Tài liệu Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến volterra fredholm loại hai.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 -------------------- NGUYỄN THỊ TUYẾT MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN VOLTERRA - FREDHOLM LOẠI HAI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ----------------------- NGUYỄN THỊ TUYẾT MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN VOLTERRA - FREDHOLM LOẠI HAI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH MÃ SỐ: 60.46.01.02 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS. TS. KHUẤT VĂN NINH HÀ NỘI, 2017 1 Lời cảm ơn Bản luận văn này được thực hiện tại trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Khuất Văn Ninh. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người đã dành nhiều công sức và thời gian để hướng dẫn, kiểm tra, giúp đỡ tôi trong việc tìm hiểu các kiến thức chuyên ngành và hoàn thành bản luận văn. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Phòng Sau Đại học và đến các thầy cô trong khoa Toán trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 về các kiến thức và những điều tốt đẹp mang lại cho tôi trong thời gian học tập tại trường. Xin cám ơn Lãnh đạo và các thầy cô trường THPT Vĩnh Yên về những điều kiện thuận lợi đã dành cho tác giả để tác giả có thể hoàn thành khoá học và bản luận văn này. Cuối cùng tôi muốn tỏ lòng biết ơn gia đình, người thân, chỗ dựa về tinh thần và vật chất cho tôi trong cuộc sống và trong học tập. Hà Nội, tháng 6 năm 2017 Tác giả Nguyễn Thị Tuyết 2 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Hà Nội, tháng 6 năm 2017 Tác giả Nguyễn Thị Tuyết 3 Mục lục Lời cảm ơn 1 Lời cam đoan 2 Mục lục 4 Mở đầu 5 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Không gian Metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Không gian C[a,b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Một số kiến thức về Giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Tích phân phụ thuộc tham số và các tính chất . . . . . . 1.2.3 Công thức khai triển Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Phương pháp cầu phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Định nghĩa phương trình tích phân phi tuyến Volterra - Fredholm loại hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Hàm trừu tượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Toán tử Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Toán tử Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.4 Phương trình tích phân phi tuyến Volterra - Fredholm loại hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 7 8 9 10 10 11 12 12 . . . . 13 13 13 13 . 14 2 Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến Volterra - Fredholm loại hai 2.1 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp dựa trên điều kiện Lipschitz . . . . 2.1.1 Định lý tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Phương pháp giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 15 15 18 22 4 2.3 2.2.1 Phương pháp chuỗi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Phương pháp phân tích Adomian . . . . . . . . . . . . . . Phương pháp hội tụ đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Các định lý về bất đẳng thức tích phân . . . . . . . . . . 2.3.2 Phương trình tích phân phi tuyến Volterra - Fredholm . 2.3.3 Giải gần đúng phương trình tích phân phi tuyến Volterra - Fredholm loại hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 24 27 27 39 . 43 3 Phương pháp cầu phương giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến Volterra - Fredholm loại hai 54 3.1 Công thức hình thang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.2 Áp dụng công thức hình thang vào giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến Volterra - Fredholm loại hai . . . . . . . . . . . . . 55 Kết Luận 60 Tài liệu tham khảo 61 5 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Phương trình tích phân là công cụ hữu ích trong nhiều lĩnh vực nên được quan tâm nghiên cứu theo nhiều khía cạnh khác nhau như sự tồn tại nghiệm, sự xấp xỉ nghiệm, tính chỉnh hay không chỉnh . . . Trong các phương trình tích phân ta không thể không nhắc tới phương trình tích phân phi tuyến Volterra – Fredholm loại hai, một phương trình xuất hiện trong nhiều ứng dụng khoa học. Trong các ứng dụng thực tế việc tìm ra nghiệm của phương trình tích phân đôi lúc gặp phải nhiều khó khăn, lúc này người ta quan tâm đến các phương pháp giải xấp xỉ. Để giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến Volterra – Fredholm loại hai người ta sử dụng nhiều phương pháp như xấp xỉ liên tiếp, chuỗi lũy thừa, phương pháp số. . . . Với mong muốn tìm hiểu và nghiên cứu sâu hơn về phương pháp giải phương trình tích phân phi tuyến Volterra – Fredholm loại hai, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Khuất Văn Ninh, tôi đã chọn đề tài: “ Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến Volterra – Fredholm loại hai” để thực hiện luận văn của mình. 2. Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu về một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình 6 tích phân phi tuyến Volterra – Fredholm loại hai. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu về một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến Volterra – Fredholm loại hai. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Phương trình tích phân phi tuyến Volterra – Fredholm loại hai. - Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình, một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình và ứng dụng vào giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến Volterra – Fredholm loại hai cụ thể. 5. Phương pháp nghiên cứu: - Sưu tầm, nghiên cứu các tài liệu liên quan. - Vận dụng một số phương pháp của Giải tích hàm, Giải tích số, Lí thuyết phương trình tích phân và lập trình máy tính. - Phân tích, tổng hợp và hệ thống các kiến thức liên quan tới phương trình tích phân phi tuyến Volterra – Fredholm loại hai. 6. Dự kiến đóng góp của đề tài - Hệ thống hóa vấn đề nghiên cứu. - Áp dụng giải xấp xỉ một số phương trình tích phân phi tuyến Volterra – Fredholm loại hai cụ thể. 7 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị (Các kiến thức trong chương này được tham khảo từ các tài liệu [1], [4] và [5]) 1.1 1.1.1 Các không gian hàm Không gian Metric Định nghĩa 1.1.1. Không gian Metric là một tập (X, d), trong đó X là một tập hợp, d là một ánh xạ d : X × X → R thỏa mãn các điều kiện sau: 1. d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y. 2. d(x, y) = d(y, x) ∀x, y ∈ X. 3. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) ∀x, y, z ∈ X. Sự hội tụ trong không gian Metric Định nghĩa 1.1.2. Dãy {xn } ⊂ (X, d) được gọi là hội tụ tới điểm x ∈ X nếu d(xn , yn ) → 0 khi đó ta viết lim xn = x. Tính chất 1: Mọi dãy có không quá một giới hạn. Nói cách khác, dãy hội 8 tụ chỉ có một giới hạn duy nhất. Tính chất 2: d(x, y) là hàm liên tục theo hai biến, tức là nếu lim xn = a, lim yn = b thì lim d(xn , yn ) = d(a, b). Tính chất 3: Nếu xn → x thì mọi dãy con xnk cũng hội tụ đến x. Ánh xạ liên tục Định nghĩa 1.1.3. Ánh xạ f từ (X, dX ) vào (Y, dY ) được gọi là liên tục tại điểm xo ∈ X nếu ∀ε > 0 ∃δ > 0 sao cho ∀x ∈ X nếu dX (x, x0 ) < δ ⇒ dY (f (x), f (x0 )) < ε Ánh xạ f được gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm x ∈ X. Tính chất 1: Ánh xạ f : X → Y liên tục tại x ∈ X ⇔ ∀ dãy xn ∈ X, xn → x thì lim f (xn ) = f (x0 ). Tính chất 2: Nếu f : X → Y và g : Y → Z là những ánh xạ liên tục thì g ◦ f : X → Z cũng liên tục. Nguyên lý ánh xạ co Định nghĩa 1.1.4. Ánh xạ A : X → X được gọi là ánh xạ co nếu ∃α : 0 < α < 1 để ∀x, y ∈ X ta có: d(Ax, Ay) ≤ αd(x, y). Định nghĩa 1.1.5. Điểm x ∈ X được gọi là điểm bất động của ánh xạ A nếu x = Ax. 1.1.2 Không gian định chuẩn Cho X là một không gian vectơ trên trường P. Định nghĩa 1.1.6. Một chuẩn, kí hiệu k.k trong X là một ánh xạ từ X vào P thỏa mãn các điều kiện (i) kxk ≥ 0 ∀x ∈ X. (ii) kxk = 0 khi và chỉ khi x = θ. 9 (iii) kλxk = kλkkxk, ∀λ ∈ P, ∀x ∈ X. (iv) kx + yk ≤ kxk + kyk. Số kxk được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ x ∈ X. Định nghĩa 1.1.7. Một không gian vectơ X cùng với một chuẩn xác định trong không gian ấy gọi là một không gian định chuẩn (thực hoặc phức, tùy theo P là thực hoặc phức). Định lý 1.1. Giả sử X là một không gian định chuẩn. Với ∀x, y ∈ X,đặt d(x, y) = kx − yk Khi đó d là một metric trên X. Định nghĩa 1.1.8. Dãy {xn } trong không gian định chuẩn X được gọi là hội tụ đến x0 ∈ X nếu lim kxn − x0 k = 0 . Khi đó ta kí hiệu lim xn = x0 hay xn → x0 khi n → ∞. Định nghĩa 1.1.9. Dãy {xn } trong không gian định chuẩn X được gọi là một dãy cơ bản nếu lim kxn − xm k = 0. Định nghĩa 1.1.10. Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach, nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ. 1.1.3 Không gian C[a,b] Định nghĩa 1.1.11. C[a,b] là tập tất cả các hàm số giá trị thực xác định và liên tục trên [a, b], −∞ < a < b < +∞ Các tính chất (i) Không gian C[a,b] là không gian Metric. ∀x, y ∈ C[a,b] , d(x, y) = max |x(t) − y(t)| a≤t≤b (ii) Không gian C[a,b] là không gian định chuẩn 10 kxk = max |x(t)| a≤t≤b (iii) Không gian C[a,b] là không gian Banach. (iv) Tập tất cả các đa thức với hệ số hữu tỷ trù mật trong C[a,b] nên C[a,b] là không gian tách được. n Định nghĩa 1.1.12. Không gian C[a,b] gồm tất cả các hàm x(t) xác định trên đọan [a, b] và có đạo hàm liên tục đến cấp n, với chuẩn được xác định bởi kxk = max (|x(t)|, |x0 (t)|, ..., |xn (t)|) a≤t≤b 1.2 1.2.1 Một số kiến thức về Giải tích Chuỗi lũy thừa Định nghĩa 1.2.1. Chuỗi lũy thừa là một hàm dạng +∞ P an (x − x0 )n , n=0 trong đó x0 , a0 , a1 , . . . , a2 là những số thực. Điểm x0 là tâm của chuỗi lũy thừa. Để ý rằng chuỗi lũy thừa luôn luôn hội tụ tại điểm x = x0 . Nếu đặt y = x − x0 thì ta có thể đưa chuỗi về dạng +∞ P an y n chuỗi có n=0 tâm tại y = 0. Các tính chất của chuỗi lũy thừa Định lý 1.2. Giả sử chuỗi lũy thừa +∞ P an xn có bán kính hội tụ R>0, n=0 khi đó tổng S(x) của nó là hàm liên tục trong khoảng hội tụ (−R, R). Định lý 1.3. Giả sử chuỗi lũy thừa +∞ P an xn có bán kính hội tụ R>0, n=0 khi đó tổng S(x) của nó là hàm khả tích trên mọi đoạn [a, b] nằm trong khoảng hội tụ (−R, R) và +∞ Rb P Rb n S(x)dx = an x dx a n=0 a 11 Đặc biệt nếu x ∈ (−R, R) thì Rx 0 1.2.2 S(t)dt = +∞ Pa n=0 n+1 nx n+1 Tích phân phụ thuộc tham số và các tính chất Định nghĩa 1.2.2. Giả sử f (x, y) là một hàm số xác định với x ∈ [a, b] và y thuộc một tập hợp số thực Y nào đó, sao cho với mỗi y cố định thuộc Y hàm f (x, y) khả tích trong đoạn [a, b]. Rb Đặt I(y) = f (x, y)dx a Khi đó hàm I(y) là một hàm số xác định trên tập Y và được gọi là tích phân phụ thuộc tham số của hàm f (x, y) trong đoạn [a, b]. Các tính chất của tích phân phụ thuộc tham số Giả sử f (x, y) là hàm số xác định trong hình chữ nhật D = [a, b] × [c, d] = {(x, y), a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} Định lý 1.4. Nếu mỗi hàm f (x, y) xác định và liên tục trong hình chữ Rb nhật D thì tích phân phụ thuộc tham số I(y) = a f (x, y)dx là một hàm liên tục trong đoạn [c, d]. Định lý 1.5. Giả sử hàm f (x, y) xác định và liên tục trong hình chữ nhật D, liên tục theo x ∈ [a, b] với mỗi y cố định thuộc đoạn [c, d]. Hơn ∂f nữa f (x, y) có đạo hàm riêng (x, y) liên tục trên D. Khi đó tích phân ∂y phụ thuộc tham số Rb I 0 (y) = fy0 (x, y)dx, y ∈ [c, d] a Định lý 1.6. Nếu f (x, y) là hàm liên tục trong hình chữ nhật D = [a, d] × [c, d] thì ta có công thức Zd Zd  Zb I(y)dy = c c a   Zb  Zd f (x, y)dx dy = f (x, y)dy dx a c 12 1.2.3 Công thức khai triển Taylor Giả sử hàm số y = f (x) có tất cả các đạo hàm đến cập n + 1 (kể cả đạo hàm cấp n + 1) trong một khoảng nào đó chứa điểm x = a. Khi đó công thức khai triển Taylor của hàm số f (x) tại điểm x = a là: f 0 (a) f 00 (a) f 000 (a) 2 f (x) = f (a) + (x − a) + (x − a) + (x − a)3 + ... 1! 2! 3! f (n+1) [a + θ(x − a)] f (n) (a) n (x − a) + (x − a)n+1 , (θ ∈ [0; 1]) + n! (n + 1)! Trong công thức trên, nếu thay a = 0 ta có: x x2 x3 f (x) = f (0) + f 0 (0) + f 00 (0) + f 000 (0) + ...+ 1! 2! 3! xn (n) xn+1 (n+1) f (0) + f (θx), (θ ∈ [0; 1]) n! (n + 1)! 1.3 Phương pháp cầu phương Cho hàm f xác định và liên tục trên [a, b] do đó f khả tích trên [a, b]. Ta chia đoạn [a, b] thành n phần a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b Công thức sau gọi là công thức cầu phương. n Rb P ϕ(x)dx = Ak ϕ(xk ) + Rn (ϕ) a (1.1) k=0 Trong đó Ak , xk tương ứng là hệ số và nút của công thức cầu phương, Rn (ϕ) là phần dư của công thức cầu phương. Nếu như chọn công thức hình thang, chúng ta có: h= 1 b−a , A1 = An = h, Ak = h, k = 2, · · · , n − 1; n 2 xk = a + (k − 1)h, k = 1, · · · , n Zb a n−1 X 1 ϕ(x)dx = h(ϕ(x1 ) + ϕ(xn )) + hϕ(xk ) + Rn (ϕ) 2 k=2 13 1.4 Định nghĩa phương trình tích phân phi tuyến Volterra Fredholm loại hai 1.4.1 Hàm trừu tượng Giả sử X là một không gian Banach. Giả sử x(t) là hàm trừu tượng xác định trên đoạn [0;T] và nhận giá trị trong X, nghĩa là với mỗi t ∈ [0; T ], x(t) là một phần tử trong X. Hàm trừu tượng x(t) được gọi là liên tục tại điểm t0 ∈ [0; T ] nếu: lim kx(t) − x(t0 )k = 0 t→t0 Kí hiệu XT là không gian các hàm trừu tượng liên tục trên đoạn [0; T ] với chuẩn: kxkXT = sup kx(t)k 0≤t≤T 1.4.2 Toán tử Fredholm Định nghĩa 1.4.1. Toán tử F tuyến tính tác động từ không gian XT vào không gian XT được gọi là toán tử kiểu Fredholm Phương trình tích phân Fredholm là phương trình có dạng ZT (F x)(t) = K(t, s)x(s)ds 0 trong đó K(t, s) là hạch của toán tử tích phân. 1.4.3 Toán tử Volterra Định nghĩa 1.4.2. Toán tử V tuyến tính tác động từ không gian Xt (0 ≤ t ≤ T ) vào không gian XT được gọi là toán tử kiểu Volterra 14 Phương trình tích phân Volterra là phương trình có dạng Zt (V x)(t) = K(t, s)x(s)ds 0 trong đó K(t, s) là hạch của toán tử tích phân. 1.4.4 Phương trình tích phân phi tuyến Volterra - Fredholm loại hai Phương trình tích phân phi tuyến Volterra - Fredholm loại hai là phương trình có dạng: Zb Zx K1 (x, t)F1 (u(t))dt + u(x) = f (x) + a K2 (x, t)F2 (u(t))dt a trong đó F1 (u(t)), F2 (u(t))(0 ≤ t ≤ T ) là họ những toán tử phi tuyến tác Rx động trong X, còn hàm trừu tượng f (t) ∈ XT , V = K1 (x, t)F1 (u(t))dt a là toán tử Volterra, F = Rb K2 (x, t)F2 (u(t))dt là toán tử Fredholm. a Từ nay về sau ta giả thiết X = C[a,b] . 15 Chương 2 Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến Volterra - Fredholm loại hai (Kiến thức trong chương này được tham khảo từ các tài liệu [2], [6], [7], [8]) 2.1 2.1.1 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp dựa trên điều kiện Lipschitz Định lý tồn tại nghiệm Giả sử X là không gian Banach, M và N là hai toán tử tác động trong X Xét phương trình u = M (u) + N (u) + f (2.1) (f là phần tử bất kì cho trước thuộc X) Định lý 2.1. Giả sử các toán tử M và N thỏa mãn các điều kiện sau 1. kM (u1 ) − M (u2 )k ≤ αku1 − u2 k 2. kN (u1 ) − N (u2 )k ≤ βku1 − u2 k 3. 0<α+β <1 16 Khi đó phương trình (2.1) có nghiệm duy nhất u∗ , u∗ là giới hạn của dãy un được xác định theo công thức: un+1 = M un +N un +f, n = 0, 1, 2, ... Trong đó u0 tùy ý thuộc X và ta có công thức đánh giá sai số: qn kun −u∗ k ≤ ku1 −u0 k, q = α+β 1−q Chứng minh (2.2) (2.3) Đặt Au = f + M u + N u ta có Au1 − Au2 = M u1 − M u2 + N u1 − N u2 ⇒ kAu1 − Au2 k ≤ kM u1 − M u2 k + kN u1 − N u2 k ≤ αku1 − u2 k + βku1 − u2 k = (α + β)ku1 − u2 k hay kAu1 − Au2 k ≤ qku1 − u2 k Vì 0 < q < 1 nên A là ánh xạ co từ X vào X Theo nguyên lý ánh xạ co, toán tử A có một điểm bất động u∗ thỏa mãn Au∗ = u∗ hay f + M u∗ + N u∗ = u∗ . Áp dụng định lý 2.1 vào giải phương trình Volterra - Fredholm. Xét X = C[a;b] , M, N là hai toán tử tác động trong X. Xét phương trình u = f + M (u) + N (u) = Au trong đó M (u)(x) = Rx K1 (x, t)F1 (u(t))dt, N (u)(x) = a M, N thỏa mãn điều kiện Lipschitz kM (u1 ) − M (u2 )| ≤ αku1 − u2 k kN (u1 ) − N (u2 )| ≤ βku1 − u2 k (2.4) Rb a K2 (x, t)F2 (u(t))dt 17 Rx Rx ta có kM (u1 )−M (u2 )k = max | K1 (x, t)F1 (u1 (t))dt− K1 (x, t)F1 (u2 (t))dt| x∈[a;b] a Rx a Ta có | K1 (x, t)(F1 (u1 (t)) − F1 (u2 (t)))dt| ≤ a ≤ Rx |K1 (x, t)||F1 (u1 (t)) − F1 (u2 (t))|dt a Giả sử |K1 (x, t)| ≤ k1 ∀(x, t) ∈ [0; T ] |F1 (u1 (t)) − F1 (u2 (t))| ≤ k2 |u1 (t) − u2 (t)| Rx ⇒ |K1 (x, t)||F1 (u1 (t)) − F1 (u2 (t))dt| a ≤ k1 k2 Rx |u1 (t) − u2 (t)|dt ≤ k1 k2 a Rx max |u1 (t) − u2 (t)|dt a t∈[a;b] ≤ k1 k2 (x − a) max |u1 (t) − u2 (t)| t∈[a,b] ≤ k1 k2 (b − a)ku1 − u2 k |M (u1 (t)) − M (u2 (t))| ≤ k1 k2 (b − a)ku1 − u2 k ⇒ max |M (u1 (t)) − M (u2 (t))| ≤ k1 k2 (b − a)ku1 − u2 k t∈[a;b] ⇔ kM (u1 ) − M (u2 )k ≤ αku1 − u2 k, trong đó α = k1 k2 (b − a) Rb Rb Xét kN (u1 )−N (u2 )k = max | K2 (x, t)F2 (u1 (t))dt− K2 (x, t)F2 (u2 (t))dtk x∈[a;b] a Ta có | Rb ≤ Rb a K2 (x, t)(F2 (u1 (t)) − F2 (u2 (t)))dt| ≤ a |K2 (x, t)||F2 (u1 (t)) − F2 (u2 (t))|dt a Giả sử |K2 (x, t)| ≤ k3 ∀(x, t) ∈ [0; T ] |F2 (u1 (t)) − F2 (u2 (t))| ≤ k4 |u1 (t) − u2 (t)| Rb ⇒ | K2 (x, t)||F2 (u1 (t)) − F2 (u2 (t))dt| a ≤ k3 k4 Rb |u1 (t) − u2 (t)|dt ≤ k3 k4 a Rb max |u1 (t) − u2 (t)|dt a t∈[a,b] ≤ k3 k4 (b − a) max |u1 (t) − u2 (t)| t∈[a,b] = k3 k4 (b − a)ku1 − u2 k |N (u1 (t)) − N (u2 (t))| ≤ k3 k4 (b − a)ku1 − u2 k 18 ⇒ max |N (u1 ) − N (u2 )| ≤ k3 k4 (b − a)ku1 − u2 k ⇔ kN (u1 − N (u2 )k ≤ βku1 − u2 k, trong đó β = k3 k4 (b − a) ⇔ kA(u1 ) − A(u2 )k ≤ (α + β)ku1 − u2 k Nếu 0 < α + β < 1 khi đó A là ánh xạ co. Do vậy phương rình có nghiệm duy nhất u∗ thỏa mãn A(u∗ ) = M (u∗ ) + N (u∗ ) = u∗ với u∗ = lim un , un được xác định theo công thức lặp n→+∞ un+1 = Aun (n = 0, 1, 2, ...) (2.5) u0 tùy ý cho trước Rx Rb un+1 (x) = f (x) + K1 (x, t)F1 (un (t))dt + K2 (x, t)F2 (un (t))dt. a 2.1.2 a Ví dụ Ví dụ 2.1 Xét X = C[0;1] giải phương trình: Zx u(x) = x + 1 2 (t + x) sin(u(t))dt + 4 0 Z1 1 (t + x) cos(u(t))dt, x ∈ [0; 1] 5 0 Rx 1 2 (t + x) sin(u(t))dt, Đặt M (u(x)) = 0 4 R1 1 N (u(x)) = (t + x) cos(u(t))dt, f (x) = x 5 0 Au = f + M (u) + N (u). Khi đó phương trình có dạng u = Au. Ta có sin(u(t)) là hàm khả vi liên tục trong [0; 1] nên theo định lý Lagrange, tồn tại một hằng số c1 ∈ [0; 1] để | sin(u1 (t)) − sin(u2 (t))| = |(cos c1 )(u1 (t) − u2 (t))| ≤ |u1 (t) − u2 (t)| Tương tự cos(u(t)) là hàm khả vi liên tục trong [0; 1] nên theo định lý Largrange, tồn tại một hằng số c2 ∈ [0; 1] để