bất đẳng thức (1.1.1) không đúng với u0 = 0. 1.2. Biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian tổ hợp lồi Từ mục này trở đi, chúng tôi luôn giả thiết rằng (X, d) là không gian tổ hợp lồi. 1.2.1 Định nghĩa. ([33, trang 546]) Ánh xạ X : Ω → X được gọi là A-đo được nếu với mọi B ∈ BX , thì X −1 (B) ∈ A. Ánh xạ A-đo được X còn được gọi là biến ngẫu nhiên X-giá trị.
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan